张量分析3
张量分析清华大学张量分析你值得拥有
g是正实数（右手系）
斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量
➢ 三维空间中旳斜角直线坐标系和基矢量
定义逆变基矢量 g j，满足对偶条件：
g j gi ij (i, j = 1, 2,3)
问题：已知 gi，怎样求 g j ？
※ 根据几何图形直接拟定
由对偶条件可知， g1与 g2 、g3 均正交，所以正交于 g2与 g3所
第1章 矢量与张量
2023年12月12日
张量旳两种体现形式
实体形式
分量形式
几何形式 定义式
代数形式 计算式
概念旳内涵和外 延（定量）
怎样计算？
主要内容
➢ 矢量及其代数运算 ➢ 斜角直线坐标系旳基矢量与矢量分量 ➢ 曲线坐标系及坐标转换关系 ➢ 并矢与并矢式 ➢ 张量旳基本概念 ➢ 张量旳代数运算 ➢ 张量旳矢积
g1 1
g2 x1(cos x2 cos x3i cos x2 sin x3 j sin x2k) g2 x1
g3 x1注sin:x2(()s式in 只x3i对 c正os交x3曲j) 线坐标系成立，g3 x1 sin x2
☆正交曲可作线为坐求标正系交与系L中am度é量常张数量旳一种措施。
y
※平面极坐标系
(x, y) (x1, x2)
r
g gr
(r, ) (x1, x2 )
矢径：
r x1i x2 j
j
x1
x2
(x1)2 (x2)2
arctan
x2 x1
x1
x1
cos
x2
x2 x1 sin x2
i
x
平面极坐标系
xi' = xi' xi
r g1 i cos x2 j sin x2
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章 张量代数
按§2.5节三中（g）式面积矢量记法有：
dH 0 r u(r ) (r )dV
试证明物体 Ω 对o点的动量矩为：
H0 J ω
Ω
式中 称为物体 Ω 对o点的二阶惯性矩张量（注：J 不是四阶单位张量。但 J表达式中的 I是二阶单位张量）。 u (r ) ω r 证： H (r u) dV r (ω r ) dV (r r )ω (r ω)r ) dV
I u (ii ii ) (u j i j ) u j iiij ui ii u
设存在另一二阶张量 I ，且满足 u I I u 。则： u I u I o ; uo ∵ I I O ; I I （唯一性） ∴ 3．
A : J ( Amn imin ) : (ii i j ii i j ) Amnmi jn ii i j Amn imin A
二阶张量与二阶张量的（一）点乘：
A B （Aij ii i j） （ Bmn imin） （Aij Bmn )ii (i j im )in Aij Bjn ii in
二阶张量与二阶张量的（双）点乘：
A : B ( Aij ii i j ) : ( Bmn imin ) ( Aij Bmn )(ii im )(i j in ) Aij Bij
A P2 A P2
A0 P2 Φ0 P4
Φ0 P4
（3.1-11）
A : Φ0 A
0 0
的 n ; A ; A ; ; 分别称为一阶单位张量、二阶单位张量和四 阶单位张量。 上式定义的一阶、二阶和四阶单位张量具有性质： u u V n 1． u A0 A0 ii ii ij ii i j （3.1-12） 2． I 为单位二阶张量。 ii i j 且记 A ; A 为 I 。即 I ii ii ij。并称
【张量分析ppt课件】张量分析课件第三章3 二阶张量特征值与特征方向
设V中标准正交坐标系为 {i1, i2, i3} 。则二阶张量 A和矢量 u可表示为：
A Aij ii i j ; u ui ii A u u ; ( A I ) u o
可分别写成： 或
u A u
;
u ( A I ) o
( Aij ii i j ij ii i j ) (umim ) o ; (umim ) ( Aij ii i j ij ii i j ) o A12 A13 u1 0 A11 A u 0 A A 22 23 2 21 （3.4-3） A32 A33 A31 u 3 0
det(A I ) 0 ( a) det(A* I ) 0 ( b)
∵ ∴ (a)、(b)两式是关于λ的三次相同的代数方程。也就是说 A的右特征值和左特征值相同。由 (a)式或 (b)式得： ∵
[( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] 0 a (b c ) [( A I ) a ] [( A I ) b][( A I ) c ] det( A I )
; ∴
u ai 2
u1 0 u 2 a u 0 3
（a是任意实数）
是方程组（1）的非零解。
A u (i1i3 i2i1 i2i2 i3i1 ) (ai2 ) ai2 1u
因此 u = a i2是 A的λ1 = 1特征值对应的右特征矢量。 左特征矢量： ∵
(detet Q) det(Q I ) det(Q I )
2 det(Q I ) 0 ∴ 因此得出结论： 正交二阶张量 Q，当det Q =1时存在右特征矢量 r。其对应 的特征值λ = 1。且：
【张量分析ppt课件】张量分析课件第四章 张量函数和张量分析
时，对应的函数都有：
| f ( x) f ( x0 ) |
则称f (x)在x0点连续。该定义是通过两个绝对值 | x - x0 |、 | f (x) – f (x0) | 确定了f (x) 在 x0 点的连续性。由实函数理论 | x - x0 |和| f (x) – f (x0) |按距离的概念分别代表了实数x和x0 的距离及给定的x和x0的函数值f (x)和f (x0)的距离。正是距 离概念的引入使得一元实函数的连续性可以推广到张量函 数的连续性定义。 设张量函数为 F (A) 。若对任意给定的正数ε ，总存在着 一个正数δ 。使得当所有的自变量张量 A 满足：
