实验地图投影的判别
地图投影判别
地图学 实验教材李永青 主编资源与环境学院土地资源教研室目录实验一：地图投影的判别 (2)实验二：用等比数列法进行河流的概括、选取 (4)实验三：利用点状符号设计分区统计图表 (5)实验一 地图投影的判别一、目的辨认各类地图投影是为了了解地图投影的变形性质和分布特点，以便于正确使用地图。
通过实习学会判别地图投影的方法。
二、用具地图集、两脚规、直尺、钱币、透明纸。
三、要求从地图集中选择一些常见的地图投影加以辨认，具体包括世界图、东西半球、南北半球、大洲图和一些分国图。
要求将辨认的结果填入记录表格内。
四、实习内容地图投影是地图的数学基础，它直接影响地图的使用，地图是地理工作者不可缺少的工具，有很多地理知识是从地图上获得的，如果在使用地图时不了解投影的特性往往会得出错误的结论。
例如：在小比例尺等角或等积投影图上式算距离，在等角投影图上对比不同地区的面积以及在等积投影图上观察各地区的形状特征等都会得出错误结论。
目前国内外出版的地图，大部分都注明投影的名称。
有的还附有有关投影的资料，这对于使用地图当然是很方便的。
但是也有一些地图没注明投影的名称和有关说明。
因此，需要我们运用有关地图投影的知识来判别投影。
地图投影的辨认，主要是对小比例尺地图而言，大比例持往往是属于国家地形图系列，投影资料一般易于查知。
另外由于大比例尺地图包括的地区范围小，不管采用什么投影，变形都是很小的，使用时可忽略不计。
地图投影的辨认是一项比较复杂的工作，有时比计算一个具体投影还要困难，同时，也不是所有的投影都能采用辨别的方法。
但辨认一般的常用投影并不是很困难的通常按下列步骤进行辨认。
1.根据地图上经纬线的形状确定投影类型。
首先对地图经纬线网作一般观察，应用所学过的各类投影的特点确定其投影是属于哪一类型，如方位、圆柱、圆锥还是伪圆锥、伪圆柱投影等。
判别经纬线形状的方法如下：直线只要用直尺比量便可确认，判断曲线是否为圆弧可将透明纸覆盖在曲线之上，在透明纸上沿曲线按一定间隔定出三个以上的点，然后沿曲线移动透明纸，使这些点位于曲线的不同位置，如这些点处处都与曲线吻合，则证明曲线是圆弧，否则就是其他曲线。
地图投影的判别和选择投影方法的依据[精华]
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地图投影的判别和选择投影方式的依据大家知道，地图投影的类型之多，分别使用在不同的场合下，那么我们在生产中选择地图投影的依据是什么呢？应该怎样确定投影类型呢？不同的投影类型的特点及变形特点如何？带着这些问题请看本文讲解.不同类型的投影通常具有不同的经纬线特点，因此投影类型可以通过判别经纬线网的形状来确定。
在确定投影类型时，准确区分经纬线是直线与曲线、同心圆弧与同轴圆弧，是非常重要的。
一、地图投影的判别不同的投影具有不同的变形特点。
判别投影的类型和变形性质，是正确使用地图的基础。
由于大比例尺地图通常属于国家基本比例尺地形图，投影简单，易于查知，且包含的制图区域小，无论采用何种投影，变形都很小。
因此，地图投影的判别主要是针对小比例尺地图而言。
判别地图投影，一般先是根据经纬线网的形状确定投影的类型，如方位投影、圆柱投影、圆锥投影等；然后是判定投影的变形性质，如等角、等积或任意投影。
1、确定投影类型不同类型的投影通常具有不同的经纬线特点，因此投影类型可以通过判别经纬线网的形状来确定。
在确定投影类型时，准确区分经纬线是直线与曲线、同心圆弧与同轴圆弧，是非常重要的。
直线只要用直尺比量，便可确定。
判断曲线是否为圆弧，可用点迹法，即将透明纸覆盖在曲线上，在透明纸上沿曲线按一定间距定出3至6个点，然后沿曲线徐徐向一端移动透明纸，若这些点始终都不偏离此曲线，则证明此曲线是圆弧，否则就是其它曲线。
