大学物理答案(湖南大学版)

第7章 光的衍射7.1平行单色光垂直入射在缝宽为15.0=a mm 的单缝上。

缝后有焦距为=f 400mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。

现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，则入射光的波长为=λ? 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是`f y k aλ=±，(k` = 1,2,3,…)， 测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，y 3 – y -3` = 6fλ/a =8mmnm mm f a 500105400615.0868.04=⨯=⨯⨯==-λ 7.2一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m 的会聚透镜。

已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 m ，则入射光波长约为多少？ 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是`f y k aλ=±，(k` = 1,2,3,…)， 中央明纹的宽度为Δy = y 1 – y -1` = 2fλ/a =2.0mmnm mm mm f a 50020000.1===λ7．3 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：（1）这两种波长之间有什么关系；（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？[解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是δ = a sin θ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)，k 1` = 1和k 2` = 3的条纹重合时，它们对应同一衍射角，由于因此λ1 = 3λ2．（2）当其他极小重合时，必有k 1`λ1 = k 2`λ2，所以 k 2` = 3k 1`，当k 1` = 2时k 2` = 6，可见：还有其他极小重合．7.4 单缝的宽度a = 0.40mm ，以波长λ = 589nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m ．求：（1）第一暗纹距中心的距离；（2）第二明纹的宽度；（3）如单色光以入射角i = 30º斜射到单缝上，则上述结果有何变动？解：（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是`f y k aλ=±，(k` = 1,2,3,…)， 当k` = 1时，y 1 = f λ/a = 1.4725(mm)．（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为Δy = y k`+1 - y k` = fλ/a = 1.4725(mm)．（3）当入射光斜射时，光程差为δ = a sin θ – a sin φ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)．当k` = 1时，可得sin θ1 = sin φ ± λ/a = 0.5015和0.4985，cos θ1 = (1 – sin 2θ1)1/2 = 0.8652和0.8669．两条一级暗纹到中心的距离分别为y 1 = f tan θ1 = 579.6(mm)和575.1(mm)．当k` = 2时，可得sin θ2 =a sin φ ± 2λ/a = 0.5029和0.4971，cos θ2 = (1 – sin 2θ2)1/2 = 0.8642和0.8677．两条二级暗纹距中心的距离分别为 y 2 = f tan θ2 = 581.9(mm)和572.8(mm)． 第二明纹的宽度都为 Δy = y 2 – y 1 = 2.3(mm)，比原来的条纹加宽了．7.5 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm 的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．解：除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是sin (21)2a k λδθ==±+，(k = 1,2,3,…)． 当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k 1 + 1)λ1 = (2k 2 + 1)λ2， 解得此单色光的波长为12122121k k λλ+=+= 428.6(nm)．7.6 一双缝，缝距4.0=d mm ，两缝宽度都是080.0=a mm ，用波长为οA 4800=λ的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距0.2=f m 的透镜。

求：（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距x ∆；（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 。

