有限元基础教程(绪论)
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元分析基础教学课件
一种基于最小势能原理的有限元分析 方法，通过将问题离散化为多个子问 题，并求解每个子问题的线性方程组 ，得到问题的近似解。
03
有限元方法
有限元方法的基本思想
划分网格
将连续的求解区域离散为有限个小的单元， 单元之间通过节点连接。
近似解法
用每个小单元上的近似函数来逼近原函数， 从而得到整个求解区域的近似解。
骤。
设定边界条件和载荷
讲述如何运行分析，包括选择求解器、设置 迭代次数、收敛判据等。
运行分析
说明如何为模型设定边界条件和施加载荷， 包括位移、力、温度等。
结果后处理
介绍如何查看和解析结果，包括位移、应力 、应变等。
有限元分析软件编程接口
软件支持的语言
介绍软件支持的编程语言，如 Fortran、C、Python等。
求解平衡方程
通过建立每个小单元上的平衡方程，结合边 界条件和初始条件，求解每个小单元的近似 解。
有限元方法的实现步骤
划分网格
将求解区域离散为有限个小的单 元，选择合适的网格划分方式， 如三角形、四边形等。
求解方程
通过求解刚度矩阵方程，得到每 个小单元的位移分布和应力分布 。
01
建立模型
根据实际问题的需求，建立合适 的数学模型，包括定义求解区域 、定义材料属性、施加边界条件 等。
变形体虚功原理
虚功原理
在变形体上引入虚位移，并计算 虚功，通过虚功等于零的条件， 求解平衡方程。
虚位移
在有限元分析中，将真实位移离 散为多个节点的位移，这些位移 称为虚位移。
最小势能原理与里茨方法
最小势能原理
在变形过程中，物体总势能的变化等 于零，即在平衡状态下，物体的总势 能达到最小值。
03
有限元方法
有限元方法的基本思想
划分网格
将连续的求解区域离散为有限个小的单元， 单元之间通过节点连接。
近似解法
用每个小单元上的近似函数来逼近原函数， 从而得到整个求解区域的近似解。
骤。
设定边界条件和载荷
讲述如何运行分析，包括选择求解器、设置 迭代次数、收敛判据等。
运行分析
说明如何为模型设定边界条件和施加载荷， 包括位移、力、温度等。
结果后处理
介绍如何查看和解析结果，包括位移、应力 、应变等。
有限元分析软件编程接口
软件支持的语言
介绍软件支持的编程语言，如 Fortran、C、Python等。
求解平衡方程
通过建立每个小单元上的平衡方程，结合边 界条件和初始条件，求解每个小单元的近似 解。
有限元方法的实现步骤
划分网格
将求解区域离散为有限个小的单 元，选择合适的网格划分方式， 如三角形、四边形等。
求解方程
通过求解刚度矩阵方程，得到每 个小单元的位移分布和应力分布 。
01
建立模型
根据实际问题的需求，建立合适 的数学模型，包括定义求解区域 、定义材料属性、施加边界条件 等。
变形体虚功原理
虚功原理
在变形体上引入虚位移，并计算 虚功，通过虚功等于零的条件， 求解平衡方程。
虚位移
在有限元分析中，将真实位移离 散为多个节点的位移，这些位移 称为虚位移。
最小势能原理与里茨方法
最小势能原理
在变形过程中，物体总势能的变化等 于零，即在平衡状态下，物体的总势 能达到最小值。
有限元基础课件
0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
有限单元法分析的基本步骤
• ANSYS 的主要功能包括结构静力分析、结构动力学分析、结构非线 性分析、动力学分析、热分析、电磁场分析、流体动力学分析、声场 分析、压电分析、结构优化和疲劳分析等。结构静力分析用来求解外 载荷引起的位移、应力和力。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 程序的静力分析功能不仅可以进行线性分析，还可以进行非 线性分析，如塑性、蠕变、膨胀、大变形、大应变及接触分析。结构 动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构的影响。ANSYS 程序 可进行的结构动力学分析的类型包括瞬态动力学分析、模态分析、谐 波响应分析及随机振动响应分析，还有结构非线性分析，即对结构非 线性导致结构的响应随外载荷发生不成比例的变化的分析。ANSYS 程序可求解静态和瞬态非线性问题，包括材料非线性、几何非线性和 单元非线性。动力学分析方面，ANSYS 程序可以分析大型三维柔体 运动。热分析方面，ANSYS 程序可以处理热传递的三种基本类型， 即传导、对流和辐射，对热传递的三种类型均可进行稳态和瞬态、线 性和非线性分析。
