大学物理答案(湖南大学版)

第7章 光的衍射

7.1平行单色光垂直入射在缝宽为15.0=a mm 的单缝上。缝后有焦距为=f 400mm 的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，则入射光的波长为=λ? 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是`f y k a

λ=±，(k` = 1,2,3,…)， 测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm ，

y 3 – y -3` = 6fλ/a =8mm

nm mm f a 500105400

615.0868.04=⨯=⨯⨯==-λ 7.2一单色平行光束垂直照射在宽度为1.0mm 的单缝上，在缝后放一焦距为2.0 m 的会聚透镜。已知位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明条纹宽度为2.0 m ，则入射光波长约为多少？ 解：单缝衍射的暗条纹分布规律是`f y k a

λ=±，(k` = 1,2,3,…)， 中央明纹的宽度为Δy = y 1 – y -1` = 2fλ/a =2.0mm

nm mm mm f a 5002000

0.1===λ

7．3 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：

（1）这两种波长之间有什么关系；

（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？

[解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是

δ = a sin θ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)，

k 1` = 1和k 2` = 3的条纹重合时，它们对应同一衍射角，由于因此

λ1 = 3λ2．

（2）当其他极小重合时，必有

k 1`λ1 = k 2`λ2，

所以 k 2` = 3k 1`，

当k 1` = 2时k 2` = 6，可见：还有其他极小重合．

7.4 单缝的宽度a = 0.40mm ，以波长λ = 589nm 的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m ．求：

（1）第一暗纹距中心的距离；

（2）第二明纹的宽度；

（3）如单色光以入射角i = 30º斜射到单缝上，则上述结果有何变动？

解：（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是`f y k a

λ=±，(k` = 1,2,3,…)， 当k` = 1时，y 1 = f λ/a = 1.4725(mm)．

（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为

Δy = y k`+1 - y k` = fλ/a = 1.4725(mm)．

（3）当入射光斜射时，光程差为δ = a sin θ – a sin φ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)．

当k` = 1时，可得sin θ1 = sin φ ± λ/a = 0.5015和0.4985，

cos θ1 = (1 – sin 2θ1)1/2 = 0.8652和0.8669．

两条一级暗纹到中心的距离分别为y 1 = f tan θ1 = 579.6(mm)和575.1(mm)．

当k` = 2时，可得sin θ2 =a sin φ ± 2λ/a = 0.5029和0.4971，

cos θ2 = (1 – sin 2θ2)1/2 = 0.8642和0.8677．

两条二级暗纹距中心的距离分别为 y 2 = f tan θ2 = 581.9(mm)和572.8(mm)． 第二明纹的宽度都为 Δy = y 2 – y 1 = 2.3(mm)，

比原来的条纹加宽了．

7.5 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm 的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．

解：除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是

sin (21)2

a k λ

δθ==±+，(k = 1,2,3,…)． 当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k 1 + 1)λ1 = (2k 2 + 1)λ2， 解得此单色光的波长为12122121

k k λλ+=+= 428.6(nm)．

7.6 一双缝，缝距4.0=d mm ，两缝宽度都是080.0=a mm ，用波长为οA 4800=λ的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距0.2=f m 的透镜。求：

（1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距x ∆；

（2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N 。 解：双缝干涉条纹：

（1）第k 级亮纹条件： d sin θ =k λ

第k 级亮条纹位置：x k = f tg θ ≈f sin θ ≈kf λ / d

相邻两亮纹的间距：∆x = x k +1－x k =(k ＋1)f λ / d －kf λ / d =f λ / d =2.4×10-3 m=2.4 mm

（2） 单缝衍射第一暗纹： a sin θ1 = λ

单缝衍射中央亮纹半宽度：∆x 0 = f tg θ1≈f sin θ1 ≈f λ / a ＝12 mm

∆x 0 / ∆x =5 ∴ 双缝干涉第±5极主级大缺级．

∴ 在单缝衍射中央亮纹范围内，双缝干涉亮纹数目N = 9

分别为 k = 0，±1，±2，±3，±4级亮纹

或根据d / a = 5指出双缝干涉缺第±5级主大，同样得该结论．

7.7 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m ，光栅后放一焦距为1m 的的凸透镜，现以λ = 500nm 的单色光垂直照射光栅，求：

（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？

（2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？

解：（1）光栅常数为a + b = 0.01/400 = 2.5×10-5(m)，

由于刻痕宽为b = 1.5×10-5m ，所以透光缝宽为a = (a + b ) – b = 1.0×10-5(m)．

对于宽度为a 的单缝来说，暗纹形成的条件是a sin θ = ±2k`(λ/2) = ±k`λ，