判别纬线是同心圆弧还是同轴圆弧，可量算相邻圆弧间的纬线间隔（即经线长），若处处相等，则证明这些圆弧为同心圆弧，否则便是同轴圆弧。
此外，由于正轴圆锥投影与正轴方位投影的经纬线形状有时可能完全相同，因此，在判别时，可以通过以下两种方法来区分：一是量算相邻两条经线的夹角是否与实地经差相等。
若相等则为方位投影，否则就是圆锥投影；二是分析制图区域所处的地理位置。
若制图区域在极地一带，则为正轴方位投影，若在中纬度地带，则为圆锥投影。
2、确定投影变形性质在确定了投影的类型之后，可以进一步根据经纬线网的图形特征，确定投影的变形性质。
测量学与地图学(第七章)
ds ' m ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
2)面积变形 面积比和面积变形： 投影平面上微小面积（变形 椭圆面积）dF′与球面上相应的微小面积（微小圆面 积）dF之比。
P 表示面积比 Vpቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ表示面积变形
dF’
πa * r * b * r
P=
dF
=
π r2
= a*b
其中，等距投影是在特定方向上没有长度变形的任 意投影（m=1）。
§3
一.
地图投影的选择
地图投影的选择依据
1.制图区域的地理位置、形状和范围
2.制图比例尺
3.地图的内容
4.出版方式
1.制图区域的地理位置、形状和范围
2.制图比例尺
不同比例尺地图对精度要求不同，投影亦不同。 大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形 小的投影。
测量学与地图学
电子教案
第七章、地图投影
第七章、地图投影
§1 、地图投影及其变形
§2 、地图投影的分类
§3 、地图投影的选择
§4 、地图投影的判别
§1 、地图投影及其变形
一 、地图投影
按照一定的数学法则，将地球椭球面上的经纬网转换 到平面上，使地面点位的地理坐标 （λ、φ） 与地图上相 对应点位的平面直角坐标（x,y） 或极坐标 (δ,ρ)间，建立 起一一对应的函数关系：
③等距割圆锥投影
条件：m = 1 ;
原苏联出版的苏联全图，采用(j1 = 47 ° ； j2 = 62 °)的该投影。
3. 伪圆锥投影
由法国彭纳（R. Bonne）在圆锥投影的基础上，根据某些 条件改变经线形状设计而成，故又称彭纳投影(等积投影)。
实验一地图投影的判别
实验⼀地图投影的判别实验⼀地图投影的判别说明⒈地图⼏⼤投影系统的经纬⽹的基本形状（1）⽅位投影正轴⽅位投影：纬线是以极点为圆⼼的同⼼圆，经线是以极点为中⼼的放射状直线。
横轴⽅位投影：⾚道是直线，其他纬线为对称于⾚道的曲线；中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
斜轴⽅位投影：中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的曲线；纬线为任意曲线。
（2）圆柱投影正轴圆柱投影：纬线为平⾏于⾚道的直线，经线为垂直于迟到的平⾏直线。
横轴圆柱投影（⾼斯投影或UTM投影）：中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线；⾚道为直线，其他纬线为对称于⾚道的曲线。
（3）圆锥投影通常均指正轴圆锥投影。
正轴圆锥投影：纬线为同⼼圆弧，经线为交于⼀点的放射状直线束。
（4）伪圆投影和伪圆锥投影伪圆柱投影：纬线是同⼼圆弧；中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
伪圆锥投影：纬线是平⾏于⾚道的直线；中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