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1.1 有限单元法简介
• ANSYS 软件致力于耦合场的分析计算，能够对结构、流体、热和电 磁4 种场进行计算，因此，它博得了世界上数千家用户的钟爱。 ANSYS 公司由John Swanson 博士创立于1970 年，ANSYS 有限 元程序是该公司的主要产品。ANSYS 软件是集结构、热、流体、电 磁和声学于一体的大型通用有限元分析软件，可广泛地应用于核工业、 铁道、石油化工、航空航天、生物医学、轻工、地矿、水利和日用家 电等一般工业及科学研究。
• ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性方面处于全球领先的地位线 性、流体、流固耦合等复杂的工程问题而开发的。
有限元方法基础教程
有限元方法是一种用于计算复杂物理问题的数值分析方法。
它可以用来解决各种工程、物理和化学问题，如流体力学、固体力学、传热学和电场分析。
本文将介绍有限元方法的基本原理，并且通过几个例子来说明如何使用它来解决实际问题。
1. 什么是有限元方法？
有限元方法是一种数值分析技术，可以帮助我们快速准确地解决复杂的物理问题。
它将复杂的物理场中的所有量都表述为一些小而独立的“单元”（finite elements) ，然后对这些单元应用相应的数学表达式得到想要得到的信息。
例如：当我们想要解决一个固体力学问题时，我们可能会需要考虑不同部位上不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态和弹性应力之间相互作用承受不同大小、形态。
有限元基础教程绪论ppt课件
不单设考试，以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元
有限元基础教学课件PPT
ε E T u （几何线性）
为梯度矢
ε u 一一对应,多连通域中未必一一对应. 在单连通域中：
31
§0.2 应力分析
取P点处一微平行六面体与xyz平行， 决定P点应力状态的6个分量记为
ζ x y z yz zx xy
f f x fy fz
T
T
ε E u,
T
u : u u : P E ν ζ
p
物体表面 u , 取未知函数 u ，经代换
: E DE u f 0 : u : u u
T
Px, y, z
: P E ν DET u （位移表示的应力边界条件）
14
应用领域：机械工程
(a) 铲运机举升工况测试
(b) 铲运机插入工况有限元分析
WJD-1.5型电动铲运机
15
液压挖掘机
(a) KOMATSU液压挖掘机
(b) 某液压挖掘机动臂有限元分析
16
驾驶室受侧向力 应力云图
接触问题结构件 应力云图
17
液压管路速度场分布云图
磨片热应力云图
支架自由振动云图
称为弹性矩阵
34
ζ Dε 或 ε D 1ζ
1 1 1 D E 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 21 0 0 0 0 0 0 21 0 0 21 0 0 0 0
i 1
RB
m
(Gu g ) 0
i 1
m
为了消除残差，通常引进内部权函数 WI 和边界权函 数WB ，将它们分别与 RI 和 RB 相乘，列出消除内部残 值方程式及消除边界方程式分别如下： RIWI dv 0 V C j ( j 1,2,, n) m S RBWB ds 0
有限元基础-上课件
总结词
有限元方法在电-磁场分析中能够模拟电磁 场分布和相互作用，为电磁装置设计提供精 确的预测。
详细描述
有限元方法在电-磁场分析中，能够考虑电 场强度、磁场强度、电流等参数，以及电磁 场与物质的相互作用。这为电磁装置设计提 供了精确的预测，如变压器、电动机、发电 机等的设计，以确保其性能和稳定性。
06
04
有限元方法的基本步骤
选取单元体与划分网格
选取单元体
选择适合问题特性的单元体，通常选 择容易解析和计算的几何形状，如三 角形、矩形等。
划分网格
将问题域分解成由单元体组成的网格 ，每个单元体之间通过节点相连。
建立单元体的刚度矩阵与质量矩阵
建立刚度矩阵
