(全国通用版)201x年中考数学复习 第六单元 圆 方法技巧训练(六)圆中常见辅助线的作法练习

技巧训练（六）圆中常见辅助线的作法

类型1 连半径—构造等腰三角形

作圆的半径，利用“同圆的半径相等”构造等腰三角形，这样就把有关线段或角的问题转化到三角形中来解答.

1.（xx·泰安）如图，△ABC 内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC 等于（D ）

A .180°－2α

B .2α

C .90°＋α

D .90°－α

第1题图 第2题图

2.如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E.若DE ＝OB ，∠AOC＝84°，则∠E 等于（B ）

A .42°

B .28°

C .21°

D .20°

类型2 与垂径定理有关的辅助线

在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段或连接弧的中点与圆心，再连接半径构成

直角三角形，利用勾股定理或锐角三角函数进行计算.

3.（xx·枣庄）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（C ） A .15 B .2 5 C .215 D .8

第3题图 第4题图 4.（xx·威海）如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB ︵的中点.若∠ABC＝30°，则弦AB 的长为（D ）

A .12

B .5

C .532

D .53

类型3 与圆周角定理及其推论有关的辅助线

（1）遇到直径时，常构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆（或直径）所

对的圆周角是直角”这一性质；（2）遇90°的圆周角时，常连接圆周角的两边与圆的交点，得到直径.

5.（xx·白银、武威、张掖）如图，⊙A 过点O （0，0），C （3，0），D （0，1），点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是（B ）

A .15°

B .30°

C .45°

D .60°

第5题图 第6题图

6.如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD.若AC ＝2，则tan D 的值是（A ）

A .2 2

B .223

C .24

D .13

类型4 与切线的性质有关的辅助线

已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关

性质解题.

7.（xx·泰安）如图，BM 与⊙O 相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB 的度数为（A ）

A .40°

B .50°

C .60°

D .70°

类型5 与切线的判定有关的辅助线

证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆

与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径.

8.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 为直径，过点B 的切线与AC 的延长线交于点D.E 是BD 中点，连接CE.

求证：CE 是⊙O 的切线.

证明：连接CO ，OE.

∵AB 为⊙O 的直径.

∴∠ACB＝90°.

∴∠BCD＝90°.

∵E 是BD 中点，

∴CE＝BE ＝12

BD. 又∵OC＝OB ，OE ＝OE ，

∴△COE≌△B OE （SS S ）.

∴∠OCE＝∠OBE.

∵BD 为⊙O 的切线.

又∵OC 是⊙O 的半径，

∴CE 是⊙O 的切线.

9.（xx·绥化）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，AE⊥BC 于点E ，∠ADC 的平分线交AE 于点O ，以点O 为圆心，OA 为半径的圆经过点B ，交BC 于另一点F.

（1）求证：CD 与⊙O 相切；

（2）若BF ＝24，OE ＝5，求tan ∠ABC 的值.

解：（1）证明：过点O 作OG⊥DC，垂足为G.

∵AD∥BC，AE⊥BC，

∴OA⊥AD.

∵DO 平分∠ADC，OA⊥AD，DG⊥DC.

∴OA＝OG.

∴OG 是⊙O 的半径，

∴DC 是⊙O 的切线.

（2）连接OF.

∵OA⊥BC，

∴BE＝EF ＝12BF ＝12. 在Rt △OEF 中，OE ＝5，EF ＝12.

∴OF＝OE 2＋EF 2＝13.

∴AE＝OA ＋OE ＝13＋5＝18.

∴tan ∠ABC＝AE BE ＝32

.

类型6 与三角形内切圆有关的辅助线

遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算.

10.（xx·威海）在扇形CAB 中，CD⊥AB，垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的

度数为135°Ｗ.

类型7 与圆中阴影部分面积的计算有关的辅助线

当圆中阴影部分为不规则图形时，可以通过添辅助线把不规则的图形等积替换为规则图形，从而利用和差法求

得面积.

11.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积

为2π3Ｗ.

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