是各向同性张量函数。
例4 ： 对任意二阶张量A。试证明： i） F ( A) A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 是各向同性张量函数。 ii） A3 I1 ( A) A2 I 2 ( A) A I 3 ( A) I 0 该式也称为Cayley-Hamilton定理。
A A 0 0
A Ai1ir ii1 iir A0 ( A0 ) i1ir ii1 iir
表示：
Ai1
ir
( A0 )i1
ir
(i1,
ir 1, 2,3)
在V 中的坐标系{o; i1, i2, i3}下，张量函数 F ( A )可表示为：
F ( A) Fi1is ( A)ii1 iis
2．r=1，s=0时： Φ记为u；F记为f。则： （4.1-8b） F (u)称为一阶张量自变量的零阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的标量值函数。 3．r=1，s=1时： Φ记为u，F记为f，则： f : u f ( u) （4.1-8c） F (u)称为一阶张量自变量的一阶张量值函数。或称f (u)是 矢量自变量的矢量值函数。 4．r=2，s=0时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8d） F (A)称为二阶张量自变量的零阶张量值函数。或称F (A)是 二阶张量自变量的标量值函数。 5．r=2，s=2时： Φ记为A；F记为F。则： F : A F ( A) （4.1-8e） F(A)称为二阶张量自变量的二阶张量值函数。
张量分析3
2.9克里斯托弗尔符号 ij i g j gkk ig j gkrgr gkr ig j g r gkr ijr(2.9.08) (2.9.09)同样地， ijk g kr ijr在基矢量组 g 1 ， g 2 ， g 3 中把 i g j 按下式分解 igj(4)在直线坐标系中， ijk 0 ， ij 0k(2.9.10)k ij ijp gp ij g pp(2.9.01) (2.9.02)p ij事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量 i i 和 e i 均为常量，故 ijk 0 和 (5)克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。
事实上，由于g ij , k gk 0。
ig j 这里分解系数 ijp 和 分别称为第一类和第二类克里斯托弗尔(Christoffel)符号。
在某些文献中， p 第一类和第二类克里斯托弗尔符号分别用 ij , p 和 表示。
ij gigj kgi gj g i k gj kij kji(2.9.11) (2.9.12) (2.9.13)对指标进行轮换，则有jk , i ijk ikj用 g k 和 g 分别点乘式(2.9.01)和式(2.9.02)两边，则得 ijp gpkg ki , j jki jik把式(2.9.12)和式(2.9.13)相加，再减去式(2.9.11)，则得 (2.9.03) (2.9.04) 另外， ijk 1 2 g k ijp kp k ijk i g j g kk ij ig j ggkrjk , i g ki , j gji , k(2.9.14)现述克里斯托弗尔符号的性质如下。
张量分析 陈国荣 徐芝纶
8
gi j ,k k ( gi g j ) k gi g j k g j gi
g j k ,i i ( g j gk ) i g j gk i gk g j
（ａ） （ｂ） （ｃ）
gk i, j j ( gk gi ) j gk gi j gi gk
2
g i j 称为度量张量
r r ds dr.dr . dxi dxj gij dxi dxj xi x j
2
例1
求圆柱坐标系的自然基 gi 和度量张量g i j
空间任意点的向径为
r r cos e1 r sin e 2 ze 3 r g1 cos e1 sin e 2 r r g2 r sin e1 r cos e 2 r g3 e3 z
（b）＋（c）－（a），并考虑到
k gi g j i gk g j
得到
1 i g j g k ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) 2
9
1 1 1 i j k [ ( g j k ,i g k i , j g i j ,k ) g j j ( )g jk ] xi g j j gii g j j g k k 2
张量分析第3次课3
r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm
数学中的张量分析方法
数学中的张量分析方法在数学中，张量分析是一种用于描述多维空间中变量关系的数学工具。
它在许多领域中被广泛应用，包括物理学、工程学、计算机科学和经济学等。
本文将介绍张量的基本概念和常见的应用方法。
一、张量的定义和性质1. 张量的定义张量是一个多维数组，可以表示为多个分量的组合。
在欧几里德空间中，一阶张量是向量，二阶张量是矩阵。
高阶张量可以看做是多个矩阵的组合。
2. 张量的性质张量具有坐标系无关性，即其分量在不同坐标系下具有相同的转换法则。
这使得张量在描述物理量时具有普适性和通用性。
二、张量的运算法则1. 张量的加法和减法张量的加法和减法都是对应分量相加或相减。
要求参与运算的张量具有相同的维度。
