中考数学动手操作题及讲解
中考数学专题复习——操作探究(详细答案)
中考数学专题复习——操作探究一.选择题1．（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．102. （2018•嘉兴•3 分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）3. （2018•广西南宁•3 分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△CDP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c os∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．17194.（2018•海南•3 分）如图1，分别沿长方形纸片A BCD 和正方形纸片E FGH 的对角线A C，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形E FGH 的面积为（）A．24 B．25 C．26 D．27二、填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点A落在D C 边上的点F处，折痕为D E，点E在A B 边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在直线A E 上的点H处，折痕为D G，点G在B C 边上，若AB=AD+2，EH=1，则A D= 。
2.（2018•临安•3 分.）马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5 个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（实线部分），经折叠后发现还少一个面，请你在图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子（添加所有符合要求的正方形，添加的正方形用阴影表示）．3.（2018•金华、丽水•4分）如图2，小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A BCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边A B，BC上，三角形①的边G D在边A D上，则ABBC的值是．4. （2018·湖北省恩施·3 分）在Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠AB C=90°，如图所示将R t△ABC沿直线l无滑动地滚动至R t△DE F，则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为．（结果不取近似值）5.（2018•贵州贵阳•8 分）如图①，在 R t△ABC 中，以下是小亮探究sin a A 与sin bB之间关系 的方法：∵sin A=a c ，sinB=b c ∴c =sin a A ，c=sin b B∴sin a A =sin b B根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究sin a A 、sin b B 、sin cC之间的关 系，并写出探究过程．三.解答题1.（2018•江苏无锡•10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4）． （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 A C ，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C ，且使∠AB C=90°，△ABC 与△AOC 的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．） （2）问：（1）中这样的直线 A C 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线 A C ，并写出与之对应的函数表达式．2.（2018•江苏徐州•7 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在 建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点 B 的坐标为（1，0）①画出△A BC 关于 x 轴对称的△A 1B 1C 1；②画出将△ABC 绕原点 O 按逆时针旋转 90°所得的△A 2B 2C 2；③△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴；④△A 1B 1C 1 与△A 2B 2C 2 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对称中心的坐标．3.（2018•山东东营市•10 分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：如图1，在△A BC 中，点O在线段B C 上，∠BA O=30°，∠O AC=75°，AO=BO：CO=1：3，求A B 的长．经过社团成员讨论发现，过点B作B D∥A C，交A O 的延长线于点D，通过构造△A BD 就可以解决．问题（如图2）请回答：∠ADB= 75 °，AB= ．（2）请参考以上解决思路，解决问题：在四边形A BCD 中，对角线A C 与B D 相交于点O，A C⊥AD，A O=ABC=∠A CB=75°，如图3，BO：OD=1：3，求D C 的长．4.（2018•山东济宁市•7分）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1 中，请你画出用T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．5.一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P 是正方形ABCD 内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠A PB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将△B PC 绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接P P′，求出∠APB的度数；思路二：将△A PB 绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接P P′，求出∠APB 的度数．请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．【类比探究】如图2，若点P是正方形A BCD 外一点，PA=3，PB=1，PB 的度数．答案详解一.选择题（2018•临安•3 分.）如图，正方形硬纸片A BCD的边长是4，点E.F分别是A B.BC的中点，若沿左1．图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．10【分析】本题考查空间想象能力．【解答】解：阴影部分由一个等腰直角三角形和一个直角梯形组成，由第一个图形可知：阴影部分的两部分可构成正方形的四分之一，正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积是16÷4=4．故选：B．【点评】解决本题的关键是得到阴影部分的组成与原正方形面积之间的关系2. （2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B. （B）C. （C）D. （D）【答案】A【分析】根据两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠, 展开后所得图形的顶点一定在【解析】正方形的对角线上, 根据③的剪法，中间应该是一个正方形.【解答】根据题意，两次折叠都是沿着正方形的对角线折叠的，根据③的剪法，展开后所得图形的顶点一定在正方形的对角线上,而且中间应该是一个正方形.故选A．【点评】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，如本题得到展开后的图形的顶点在正方形的对角线上是解题的关键．3. （2018•广西南宁•3分）如图，矩形纸片A BCD，AB=4，BC=3，点P在B C 边上，将△C DP 沿D P 折叠，点C落在点E处，PE.DE 分别交A B 于点O、F，且O P=OF，则c o s∠ADF 的值为（）A．1113B．1315C．1517D．1719【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE.CP=EP，由∠EOF=∠B OP、∠B=∠E.OP=OF 可得出△OE F≌△OBP（AAS），根据全等三角形的性质可得出O E=OB.EF=BP，设E F=x，则B P=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可得出A F=1+x，在R t△DAF 中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出c o s∠A DF 的值．【解答】解：根据折叠，可知：△D CP≌△DE P，∴DC=DE=4，CP=EP．在△O EF 和△O BP 中，EOF BOPB EOP OF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△O EF≌△OB P（AAS），∴OE=OB，EF=BP．设E F=x，则B P=x，DF=DE﹣EF=4﹣x，又∵B F=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC﹣BP=3﹣x，∴AF=AB﹣BF=1+x．在R t△DAF中，AF 2+AD2=DF2，即（1+x）2+32=（4﹣x）2，解得：x=35，∴DF=4﹣x=175，∴co s∠AD F=AD DF=1517．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理 结合 A F=1+x ，求出 A F 的长度是解题的关键．4.（2018•海南•3 分）如图 1，分别沿长方形纸片 A BCD 和正方形纸片 E FGH 的对角线 A C ，EG 剪开，拼成如图 2 所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形 O PQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为 50，则正方形 E FGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设 P M=PL=NR=AR=a ，正方形 O RQP 的边长为 b ．由题意：a 2+b 2+（a+b ）（a ﹣b ）=50， ∴a 2=25，∴正方形 E FGH 的面积=a 2=25， 故选：B ．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用 参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1. （2018•杭州•4 分）折叠矩形纸片 ABCD 时，发现可以进行如下操作：①把△ADE 翻折，点 A 落在 D C 边上的点 F 处，折痕为 D E ，点 E 在 A B 边上；②把纸 片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点 C 落在直线 A E 上的点 H 处，折痕为 D G ，点 G 在 B C 边上， 若 AB=AD+2，EH=1，则 A D= 。
动手操作与运动变换型问题—知识讲解