⒉⼀些常⽤地图投影的经纬线形状特征，如表1⒊地图上经纬线形状的判别地图上的经纬线⼀般有直线、曲线、同⼼圆、同⼼圆弧、同轴圆弧⼏种形式，其判断⽅法如下：（1）直线和曲线的判断：取⼀直尺，将经线或纬线线段的两个端点置于直线的直线边上，如果线段上的各点均位于直尺的直线边上，则说明这条线段是直线，否则是曲线。
（2）曲线与圆弧的判别：⽤⼀块透明纸蒙在曲线上，在曲线上按⼀定间隔绘出3-5个点，然后移动透明纸⾄曲线的另外位置，若透明纸上的点仍在这条曲线上，则说明此曲线为圆弧，否则为其他曲线。
之间的垂线处处等长，则这组圆弧为同⼼圆弧。
（4）同轴圆弧的判断：有⼀组圆弧，相邻圆弧之间垂线处处不相等，且左右对称，这组圆弧就是同轴圆弧，既圆⼼不在⼀点⽽在⼀条直线上，这⼀条直线⼀般是中央经线。
判断直线、曲线、圆弧、同⼼圆弧、同轴圆弧的⽅法是确定经危险形式的基础，根据经纬线形式就可以确定常见的⼏种投影的类别。
地图投影判别
地图投影判别图一：正轴等角方位投影特点：等角方位投影指投影后经线长度比与纬线长度比相等(m=n),是以等角条件决定ρ=f(ψ)函数形式的一种方位投影，ρ代表纬圈半径。
该投影的长度比和面积比随距投影中心愈远而变形愈大。
为使投影区域变形能够得到改善，故采用正轴等角割方位投影。
用途：美国UPS投影，我国设计的全球百万分一分幅地图，在极区均采用正轴等角方位投影。
图二：切圆锥投影特点：视点在地球中心，纬线投影在圆锥面上仍为圆，不同的纬线投影为不同的圆，这些圆都互相平行，经线投影为相交于圆锥顶点的一束直线。
如果将圆锥沿一条母线剪开展为平面，则成扇形，其顶角小于360°，在平面上纬线不再是圆，而是以圆锥顶点为圆心的同心圆弧，经线成为由圆锥顶点向外放射的直线束，经线间的夹角与相应的经度差成正比。
用途：由于圆锥投影具有上述的变形分布规律，因此该投影适于编制处于中纬地区沿纬线方向东西延伸地域的地图，同时，圆锥投影的经纬网又比较简单，所以在中纬度的国家广泛应用。
图三：等距圆锥投影特点：等距圆锥投影上虽然具有长度、面积和角度变形，但变形值却比较小，它的角度变形小于等积圆锥投影，面积变形小于等角圆锥投影。
用途：例如苏联出版的苏联全图。
说明：图二与图三都属于圆锥投影。
圆锥投影的各种变形都是纬度ψ的函数，随纬度变化而变化，而与经度λ无关。
圆锥面与球面相切的切线，或圆锥表面与球面相割的两条割线，即标准纬线。
距标准纬线愈远，其变形愈大。
标准纬线外的变形分布规律均为正变形，而标准纬线之间呈负变形。
图四：正轴等积切圆柱投影特点：正轴等面积切圆柱投影又称“兰勃特等积圆柱投影”。
设将圆柱投影面与球面上赤道相切，按等面积条件，用数学方法将经纬线网投影到圆柱面上。
经线为等距平行直线，纬线为垂直经线的平行直线，纬线间隔随纬度增加而缩小。
角度与长度变形在高纬度地带很显著。
用途：适用于赤道附近地区的地图。
图五：等角圆柱墨卡托投影特点：在等角圆柱投影中，球面上微分圆投影后的图形保持圆形，即一点上的长度比向任何方向均相等。
2《地图学》实验指导
《地图学》实验指导书1．墨卡托投影图上等角航线与大圆航线绘制1.1目的要求：掌握正轴圆柱投影经纬网建立的方法，并通过在该投影图上绘制等角航线与大圆航线，加深对墨卡托投影性质的理解1.2实习步骤提要：（1）计算赤道周长：（2）计算各条经纬线的平面直角坐标：（3）在墨卡托投影上根据需要规定本初子午线位置，转绘世界大陆轮廓线（1）绘制等角航线（2）在图纸上绘制区域范围为︒︒90~30N N ϕϕ，︒︒90~90W E λλ；中央经线λ0＝180o ，︒=∆10ϕ、︒=∆10λ的正轴球心方位投影经纬网，绘内外图廓1.3仪器用品：直尺、分规、绘图工具、图纸、铅笔、《世界地图》；计算机、制图软件2.地图投影的判别2.1目的要求1、巩固学过的地图投影知识2、掌握识别地图投影系统和分析地图投影变形性质的方法3、为正确使用地图投影奠定基础2.2实习步骤提要（1）利用在说明中介绍的方法，观察地图经纬线形状特征，判别地图的投影系统（2）观察制图区域位置、大小、形状，分析判别地图投影时投影面是与球面相切或相割关系。