2. 张量的数乘张量的数乘是将每个分量都乘以一个标量。
数乘并不改变张量的维度。
3. 张量的张量积张量的张量积是两个张量的分量进行乘积并按照一定规则相加得到的新张量。
它在向量叉乘、矩阵乘法等问题中有广泛应用。
4. 张量的缩并运算张量的缩并是对张量的某些分量进行求和，并将结果保留在一个新的张量中。
它常用于求解线性方程组、协方差矩阵等问题。
三、张量的应用举例1. 物理学中的应用张量在物理学中有广泛的应用，如流体力学中的应力张量、电动力学中的麦克斯韦张量等。
它们描述了物质在空间中的运动和相互作用。
2. 工程学中的应用张量在工程学中用于描述物体的形变、应力分布等。
它在结构力学、弹性力学、热传导等领域中有着重要的作用。
3. 计算机科学中的应用张量在图像处理、模式识别、机器学习等领域中被广泛应用。
例如，卷积神经网络中的卷积操作就可以用张量运算进行描述。
4. 经济学中的应用张量在经济学中用于描述多个经济变量之间的关系。
它可以用来分析供求关系、生产函数等经济现象。
结语：张量分析作为一种重要的数学工具，为我们研究和解决各种问题提供了强有力的帮助。
通过对张量的定义、性质和运算法则的了解，我们可以更好地理解和应用张量，进而推动科学的发展和进步。
张量分析课件-3.7 二阶张量的函数之导数
1 I : S SymS S S T 2
即
1 I ijkl S Sij S ji 2
kl
（ 2） I : I = I
则
a0GG a1 I :
ij a0 g ij g kl a1I ijkl kl
d a0GG a1 I : d
但如规定也是对称的则由上式372二阶张量的不变量的导数trtrtrtr利用的分量表达式直接求导也可得到上式求jsirjsirrsijrsijhamiltoncayley等式1存在上式点积1后移项得detdetdetdetdetdeta可得代入前式得到trdet373二阶张量的张量函数之导数二阶张量s的二阶张量函数ht对于增量c的有限微分为klijklijklijklijijkljkklijijklklijijkl例317设线弹性材料的应变能密度表达式为分别为应变张量的一阶与二阶矩
T
ijkl
Tij T T ij i l kl , , T kl kl , T jk k , Tijkl S kl S S l S
ij ij
T i j
例3.17
设线弹性材料的应变能密度表达式为
1 2 w a0 J1 a1J 2 2 式中 J1 , J 2 分别为应变张量 的一阶与二阶矩。求：
张量分析 及连续介质力学
3.7 二阶张量的函数之导数
3.7.1 二阶张量的标量函数之导数
二阶张量 S 的标量函数 = f (S ) 对于 S 的增量 C 的有限 微分为 1 f S; C lim f S hC f S h0 h 当增量为基张量时，标量函数的有限微分为
式中
补充-张量分析
xi ik xk
ij j k ik
' '
互为逆矩阵
说明
1
基矢量具有与坐标分量相同的变换规律
e i ij e j e i ije j
2
矢量的分量也具有与坐标分量相同的变换 规律
vi ij v j
vi ij v j
3. 三维情况 (三维坐标系旋转)
同理
xi ij x j
同二维问题，可得
ij jk ik
可试证：
（正交性）
ij jk ik
4. 张量定义
定义：在坐标变换时，满足如下变换关系 的量称为张量
ijk l ii jj k k ijkl ijkl i i j j k k l l ij k l
ei e j ij
考虑一位置矢量
ei e j ij
x x j e j x je j x j e j e i x je j e i
x j cos(e j , ei ) x j ji xi
xi ij x j
自由指标数目n称为张量的阶数，对于三维空间， 张量分量的个数为3n个，变换式也有3n个。
采用并矢记号（不变性记法或抽象记法）
φ ijklei e j ek el
()
可写成上式的量也称为张量（第二种定义）
基矢量的坐标变换符合前述要求
标量：零阶张量 矢量：一阶张量 张量：二阶张量
讨论
3 3
4
哑标可以换用不同的字母指标
2.求导记号的缩写约定
( ), j ( ) x j
ui ui , j x j
张量分析及其应用
1 2
1 3
22
32
23
e3
31
33
图解（二维）：
在解析式中记：
1'1e1 1'2e2 1' je j , e1
1' j cos1' j
j 1, 2
1.5.1 坐标系的变换关系
e1 1 1 1 2 1 3 e1 e 2 21 22 23 e 2 e 3 31 31 33 e 3
U i U i p U i ( U j ) bi t x j xi x jx j
写出其普通记法
1.4 指标记法的运算
1.4.5 例题 ——熟悉指标记法和普通记法的转换
弹性力学平衡方程方程：
Txx Txy Txz bx 0 x y z Tyx x Tyy y Tyz z by 0
Ti j nj ni 0 nj
表示
ni , i j
有换指标的作用
ni i j nj
所以 即
Ti j nj i jnj 0
(Ti j i j )nj 0
1.4 指标记法的运算
1.4.4 缩并
使两个指标相等并对它们求和的运算称 为缩并。如各向同性材料应力应变关系
三重求和（27项）
S aijk xi x j xk aijk xi x j xk
i 1 j1 k 1
3
3
3
1.1.2 自由指标
例如
xi aij x j
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。
一个自由指标每次可取整数1, 3, …, n，与哑标一样，无 特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：
张量分析及其在机器学习中的应用