根据单元体的力学特性和边界条件，建立单元体的刚度矩阵，反映了单元体抵 抗变形的能力。
热传导分析
总结词
有限元方法在热传导分析中能够模拟热 量的传递和分布，为热工设计和优化提 供依据。
VS
详细描述
有限元方法在热传导分析中，能够考虑热 量的产生、传递和分布，以及材料热物理 性质的影响。这为热工设计和优化提供了 依据，如电子设备、机械零件、建筑保温 等的设计，以实现高效、稳定的热管理。
电-磁场分析
弹性力学本构方程
本构方程的数学表述
01
描述了材料的应力应变关系。
线弹性本构
02
材料在受力后会发生形变，但这种形变是可逆的，与应力大小
成正比。
非线性本构
03
材料在受力后发生的形变与应力大小不成正比，呈现出非线性
关系。
弹性力学边界条件与初始条件
边界条件
物体在边界上受到的力或位移约 束。
初始条件
物体在初始时刻的位移和速度状 态。
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
《有限元基础》课件
广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
第1章有限元基本理论ppt课件
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
有限元基础及应用
（2）对于静不定问题，则需要变形协调方程， 才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调 方程时，则需要一定的技巧；
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
（3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进
行分析。 二、学习方法：
理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
第一章 绪论
1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943
PA
C
A
Rc
a
b
A'
A
C
A
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩
PB
平衡方程：
(a)
B
PB b PA a
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位
移图：
B b A a
综合可得：
(b)
B
即：
B
PA b B PB a A PAA PBB 0
上式是以功的形式表述的。表明：图a的
B'
平衡力系在图b的位移上作功时，功的总
目前应用较多的通用有限元软件如下表：
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
有限元与数值模拟-第1章 绪论
1 2
绪论
有限元分析的力学基础 有限元分析的数学求解原理 杆梁结构的有限元分析 连续体弹性问题的有限元分析 有限元法应用中的若干实际考虑 有限元分析的应用领域
2
3
4 5
6
7
1 绪论
绪论
概念 发展
应用
基本思想 有限元分析的步骤及解决工程问题的方式
牵涉的知识（及有限元研究的内容）
1 dy 2 1 2 （1）导出泛函表达式： I [ y( x )] y 0 2 dx 2
1
2 y1 0 dx y(0) 0, y(1) 0
y dx
（2）选择整个求解域内，并满足边界条件的试探函数。
e w
Q
dx
Q
x
x
x
x+△x
e w TP TW Q x 0 TE TP x e x w
8
d 2T Q 0 2 dx
e w TP TW Q x 0 TE T1 P 绪论 /1.1 概念 x e x w
1 绪论/1.2 发展
有限元的发生与发展——工程科学、数学、计算机应用