中考冲刺：动手操作与运动变换型问题—知识讲解【中考展望】1．对于实践操作型问题，在解题过程中学生能够感受到数学学习的情趣与价值，经历“数学化”和“再创造”的过程，不断提高自己的创新意识与综合能力，这是《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》的基本要求之一，因此，近年来实践操作性试题受到命题者的重视，多次出现.2．估计在今年的中考题中，实践操作类题目依旧是出题热点，仍符合常规题型，与三角形的全等和四边形的性质综合考查．需具备一定的分析问题能力和归纳推理能力．图形的设计与操作问题，主要分为如下一些类型：1．已知设计好的图案，求设计方案(如：在什么基本图案的基础上，进行何种图形变换等)．2．利用基本图案设计符合要求的图案(如：设计轴对称图形，中心对称图形，面积或形状符合特定要求的图形等)．3．图形分割与重组(如：通过对原图形进行分割、重组，使形状满足特定要求)．4．动手操作(通过折叠、裁剪等手段制作特定图案)．解决这样的问题，除了需要运用各种基本的图形变换(平移、轴对称、旋转、位似)外，还需要综合运用代数、几何知识对图形进行分析、计算、证明，以获得重要的数据，辅助图案设计．另外，由于折叠操作相当于构造轴对称变换，因此折叠问题中，要充分利用轴对称变换的特性，以获得更多的图形信息．必要时，实际动手配合上理论分析比单纯的理论分析更为快捷有效．从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的.动态问题一般分两类，一类是代数综合题，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解.另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考查.所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分.【方法点拨】实践操作问题：解答实践操作题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、抽象、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，并转化为我们所熟悉的数学问题．解答实践操作题的基本步骤为：从实例或实物出发，通过具体操作实验，发现其中可能存在的规律，提出问题，检验猜想．在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等实践活动过程，利用自己已有的生活经验和数学知识去感知发生的现象，从而发现所得到的结论，进而解决问题．动态几何问题：1、动态几何常见类型（1）点动问题（一个动点）（2）线动问题（二个动点）（3）面动问题（三个动点）2、运动形式平移、旋转、翻折、滚动3、数学思想函数思想、方程思想、分类思想、转化思想、数形结合思想4、解题思路（1）化动为静，动中求静（2）建立联系，计算说明（3）特殊探路，一般推证【典型例题】类型一、图形的剪拼问题1．直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下(如图所示)：请你用上面图示的方法，解答下列问题：(1)对下图中的三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形；(2)对下图中的四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．【思路点拨】对于三角形的分割重组，要想拼成一个矩形，则分割时必须构造出直角来，示例中通过作中位线的垂线段而分割出①③两个直角三角形．对于四边形的分割重组，可以先把四边形转化为三角形的问题，再利用三角形的分割重组方法进行．【答案与解析】解：(1)如图所示：(2)如图所示：【总结升华】按照三角形的剪拼方法，探索规律，将任意四边形先分割成三角形，再进行剪拼，使学生经历由简单到复杂的探索过程．举一反三：【变式】把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（）A． B． C． D．【答案】A .当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．再结合C点位置可得答案为C．故选C ．类型二、实践操作2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 （1）要证∠APB=∠BPH ，由内错角∠APB=∠PBC ，即证∠PBC=∠BPH ，折叠后∠EBP=∠EPB=90°，再由性质等角的余角相等即可得证．（2）△PHD 的周长为PD+DH+PH ．过B 作BQ ⊥PH 构造直角三角形，再利用三角形全等：△ABP ≌△QBP 和△BCH ≌△BQH ．证明AP=QP ， CH=QH ，可得其周长为定值．（3）1()2S BE CF BC =+，关键是用x 来表示BE 、CF ．过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，先由边角关系得△EFM ≌△BPA ，得EM AP ==x ．在Rt △APE 中可由勾股定理表示出BE ，再由228x CF BE EM x =-=+-，很容易用x 表示出S ，再配方求最值．【答案与解析】解：（1）∵PE=BE ，∴∠EBP=∠EPB ．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP ．即∠PBC=∠BPH ．又∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBC ．∴∠APB=∠BPH ．（2）△PHD 的周长不变，为定值 8．证明：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP ，∴△ABP ≌△QBP ．∴AP=QP , AB=BQ ．又∵ AB=BC ，∴BC = BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8.（3）过F 作FM ⊥AB ，垂足为M ，则FM BC AB ==.又EF 为折痕，∴EF ⊥BP .∴90EFM MEF ABP BEF ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFM ABP ∠=∠．又∵∠A=∠EMF=90°，∴△EFM ≌△BPA ．∴EM AP ==x ．∴在Rt △APE 中，222(4)BE x BE -+=． 解得，228x BE =+． ∴228x CF BE EM x =-=+-． 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等，∴211()(4)4224x S BE CF BC x =+=+-⨯． 即：21282S x x =-+． 配方得，21(2)62S x =-+， ∴当x =2时，S 有最小值6．【总结升华】本题将函数和几何知识较好的综合起来，对能力的要求较高．本题考查了三角形全等、正方形的性质、勾股定理、梯形的面积公式、折叠的性质、二次函数等相关知识．难度较大，是一道很好的压轴题，通过此题能够反映出学生的思维能力及数学知识的掌握程度，解答本题要学会将题目中的已知量与待求量联系起来．此题的关键是证明几组三角形的全等，以及用x 来表示S ．3．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B ＝90°，∠C ＝60°，∠A ＝30°，BC ＝6 cm ；图②中，∠D ＝90°，∠E ＝45°，DE ＝4 cm ．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF 的直角边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)．(1)在△DEF 沿AC 方向移动的过程中，刘卫同学发现：F 、C 两点间的距离逐渐________．(填“不变”、“变大”或“变小”)(2)刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：问题①：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，F 、C 的连线与AB 平行?问题②：当△DEF 移动至什么位置，即AD 的长为多少时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形?问题③：在△DEF 的移动过程中，是否存在某个位置，使得∠FCD ＝15°？如果存在，求出AD 的长度；如果不存在，请说明理由．请你分别完成上述三个问题的解答过程．【思路点拨】本题以动三角形为背景，考查特殊角的三角函数值、勾股定理．【答案与解析】解：(1)变小．(2)问题①：∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝6，∴AC ＝12．∵∠FDE ＝90°，∠DEF ＝45°，DE ＝4，∴DF ＝4．连结FC ，设FC ∥AB ，∴∠FCD ＝∠A ＝30° ∴在Rt △FDC 中，DC ＝43∴AD ＝AC －DC ＝1243-即AD ＝(123)-cm 时，FC ∥AB ．问题②：设AD ＝x ，在Rt △FDC 中，FC 2＝DC 2+FD 2＝(12-x)2+16．(i)当FC 为斜边时，由AD 2+BC 2＝FC 2得2226(12)16x x +=-+，316x =．(ii)当AD 为斜边时，由222FC BC AD +=得22(12)16x x -+=，4986x =>(不符合题意，舍去)． (iii)当BC 为斜边时，由222AD FC BC +=得222(12)166x x +-+=，212620x x -+=， △＝144－248＜0，∴方程无解．另解：BC 不能为斜边．∵FC ＞CD ．∴FC+AD ＞12．∴FC 、AD 中至少有一条线段的长度大于6．∴BC 不能为斜边．∴由(i)、(ii)、(iii)得，当316x =cm 时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形．问题③：解法一：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．理由如下：假设∠FCD ＝15°．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作∠EFC 的平分线，交AC 于点P ，则∠EFP ＝∠CFP ＝∠FCP ＝15°，∴PF ＝PC ．∠DFP ＝∠DFE+∠EFP ＝60°．∴PD ＝43PC ＝PF ＝2FD ＝8．∴PC+PD ＝8+4312>．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．解法二：不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．假设∠FCD ＝15°，设AD ＝x ．由∠FED ＝45°，得∠EFC ＝30°．作EH ⊥FC ，垂足为H ．∴HE ＝12EF ＝22，CE ＝AC －AD －DE ＝8-x ， 且22(12)16FC x =-+．∵∠FDC ＝∠EHC ＝90°，∠DCF 为公共角，∴△CHE ∽△CDF ．∴EC HE FC DF =． 又222212HE DF ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴212EC FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 整理后，得到方程22(8)1(12)162x x -=-+． ∴14430x =-<(不符合题意，舍去)，24438x =+>(不符合题意，舍去)．∴不存在这样的位置，使得∠FCD ＝15°．【总结升华】本题的突破点是将图形静止于所要求的特殊位置，根据题中条件得出相应的结论．本题涉及分类讨论思想、方程思想，有一定的难度．举一反三：【变式】如图，直角梯形OBCD 是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC ∥OB ，OB=6,CD=BC=4，BC ⊥OB 于B,以O 为坐标原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P （4,2）处.为了方便驻区单位准备过点P 修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD 分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在求出直线的解析式,若不存在，请说明理由.【答案】解：如图③，存在符合条件的直线，过点D作DA⊥OB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心∴过点P的直线只要平分的面积即可.易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，从而，直线PH平分梯形OBCD的面积.即直线PH为所求直线设直线PH的表达式为且过点∵直线OD的表达式为解之，得∴点H的坐标为∴PH与线段AD的交点F的坐标为∴ 解之，得∴直线l 的表达式为类型三、平移旋转型操作题 4．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A ＝60°，AC ＝1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1)如图所示，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断地变化，但它的面积不变化，请求出其面积．(2)如图所示，当D 点移动到．AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．(3)如图所示，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时，点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sin α的值．【思路点拨】平移时，CF AD ，AD ＝BE ，根据等底等高的特征，将求梯形面积转化为求ABC S △，旋转时需知道∠ABE ＝90°，BE ＝CB ，运用相似等知识解答．