张量分析及其在机器学习中的应用引言：机器学习作为人工智能领域的重要分支，已经在各个领域展现出巨大的潜力和应用价值。
而张量分析作为一种数学工具，被广泛应用于机器学习中，为模式识别、数据分析和深度学习等任务提供了强大的支持。
本文将介绍张量分析的基本概念和原理，并探讨其在机器学习中的应用。
一、张量分析的基本概念1. 张量的定义张量是一种多维数组，可以用来表示多个变量之间的关系。
在数学中，张量可以是任意维度的矩阵，它的元素可以是实数、复数或其他数学对象。
在机器学习中，我们通常使用高阶张量来表示多个特征之间的关联。
2. 张量的运算张量具有一系列的运算规则，包括加法、乘法、转置等。
通过这些运算，我们可以对张量进行各种操作，从而得到我们需要的结果。
在机器学习中，我们常常使用张量来表示输入数据和模型参数，并通过张量运算来进行模型的训练和预测。
3. 张量的性质张量具有一些特殊的性质，如对称性、正定性、奇异性等。
这些性质为我们理解和分析数据提供了便利。
在机器学习中，我们可以利用张量的性质来进行特征选择、数据降维等操作，从而提高模型的性能。
二、张量分析在机器学习中的应用1. 张量分解张量分解是将一个高阶张量分解为多个低阶张量的过程。
通过张量分解，我们可以提取出数据中的关键特征，并减少数据的维度。
这对于大规模数据的处理和模型的训练非常重要。
在机器学习中，张量分解被广泛应用于图像处理、推荐系统等任务中。
2. 张量网络张量网络是一种基于张量分析的模型结构，它可以有效地处理高维数据，并提取出数据中的重要特征。
张量网络具有较强的非线性建模能力，可以用于解决复杂的模式识别和数据分析问题。
在机器学习中，张量网络被广泛应用于图像识别、语音识别等领域。
3. 张量回归张量回归是一种基于张量分析的回归模型，它可以处理多个输入变量和多个输出变量之间的关系。
张量回归具有较强的建模能力，可以用于解决多变量回归和多任务学习等问题。
在机器学习中，张量回归被广泛应用于金融预测、医学诊断等任务中。
张量分析各章要点
各章要点第一章：矢量和张量指标记法：哑指标求和约定 ：同一项中出现一对相同的协、逆变指标则对该指标求和 自由指标规则：同一项中只能出现一次，不同项中保持在同一水平线上 协变基底和逆变基底：ki k i i x ∂∂==∂ξ∂ξr g e j j i i ⋅=δg giik k x∂ξ=∂g e123 ===g g g 张量概念i i'i'i =βg g i'i'ii =βg g i k i k j j''''ββ=δ i'i'i i v v =β ii 'i 'iv v =β i 'j'i 'j'k l ij ..k 'l'i j k 'l'..kl T T =ββββ i i i i v v ==v g g ..kl ij ijk l T =⊗⊗⊗T g g g g 度量张量ij i i i j i i g =⊗=⊗=⊗G g g g g g g⋅=⋅=⋅=⋅=v G G v v T G G T T.j kj i ik T T g =张量的商法则lm ijk T(i,j,k,l,m)S U = ijk...lmT(i,j,k,l,m)T = 置换符号312n 1n123n i i i i i 123n 1n i i i ...i A a a a ......a a e -- i j k Lmnijk .L.m .n a a a e e A = i j k .L .m .n ijk Lmn a a a e e A =置换张量i j k ijk ijk i j k =ε⊗⊗=ε⊗⊗εg g g g g gijk i j k ()e ε=⋅⨯=g g gijk ijk i j k ()ε=⋅⨯=g g gi j k ijk ijk i j k a b a b ()::()⨯=ε=ε=⊗=⊗a b g g a b εεa b广义δ符号i ii r s tj j j ijk ijk ijk r s t rst rst rst k k k r s te e δδδδδδ==εε=δδδδijk j k j k jk ist s t t s st δ=δδ-δδδijk k ijt t 2δ=δijk ijk 6δ=性质：是张量重要矢量等式：()()()⨯⨯=⋅-⋅a b c a c b a b c第二章： 二阶张量重要性质：T =T.u u.T 主不变量i 1.i Tr()T ζ==T i j l m2l m .i .j 1T T 2ζ=δ 3det()ζ=T1()()(())(())()⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=ζ⋅⨯T u v w +u T v w +u v T w u v w2)[)][()(]()[()]()⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=ξ⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （ ()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w 标准形1. 特征值、特征向量⋅=λT v v ()-λ⋅=T G v 0 321230λ-ζλ+ζλ-ζ= 2. 实对称二阶张量标准形i 123i 112233=⋅⊗=λ⊗+λ⊗+λ⊗N N g g g g g gg g 3. 正交张量（了解方法）12112233(cos()sin())(sin()cos())=ϕ+ϕ⊗+-ϕ+ϕ⊗+⊗R e e e e e e e e4. 反对称二阶张量的标准形21123=μ⊗-μ⊗=μ⨯Ωe e e e e G⋅=⨯Ωu ωu31:2=-=μ⨯ωεΩe u=-⋅Ωεω5. 正则张量极分解=⋅=⋅T R U V R第三章 张量函数概念：各项同性张量函数、解析函数 计算 e T ， sin()T 重要定理：1. Hamilton-Cayley 定理：32321231230λ-ζλ+ζλ-ζ=⇒-ζ+ζ-ζ=T T T G 0 2.对称各向同性张量函数表示定理：2012f ()k k k ==++H N G N N ；其中T T ;==H H N N ；而系数i k 是N 的主不变量的函数。