（3）量测中央经线上的纬线间间隔变化规律，确定投影的变形性质（4）仍然无法判别其地图投影的变形性质时，则应采取量测计算图上经纬线交点的m ，n ，ε的方法，求算各经纬线交点上的面积比（P ）和最大角度变形（ω）2.3仪器用品：两脚规、三角板、铅笔3.地形图分幅编号3.1目的要求：1、通过具体图幅编号的计算，掌握基本比例尺地形图的分幅和编号的方法2、已知某地的地理坐标为)('46112),('5627E N ︒=︒=λϕ。
用图解法和解析法分别推算出该点所在的1：50万、1：5万、1：1万地形图的分幅和编号3.2实习步骤提要：（1）根据地理坐标，求其所在的1：100万比例尺地形图的图号（2）以经差'30=∆λ，纬差'20=∆ϕ，将1：100万图幅划分为纵向12列，横向12行，即144幅1：10万的图幅，再以该地的经纬度确定1：10万图幅的序号（3）以经差'15=∆λ，纬差'10=∆ϕ，将该地所在的1：10万图幅分成纵向2列，横向2行，共4幅1：5万的图幅，再以该地的经纬度确定1：5万图幅的序号（4）以经差''45'3=∆λ，纬差''30'2=∆ϕ将该地所在的1：10万图幅划分成纵向8列，横向8行，计64幅1：1万的图幅，再以该地的经纬度确定1：1万图幅的序号解析法是建立在图解基础上的另一种推算地形图分幅编号的方法。
第六讲 高斯投影与地图投影的判别
正形投影的一般条件
高斯投影首先必须满足正形投影的一般条件。图a为椭球面，图b为它 ′ 在平面上的投影。在椭球面上有无限接近的两点和 p2 ，投影后为 P1 ′ p2 dS 和 ，其坐标均已注在图上， 为大地线的微分弧长，其方位角为A 。 dS 在投影面上，建立如图b所示的坐标系， 的投影弧长为 ds 。
当要求转换精度精确至0.00lm时，用下式计算
x= X + N N sin B l ′′ 2 + sin B cos 3 B ( 5 − t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) l ′′ 4 + 2 ρ ′′ 2 24 ρ ′′ 4 N sin B cos 5 B ( 61 − 58 t 2 + t 4 ) l ′′ 6 720 ρ ′′ 6 N N y= cos B l ′′ + cos 3 B (1 − t 2 + η 2 ) l ′′ 3 + 3 ρ ′′ 6 ρ ′′ N cos 5 B ( 5 − 18 t 2 + t 4 + 14 η 2 − 58η 2 t 2 ) l ′′ 5 5 720 ρ ′′
（3）高斯平面直角坐标系 ）
在投影面上，中央子午线和赤道的投影都是直线，并且以中央子午 线和赤道的交点 O 作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标 x 轴，以赤道的投影为横坐标 y 轴。 x x
500Km
B
xB
xA
y
xB
xA
yB
yA
A
B
yB
yA
A
y
（3）高斯平面直角坐标系 ） 在我国 x 坐标都是正的， y 坐标的最大值（在赤 道上）约为330km。为了避免出现负的横坐标， 可在横坐标上加上500 000m。此外还应在坐标前 面再冠以带号。这种坐标称为国家统一坐标。例 如，有一点 Y =19 123 456.789m，该点位在带内， 其相对于中央子午线而言的横坐标则是：首先去 y 掉带号，再减去500000m,最后得 =-376 543.211m。
第五节地图投影的判别与选择