【答案与解析】【解析】(1)过C点作CG⊥AB于G，如图．在Rt△AGC中，∵sin60CG AC =°，∴3 CG=．∵AB＝2，∴13322ABCCDBFS S==⨯⨯=△梯形．(2)菱形．∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形∵DF∥AC，∠ACB＝90°，∴CB⊥DF，∴四边形CDBF是菱形．(3)解法一：过D点作DH ⊥AE于H，如图，则1131322ADES AD EB==⨯=g g△又1322 ADES AE DH==g g△，332177DH==⎭或．∴在Rt△DHE中，321 sin1427DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．解法二：∵△ADH∽△AEB，∴DH ADBE DE=，即37=，∴37 DH=，∴321 sin27DHDEα⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭或．【总结升华】本题是平移和旋转类型的操作题，需知道平移和旋转的性质，这两种变换都是全等变换.类型四、动态数学问题5．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB，过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．（1）当点B与点D重合时，求t的值；（2）当t为何值时，S△BCD=？【思路点拨】（1）由于∠CAB=90°，易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．（2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．【答案与解析】解：（1）∵∠CAO+∠BAE=90°，∠ABE+∠BAE=90°，∴∠CAO=∠ABE．∴Rt △CAO ∽Rt △ABE ． ∴． ∴．∴t=8．（2）由Rt △CAO ∽Rt △ABE 可知：BE=t ，AE=2．当0＜t ＜8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（4﹣）=． ∴t 1=t 2=3．当t ＞8时，S △BCD =CD •BD=（2+t ）（﹣4）=． ∴，（为负数，舍去）． 当t=3或3+5时，． 【总结升华】考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，解决本题的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，AD=6，∠A=60°，点P 从点A 出发沿折线AB-BC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当P 与C 重合时停止运动，过点P 作AB 的垂线PQ 交AD 或DC 于Q ．设P 运动时间为t 秒，直线PQ 扫过平行四边形ABCD 的面积为S ．求S 关于t 的函数解析式．【答案】解：（1）213S=3(03)2t t t •=≤≤； （2）193S=-33333-10)22t t t t +•=（）＜≤；（3）116-t )S=10222t -⨯••=1016-8t ⨯2（）2-16)8t =+-＜≤. 综上，S 关于t 的函数解析式为：22(03)2-(310)2-(1016)8t t S t t t ⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+-⎪⎪⎩≤≤＜≤＜≤。
中考数学动手操作型问题试题汇编(附答案)
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中考数学入手操作型效果试题汇编(附答案)10.(2021湖北荆州，10，3分)：依次连结矩形各边的中点，失掉一个菱形，如图①;再依次连结菱形各边的中点，失掉一个新的矩形，如图②;然后依次连结新的矩形各边的中点，失掉一个新的菱形，如图③;如此重复操作下去，那么第2021个图形中直角三角形的个数有( )A.8048个B.4024个C.2021个D.1066个【解析】此题是规律探求题。
观察图①有4个直角三角形，图②有四个直角三角形，图③有8个直角三角形，图④有8个直角三角形，图⑤图⑥有12个直角三角形可以发现规律图②图④图⑥图⑧4 8 12 16直角三角形的个数，依次添加4个，并且图形中直角三角形的个数是图形序号的2倍，所以第2021个图形中直角三角形的个数有4024个【答案】B【点评】关于规律探求题，关键是寻觅变化图形中的不变的规律。
(2021哈尔滨，题号22分值 6)22. 图l、图2是两张外形、大小完全相反的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1.点A和点B在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC 为直角三角形(画一个即可);(2)在图2中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD 为等腰三角形(画一个即可);【解析】此题考察网格中的作图才干、勾股定理以及等腰三角形性质.(1)可以分三种状况来思索：以A(B)为直角顶点，过A(B)作AB垂线(点C不能落在格点上)以C为直角顶点：斜边AB=5，因此两直角边可以是3、4或、 ;(2)也分可分三状况思索：以A(B)为等腰三角形顶点：以A(B)为圆心，以5为半径画弧来确定顶点C;以C为等腰三角形顶点：作AB垂直平分线连确定点C(点C 不能落在格点上).【答案】【点评】此题属于实践入手操作题，主要考察先生对格点这一新概念的了解才干、直角三角形、等腰三角形的概念及性质的掌握状况和分类讨论的数学思想，有一定的难度，容易错解和漏解.25. ( 2021年四川省巴中市,25,9)①如图5,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB,请将△OAB绕点O顺时针旋转900,画出旋转后的△OAB②折纸:有一张矩形纸片如图6,要将点D沿某直线翻折1800,恰恰落在BC边上的D处,请在图中作出该直线.【解析】①如图△OAB即是旋转900后的图形，②折痕为直线DD的垂直平分线EF.【答案】画图见地析【点评】此题是对图形变换中的旋转及轴对称变换的考察.24.(2021广安中考试题第24题，8分)(8分)现有一块等腰三角形纸板，量得周长为32cm，底比一腰多2cm。
学而思中考数学第2讲.第二轮复习之图形变换与动手操作.提高班.教师版
`【例1】 阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 相交于点O ．若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形的面积．图1图2ADBCOADBCOE小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可，他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的BDE △即是以AC 、BD 、AD BC +的长度为三边长的三角形（如图2）． 请你回答：图2中BDE △的面积等于________． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，ABC △的三条中线分别为AD 、BE 、CF ．⑴ 在图3中利用图形变换画出并指明以AD 、BE 、CF 的长典题精练2第二轮复习之 图形变换与动手操作题型一：图形变换图3AFE CD B度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；⑵ 若ABC △的面积为1，则以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于________．（2011北京）【解析】BDE △的面积等于 1 .⑴ 如图.以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的一个三角形是CFP △. ⑵ 以AD 、BE 、CF 的长度为三边长的三角形的面积等于34. 【例2】 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度α (0︒ <α <360︒) 后所得的图形与原图形重合，则称此图形是旋转对称图形. 如等边三角形就是一个旋转角为120︒的旋转对称图形. 如图1，点O 是等边三角形△ABC 的中心, D 、E 、F 分别为AB 、BC 、 CA 的中点, 请你将△ABC 分割并拼补成一个与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.FDEF DBACOABCO图1 图2小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC 面积相等的新的旋转对称图形.请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC 中, E 1、E 2、E 3分别为AB 、 BC 、CA 的中点，P 1、P 2, M 1、M 2, N 1、N 2分别为 AB 、BC 、CA 的三等分点.（1）在图3中画出一个和△ABC 面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）； （2）若△ABC 的面积为a ，则图3中△FGH 的面积为 ． （2012海淀二模） 【解析】（1）画图如下：（2）图3中△FGH 的面积为7a.图3H G F CBN 2N 1M 1M 2E 1E 2E 3P 2P 1AAPEFC DBH F GA BCE 1E 2E 3P 1P 2M 1M 2N 1N 2动手操作分为：1、立体图形及展开图；2、骰子问题；3、折纸问题；4、图形的分割；5、图形的剪拼.【例3】 ⑴如图，已知MN 是圆柱底面直径，NP 是圆柱的高.在圆柱的侧面上，过点M 、P 嵌有一圈路径最短的金属丝.现将圆柱侧面沿NP 剪开， 所得的侧面展开图是（ ）A. B. C. D. ⑵在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退．开始时骰子如图 ①那样摆放，朝上的点数是2；最后翻动到如图②所示的位置，此时骰子朝上的点 数不可能．．．是下列数中（ ）A ．5B ．4C ．3D ．1⑶ 如图，矩形纸片ABCD 中，8AB =，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的点为E ，折痕的一端G 点在边BC 上()BG GC <，另一端F 落在矩形的边上，10BG =．①请你在备用图中画出满足条件的图形；典题精练题型二：动手操作PNM P /N /PNMP /N /PNMP /N /PNMM /P /N /PNM②求出折痕GF 的长为 ．备用图（3）G 备用图（2）G DADG 备用图（1）【解析】 ⑴321n -2n ≥）. ⑵ ①正确画出图⑴、图⑵ ②545情况一：如图⑴，当点F 在AB 上时，过点G 作GH AD ⊥，则四边形ABGH 为矩形，∴8GH AB ==，10AH BG ==，设BF x =， 由图形的折叠可知BFG EFG △≌△， ∴10EG BG ==，BF EF x ==，在Rt GEH △中，由勾股定理，得6EH =，∴4AE =． ∵90A ∠=︒，8AF x =-,EF x =，222EF AF AE =+ ∴()22284x x =-+解方程，得 5x .=∴5BF =，∵10BG =，∴2255FG BG BF .=+=情况二：如图⑵,当点F 在AD 边上时，因为四边形HFGE 由四边形ABGF 折叠得到， 由折叠可知，BG EG =，AB EH =，BGF EGF ∠=∠， ∵EF BG ∥，∴BGF EFG ∠=∠，∴EGF EFG ∠=∠， ∴EF EG =，∴BG EF =,∴四边形BGEF 为平行四边形 又∵EF EG =，∴平行四边形BGEF 为菱形 连结BE ，BE 与 FG 互相垂直平分，在Rt EFH △中，10EF BG ==，8EH AB ==， 由勾股定理可得6FH AF ==，∴16AE =， ∴2285BE AE AB =+∴45BO =∴222245FG OG BG BO ==-=.【例4】 ⑴在ABC △中，沿着中位线EF 一刀剪切后，用得到的AEF △和四边形EBCF 可以拼成平行四边形EBCP ，剪切线与拼图如图所示，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示．①在ABC △中，增加条件 ，沿着 H E F 图（1）G DCBA O E(B)H(A)F图（2）GDCB AA一刀剪切后可以拼成矩形；②在ABC △中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成菱形；③在ABC △中，增加条件 ，沿着 一刀剪切后可以拼成正方形；④在ABC △()AB AC ≠中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是： ．