(完整版)《张量分析》报告
一 爱因斯坦求和约定1.1指标变量的集合：n n y y y x x x ,...,,,...,,2121表示为：n j y n i x j i ...,3,2,1,,...,3,2,1,==写在字符右下角的 指标，例如xi 中的i 称为下标。
写在字符右上角的指标，例如yj 中的j 称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。
用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n 的所有整数，其中n 称为指标的范围。
1.2求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n 求和。
这是一个约定，称为求和约定。
例如：333323213123232221211313212111bx A x A x A b x A x A x A bx A x A x A =++=++=++筒写为：ijijbx A =ｊ——哑指标ｉ——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式中必须相同遍历指标的范围求和的重复指标称为“哑标”或“伪标”。
不求和的指标称为自由指标。
1.3 Kronecker-δ符号（克罗内克符号）和置换符号Kronecker-δ符号定义j i ji ij ji ≠=⎩⎨⎧==当当01δδ置换符号ijkijk e e =定义为:⎪⎩⎪⎨⎧-==的任意二个指标任意k j,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是k j,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是k j,i,当1ijk ijke ei,j,k 的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。
置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++==因此有：ijmjimii i i jijAA aa a a a ==++=δδδδδ332211kijjkiijkkjiikjjikijkee e e e e e ==-=-=-=同时有：ijjijij iiiijijijkj ikilkljkijjjiiijijijkjikiie e aa aa a a a aa δδδδδδδδδδδδδδδδδδδ=⋅=++=========++=332211332211331001010100131211232221333231321333222111321321321-=====δδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδδe e k j i k j i k j i k k k j j j i i i ijk333222111321321321r q p r q p r q p k k k j j j i i i pqr ijke e δδδδδδδδδδδδδδδδδδ⋅=ipp i p i p i p i δδδδδδδδδ==++11332211krkqkpjrjqjpiriqippqrijke e δδδδδδδδδ=jqirjriqjrjqiriqkqrijke e kp δδδδδδδδ-===321321322311332112312213322113312312332211333231232221131211k j i ijkkjiijkaa a e a a a e aa a a a a a a a a a a a a a a a a aaaa a aaa a A ==---++==Kronecker-δ和置换符号符号的关系为：itjsjtiskstkije e δδδδ-=二 张量代数2.1张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构) 的张量可以相加(或相减)。
张量分析初学者必看
A 张量分析
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
x1 x1 cos x2 sin x2 x1 sin x2 cos
坐标变换式
xi ii xi xi ii xi
ii cos(xi , xi ) ii cos(xi , xi )
Aijk xi y j zk
代表27项 的和式
二、自由指标
§ A-1 指标符号
A11 x1 A12 x2 A13 x3 b1 A21 x1 A22 x2 A23 x3 b2 A31 x1 A32 x2 A33 x3 b3
筒写为
Aij x j bi
j ——哑指标 i——自由指标，在每一项中只出现一次，一个公式 中必须相同
A 张量分析
张量的定义——在坐标系变换时,满足如下变
换关系的量称为张量
ijkl ii jjkk llijkl
张量的阶——自由指标的数目
不变性记法
ijkl ei e j ek el
§A-3 坐标变换与张量的定义
一、加(减)法
§A-4 张量的代数运算
四、两个张量的点积
A 张量分析
两个张量点积的结果仍为张量。新张量的阶数是 原两个张量的阶数之和减 2
