中考数学动手操作题及讲解

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔

动手操作题扫描

河北省怀来县桑园中学（075441） 古金龙

操作型问题是指通过动手测量、作图、取值、计算等实验，猜想并证明结论的探索性活动，这类活动模拟以动手为基础的手脑结合的研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养。

一 、 折叠剪切

折叠中所蕴含着丰富的数学知识，解决该类问题的基本方法就是，根据“折叠后的图形再展开，则所得的整个图形应该是轴对称图形”， 求解特殊四边形的翻折问题应注意图形在变换前后的形状、大小都不发生改变，折痕是它们的对称轴．折叠问题不但能使有利于培养我们的动手能力，而且还更有利于培养我们的观察分析和解决问题的能力

例1（09济宁）将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（直角三角形的中位线）剪去上面的小直角三角形.

将留下的纸片展开，得到的图形是

解析：此题我们可以用一张纸按图示过程动手剪一剪，可得A 答案。

例2（09广西南宁）如图1，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cm B ．220cm C ．240cm

D ．280cm

A B C

D A

B

C

D

图1

解析：剪下来的图形展开前是一个直角三角形，它的面积是所求菱形面积的四分之一；易知直角三角形的两直角边分别为2、25

，所以菱形面积为4S △=4×21

×2×25

=10，故选A

二 、 分割图形

分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。

例3（09孝感）三个牧童A 、B 、C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时他们所需要走的最大距离．．．．（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先设计了一种如图2的划分方案：把正方形牧场分成三块相等的矩形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．

过了一段时间，牧童B 和牧童C 又分别提出了新的划分方案．

牧童B 的划分方案如图3：三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．

牧童C 的划分方案如图4：把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个人所需走的最大距离相等．

请回答：

（1）牧童B 的划分方案中，牧童 （填A 、B 或C ）在有情况时所需走的最大距离较远；

（2）牧童C 的划分方案是否符合他们的商量的划分原则？为什么？（提示：在计算时可取正方形边长为2）．

解析：此题把图形分割放在实际应用中，通过阅读条件进行判断说理，很具有创新。要判断牧童C 的划分方案是否合理，就是判断在三个面积相等的矩形对角线是否相等，可设未知数，借助勾股定理比较。

A B C A B C A B

C 图2 图3 图4

（1）C ；

（2）牧童C 的划分方案不符号他们商量的划分

原则

理由如下：如图5，在正方形DEFG 中，四边形

HENM 、MNFP 、

DHPG 都是矩形，且

HN NP HG ==．

可知 EN NF =，HENM FNMP S S =矩形矩形．

取正方形边长为2，设HD

x =，则2HE x =-．

证明：在Rt △HEN 和Rt DHG △中，由HN HG =得：

2222EH EN DH DG +=+．

即()2

222212x x -+=+

解得1

4

x =．

17

244

HE ∴=-=． 7711

124442

HENM MNFP DHPG S S S ∴==⨯==⨯=矩形矩形矩形，．

HENM DHPG S S ∴≠矩形矩形．

∴牧童C 的划分方案不符合他们商量的划分原则．

三 、 拼接图形

拼图是几个图形按一定的规则拼接在一起的一种智力游戏，此类试题主要考查学生的空间想象能力、观察能力、判断能力，解决这类问题要注意拼接前后的图形面积不变。

例4（09安徽）如图6，将正方形沿图中虚线（其中x ＜y ）

剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个．．．．．．矩形（非正方形）．（1）画出拼成的矩形的简图； （2）求

x

y

的值． 解析：拼接时抓住相等的边进行拼接（重合）。在利用面积相等写出等式，合理整理就可求（2）的值。 （1）如图7 （2）解法一：由拼图前后的面积相等得：2)(])[(y x y y y x +=++ 因为y ≠0，整理得：01)(2=-+

y

x

y

x 解得：

2

15-=y x （负值不合题意，舍去） 图5

N G D H 图6

② ④

① ③

解法二：由拼成的矩形可知：

y

x

y y x y x =+++)(

以下同解法一． 四、 探索证明

此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，这样的题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用。解决这类问题需大胆猜想，细心论证。

例5（09江苏）（1）观察与发现

小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图8）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图9）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．

（2）实践与运用

将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图10）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图11）；再展平纸片（如图12）．求图12中α∠的大小．

解析：此题折叠过程相对来说较复杂些，但问题通过两个步骤来实现探究过程，化解了难度。只要抓住折叠前后角的大小不变，细心找相等的角，问题就迎刃而解。

（1）同意．如右图，设AD 与EF 交于点G ．由折叠知，AD 平分BAC ∠，所以BAD CAD ∠=∠．

又由折叠知，90AGE DGE ∠=∠=°， 所以90AGE AGF ∠=∠=°， 所以AEF AFE ∠=∠．所以AE AF =， 即AEF △为等腰三角形．

（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，45AEB ∠=°， 所以135BED ∠=°．又由折叠知，BEG DEG ∠=∠，所以67.5DEG ∠=°． 从而9067.522.5α∠=-=°°°．

A C D

B 图8 A

C

D B 图9 F E

E D C

F B A 图10 E D C A B F

G '

D ' A D

E C B α 图11 图12

A

C

D B

F E G