二次根式章节复习(含知识点)

二次根式章节复习

一、归纳总结

1.二次根式的定义：一般地，我们把形如a （a ___0）的式子叫做二次根式，“”称为

二次根式.

定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的，如4是二次根式；

（2）形如a b

（a ≥0）的式子也叫做二次根式；

（3）二次根式

a 中的被开方数a ，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足a ≥0.

2.二次根式的基本性质

（1）a _____0（a ___0）； （2）

()2

a ＝_____（a ___0）

； （3）a a =2

＝()

()

⎩⎨

⎧0_____

0_____a a ；

（4=____________（a ___0，b ___0）；

（5=_____________（a ___0，b ___0）. 3.最简二次根式必须满足的条件为：（1）被开方数中不含_______；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都______. 4.二次根式的乘、除法则：

（1=___________（a ___0，b ___0）；

（2

=____________（a ___0，b ___0）. 复习提示：（1）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用

==a a 2

()

()

⎩⎨⎧<-≥00a a

a a 进行化简，即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；

（2）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.

5.同类二次根式：几个二次根式化成_________后，如果_______相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.

6.二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______，然后把___ ______进行合并.

复习提示：（1）二次根式的加减分为两个步骤：第一步是_____，第二步是____，在合并时，只需将根号外的因式进行加减，被开方数和根指数不变；

（2）不是同类二次根式的不能合并，如：

53+≠8；

（3）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算.

7.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致，也是先____，再____，最后

____，有括号的先_____内的.

复习提示：（1）在运算过程中，有理数（式）中的运算律，在二次根式中仍然适用，有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；

（2）二次根式的运算结果可能是有理式，也可能是二次根式，若是二次根式，一定要化成最简二次根式.

8.二次根式的实际应用

利用二次根式的运算解决实际问题，主要从实际问题中列出算式，然后根据运算的性质进行计算，注意最后的结果有时需要取近似值. 二、典例精析

例1：若式子43-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A.x ≥

34 B.x ＞34 C.x ≥43 D.x ＞4

3 变式1：代数式

2

1

-x 中，x 的取值范围是______.

变式24x =

+成立的x 的取值范围为

例2. 下列各式中，正确的是（ ） A.

()332

-=- B.332-=- C.

()332

±=± D.332±=

例3：已知32552--+-=x x y ，则xy 2的值为（ ）

A.—15

B.15

C.215-

D.2

15 例4. 二次根式中，最简二次根式是（ ）

A.

5

1

B.5.0

C.5

D.50 变式：下列各式中，是最简二次根式的是（ ）

A.

2

3

B.36

C.2.1

D.49

例5. 计算1824-×3

1

＝____. 变式：

计算：（1）(

2

（2）(22+

（3）(

(2

222--+ （4）((2005

2005

33-

例6.已知：x =，y =，求22

x y xy +的值.

例7. 若1

20142013-=m ，则3

4520132m m m --的值是_____.

【当堂测评】

1.根式3-x 中x 的取值范围是（ ）

A.x ≥3

B.x ≤3

C.x ＜3

D.x ＞3 2.下列各式是最简二次根式的是（ ）

A.20

B.1.2

C.72

D.

5

1 3.下列各式中，与3是同类二次根式的是（ ）

A.18

B.24

C.12

D.9 4.化简122

1

54+⨯

的结果是（ ） A.25 B.36 C.3 D.35 5.下列运算正确的是（ ）

A.25＝±5

B.12734=-

C.9218=÷

D.62

3

24=• 6.已知：132-=-b a ，3=ab ，则()()11-+b a 的值为（ ） A.3- B.33 C.223- D.13-

7.已知三角形三边的长分别为18cm 、12cm 、18cm ，则它的周长为_____cm.