⑵在ABC △中，BC a =，BC 边上的高2h a =，沿图中线段DE 、CF 将ABC △剪开，分成的三块图形恰能拼成正方形CFHG ，如图⑴所示．请你解决如下问题： 在A B C '''△中，B C a ''=，B C ''边上的高12h a =．请你设计两种不同的分割方法，将A B C '''△ 沿分割线剪开后，所得的三块图形恰能拼成一个正方形，请在图⑵、图⑶中，画出分割线及拼接后的图形．【解析】 ⑴ ①方法一：90B ∠=︒，中位线EF ，如图⑴．方法二：AB AC =，中线（或高）AD ，如图⑵．②2AB BC =（或者90C ∠=︒，30A ∠=︒），中位线EF ，如图⑶． ③方法一：90B ∠=︒且2AB BC =，中位线EF ，如图⑷．方法二：AB AC =且90BAC ∠=︒，中线（或高）AD ，如图⑸．④方法一：不妨设B C ∠>∠，在BC 边上取一点D ，作GDB B ∠=∠交AB 于G ，过AC 的中点E 作EF GD ∥交BC 于F ，则EF 为剪切线．如图⑹方法二：不妨设B C ∠>∠，分别取AB 、AC 的中点D 、E ，过D 、E 作BC 的垂线，G 、H 为垂足，在HC 上截取HF GB =，连结EF ，则EF 为剪切线．如图⑺图（1）①②③H F E D B图（4）图（3）图（2）图（1）P(E)C(A)FEBAP(E)FEC(A)BAP(D)D C(A)BAP(E)FEC(A)BA图（3）图(2)A'B 'C'C'B 'A'方法三：不妨设B C ∠>∠，作高AD ，在DC 上截取DG DB =，连结AG ，过AC 的中点E 作EF AG ∥交BC 于F ，则EF 为剪切线．如图⑻图（8）图（7）图（6）图（5）P(F)A(C)ECFG D BP(F)A(C)ECFH GBD EC FGD BP(F)A(C)P(D)D C(A)BA⑵ 答案如下图：【例5】 阅读下列材料：小明遇到一个问题：如图1，正方形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 和DA 边上靠近A 、B 、C 、D 的n 等分点，连结AF 、BG 、CH 、DE ，形成四边形MNPQ ．求四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（用含n 的代数式表示）．小明的做法是：先取2n =，如图2，将ABN △绕点B 顺时针旋转90︒至CBN '△，再将ADM △绕点D 逆时针旋转90︒至CDM '△，得到5个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是15；然后取3n =，如图3，将ABN △绕点B 顺时针旋转90︒至CBN '△，再将ADM △绕点D 逆时针旋转90︒至CDM '△，得到10个小正方形，所以四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是410，即25；……请你参考小明的做法，解决下列问题：⑴在图4中探究4n =时四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比（在图4上画图并直接写出结果）；⑵图5是矩形纸片剪去一个小矩形后的示意图，请你将它剪成三块后再拼成正方形（在图5中画出并指明拼接后的正方形）．(3)(2)(1)M'N'GH GH G BCEFPQM N A BCD EF PQ M NN'M'N MQ PF ED CB A ①③②图（5）A'B 'C'C'B'A'①②②①【解析】 ⑴四边形MNPQ 与正方形ABCD 的面积比是917.⑵ 如图所示：【例6】 操作探究：一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为 5+（2-）=3．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，． （1）计算：{3，1}+{1，2}；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，1}平移到点B ，再按照“平移量”{-1，2}平移到点C ；最后按照“平移量”{-2，-1}平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；（3）将（2）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结典题精练H G M'N'A BC DEF PQMN DCB（5）(4)H GAB C D EF P Q MN题型三：新定义AE、BE若动点P从点A出发，沿△AEB的三边AE、EB、BA平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P的平移过程．（2013丰台二模）【解析】（1）{4，3}．（2）①画图②D(0，3).（3）{1，-2}+{1，3}+{-2，-1}．yxO 11yxBACDO 11【例7】 如图1，四边形ABCD 中，AC 、BD 为它的对角线，E 为AB 边上一动点（点E 不与点A 、B 重合），EF ∥AC 交BC 于点F ，FG ∥BD 交DC 于点G ，GH ∥AC 交AD 于点H ，连接HE ．记四边形EFGH 的周长为p ，如果在点E 的运动过程中，p 的值不变，则我们称四边形ABCD 为“Ω四边形”， 此时p 的值称为它的“Ω值”．经过探究，可得矩形是“Ω四边形”．如图2，矩形ABCD 中，若AB =4，BC =3，则它的“Ω值”为 ．图1B FCGD HE A图2D CBA图3ODBA（1）等腰梯形 （填“是”或 “不是”）“Ω四边形”；（2）如图3，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上一点，=34AD AB =，，点C 为»AB 上的一动点，将△DAB 沿CD 的中垂线翻折，得到△CEF ．当点C 运动到某一位置时，以A 、B 、C 、D 、E 、F 中的任意四个点为顶点的“Ω四边形”最多，最多有 个．（2013海淀二模）【解析】 “Ω值”为10．（1）是；（2）最多有5个．训练1. ⑴将如右图所示的圆心角为90︒的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计)，则围成的圆锥形纸帽是（ ）⑵如图是一个等腰直角三角形纸片，按图中裁剪线将这个纸片裁剪成三部分．请你将这三部分小纸片重新分别拼接成：(1)一个非矩形的平行四边形； (2)一个等腰梯形；(3)一个正方形．请画出拼接后的三个图形．【解析】 ⑴B. ⑵训练2. 图⑴、图⑵均为76⨯的正方形网格，点A 、B 、C 在格点上.⑴在图⑴中确定格点D ，并画出以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形，使其为轴对称图形.（画一个即可）⑵在图⑵中确定格点E ，并画出以A 、B 、C 、E 为顶点的四边形，使其为中心对称图形.（画一个即可）（吉林长春）【解析】 ⑴ 有以下答案供参考：思维拓展训练(选讲)图（2）图（1）ABCCBADD A BCCBA⑵ 有以下答案供参考：EEABCCBA训练3. ⑴图⑴是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角,每条边都相等.如图⑵将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图⑶所示的大正方形,其面积为842+则图⑶中线段AB 的长为 .（海淀二模）图（3）图（2）图（1）BA⑵如图⑶，在55⨯的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为斜边向外作等腰直角三角形，去掉居中的那条线段，得到图⑷，请把图⑷中的图形剪拼成正方形，并在图⑷中画出剪裁线，在图⑸中画出剪拼后的正方形．（石景山一模）图（5）图（4）图（3）【解析】215.⑵如图所示：【练习1】 已知ABC △，63ABC ACB ∠=∠=°．如图1所示，取三边中点，可以把ABC △分割成四个等腰三角形．请你在图2中，用另外四种不同的方法把ABC △分割成四个等腰三角形，并标明分割后的四个等腰三角形的底角．．的度数（如果经过变换后两个图形重合，则视为同一种方法）.（海淀二模）【解析】 分割为等腰三角形常用方法:①角分线+平行线.如图⑴和图⑵ ②直角三角形+斜边中线.如图⑶(和图⑴)③顶角为特殊角度108︒的等腰三角形可以无限分割成36︒和72︒为底角的等腰三角形.如图⑷④知一等腰三角形，做此三角形的对称轴，然后再去分割.如图⑸复习巩固图1CBACB AAB C C B AAB C 图254°54°72°54°36°36°36°31.5°31.5°31.5°27°27°27°27°27°27°27°27°27°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°63°36°72°54°27°31.5°63°(5)(4)(3)(2)(1)【练习2】 现场学习题问题背景：在ABC △中，AB 、BC 、AC 21317三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点ABC △（即ABC △三个顶点都在小正方形的顶点处），如图⑴所示．这样不需求ABC △的高，而借用网格就能计算出它的面积． ⑴请你将ABC △的面积直接填写在横线上．________ 思维拓展：⑵我们把上述求ABC △面积的方法叫做构图法．若ABC △2a 、25a 26a (0)a >，请利用图⑵的正方形网格(每个小正方形的边长为a )画出相应的ABC △，并求出它的面积是： ． 探索创新：⑶若ABC △三边的长分别为224m n +、2216m n +、222m n +(0,0,)m n m n >>≠ ，请运用构图法在图⑶指定区域内画出示意图，并求出ABC △的面积为： ．【解析】 ⑴25． ⑵ 面积：23a ．⑶ 面积：3mn ．图（2）A B C 4m 2m 2m n n 2n C B A 图（3）图（3）图（2）图（1）A B C【练习3】 在如图1中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE的斜边2AE b =，且边AD 和AE 在同一直线上． 操作示例：当2b a <时，如图1，在BA 上选取点G ，使BG b =，连结FG 和CG ，裁掉FAG △和CGB △并分别拼接到FEH △和CHD △的位置构成四边形FGCH ．思考发现：小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将FAG △绕点F 逆时针旋转90︒到FEH △的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH BG =，故CHD CBG △≌△，从而又可将CGB △绕点C 顺时针旋转90︒到CHD △的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM AE ⊥于点M （图略），利用SAS 公理可判断HFM CHD △≌△，易得FH HC GC FG ===，90FHC ∠=︒．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究：⑴ 正方形FGCH 的面积是__________；（用含a ，b 的式子表示）⑵ 类比图1的剪拼方法，请你就如图2至如图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展：小明通过探究后发现：当b a ≤时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．⑶ 当b a >时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．【分析】 抓22a b +，结合四边形ABCD 为正方形及给出的图１中的作法，只需满足BG DH =，由全等三角形即可得出CG 和CH 互相垂直平分且相等．再按照提示方法可以证明四边形GCHF 为正方形．【解析】 ⑴ 22a b +； ⑵ 剪拼方法如图2至图4．⑶ 能；剪拼方法如图5（图中BG DH b ==）．先沿FH 剪一刀，将FEH △拼接到图1(2b <a )H G FE DCB A 图２FA B C(E ) DH G F 图４ABC DF图３A BCEHD G C F图５ABDG H a<2b=a FEDC B A图3FD(E )C BA 图2a<2b<2a FEDCBA图3b>b=a 图4ABC DEF图5FEDCB A b>a 图5FE D C BA△即可．FAG△拼接到HDC△；再沿GC剪一刀，将GBC第十八种品格：坚持坚持即是成功有一个少年，拜在一位师傅门下，想学功夫。
2020年中考数学专题复习教学案--动手操作题(附答案)
同步测试4
（2020最新模拟·南宁）已知 在平面直角坐标系中的位置如图16所示．画出 绕点 按顺时针方向旋转 ．
【答案】旋转后的图形如图17．
动手操作题
近年来中考数学试题加强了对学生动手操作能力的考查，出现了一类新题型--动手操作题．这类试题能够有效地考查学生的实践能力、创新意识和直觉思维能力．解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