A B ( Aijk ei e j ek ) ( Brs t er es et ) Aijk Brs t ei e j kr es et Aijk Bkst ei e j es et S
§ A-1 指标符号 三、 Kronecker- 符号和置换符号 (Ricci符号) Kronecker-符号定义
第3章张量分析(清华大学张量分析你值得拥有)精品PPT课件
※矢量的矢量函数 F (v) 的有限微分
F(v; u) lim F (v hu) F (v)
h0
h
F (v hu) F (v) hF (v; u) O(h2 )
dF hF(v; u) hF(v) u F (v) dv F(v) dF
dv
※张量的张量函数的有限微分（协变微分意义下）
张量函数 T ( A)，其中， A Aij gi g j，C Cij gi gj
T(A;C) lim T (A hC) T (A)
h0
h
T(A;C) T(A;Cij gi gj ) T(A; gi gj )Cij
T (A hC) T (A) T(A;C)h O(h2)
T( A) : Ch O(h2)
T(A) : C
dT T ( A) : dA T ( A) dT dA
注意：至此，都只是给出定义！
➢ 张量函数导数的链规则
★类似于经典的复合函数求导
经典复合函数 (g(x)) 的导数
d d dg d dg dx d d dg
dg
dห้องสมุดไป่ตู้ dx
dx dg dx
张量的张量复合函数 H H(F (T)) 的导数（二阶张量）
H f (N ) H k0G k1N k2 N 2
ki
ki
(
J1N
,
J
N 2
,
J
N 3
)
例：应力应变关系
1、各向同性材料
σ k0G k1ε k2ε2 ,
ki
ki (J1
,
J
2
,
J
3
)
2、线性各向同性材料
k2 0 k1 2 k0 J1
关于张量分析的数学原理和实际应用案例
关于张量分析的数学原理和实际应用案例引言张量分析是一门重要的数学分支，在科学和工程领域有着广泛的应用。
作为一种多维量、多方向、多变量的数据结构，张量在物理、力学、电磁学、地球物理学等领域的描述、建模与计算中起着不可或缺的作用。
本文将介绍张量分析的数学原理以及实际应用案例，旨在帮助读者更好地了解这门学科。
第一部分数学原理1.张量的定义按照一般的定义，张量是一个可用于表示多维量和多向量之间关系的数学对象。
它可以看做是一种多维矩阵，其中每个元素都有多个指标。
与标量和向量不同，张量的指标可以有多个，我们常常用字母来表示。
2.张量的运算在张量分析中，张量的运算包括加、减、乘等。
与标量和向量不同，张量的乘法并不等同于代数乘法，而是采用了一种特殊的“卷积运算”。
例如，两个二阶张量相乘的结果是一个四阶张量。
这种方法既能描述多维多向量之间的关系，又可以实现基本的数学运算。
3.张量的变换由于张量具有多个指标，所以张量的变换涉及到各个指标的变化。
例如，一个二阶张量在坐标系变换后，其各个分量会发生相应的变化。
我们可以通过矩阵变换来描述张量的变换规律。
这一点在物理领域的应用尤其常见。
第二部分实际应用案例1. 电磁场模拟电磁场模拟是利用计算机模拟电磁场分布的方法，是工程和科学研究中的一项重要任务。
在这个过程中，张量分析被广泛应用。
例如，可以用张量表示电场强度、磁场强度等物理量，通过各种运算描述它们之间的关系。
同时，也可以用张量来描述电磁波的传播规律，实现电磁场的精确计算。
这种方法被广泛应用于电子器件设计、通讯技术等领域。
2. 生物医学图像处理生物医学图像处理是生物医学领域研究的一个重要方向，包括了图像采集、处理、分析等各个环节。
其中，张量分析被广泛应用于图像处理中。
例如，可以用张量表示医学图像中的像素强度、颜色等信息，通过各种运算分析其空间分布与统计规律，实现对生物组织的诊断、治疗等应用。
这种方法在医学影像学、神经科学等领域有着广泛的应用。
张量分析课件-3.4 二阶张量的二阶张量函数
上式存在极限的条件是： （1）当T 的特征根= 时， H 的特征根= 。 1 2 （2）极限 lim 存在，因而k0，k1，k2 也接近于相应 2 1 1 2 极限。 III. T 的特征方程具有三重根 1=2=3 具有三重根的能化为对角型标准形的张量只能是球形张量， 故T 为球形张量，考虑→，2→ 的极限过程，H=f (T )表
于三个特征值的集合，与特征值得排序无关。特征值的集合取
T T T , J2 , J3 决于特征方程的系数 J1 ），因此 k0，k1，k2是主不变
T T T , J2 , J3 量 J1 函数，从而H 是 T 的各向同性函数。
II. T 的特征方程具有二重根 1=2≠3
2 1
lim
T 3G 1 2 f T lim T 2G T 1G
3.4.3 同时化为对角型标准形的函数
设二阶张量T 的二阶张量函数 H=f (T )，当T 在某一组基
矢量中化为对角型标准形时，H 在同一组基矢量中也化为对 角型标准形，并设 H 的特征根 i（i=1，2，3)为T 的特征根 i（i=1，2，3)的函数，而与T 的其他性质无关，即
i i j i 1 , 2 , 3
H f T 1 2 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 T 2 1 3 3 1 2 1 3 2
2 2 G 1 2 2 T 3 2 1 3 2
T
i j
3 2 1 J11 J 21 J 3 T 0 0 O
3 2J J J J J
2 2 1 3
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第三章 张量分析将偏导数的概念推广，建立协变导数的概念，使得一个张量的协变导数是另一个张量，这是张量分析发展中最重要的里程碑碑。
