北大版高等数学(第二版)习题答案1.1

北京大学出版社
高等数学（第二版）习题1.1
1证明√3为无理数.
证明：假设√3是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且
√3=m n
所以√3n=m ⟹3n2=m2
所以3整除m2，即3整除m。

设m=3p，代入3n2=m2得：
3n2=9p2⟹n2=3p2
所以3整除n2，即3整除n。

由于3能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√3是无理数。

证毕。

2设p是正的素数，证明√p是无理数.
证明：假设√p是有理数，存在两个正整数m及n，使得(m,n)=1，且因为p>0，有
√p=m n
所以√pn=m ⟹pn2=m2
所以p整除m2，即p整除m。

设m=pq，代入pn2=m2得：
pn2=p2q2⟹n2=pq2所以p整除n2，即p整除n。

由于p能整除m及n，与(m,n)=1矛盾，假设不成立。

因此√p是无理数。

证毕。

3解下列不等式：
（1）|x|+|x−1|<3
解：依[命题2]有|x+y|≤|x|+|y|，且原式|x|+|x−1|<3
所以|x+x−1|≤|x|+|x−1|<3
所以|2x−1|<3
所以（依[命题4]）−3<2x−1<3 ⟹−1<x<2
（2）|x2−3|<2
解：|x2−3|<2 ⟹−2<x2−3<2 ⟹1<x2<5
①考虑x2>1时，有x>1或x<−1
②考虑x2<5时，有−√5<x<√5
综合①和②，有−√5<x<−1或1<x<√5
4设a与b为任意实数.
（1）证明：|a+b|≥|a|−|b|
证明：|a|=|a+b+(−b)|≤|a+b|+|−b|=|a+b|+|b|
所以|a|≤|a+b|+|b|
所以|a+b|≥|a|−|b|。

证毕。

（2）设|a−b|<1，证明|a|<|b|+1
证明：因为|a−b|=|a+(−b)|≥|a|−|−b|=|a|−|b|
且因为|a−b|<1
所以|a|−|b|<1
有|a|<|b|+1。

证毕。

5解下列不等式：
（1）|x+6|>0.1
解：因为原式|x+6|>0.1
有x+6>0.1或x+6<−0.1
所以x>−5.9或x<−6.1
（2）|x−a|>l
解：因为原式|x−a|>l，不确定l的正负，分情况考虑：
①若l≥0，有x−a>l或x−a<−l，所以x>a+l或x<a−l
②若l<0，x∈ℝ
6 设a >1，证明：0<√a n −1<
a−1n ，其中为自然数. 证明：因为a −1=(√a n )n
−1（式1）
设x =√a n ，代入式1，得 a −1=x n −1=(x −1)(x n−1+x n−2+⋯+1)
把x =√a n 代上式的(x −1)中，因此有以下（式2）
a −1=(√a n −1)(x n−1+x n−2+⋯+1)
因为a >1
所以√a n =x >1，有√a n −1>0（式3）
所以x n−1>1，x n−2>1，x n−3>1等每一项都大于1，有x n−1+x n−2+⋯+1>n （式4） 结合（式2）和（式4），有
a −1=(√a n −1)(x n−1+x n−2+⋯+1)>n(√a n −1)
所以
a −1>n(√a n −1) ⟹ √a n −1<
a −1n 结合（式3），所以
0<√a n −1<
a −1n
证毕。

7 设(a,b )为任意一个开区间，证明：(a,b )中必有有理数。

证明：取自然数n ，满足（式1）
110n
<b −a 设有理数集合为A n ，满足
A n ={m 10n |m ∈ℤ}={0,±110n ,±210n ,…} 假设(a,b )中没有有理数，即A n ∩(a,b )=∅
则有m 0∈ℤ，满足
m 0−110n
≤a 且
m 010n
≥b 即有
b −a ≥
m 010n −m 0−110n =110n
上式与（式1）矛盾。

因此，假设不成立。

所以，(a,b )中必有有理数，证毕。

8设(a,b)为任意一个开区间，证明：(a,b)中必有无理数。

证明：取自然数n，满足（式1）
1
10n
<b−a
设无理数集合为B n，满足
B n={√2+
m
10n|m∈ℤ}={√2,√2±
1
10n
,√2±
2
10n
,…}
假设(a,b)中没有无理数，即B n∩(a,b)=∅则有m0∈ℤ，满足
√2+m0−1
10n
≤a
且
√2+m0
10n
≥b
即有
b−a≥√2+m0
10n
−(√2+
m0−1
10n
)=
1
10n
上式与（式1）矛盾。

因此，假设不成立。

所以，(a,b)中必有无理数，证毕。