5．将任意三角形剪切可以拼成一个与此三角形面积相等的矩形．
方法如下（如图23—1）：
请你类似上面图示的方பைடு நூலகம்，解答下列的问题：
（1）对任意三角形（如图23—2），设计一种与上例不同的方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形．
（2）对任意四边形（如图23—3），设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形．
【答案】1．
类型二：图形拼接型动手操作题
图形拼接问题，就是将已知的若干个图形重新拼合成符合条件的新图形．
例2（2020最新模拟·安徽）如图5，将正方形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形）．请画出拼成的矩形的简图．
【分析与解答】我们观察图5中的4块图形各边之间的对应关系，找出能拼接在一起的边，如图6就是一种拼接方法．
中考数学试题中动手操作题可分为图形折叠型动手操作题、图形拼接型动手操作题、图形分割型动手操作题和作图型动手操作题等四种类型．
实践操作问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(解析版)
一、选择题（10×3=30分）1.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A．B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．2.（扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A、6B、3C、2.5D、2【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．故选C．3.（2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B.（B）C. （C）D. （D）4.（2016•曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A 、CD ⊥lB 、点A ，B 关于直线CD 对称C 、点C ，D 关于直线l 对称 D 、CD 平分∠ACB5. （2018•海南•3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC ，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面 积为50，则正方形EFGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设PM=PL=NR=AR=a ，正方形ORQP 的边长为b ，构建方程即可解决问题； 【解答】解：如图，设PM=PL=NR=AR=a ，正方形ORQP 的边长为b ．由题意：a 2+∴a 2=25， ∴正方形EFGH 的面积=a 2=25， 故选：B ． 6. 有若干张面积分别为a 2、b 2、ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a 2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A．2张B．4张C．6张D．8张7.如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．【解答】解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：∵∠B=60°，∴AC=BC，∴CD≠BC．学科&网②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：③使得AD 与DC 重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：故计划可拼出①②③． 故选C8. 如图，在一张三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼出的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4②把△ADE 以AD 为对称轴作轴对称变换，再向下平移DC 的长度，即可构成等腰梯形，如解图②.③把△ADE 绕点D 旋转180°，即可构成有两个角为锐角的菱形，如解图③.④正方形无法拼成．9. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连结BP 交EF 于点Q ，有下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是(D )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④∴BE＝2EQ.∵EF＝2BE，EQ＋FQ＝4EQ，∴FQ＝3EQ，故③错误；由翻折的性质，得∠EFP＝∠EFB＝30°，∴∠BFP＝30°＋30°＝60°.又∵∠PBF＝90°－∠EBQ＝90°－30°＝60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确．综上所述，正确的结论是①④.10.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．B．C．D．【分析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出AD n的表达式，继而根据AP n=AD n即可得出AP n的表达式，也可得出AP6的长．二、填空题（6×4=24分）.11.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°.现将△ADE沿DE折叠，使点A落在三角形所在平面内的点A1处，则∠BDA1的度数为°．【解析】∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE＝50°.由折叠的性质，得∠A1DE＝∠ADE＝50°.∴∠BDA1＝180°－∠ADE－∠A1DE＝180°－50°－50°＝80°.12.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为2m+4 ．【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），解得x=2m+4．故答案为：2m+4．学科&网13. （山东省东营市·4分）如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝55cm ， 且tan ∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长_____________cm ．14. 在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以斜边BC 上距离B 点3 cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 cm 2.【解析】设DF 与AC ，BC 分别交于点R ，Q ，过点P 作PM ⊥QR 于点M ，作PN ⊥AC 于点N ，易得四边形PMRN 为正方形，重叠部分的面积和正方形PMRN 的面积相等，易得△CPN ∽△CBA ，∴PN BA ＝CP CB ，即PN 3＝25，∴PN ＝65(cm)，∴正方形PMRN 的面积为3625 cm 2，故重叠部分的面积为3625cm 2.15. 如图①所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图②所示的四边形ABCD ，如果AE ＝4，CE ＝3BE ，那么这个四边形的面积是 ．16.（2018·辽宁大连·3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△AB E 沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣．∵△CDF∽△A′HC，∴ =，∴ =，∴DF=6﹣2．故答案为：6﹣2．三、解答题（共46分）.17.某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M 已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.【分析】 本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD 面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．画法3：如图3(1)在AD 上取一点H ，使DH ＝CF ；(2)在CD 上任取一点G 连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 就是所要画的四边形．方案(2)画法：如图4：(1)过M 点作MP ∥AB 交AD 于点P ，(2)在AB 上取一点Q ，连接PQ ，(3)过M 作MN ∥PQ 交DC 于点N ，连接QM 、PN 、MN 则四边形QMNP 就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)18. （2018•江苏无（1）请用直尺（不带刻度（21）中这样的直线AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出 所有这样的直线AC ，并写出与之对应的函数表达式．【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣32x+132②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣23x+4．学科&网19.（2018济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段 AB）．（1）在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图 2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．【解答】解：（1）如图点 O 即为所求；20.（2018黑龙江龙东）（8.00分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴HE=DF，∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．∴BC﹣DE=DF．（2）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21. （2018山东日照）（13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【解答】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．学科&网。
中考数学“动手操作”专题训练试题[1]