• 1795年，Gauss提出加权余量法 • 1915年，Galerkin提出权函数与基函数相同的加权余量法—— Galerkin 法，是推导有限元方程的数学方法之一。 • 1870年，L. Rayleigh，1909年Ritz各自独立地提出采用总体试探函数来 近似求解泛函极值问题的方法——瑞利－里兹（Rayleigh-Ritz）方法， 简称为Ritz法，是推导有限元方程的重要方法。 • 1941年，A.hrennikoff，1943年D.McHenry，1949年N.M.Newmark提 出采用简单弹性杆（和梁的）排列代替连续的平面弹性体的方法，即采用 结构力学的离散分析方法解决连续体问题——直接法有限元。 • 1943年，Courant 对Ritz法进行推广，引入三角域上的分片线性试探函 数，结合最小势能原理求解扭转问题，开创了变分法有限元。为有限元研 究奠定了重要的数学基础——数学方面。 • 1946年，电子计算机诞生，并用于杆系结构力学的数值计算。 • 1954-1955年，J.H.Argris发表了一系列论文，将弹性结构的基本能量原 理进行推广和统一，发展了结构力学分析的矩阵方法。1960年出版了《 能量原理和结构分析（Energy Theorems and Structural Analysis）》 14 一书——有限元法雏形。
绪论
有限元分析的力学基础 有限元分析的数学求解原理 杆梁结构的有限元分析 连续体弹性问题的有限元分析 有限元法应用中的若干实际考虑 有限元分析的应用领域
2
3
4 5
6
7
1 绪论
绪论
概念 发展
应用
基本思想 有限元分析的步骤及解决工程问题的方式
牵涉的知识（及有限元研究的内容）
1 dy 2 1 2 （1）导出泛函表达式： I [ y( x )] y 0 2 dx 2
1
2 y1 0 dx y(0) 0, y(1) 0
y dx
（2）选择整个求解域内，并满足边界条件的试探函数。
e w
Q
dx
Q
x
x
x
x+△x
e w TP TW Q x 0 TE TP x e x w
8
d 2T Q 0 2 dx
e w TP TW Q x 0 TE T1 P 绪论 /1.1 概念 x e x w
1 绪论/1.2 发展
有限元的发生与发展——工程科学、数学、计算机应用
• 1795年，Gauss提出加权余量法 • 1915年，Galerkin提出权函数与基函数相同的加权余量法—— Galerkin 法，是推导有限元方程的数学方法之一。 • 1870年，L. Rayleigh，1909年Ritz各自独立地提出采用总体试探函数来 近似求解泛函极值问题的方法——瑞利－里兹（Rayleigh-Ritz）方法， 简称为Ritz法，是推导有限元方程的重要方法。 • 1941年，A.hrennikoff，1943年D.McHenry，1949年N.M.Newmark提 出采用简单弹性杆（和梁的）排列代替连续的平面弹性体的方法，即采用 结构力学的离散分析方法解决连续体问题——直接法有限元。 • 1943年，Courant 对Ritz法进行推广，引入三角域上的分片线性试探函 数，结合最小势能原理求解扭转问题，开创了变分法有限元。为有限元研 究奠定了重要的数学基础——数学方面。 • 1946年，电子计算机诞生，并用于杆系结构力学的数值计算。 • 1954-1955年，J.H.Argris发表了一系列论文，将弹性结构的基本能量原 理进行推广和统一，发展了结构力学分析的矩阵方法。1960年出版了《 能量原理和结构分析（Energy Theorems and Structural Analysis）》 14 一书——有限元法雏形。
有限元ppt课件
h h
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
y(xi )2 y(xi1) h
a x b x
y(xi1) 2 y(xi ) y(xi1)
h hi 2 i1
yi1 2 yi yi1 h2
(1 5)
x
13
将(1-4)(1-5)代入(1-3),得
yi1 2 yi h2
yi1
yi1 yi h
39
厚度为1的微分体,在水平方向拉
力F的作用下发生了位移 xdx
拉力表达式:
F xdy 1
x
x dy
拉力做的功:
dx
xdx
dW
1 2
F xdx
将F代入:
dW
1 2
x
x
dxdy
40
储存在微分体内的应变能:
x
x dy
dU
dW
1 2
x
x
dxdy
单位体积内的应变能:
17
因此有 y(x) (x)
试探函数中所取的项数越多，逼近的精度越高。
将试探函数代入式(1-9)，可以得到关于n个待定系数
的泛函表达式，简记为 I y(x) I(1,2,3, ,n)
根据多元函数有极值的必要条件，有
1
I (1,2 ,3,
2
I (1,2 ,3,
机械工程有限元法基础
1
有限元法是根据变分原理求解数学物理问题的一 种数值方法.