地图投影判别主要确定下列几个问题： （1）投影的种类——属方位、圆柱、圆锥 ）投影的种类——属方位、圆柱、圆锥 或其他投影； （2）变形性质——属等角、等积、等距或 ）变形性质—— ——属等角、等积、等距或 任意投影； （3）投影方式——相切、相割，标准点、 ）投影方式——相切、相割，标准点、 线的位置。
1、投影种类的确定
主要根据经纬网的形状来确定。 要求熟悉各种投影经纬网的形状。 主要注意： （1）直线与曲线（用直尺量比） （2）圆弧与曲线（用点迹法） （3）同心圆弧与同轴圆弧（比较两弧间距） （4）正轴方位投影与正轴圆锥投影（经线夹 角与对应的经度差）
2、确定投影变形性质
概略方法：通过经线上相同纬度差两纬线的间 距变化来确定，前提是找到标准线，分清切投 影或割投影。 精确方法：通过量算图上经线长度和按比例地 球上对应经线的长度，得到经线上的长度比M 球上对应经线的长度，得到经线上的长度比M， 再量算图上纬线的长度和按比例地球上的对应 纬线长度，得出纬线的长度比N 再看M 纬线长度，得出纬线的长度比N。再看M、N之 间的关系，判断投影变形 的性质。
二、投影的选择
投影的选择受很多因素的影响，主要有： 1、地图内容和用途 2、制图区域的大小 3、制图区域形状和地理位置 4、地图的出版方式 5、地图内容转绘和图面配置
一、地图投影的Βιβλιοθήκη 别目前国内外出版的地图大都注明了地图 投影的名称，有利于地图的使用。但也有 部分地图不注明投影，这就要运用地图投 影知识进行判别。 大比例尺地图往往属于国家地形图系列， 投影是固定的、明确的，资料也易于查找。 有些大比例地图区域小，无论何种投影， 变形均小，可以忽略不计，无需判别。 所以，地图投影的判别主要是针对小比 例尺地图，即小于1:100万的地图。 例尺地图，即小于1:100万的地图。
地图投影判别(练习题)
进阶练习题
2. 如何判断地图投影的类型？
答案：判断地图投影的类型可以通过观察地图上的经纬线形状和分布特点。例如，如果经纬线呈现为直线或近似直线，并且 没有明显的角度或面积变形，则可能是方位投影或圆柱投影；如果经纬线呈现为曲线或折线，并且有明显的角度或面积变形 ，则可能是圆锥投影或多圆锥投影。
进阶练习题
研发更精确的投影算法
随着地理信息系统（GIS）和遥感技术的发展，对地图投 影的精度要求越来越高，需要研发更精确的投影算法以满 足实际需求。
探索新型投影方式
目前常见的投影方式有等角投影、等面积投影和任意投影 等，未来可以探索更多新型的投影方式，以满足不同应用 场景的需求。
考虑地球模型的影响
地球是一个近似于椭球的球体，不同的地球模型对地图投 影的结果会产生影响，未来需要深入研究地球模型对地图 投影的影响，以提高投影精度。
1. 什么是地图投影？
答案：地图投影是将地球表面上的经纬网按照一定的数学法则转绘到平 面上的过程。
2. 地图投影有哪些基本类型？
基础练习题
答案
地图投影的基本类型包括方位投影、圆柱投影、圆锥投影和多圆锥投影等。
答案
等角投影是指保持角度不变的投影方式，其特点是变形小，但面积和长度变形 较大；等面积投影是指保持面积不变的投影方式，其特点是面积不变，但角度 和长度变形较大。
3. 如何纠正地图投影变形？
答案：纠正地图投影变形的方法包括多项式映射、共形映射和物理映射等。具体方法是根据地图的具 体情况和需求，选择合适的纠正方法，对原始地图进行投影变换，以减小或消除投影变形。
进阶练习题
4. 如何应用地图投影于实际工作？
答案：地图投影在实际工作中的应用非常广泛，例如在地理 信息系统、导航、气象预报、军事指挥等领域中都需要用到 地图投影。通过选择合适的地图投影，可以更好地满足实际 工作的需求，提高地图的精度和使用价值。
Ch2-3 常用地球投影及其判别和选择
距 离 最 短
1)何谓墨卡托投影?