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中考数学“动手操作”专题训练试题江苏 文页一、选择题1，如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，将△BCD 沿CD 折叠，B 点恰好落在AB 的中点E 处，则∠A 等于（ ）A.25°B.30°C.45°D.60°2，如图，小亮拿一张矩形纸图（1），沿虚线对折一次得图（2），下将对角两顶点重合折叠得图（3）.按图（4）沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，得到三个图形，这三个图形分别是（ ）A ．都是等腰梯形B ．都是等边三角形C ．两个直角三角形，一个等腰三角形3，Rt △ABC 中，斜边AB =4，∠B=60º，将△ABC 绕点B 旋转60º，顶点C 运动的路线长是（ ）A．3π B ．3π2 C ．π D ．3π4 4，用一把带有刻度尺的直角尺, ①可以画出两条平行的直线a 和b, 如图(1); ②可以画出∠AOB 的平分线OP, 如图(2); ③可以检验工件的凹面是否为半圆, 如图(3); ④可以量出一个圆的半径, 如图(4). 这四种说法正确的有（ ）图(1) 图(2) 图(3) 图(4)A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5，如图1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm6，当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所（4）（3）沿虚线剪开对角顶点重合折叠（2）（1）图1 图2A B CD在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE ＝（ ）A ．60︒B ．67.5︒C ．72︒D ．75︒7，如图，把矩形纸条ABCD 沿EF ，GH 同时折叠，B ，C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH ＝90°，PF ＝8，PH ＝6，则矩形ABCD 的边BC 长为（ ）A.20B.22C.248，如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换，拼成图⑤，则图⑤的面积是（ ）A.18B.16C.12D.89，把一张正方形纸片按如图.对折两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为10，如图，将n 个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A 1、 A 2、…、A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为（ ）A ．41cm 2 B ．4n cm 2 C ．41-n cm 2D ．n )41( cm 2 二、填空题11，在同一平面内，用两个边长为a 的等边三角形纸片(纸片不能裁剪)可以拼成的四边形是＿＿＿.① ② ③ ④ ⑤A ．B ．C ．D ．12，如图，是用形状、大小完全相同的等腰提梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指锐角）是 度.13，用等腰直角三角板画∠AOB ＝45°，并将三角板沿OB 方向平移到如图所示的虚线处后绕点M 逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA 的夹角α为＿＿＿°.14，如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是 ．15，如图，一宽为2cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm )，则该圆的半径为 cm.16，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE ，其中∠BAC ＝ 度.17，如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为 0.3米，踏板DE 长为1.6米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，现在踏脚着地，则捣头点E 上升了 __米.A图 （2）图（1）DM N18，小华将一条直角边长为1的一个等腰直角三角形纸片（如图1），沿它的对称轴折叠1次后得到一个等腰直角三角形（如图2），再将图2的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到一个等腰直角三角形（如图3），则图3中的等腰直角三角形的一条腰长为_____________；同上操作，若小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n 次后所得到的等腰直角三角形（如图n+1）的一条腰长为_________．三、解答题19，如图是一个食品包装盒的侧面展开图。
中考数学复习专题四 方案设计与动手操作型问题
件？(不必说理)
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解：①根据这个多面体的表面展开图，可得这个多面体是直三棱
• 单柱击，点此处A，编M辑，母D版三文个本字样母表式示多面体的同一点 ②△BMC 应满足的
• 第二级
条件•是第：三a级.∠BMC＝90°，且 BM＝DH，或 CM＝DH b．∠MBC＝
形，又余下一• 第个五四级边形，……依此类推，请画出剪三次后余下的四边
形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出 a 的值．
单击此处编辑母版标题样式 解：①如图，a＝4，
• 单•击第此二②处级如编图辑，母a＝版25文，本样式
• 第三级
③•如第图四• 级第，五a级＝34，
④如图，a＝35，
【点评】 本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已
解：• 设第二矩级形纸板的宽为 x cm，则长为 2x cm，由题意得：4(x－2×4)(2x
• 第三级
－2×4)＝• 6第1四•6，级第五解级得：x1＝15，x2＝－3(舍去)，∴2x＝2×15＝30，答：
矩形纸板的长为 30 cm，宽为 15 cm
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• 任单务击二此：处图编②辑是母一版个文高本为样4 式cm 的无盖的五棱柱盒子(直棱柱)，图③是
中考数学专题复习
专题四 方案设计与动手操作型问题
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方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提 • 单击此处编辑母版文本样式 出解• 决第问二题级 的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解
• 第三级
决方案，要• 第求四判级断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生 • 第五级
中考数学折叠剪切问题(含答案)
中考数学-----折叠剪切问题折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.一．折叠后求度数【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）A ．600B ．750C ．900D ．950答案：C【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED ′等于（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65° 答案：A【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.答案：36°二．折叠后求面积【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10图（1）第3题图CDEBA图 （2）答案：C【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是A ．2B ．4C ．8 D．10答案：B【6】如图a ，ABCD 是一矩形纸片，AB ＝6cm ，AD ＝8cm ，E 是AD 上一点，且AE ＝6cm 。
操作：（1）将AB 向AE 折过去，使AB 与AE 重合，得折痕AF ，如图b ；（2）将△AFB 以BF 为折痕向右折过去，得图c 。
则△GFC 的面积是（ ）EAAABBBCCC GDDDFF F 图a图b图cA.1cm 2B.2 cm 2C.3 c m 2D.4 cm 2答案：B三．折叠后求长度【7】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且E D B C ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D）20103-答案：D 四．折叠后得图形【8】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ）A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形答案：D【9】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）A. B. C. D.答案：D【10】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )ABCDEF 第7题图第8题图第9题图答案：D【11】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。
中考总复习 数学动手操作题汇总
A. 6 C. 3
B. 5 D. 2
1 2 3
解析 根据骰子的变换规则，骰子每次变换后朝上一面的点数的变 化是这样的：3(开始)→5→6→3→5→6→3……这就是说，连续变换3次 后，朝上一面的点数就会重复出现，而 10÷3 ＝ 3……1 ，所以 10 次变换 后骰子朝上一面的点数是5.故选B.
8
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点对点训练 2. 一只跳蚤在第一象限及 x 轴、y 轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接 着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→„„]，且每秒跳动一个单位， 那么第 35 秒时跳蚤所在位置的坐标是( B )
A. (4，0) C. (0，5)
点对点训练 1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、江苏电视台的台徽，其中为中心对称图形的是( C )
1 2
7
3
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热点二 判断图案变换后的位置 热点搜索 这类中考题，题目提供一个图案，给出变换的条件，要求考生根据 心智操作活动来变换图案，并判断出图案的最终位置．这类题在中考试卷中通常是 以选择题和填空题的形式出现，属于中等题．
典例分析 1 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
解析 根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知，A项是轴对称图 形，但不是中心对称图形；B项和C项是中心对称图形，但不是轴对称图 形；D项既是轴对称图形，又是中心对称图形．因此本题选择D.1Biblioteka 263热点看台
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3. (2014·广东广州)如图，△ABC 中，AB＝AC＝4 5，cosC＝
中考数学与平行四边形有关的压轴题附详细答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（1）、动手操作：如图①：将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么的度数为 .（2）、观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）、实践与运用：将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC 边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F 重合，展开纸片，此时恰好有MP＝MN＝PQ（如图④），求∠MNF的大小.【答案】（1）125°；（2）同意；（3）60°【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的两个锐角互余求得∠AEB=70°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°，根据平行线的性质得到∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°；（2）根据第一次折叠，得∠BAD=∠CAD；根据第二次折叠，得EF垂直平分AD，根据等角的余角相等，得∠AEG=∠AFG，则△AEF是等腰三角形；（3）由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF，MF=NF，由对称性可知，MF=PF，进而得出△MNF≌△MPF，得出3∠MNF=180°求出即可．试题解析：（1）、∵在直角三角形ABE中，∠ABE=20°，∴∠AEB=70°，∴∠BED=110°，根据折叠重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．∵AD∥BC，∴∠EFC=125°，再根据折叠的性质得到∠EFC′=∠EFC=125°．；（2）、同意，如图，设AD与EF交于点G由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．由折叠知，∠AGE=∠DGE=90°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．（3）、由题意得出：∠NMF＝∠AMN＝∠MNF，∴MF＝NF，由折叠可知，MF＝PF，∴NF＝PF，而由题意得出：MP＝MN，又∵MF＝MF，∴△MNF≌△MPF，∴∠PMF＝∠NMF，而∠PMF＋∠NMF＋∠MNF＝180°，即3∠MNF＝180°，∴∠MNF＝60°.考点：1.折叠的性质；2.