它从最初的固体力学领域 拓展到了
发展到了
从简单的静力分析
电磁学,流体力学,传热学, 声学等领域
动态分析,非线性分析, 多物理场耦合分析等复 杂问题的计算
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2有限元方法的历史
有限元方法的主要创始人：
2. John Argyris(德国人) 被誉为有限元分析的发明人和创始
者之一，所创立的力学分析的矩阵位移方法为有限元方法的 前身，被称为世界上最先进的数学工具，先后因在有限元方
法以及混沌理论方面的贡献而获得菲利普王子奖章、美国最
高荣誉的爱因斯坦奖，获得包括 5 个 G8 国家在内的由 16 发达 国家授予的杰出科技与工程奖；Argyris于1950年代在斯图加 特大学创立计算机应用研究所，开发了几个著名的在欧洲广 泛使用的有限元分析商业化软件，在有限元方法的应用方面
2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理特性
单元与节点
单元：即原始结构离散后，满足一 定几何特性和物理特性的最小结构 域。 节点：单元与单元间的连接点。 节点力：单元与单元间通过节点的 相互作用力 节点载荷：作用于节点上的外载。
1
Y2
2
①
节点载荷
X2
②
3
节点力
Fy12 Fy22
图1-6为精密卧式加工中心有限元分析模型及计算结果
3有限元分析的作用
图1-7为龙门铣床的有限元分析模型及计算结果
4、有限元分析问题的一般过程
结构离散化 选择单元类型
确定位移模 式
直接平衡法；功和能量法；加权残余法 解方程 组 引入边界 条件 消元法；迭代法 输出计算结果 选择结果表示形式
单元特性分 析 单元刚度矩 阵 整体分析 整体刚度矩 阵 叠加法
单元
图1.1 单元与节点
1概况
例如: 左图所示 , 为分析齿轮上一个齿内的应 力分布 , 可分析图中所示的一个平面截 面内位移分布.作为近似解,可以先求出 图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节 点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结 构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各 节点的位移,进而求出应力. 从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域, 子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示.
u ( x) 0 1 x 1 x 2 ... n x n {1 x x 2 ... x n }
i 为待定系数，也称为广义 简记为 u ( x)
坐标
{ 0 1 2 ... n }T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
2有限元方法的历史
数学力学理论研究方面（国内）：
我国的一些学者也在有限元领域做出了重要的贡献：
1.胡海昌于1954提出了广义变分原理；
2.钱伟长研究了拉格朗日乘子法与广义变分原理之间关系；
3.钱令希研究了力学分析的余能原理； 4.冯康独立地、并先于西方奠定了有限元分析收敛性的理论 基础。
2有限元方法的历史
梁单元 平面单元
典 型 单 元 类 型
2 2 3
4
2 3 2
2
平面四边形
轴对称问题
3
4 4
2
3 3
板壳单元 四面体单元
插值函数（或位移函数）
用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该
近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元
内物理量为位移，则该函数称为位移函数。
如一维单元
u ( x) N1 ( x)u1 N 2 ( x)u2 ... Ni ( x)ui
n 1
二维单元
注：Ni可为Lagrange、 Hamiton多项式或形函数， 在+1~-1间变化
u ( x, y ) Ni ui
1
n
v( x, y ) N i vi
1
n
6有限元方法的发展趋势
1、与CAD软件的无缝集成 在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将 模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算， 如果分析的结果不满足设计要求则重新进行设计和分析，直 到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足 工程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元 分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、 Unigraphics 、 SolidEdge 、 SolidWorks 、 IDEAS 、 Bentley 和 AutoCAD 等）的接口。有些 CAE软件为了实现和 CAD软件的 无缝集成而采用了CAD的建模技术，如ADINA软件由于采用 了基于Parasolid内核的实体建模技术，能和以Parasolid为核心 的CAD 软件（如 Unigraphics 、 SolidEdge、 SolidWorks ）实现 真正无缝的双向数据交换。