张量的协变导数是本章讨论的重点。
§3.1 基矢量的偏导数与克里斯托费尔符号求一个矢量的导数，必须对它的各个分量与基矢量乗积之和求导：j ,i i i i j ,j ,i i j ,jg V g V )g V (V xV +===∂∂ (3.1-1a) i j ,i i j ,i j ,i i g V g V )g V (+== (3.1-1b) 上式中的“，”号表示偏导数，本书以后均采用此记法。
（3.1-1a ）、（3.1-1b ）式中有基矢量i g 和对偶基矢量i g 对于曲线坐标j x 的偏导数j ,i g 和i j ,g 。
下面分别进行讨论。
一、基矢量i g 的偏导数j ,i g由基矢量的定义[（1.4-4）式]可以写出s j i s2s i s j j ,i i xx z )i x z (x g ∂∂∂=∂∂∂∂=这表示基矢量i g 对于坐标j x 的偏导数也是矢量，它也可以分解成沿对偶基矢量i g 或基矢量i g 方向的分量：kkijkijkj,i g g g Γ=Γ= （3.1-2）式中ijk Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量；k ij Γ是j ,i g 沿k g 方向的分量。
从它们的意义可以理解，为什么ijk Γ和k ij Γ中包含I,j,k 三个指标。
若用另一基矢量点乘（3.1-2）式，就得到i j klk i j l k l i j l k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3a) k ij k l l ij k l l ij k j ,i g g g g Γ=δΓ=⋅Γ=⋅ (3.1-3b)ijk Γ称为第一类克里斯托费尔（Christoffel ）符号；k ij Γ称为第二克里斯托费尔符号。
（3.1-2）式或（3.1-3）式都可以作为克里斯托费尓符号的定义。
二、克里斯托费尔符号的性质及其计算（一）克里斯托费尔符号不是张量（这个问题留待后面证明），但它的第三个指标可以像张量分量的指标一样提升或下降。
这可以证明如下，用l g 或l g 点乘（3.1-2）式中的第二部分和第三部分，可得kl k ij ijl k l ijk g Γ=Γ=δΓ (3.1-4a) 和l ij l k k ij kl ijk g Γ=δΓ=Γ (3.1-4b)然而，这个论断对（3.1-2）式中的其它两个指标i 和j 是不适用的。
（二）克里斯托费尔符号对前两个指标是对称的。
这可证明如下，由（1.4-4）式得i i xrg ∂∂= (a)将上式对j x 求导，得i ,j ji ,ij ,j ,i g r r g === (3.1-5) 由此，由上式及（3.1-2）式可得l j i l l i j l g g Γ=Γ l ljil l ij g g Γ=Γ 以k g 和k g 分别点乘上面左、右两式后，得jik ijk Γ=Γ, k ji k ij Γ=Γ (3.1-6)(三)克里斯托费尔符号可以按下公式计算。
由（1.5-2）式得 j i ij g g g ⋅= 将上式对k x 求导，可得 k ,j i j k ,i k ,ij g g g g g ⋅+⋅= 利用（3.1-3a ）式，j k i i k j k ,ij g Γ+Γ= (3.1-6) 可得k ,ij kij jki g =Γ+Γ (b) i ,jk ijk kij g =Γ+Γ (c)j,ki jkiijkg =Γ+Γ (d)从（c ）与(d)之和减去(b)便得到关系式：k,ij j,ki jkijkg g g 2-+=Γ (3.1-8a)由（3.1-4b ）式可得)g g g (g g 22l ,ij j ,li i ,jl kl ijl kl k ij -+=Γ=Γ (3.1-8b) 若度量张量的分量已知，用上述（3.1-8a,b ）式便可以计算坐标系的克里斯托费尔符号。
由此可知，克里斯托费尓符号也是坐系的几何特性。
由于直角坐标系的ij g 是常数，所以在直角坐标系中， 0k ij ijk =Γ=Γ(四) 克里斯托费尔符号不是张量，今证明如下：当坐标系i x 作容许变换成新坐标系i x 时，基本度量张量ij g 按下式变换：ij m jl i lm g xx x x g ∂∂∂∂= (e)将上式对n x 偏微分，得ij n m j2l i ij m j n l i 2n k k ij m j l i n lm g xx x x x g x x x x x x x x g x x x x x g ∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂将上式的指标l 、m 、n 轮换，可得两个类似的方程，将这两个方程相加，减去上面的方程，并除以2，适当变换哑指标，可得m l j2n i ij n k m j l i ijk lmn x x x x x g x x x x x x )x ()x (∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂Γ=Γ (3.1-9)上式表明当坐标变换时，第一类克里斯托费尔符号ijk Γ如何变换。
逆变度量张量的变换法则是 sp k nks np x x x x g g ∂∂∂∂= (f) 将方程（3.1-9）式的两边内乗以（f ）式的两边，化简后，得m l j 2j p m j l i s p sij p lm x x x x x x x x x x x )x ()x (∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂Γ=Γ (3.1-10)上式表明坐标变换时，第二类克里斯托费尔符号s ij Γ如何变换。
由（3.1-9）式和（3.1-10）式可以看出，克里斯托费尔符号不是张量。