等边三角形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.等腰三角形的判定2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，3△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62或233.【解析】【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=23，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=3，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=12EK=2，∵△OPF是等腰三角形，观察图形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=12PF=1，HF=3，OH=2﹣3，∴OP=()2212362+-=-.如图4中，点P在线段OC上，当PO=PF时，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴323综上所述：OP6223.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.3．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点，点F 在边BC 的延长线上，且CF AE =，连接DE ，DF ，EF . FH 平分EFB ∠交BD 于点H .（1）求证：DE DF ⊥；（2）求证：DH DF =：（3）过点H 作HM EF ⊥于点M ，用等式表示线段AB ，HM 与EF 之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EF AB HM =-，证明详见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形性质， CF AE =得到DE DF ⊥.（2）由AED CFD △△≌，得DE DF =.由90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠， 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠，所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.（3）过点H 作HN BC ⊥于点N ，由正方形ABCD 性质，得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥，，得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒，，所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒，得22EF AB HM =-. 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD =，90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。
中考数学专题复习(五)动手操作
五、动手操作问题第1课一、例题导引例1 将一张长为70㎝的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图所示的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60㎝，则原纸片的宽AB 是 ㎝.例2 用三种不同方法将正三角形ABC 分割成四个等腰三角形。
例3 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如图1所示，请你用这种方法解决下列问题：（1）对任意三角形（如图2）设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形。
（2）对任意四边形（如图3），设计一种方案，将它们分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形。
例4 蓝天希望学校正准备建一个多媒体教室，计划做长120㎝，宽30㎝的长条形桌面，现只有长80㎝，宽45㎝的木板，请你为该校设计不同的拼接方案，使拼起来的桌面符合要求。
（只要求画出裁剪、拼接图形，并标上尺寸）二、练习升华1、小亮拿着一张如图①所示的矩形纸，沿虚线对折一次得图②，再将对角两顶点重合折叠得图③，按图④沿折痕中点与重合顶点的连线剪开，〔 〕A 、都是等腰三角形B 、都是等边三角形C 、两个直角三角形，一个等腰三角形D 、两个直角三角形，一个等腰梯形2、将一张菱形纸片，按下图中①②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是〔 〕3、如图，把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到一个小三角形的周长是. 4、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进行折叠，使 折痕的左侧部分比右侧部分短1㎝；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1 A B C D E F F E A B CD 例1图 例2图 ② ③ 中点 中点 ① ① ③ ② 图1 图2 图3 80㎝ 45㎝ 图①上折图② 图③ 图④ ③ ④A 左 右左 右 第一次折叠 图1图25、请将四个全等的直角梯形（如图所示）拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等不认为是不同的拼法）.6、某地砖厂要制作一批正六边形的地砖，为适应市场多样化需求，要求在地砖上设计的图案结构把正六边形6等分，请设计等分图案。
中考数学复习指导：如何将三角形或矩形纸片折出菱形
如何将三角形或矩形纸片折出菱形折纸是一种既有趣味性，同时也能培养我们的动手操作能力和思维能力的一种活动，通过折纸可以得到许多美丽的图案，下面就谈谈如何将三角形或矩形的纸片折出一个菱形。
一、从三角形纸片中折出菱形例1、将一张三角形的纸片ABC 按照如下的折叠步骤进行折叠：（1）将三角形的纸片ABC 沿过B 点的某条直线折叠，使BC 与BA 重合，得到折痕与AC 的交点D 。
（2）再将三角形的纸片ABC 沿某条直线折叠，使点B 与点D 重合，得到折痕与BA 、BC 的交点E 、F 。
则四边形EBFD 是菱形。
分析：关键利用轴对称的性质得到相应的边等和角等，然后熟练利用菱形的判定进行说理。
本题说明四边形EBFD 是菱形的方法很多，下面一一予以说明。
解：由第一步折叠可知：∠ABD=∠CBD ，由第二步折叠可知：EF 垂直平分BD ， ∴BE=DE ，DF=BF ，OD=OB ，∴∠ABD=∠EDB ．∴∠EDB=∠CBD ．又∵∠EOD=∠FOB ，∴△EOD ≌△FOB ，∴DE=BF ．∴ BE=DE=DF=BF ．∴四边形EBFD 是菱形（四边相等的矩形是菱形）．二、从矩形纸片中折出菱形例2、把一张矩形的纸ABCD 按照如下的折叠步骤进行折叠：将矩形的纸片ABCD 沿某条直线折叠，使点B 与点D 重合，得到折痕与AD 、BC 的交点E 、F 。
则四边形EBFD 是菱形。
分析：虽然纸片不同，但方法同例1一样，说明四边形EBFD是菱形的方法还有很多，下面只选一种予以说明。
解：由折叠可知：EF 垂直平分BD ，∴BE=DE ，DF=BF ，OD=OB ，∴∠EBD=∠EDB ． O 图 1图2 O∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB=∠FBD，又∵∠EOD=∠FOB，∴△EOD ≌△FOB，∴DE=BF．∴ BE=DE=DF=BF．∴四边形EBFD是菱形（四边相等的矩形是菱形）．。
中考数学复习微专题：利用圆的相关性质作图
利用圆的相关性质作图作图题是考查学生动手操作能力的重要题型之一．现在许多作图题不仅仅只停留在尺规作图、方格内作图上，更多的是要巧妙利用已学过的概念、性质、定理等知识作图，这大大加大了作图题的难度，也提高了学生知识的理解、掌握、运用程度．下面列举几道利用圆的相关性质来作图的题目，希望对同学们的学习有所启发．例1 如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，D是圆上任一点，请你只用无刻度的直尺，画出∠D的平分线（用虚线表示）．分析显然，这里不能用“作一个角的角平分线”这一尺规作图的常规方法来作∠D的平分线，我们观察题设条件，得出OA＝OB＝OC，则O必在△ABC三边的中垂线上，由AB＝AC和等腰三角形“三线合一”这一性质，可知AO⊥BC．连结AO，并延长交劣弧BC于点E，则由垂径定理可知BE EC，所以有∠BDE＝∠EDC，因此DE就是∠D的平分线，例2 如图2，△ABC的三个顶点分别在正方形网格中的格点上，请在网格中找一个格点P，连结PB，PC，使∠BPC＝12∠BAC，并简要说明理由．分析1 如图2，延长BA至点P，使得PA＝PB，连结PC，则∠BPC＝∠BAC．试问满足条件的P点是否只有一个呢？分析2 要使∠BPC＝∠BAC，并且∠BPC，∠BAC都对着线段BC，于是联想到圆心角与圆周角的关系，自然马上就会想到以点A为圆心，AB或AC的长为半径画⊙A，⊙A经过格点P1，P2，P3，P4，P5，P6（如图3）．取其中任一个点P与点B、C相连，必然∠BPC＝12∠BAC．例3（2022江西中考题）如图4，AB是半圆的直径，图4(1)中点C在半圆外；图4(2)中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图4(1)中，画出△ABC的三条高的交点；(2)在图4(2)中，画出△ABC中AB边上的高．解(1)要用无刻度的直尺来作高显然难度较大，若利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质来作图，这个问题就迎刃而解了．假设AC，BC与半圆分别交于点D，E，连结BD，AE，得到交点P即为三条高的交点．(2)当点C在半圆内时，AC，BC没有直接与半圆相交，此时△ABC就相当于图4(2)中△ABC的位置，因此延长AC，BC必与半圆相交，设交点分别为E，F，则∠AEB＝∠AFB＝90°．再次延长AF和BE相交于点P，则C必为△ABP三条边高的交点，因此，连结PC并延长交AB于点D，必有CD⊥AB，如图4(2)所示，CD即为所求．。
2022中考数学专项五-动手操作
2022中考数学专项五-动手操作1.（2011四川省乐山市）7、如图（4），直角三角板ABC 的斜边AB=12㎝，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A B C '''的位置后，再沿CB方向向左平移， 使点B '落在原三角板ABC 的斜边AB 上， 则三角板A B C '''平移的距离为（ ）(A) 6㎝ (B) 4㎝ （C ） （6－23 ）㎝ （D ）（436-）㎝解：C2.（2011广东省广州市）如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB 按箭头方向向右．．对折，接着对折后的纸片沿虚线CD 向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）考点：剪纸问题。
分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可专门直观地出现出来，也可认真观看图形特点，利用对称性与排除法求解． 解答：解：∵第三个图形是三角形， ∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A ，∵再展开可知两个短边正对着， ∴选择答案D ，排除B 与C ． 故选D ．点评：本题要紧考查学生的动手能力及空间想象能力．关于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会专门直观地出现．3..（2011黑龙江省鸡西市）如图，在Rt △ABC 中，AB=CB ，BO ⊥AC ，把△ABC 折叠，使AB落在AC 上，点B 与AC 上的点E 重合，展开后，折痕AD 交BO 于点F ，连结DE 、EF.下列结论：①tan ∠ADB=2 ②图中有4对全 等三角形 ③若将△DEF 沿EF 折叠，则点D 不一定落在AC 上④BD=BF ⑤S 四边形DFOE =S △AOF ，上述结论中正确的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个30°BA B'A'考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义。
中考数学专题指导1：实验操作类问题.doc