解：双缝干涉条纹：（1）第k 级亮纹条件： d sin θ =k λ第k 级亮条纹位置：x k = f tg θ ≈f sin θ ≈kf λ / d相邻两亮纹的间距：∆x = x k +1－x k =(k ＋1)f λ / d －kf λ / d =f λ / d =2.4×10-3 m=2.4 mm（2） 单缝衍射第一暗纹： a sin θ1 = λ单缝衍射中央亮纹半宽度：∆x 0 = f tg θ1≈f sin θ1 ≈f λ / a ＝12 mm∆x 0 / ∆x =5 ∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级．∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论．7.7 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m ，光栅后放一焦距为1m 的的凸透镜，现以λ = 500nm 的单色光垂直照射光栅，求：（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？（2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？解：（1）光栅常数为a + b = 0.01/400 = 2.5×10-5(m)，由于刻痕宽为b = 1.5×10-5m ，所以透光缝宽为a = (a + b ) – b = 1.0×10-5(m)．对于宽度为a 的单缝来说，暗纹形成的条件是a sin θ = ±2k`(λ/2) = ±k`λ，当θ很小时，θ = sin θ = tan θ = y /f ，因此暗纹的位置是`f y k aλ=±，(k ` = 1,2,3,…)， 取k ` = 1，得一级暗纹的位置 y ±1 = fλ/a = 50(mm)．因此中央明纹的宽度为Δy 0 = 2y 1 = 2fλ/a = 100(mm)．（2）对于光珊来说，形成明纹的必要条件是 (a + b )sin θ = kλ，在衍射的中央明纹范围内，光珊衍射的最高级数为1max ()()sin a b y a b k f θλλ++==a b a+==2.5， 取整数2，可知光珊衍射在单缝衍射中央有k = 0, ±1, ±2，共5条主极大明纹．另外，根据缺级条件k /k` = (a + b )/a = 2.5 = 5/2，可知：光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹近似等角度分布，各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中．根据对称性，一级干涉明纹有两条，二级干涉明纹也有两条，包括中央明纹，共有5条干涉主极大明纹在单缝衍射的中央明纹宽度内．7.8波长为600 nm 的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sin θ = 0.2及sin θ = 0.3处，第四级缺级，求：（1）光栅常数；（2）光栅上狭缝的宽度；（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹解：（1）（2）根据缺级条件(a + b )/a = k/k`，由题意得k` = 1，k = 4．解得b = 3a ．再根据光栅方程(a + b )sin θ = kλ，可得狭缝的宽度为a = kλ/4sin θ，将k = 2，sin θ = 0.2或将k = 3，sin θ = 0.3代入上式，可得a = 1500(nm)．刻痕的宽度为b = 3a = 4500(nm)，光栅常数为a + b = 6000(nm)．（3）在光栅方程中 (a + b )sin θ = kλ，令sin θ =1，得k =(a + b )/λ = 10．由于θ = 90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1 = 15条明纹．7.9 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ = 41º的方向上看到λ1 = 656.2nm 和λ2 = 410.1nm 的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？解：根据光栅方程得(a + b )sin θ = k 1λ1，和 (a + b )sin θ= k 2λ2， 因此k 2/k 1 = λ1/λ2 = 1.6 = 16/10 = 8/5，可见：k 1最小取5，k 2最小取8．因此最小光栅常数为a +b = k 1λ1/sin θ = 5000(nm)．此题与第四题的解法相同．400~507nm7.10两光谱线波长分别为λ和λλ∆+，其中λλ<<∆，试证明：它们在同一级光栅光谱中的角距离22)/(/λλθ-∆≈∆k d ，其中d 是光栅常数，k 是光谱级数。

证：据光栅方程有λθk d =sin -------- ①()()λλθθ∆+=∆+k d sin ---------- ②∵ ()()θθθθθθθθ∆⋅=∆⋅≈-∆+cos sin d d sin sin ②－①，得 λθθ∆≈∆⋅⋅k d cos∴ θλθcos /d k ∆≈∆ θλ2sin 1-∆=d k θλθ222sin d d k -∆≈∆()22/λλ-∆=k d7.11 白光中包含了波长从400nm 到760nm 之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重叠？第二级和第三级情况如何？解：由于白光是连续光谱，经过光栅衍射之后仍然是连续光谱，所以每一级衍射光谱都是一条光谱带，而不是一条光谱线．根据光栅方程(a + b )sin θ = kλ，如果两种不同级的单色光重叠，它们的衍射角应该相同．假设某波长可见光的2级衍射谱线与波长最长的可见光的一级谱线重叠，即2λ = 1×760， 可得λ = 380nm ，由于该波长比波长最短的可见光的波长400nm 还要短，可知：第一级衍射光谱和第二级衍射光谱没有重叠．假设某波长可见光的3级衍射谱线与波长最长的可见光的二级谱线重叠，即3λ = 2×760， 可得λ = 507nm ，该波长在可见光的波长之内，可知：第二级衍射光谱和第三级衍射光谱有重叠．反过来，假设波长最短的可见光的3级衍射谱线与某波长的可见光的二级谱线重叠，即3×400 = 2λ`，可得λ` = 600nm ，可知：第二级衍射光谱在600~760nm 的波长范围与第三级衍射光谱在400~507nm 波长范围有重叠．7.12 一雷达的圆形发射天线的直径D=5 m ，发射的无线电波的频率为v=300GHz ，计算雷达发射的无线电波束的角宽度。