三、对偶基矢量i g 的偏导数i j ,g由（1.6-1）式给出jijig g δ=⋅将上式对k x 求导，得0g g g g jk,ijk,i =⋅+⋅因此j ik j k ,i j k ,i g g g g Γ-=⋅-=⋅ 变换上式指标，得ikj i j ,k g g Γ-=⋅将上式两边乘以k gk i kj k i j ,k g g )g g (Γ-=⋅ 利用（1.6-16）式，得k i kj i j ,g g Γ= (3.1-11)§3.2 正交曲线坐标系的克里斯托费尔符号克里斯托费尔符号描述了曲线坐标系的性质。
现将圆柱坐标系、球坐标系的克里斯托费尔符号以及正交曲线坐标系的克里斯托费尔符号的一般表示式列出。
一、正交曲线坐标系 由§1.7知 i i i i g /1g = , k k k k g g g = 2321332211)H H H (g g g g == i j j i j j x g 21∂∂-=Γ , i j j j i j x g 21∂∂=Γ jjj j j j xg 21∂∂-=Γ )k j i (0i j k ≠≠=Γ (3.2-1)ij j i i ij j x g g 21∂∂-=Γ , )g (ln x j j i jij ∂∂=Γ )g (l n xj j jjj j ∂∂=Γ, )k j i (0k ij ≠≠=Γ (3.2-2)二、圆柱坐标系（图1-4）由§1.7知圆柱坐标系的kl g 和kl g 以矩阵形式列出是1000)x (0001)g (21kl = 1000)x /(10001)g (21kl = 由（3.1-8a ）式得1212122x =Γ=Γ, 1221x -=Γ所有其它的0klm =Γ (3.2-3) 由（3.1-4b ）式得112222221212x /1g =Γ=Γ=Γ, 122111122x g -=Γ=Γ所有其它的0m kl =Γ (3.2-4)三、球坐标系（图1-5）22121kl )x sin x (00)x (0001)g (= ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22121kl )x sin x /(1000)x /(10001)g ( 由（3.1-6a ）式及（3.1-4b ）式得1221122x =Γ-=Γ, 221331133)x (sin x =Γ-=Γ2221332233x cos x sin )x (=Γ-=Γ所有其它的0klm =Γ (3.2-5)1122x -=Γ, 221133)x (sin x -=Γ, 1313212x /1=Γ=Γ22233x cos x sin -=Γ, 2323x cot =Γ所有其它的0m kl =Γ (3.2-6)§3.3 矢量的协变导数一、求矢量的偏导数现在回到求矢量的偏导数[（3.1-1a ）式]。
利用（3.1-2）式得 k k ij i i i j ,j ,g g V Γ+=νν变换最后一项中两个哑指标的字符，便可以提出公因子i g ，于是i j i i ijk k i j ,j ,g |g )(V ν=Γν+ν= (3.3-1)式中i jk k i j ,j i |Γν+ν≡ν (3.3-2)它是矢量V 对于j x 的偏导数沿i g 方向的分量。
由上式可以看出，j i |ν与矢量V的i g 方向的分量i ν对于j x 的偏导数i j ,ν量不同的，它们差一项i jk k Γν,应当认清这二者的差别。
j i |ν称为逆变矢量i ν的协变导数。
利用（3.1-11）式，则从（3.1-1b ）式可得与（3.3-1）式类似的表达式：i j i i k ij k j ,i k ijk i i j ,i j ,g |g )(g g V ν=Γν-ν=Γν-ν= (3.3-3)由此得到协变矢量i ν的协变导数j i |ν的表达式为k ij k j ,i j i |Γν-ν≡ν (3.3-4) 和上面指出的一样，应当注意j i |ν与j ,i ν的差别。
必须指出，在直角坐标系中，jk jk g δ=.由（3.1-8a 、b ）式可知，这时0k ij ijk =Γ=Γ。
因此。
在直角坐标系中，协变导数和普通偏导数之间没有区别。
二、矢量V 的微分应用（3.3-1）、（3.3-2）式和（3.3-3）、（3.3-4）式这两对方程，可以写出矢量V 的微分，这种微分形式在建立物理系统的微分方程时是有用的。
当矢量)x (V j 从一点j x 沿着分量为j dx 的矢元移动到相邻的一点j j dx x +时，这个矢量)x (V j 的个改变为j j .dx V dV =，于是得j i j i j j ,dx g |dx V dV ν== (3.3-5a) 或j i j i j j ,dx g |dx V dV ν== (3.3-5b)三、为什么j i |ν和j i |ν称为协变导数，协变导数是不是张量沿坐标系j x 作容许变换成新坐标系i x ,矢量V 用它在ix 中的分量表示为 i i g v V = 上式对m x 求导得，im i mi i i m i m ,g |xg g x V ννν=∂∂+∂∂=另一方面，用微分的链式法则，可得mki k i m k k ,m ，x x g |x x V V ∂∂=∂∂=ν 使上述二方程的右边相等，得mki k i i m i x x g |g |∂∂=νν (3.3-6)用基矢量j g 的变换公式j l jl g xx g ∂∂=分别点乘（3.3-6）式等号的两边，可得m kl j k j m l xx x x ||∂∂∂∂=νν更换指标，上式可写成jni m n m j i x x x x ||∂∂∂∂=νν (3.3-7)这表明在坐标变换时，j i |ν服从二阶协变张量的变换法则，因此j i |ν是二阶协变张量。