∗2
2
墨卡托投影－正轴等角圆柱投影
• 即设想与地轴方向一致的圆柱与地球 相切或相割，将球面上的经纬网按等 角的条件投影到圆柱面上,然后把圆柱 面沿着一条母线剪开并展成平面。
2)经纬网形状及经纬距变化规律
2 3
• 经线和纬线是两组相互垂直的平行直线 • 经线间隔相等 • 纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大
• 广义的多圆锥投影
•即指纬线为同轴圆弧的投影。
（1）普通多圆锥投影
4
8 • 投影条件：m0=1，n=1 • 经纬网特征： • 变形情况： • 属于任意投影，中央经线是一条没有变 形的线，离开中央经线愈远变形愈大。
• 用途：地球仪
（2）等差分纬线多圆锥投影
4
9 • 这是中国地图出版社于1963年设计的一种任意 性质的，不等分纬线的多圆锥投影。
– 中央经线为直线，其余的经线为椭圆曲线。 – 纬线是间隔不等的平行直线，其间隔从赤道向两极逐
渐减小。同一纬线上的经线间隔相等。 – 等积投影。
（3） 伪圆柱投影——摩尔威特投影
4
4 • 用途：世界地图、东西半球图、大洋图
（4） 伪圆柱投影——古德投影
4 5
• 设计思想：对摩尔维特等积伪圆柱投影进行“分瓣投
4 6
• 特点：海/陆完整（尽量
减少投影变形，而不惜
图面的连续性）
• 用途：世界地图
2. 多圆锥投影
4 7
• 狭义的多圆锥投影
•是指用多个不同锥顶角的圆锥与地 球相切，并获得若干以各标准纬线 为中心的投影带，然后将这些投影 带沿着某一经线连接起来。由于圆 锥顶点不是一个，所以纬线投影为 同轴圆弧。
ch23 地图投影的分类判别和选择资料
S
斜轴 切方位投影
4 地图投影的分类、判别和选择
4.1 地图投影的分类
方位投影
方位投影即平面投影(Azimuthal Projection) 特性：
从投影中心向各个方向引出的方向线投影后方位
角不变。
4 地图投影的分类、判别和选择
4.1 地图投影的分类
方位投影
正轴方位投影
纬线为同心圆，经线为放射直线
4 地图投影的分类、判别和选择
正轴等角切圆柱投影（墨卡托投影）
特性：等角航线投影为直线 用途：制作航海图、赤道附近国家(地区)地图
4 地图投影的分类、判别和选择
想一想从北京到纽约的飞行航线怎样最短？
4 地图投影的分类、判别和选择
等角航线
是地球表面上与经线相交成 相同角度的曲线。
在地球表面上除经线和纬线 以外的等角航线，都是以极 点为渐近点的螺旋曲线。
等角航线在图上表现为直线。
4 地图投影的分类、判别和选择
大圆航线
是地球表面上任意两点间的 大圆弧。
地球面上两点间最短距离是 通过两点间的大圆劣弧。
4 地图投影的分类、判别和选择
4.2 常用的地图投影
圆柱投影
等角航线: 6020海里 大圆航线：5450海里
4 地图投影的分类、判别和选择
斜轴等距方位投影
方位投影
适合作大致为圆形的制图区域的地图 正轴等积（距）方位投影－－南北两极图 横轴等积（角）方位投影－－东西半球图 斜轴等积方位投影－－海陆半球图、中国政区图 斜轴等距方位投影－－航空图
等距 保持方位
4 地图投影的分类、判别和选择
4.1 地图投影的分类
圆柱投影
斜圆柱投影
等角正方位投影（北极）
3地图投影及其判别与变换
24
• （2）等变形线
• 等变形线 投影面上变形值相等的点的连线。用来 显示地图投影变形的大小和分布状况。不同投影 有不同形状的等变形线
s i n ( ' ) a b t a n 将两式相除，得： c o s c o s ' a
sin( ') ab sin( ') ab
显然当（ + ′ ）= 90°时，右 a b s i n ( ' ) s i n ( ' )端取最大值，则最大方向变形： a b
11
极值长度比和主方向
– 极值长度比 投影后,保持正 交的一对直径即构成变形椭 圆的长短轴。称为极大和极 小长度比。 – 通常用ａ和ｂ表示，是个变 量，在不同点上其值不等； 在同一点上也随方向不同而 变化。
12