中考数学专题指导第一讲实验操作类问题（一）考点解析：实验操作题要求在动手实践的基础上，进行探索、猜想，得出结论.这类题型一方面考查了学牛的实践能力，另一方面考查了学生的探究意识和创新精神，在命题中越来越受到重视，其形式主要有选择题、填空题和解答题.（-）考点训练考点1:图形的折叠与展开【典型例题】：（2017山东枣庄）如图，在中，ZA=78° , AB=4, AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）【考点】S8：相似三角形的判定.【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【解答】解：人、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故木选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C. 【变式训练】：（2017青海西宁）如图，将口ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若ZA=60° , no AD=4, AB=8,则AE的长为今・--5—D'【考点】PB：翻折变换(折叠问题)；L5：平行四边形的性质.【分析】过点C作CG±AB的延长线于点G,易证AD' CF^AECB (ASA),从而可知D‘ F=EB, CF=CE,设AE二x,在ACEG中，利用勾股定理列出方程即可求出x 的值.【解答】解：过点C作CG1AB的延长线于点G,在口ABCD中，ZD=ZEBC, AD=BC, ZA=ZDCB,由于"BCD沿EF对折，A ZD7二ZD二ZEBC, ZD' CE二ZA二ZDCB,D， C=AD=BC,：.ZD f CF+ ZFCE二ZFCE+ ZECB,A ZD7 CF=ZECB,在CF与AECB中，fZD z =ZEBC｛『C=BClZD z CF=ZECBAAD, CF^AECB (ASA)・・・D' F二EB, CF二CE,•・・DF二D‘ F,・・・DF二EB, AE=CF设AE=x,则EB=8 - x, CE=x,•・・BC二4, ZCBG=60° ,・・・BG二*BC=2,由勾股定理可知：CG=2>/3,・•・ EG二EB+BG二8 - x+2二10 - x在ACEG中，由勾股定理可知:(10-x) 2+ (2>/3) 2=x2,解得：x二AE二晋故答案为：¥5方法归纳总结：以折纸为背景考查学生对轴对称等有关知识的掌握及空间观念的发展情况，在问题解决过程中，既可以从具体的动手操作中寻找答案，也可以通过空间想象活动寻找答案，一些比较复杂的折纸与剪纸问题，或难于正确把握时，可以动手试一试.考点2：图形的分割与拼接【典型例题】：(2017湖北襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b) 2二21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )A. 3B. 4C. 5 D・ 6【考点】KR：勾股定理的证明.【分析】观察图形可知，小正方形的面积二大正方形的面积・4个直角三角形的面积，利用已知(a+b) 2=21,大正方形的面积为13,可以得出直角三角形的面积，进而求出答案.【解答】解：・・•如图所示：・・・（a+b） 2=21,Aa2+2ab+b2=21,•・•大正方形的面积为13,2ab=21 - 13=8,・•・小正方形的面积为13 - 8=5.故选：C.【变式训练】：（2017湖北宜昌）如图，将一张四边形纸片沿育•线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【考点】L3：多边形内角与外角.【分析】根据多边形的内角和定理即可判断.【解答】解：•・•①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360。
中考数学专题复习——动手操作题
初三数学 共2页 第1页中考数学专题复习——动手操作题实验观察1.如图小强拿一张正方形的纸如图①，沿虚线对折一次得图②再对折一次得图③，然后用剪刀沿图③中的虚线去一个角再打开后的形状是（ ）2.将一张矩形对折再对折如图所示，然后沿图中虚线剪下得到①、②两部分，将①展示后得到的平面图形是（ ）A 、矩形B 、三角形C 、梯形D 、菱形 3.将一长方形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后 AB,BE 在一条线上.则∠CBD 的度数为（ ）A 、60°B 、75°C 、90°D 、95° 小试牛刀：1.将一正方形纸片按图5中（1）、（2）的方式依次对折后，再沿（3）中的虚线裁剪，最后将（4）中的纸片打开铺平，所得图案应该是下面图案中的（ ）③②①ABCD①②D EB初三数学 共2页 第2页2.如图，平面直角坐标系中，△ABC 为等边三角形，其中点A 、B 、C 的坐标分别为（－3，－1）、（－3，－3）、（－1，－2）． 现以y 轴为对称轴作△ABC 的对称图形，得△A 1B 1C 1，再以x 轴为对称轴作△A 1B 1C 1的对称图形，得△A 2B 2C 2 ． ⑴求点C 1、C 2的坐标；⑵能否通过一次旋转将△ABC 旋转到△A 2B 2C 2的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；设计思考：1.如图所示两个正方形的花坛，准备把每个花坛都分成形状相同的四块，种不同的花草，下面左边两个图案是设计示例，请你再设计两个不同的图案。
2.某地板厂要制作一批正六边形的地板砖，为适应市场多样化的需要，要求在地板砖上设计图案能够把正六边形6等分，请你帮助他们设计等分方案（至少设计两种）。
初三数学 共2页 第3页3.现有一块形如母子正方形的板材ABCDEF ，木工师傅想先把它分割成几块，然后适当拼接成某种特殊形状的板面（要求板材不能有剩余，拼接时不重叠无空隙），请按下面要求帮助木工师傅分别设计一种方案。
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生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。
－－泰戈尔
动手操作题扫描
河北省怀来县桑园中学（075441） 古金龙
操作型问题是指通过动手测量、作图、取值、计算等实验，猜想并证明结论的探索性活动，这类活动模拟以动手为基础的手脑结合的研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养。
一 、 折叠剪切
折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”， 求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．折叠问题不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力
例1（09济宁）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形.
将留下的纸片展开，得到的图形是
解析：此题我们可以用一张纸按图示过程动手剪一剪，可得A 答案。
例2（09广西南宁）如图1，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm B ．220cm C ．240cm
D ．280cm
A B C
D A
B
C
D
图1
解析：剪下来的图形展开前是一个直角三角形，它的面积是所求菱形面积的四分之一；易知直角三角形的两直角边分别为2、25
，所以菱形面积为4S △=4×21
×2×25
=10，故选A
二 、 分割图形
分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。
解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。
例3（09孝感）三个牧童A 、B 、C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需要走的最大距离．．．．（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图2的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．
过了一段时间，牧童B 和牧童C 又分别提出了新的划分方案．
牧童B 的划分方案如图3：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．
牧童C 的划分方案如图4：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．
请回答：
（1）牧童B 的划分方案中，牧童 （填A 、B 或C ）在有情况时所需走的最大距离较远；
（2）牧童C 的划分方案是否符合他们的商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）．
解析：此题把图形分割放在实际应用中，通过阅读条件进行判断说理，很具有创新。
要判断牧童C 的划分方案是否合理，就是判断在三个面积相等的矩形对角线是否相等，可设未知数，借助勾股定理比较。
A B C A B C A B
C 图2 图3 图4
（1）C ；
（2）牧童C 的划分方案不符号他们商量的划分
原则
理由如下：如图5，在正方形DEFG 中，四边形
HENM 、MNFP 、
DHPG 都是矩形，且
HN NP HG ==．
可知 EN NF =，HENM FNMP S S =矩形矩形．
取正方形边长为2，设HD
x =，则2HE x =-．
证明：在Rt △HEN 和Rt DHG △中，由HN HG =得：
2222EH EN DH DG +=+．
即()2
222212x x -+=+
解得1
4
x =．
17
244
HE ∴=-=． 7711
124442
HENM MNFP DHPG S S S ∴==⨯==⨯=矩形矩形矩形，．
HENM DHPG S S ∴≠矩形矩形．
∴牧童C 的划分方案不符合他们商量的划分原则．
三 、 拼接图形
拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智力游戏，此类试题主要考查学生的空间想象能力、观察能力、判断能力，解决这类问题要注意拼接前后的图形面积不变。
例4（09安徽）如图6，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）
剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个．．．．．．矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图； （2）求
x
y
的值． 解析：拼接时抓住相等的边进行拼接（重合）。
在利用面积相等写出等式，合理整理就可求（2）的值。
（1）如图7 （2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++ 因为y ≠0，整理得：01)(2=-+
y
x
y
x 解得：
2
15-=y x （负值不合题意，舍去） 图5
N G D H 图6
② ④
① ③
解法二：由拼成的矩形可知：
y
x
y y x y x =+++)(
以下同解法一． 四、 探索证明
此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，这样的题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用。
解决这类问题需大胆猜想，细心论证。
例5（09江苏）（1）观察与发现
小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图8）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图9）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
（2）实践与运用
将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图10）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图11）；再展平纸片（如图12）．求图12中α∠的大小．
解析：此题折叠过程相对来说较复杂些，但问题通过两个步骤来实现探究过程，化解了难度。
只要抓住折叠前后角的大小不变，细心找相等的角，问题就迎刃而解。
（1）同意．如右图，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠．
又由折叠知，90AGE DGE ∠=∠=°， 所以90AGE AGF ∠=∠=°， 所以AEF AFE ∠=∠．所以AE AF =， 即AEF △为等腰三角形．
（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，45AEB ∠=°， 所以135BED ∠=°．又由折叠知，BEG DEG ∠=∠，所以67.5DEG ∠=°． 从而9067.522.5α∠=-=°°°．
A C D
B 图8 A
C
D B 图9 F E
E D C
F B A 图10 E D C A B F
G '
D ' A D
E C B α 图11 图12
A
C
D B
F E G。