注意：1)节点是有限元法的重要概念，
有限元模型中，相邻单元的作用通 过节点传递，而单元边界不传递力， 这是离散结构与实际结构的重大差 别； 2）节点力与节点载荷的差别。
2
F
1 y1
①
F
1 x2
2
②
Fx22
Fy23
1
Fx11
3
Fx23
非法结构离散
节点不合法
不同材料
单元类型
单元图形
节点数
节点自由度
杆单元
解释结果
5 有限元法的基本概念
结构离散（有限元建模） 内容：1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为 节点约束和节点载荷 要求：1）离散结构必须与原 0 pi ei f i
北京工业大学机电学院
有限元分析及ANSYS
Finite Element Method and ANSYS
程
强
课程设置及要求
课程设置 英文名称：Finite element method and ANSYS 课程类型：专业选修 学时： 32 学分：2 适用对象：机械制造及自动化专业本科生 先修课程：线性代数、理论力学，材料力学 使用教材及参考书： 1. 《有限元分析基础教程》，曾攀，清华大学，2008 2. Ansys软件 课程教学基本要求 本课程教学环节主要包括：课堂讲授（ 20 学时）、作业、上机 计算（12学时）。 每章布置1-2道习题，以巩固所学的理论。
ANSYS中支 架计算模型
ANSYS中计算 模型的网格划 分图
计算得出的
支架变形图
支架应力 彩图
支架变形 的动画图
立体车库变 形应力彩图
这是一个对模型飞机翅膀 的模态分析的例题
3有限元分析的作用
奥运场馆的鸟巢是建设中最艰难的，枝蔓重达 42000T ， 其中，顶盖以及周边悬空部位重量为 14000T。在施工时，采 用了 78 根支柱进行支撑，也就是产生了 78 个受力区域，在钢 结构焊接完成后，需要将其缓慢而又平稳地卸去，让鸟巢变 成完全靠自身结构支撑；如何卸载？
选择位移函数的一般原则：
1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续
的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内 选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解.
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法 一维单元位移函数：
图1-2 北京奥运场馆 鸟巢的钢铁枝蔓结构
支撑塔架
奥运鸟巢的有 限元模型
3有限元分析的作用
图1-3给出的是现代列车车厢整体结构的有限元分析模型
3有限元分析的作用
图1-4为空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
3有限元分析的作用
图1-5为人体肩部区域的骨胳有限元分析模型及计算结果
3有限元分析的作用
对设计的结构进行详细的力学分析，以获得尽可能真实的结
构受力信息，就可以在设计阶段对可能出现的各种问题进行 安全评判和设计参数修改，据有关资料，一个新产品的问题
有 60 ％以上可以在设计阶段消除，甚至有的结构的施工过程
也需要进行精细的设计，要做到这一点，就需要类似有限元 分析这样的分析手段。 下面举出几个涉及机械工程、土木工程、车辆工程、航空 工程以及生物工程的实例。
法。
任何连续体都可以假想地分割成有限个简单形状单元 体的组合，在有限元法中将这些简单形状的单元体称为单 元，把单元与单元之间设置的相互连接点，称为节点，如 图1.1所示。从理论上说，单元的分割可以是任意的，不过 在实际计算中必须根据研究对象的特点，使单元分割既满 足力学分析要求，又能使计算简便。
节点
Zienkiewiez教授还是5所科学院的院士，这是对他在有限元方
法领域的奠基性发展和贡献的赞誉。1967年，他出版了有限 元领域的第一本专著《有限元方法》，该书目前也出版到第5 版，可参见《有限元方法第1卷：基本原理)(清华大学出版社 ，2008)。
3有限元分析的作用
基于功能完善的有限元分析软件和高性能的计算机硬件
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件 大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用
有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN，
MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元
不单设考试，以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。
绪论