– 经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬 线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。 – 经纬线投影后不正交，其交角为θ，则 ｍ、ｎ和ａ、ｂ之间具有下列关系： m2＋n2＝ａ2＋ｂ2 mnsinθ＝ａｂ （ａ＋ｂ）2＝m2＋n2＋2mnsinθ （ａ－ｂ）2＝m2＋n2－2 mnsinθ
• P102 常用投影的等变形线分布
d F' π a b P 2 ab d F π l
Vp p 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
P = a· b = m ·n P = m ·n ·sinq
(q = 90) (q ≠ 90)
面积比是变量，随位置的不同而变化。
地图投影的概念方法和变形及分类依据
地图投影的概念方法和变形及分类依据地图投影变形是球面转化成平面的必然结果，没有变形的投影是不存在的。
对某一地图投影来讲，不存在这种变形，就必然存在另一种或两种变形。
但制图时可做到:在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。
一、地图投影的概念地球椭球体表面是个曲面，而地图通常是二维平面，因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。
然而，从几何意义上来说，球面是不可展平的曲面。
要把它展成平面，势必会产生破裂与褶皱。
这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的，所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。
球面上任何一点的位置取决于它的经纬度，所以实际投影时首先将一些经纬线交点展绘在平面上，并把经度相同的点连接而成为经线，纬度相同的点连接而成为纬线，构成经纬网。
然后将球面上的点按其经纬度转绘在平面上相应的位置。
由此可见，地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。
其数学公式表达为:χ=f1(λ，φ)y=f2(λ，φ)(2-1)根据地图投影的一般公式，只要知道地面点的经纬度(λ，φ)，便可以在投影平面上找到相对应的平面位置(χ，у)，这样就可按一定的制图需要，将一定间隔的经纬网交点的平面直角坐标计算出来，并展绘成经纬网，构成地图的"骨架"。
经纬网是制作地图的"基础"，是地图的主要数学要素。
二、地图投影的基本方法地图投影的方法，可归纳为几何透视法和数学解析法两种。
1.几何透视法几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面(借助的几何面)上的一种投影方法。
如假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体，在其球心或球面、球外安置一个光源，将球面上的经纬线投影到球外的一个投影平面上，即将球面经纬线转换成了平面上的经纬线。
几何透视法是一种比较原始的投影方法，有很大的局限性，难于纠正投影变形，精度较低。
第八九章 地图投影的变换与判别
第八章地图投影的变换•学习目标与要求1．掌握地图投影变换的一般概念2．掌握地图投影变换的三种方法思想•学习重点1．掌握地图投影变换的解析变换方法•学习难点1．地图投影变换的概念2．地图投影变换的解析变换方法地图投影变换是指从一种地图投影点的坐标变换为另一种地图投影点的坐标。
解析法、数值反转加解析正算法及数值法1．用解析方法直接建立新旧两投影间的坐标关系式的变换叫解析变换。
它的必须条件是新旧两投影的函数表达式已知，若能解得这种关系，计算起来既严密又方便。
即使这样，由于解析求解两投影间的坐标关系式并非总能直接办到，即使能办到也不都很容易；但是已知旧投影公式情况下，采用直接反解或迭代反解φ、λ的函数式，却一般总能办到，再使用新投影解析式正算，这是一个较直接但计算量较大的方法。
又分为反解和正解两种变换法（P210 例3）2．数值反转加解析正算法也简称半数值法，必须已知新投影的表达式，旧投影已知或未知表达式都无仿，但要有它足够的准确的数值表现，也即有其实际地图或它的经纬线投影图，这时均可采用数值方法反解其旧投影的反函数式；从而采用通常的新投影的解析正算完成新旧坐标转换。
这种已知条件适合大多数实际应用场合，但整个变换实施的复杂性与变换本身的复杂性是不匹配的。
3．数值法并不必须已知新、旧投影的函数式，但要有它们各自足够的准确的数值表现代替，也即有其实际地图或它的经纬线投影图，这时直接采用数值方法完成新旧坐标转换，这种已知条件适合广泛的实际应用。
它原则上适合两二维场坐标之间有收敛级数对应的拓扑变换，可用于影像纠正、坐标换带或新旧坐标转换、投影变换等相应场合。
第九章地图投影的判别与选择•学习目标与要求1．掌握判别、选择地图投影的一般原则2．了解中国分省（区）地图投影的选择3．了解中国常用的地图投影举例•学习重点1．掌握选择地图投影的一般原则完整地判别一种投影，一般可从以下几个方面来考虑：1．首先确定投影系统，如属方位、圆柱或圆锥；或为多圆锥、伪方位投影等；2．其次了解投影的变形性质，如属等角、等面积或任意、等距离投影等；3．还需确定投影形式：诸如投影常数、标准纬线和无变形点的地理位置，投影面和地球表面相切或相割的位置以及投影中心的经纬度等。
地图投影选择方法及其精度评定
地图投影选择方法及其精度评定地图是人类认识和探索地球的重要工具，而投影选择是制作地图的重要环节之一。
地图投影是地球表面经纬度坐标系和平面投影坐标系之间的转换过程。
不同的地图投影方法会对地图的形状、方向、面积和距离等属性产生一定的影响。
本文将介绍地图投影的选择方法以及如何评定其精度。
一、地图投影选择方法在选择地图投影方法时，需要考虑以下几个因素：1.地图应用目的：不同的应用目的需要不同的地图投影方法。
例如，对于航空和航海导航等需要准确表达距离和方向的应用，应选择等距圆柱投影或其他等面积投影。
而对于地理教育和旅游导览等辅助应用，则可以选择经验性较丰富的墨卡托投影。
2.地图范围：地图的范围大小也会影响投影选择。
通常情况下，地图的缩放越大，影响因素越多，需要选择更加精确的投影方法来保证地图的准确性。
3.地图特征：地图上可能存在极地、赤道、大陆和海洋等不同地理特征，这也会影响投影的选择。
例如，对于需要包含整个地球的世界地图，球形投影方法会更合适。
二、地图投影精度评定的方法地图的精度评定是判断地图映射结果与真实地球表面之间的差异程度。
常用的地图投影精度评定方法有以下几种：1.地图形状比例误差：通过比较地图上的图形与地球表面上的真实图形之间的差异来评定精度。
可以通过计算图形面积、周长或者比例尺值来进行比较。
2.距离误差：通过比较地球上两点之间的真实距离与地图上两点之间的投影距离之间的差异来评定精度。
可以选择一些具有标志物的地点来进行测量，然后与地图上投影距离进行对比。
3.面积误差：通过比较地球上一个区域的真实面积与地图上对应区域的投影面积之间的差异来评定精度。
可以选择一些已知面积的区域进行比较。
4.方位角误差：通过比较地球上两点之间的真实方位角与地图上两点之间的方位角之间的差异来评定精度。
可以选择一些具有标志物的地点来进行测量，然后与地图上投影方位角进行对比。
除了以上几种常用的方法，也可以根据具体需求设计其他的评定方法，以满足特定的精度要求。
地图投影的判别与选择
第五节地图投影的判别与选择一、地图投影的判别地图投影是地图的数学基础，它直接影响地图的使用。
地图是地理工作者不可缺少的工具，有很多地理知识是从图上获得的。
如果在使用地图时，不了解投影的特性，往往会得出错误的结论。
例如在小比例尺等角或等积投影图上量算距离，在等角投影图上对比不同地区的面积，以及在等积投影图上观察各地区的形状特征等。
目前，国内外出版的地图上大多数都注明地图投影名称，这对于使用地图，当然是很方便的。
但是，也有一些地图不注明投影名称和有关说明，因此，我们必须运用地图投影的知识，根据不同投影的特征——经纬线形状，结合制图区域所在的地理位置、轮廓形状及地图的内容和用途等，综合进行分析、判断和进行必要的量算来判别它们。
地图投影的判别，主要是对小比例尺地图而言。
大比例尺地图往往是属于国家地形图系列，投影资料一般易于查知。
另外由于大比例尺地图包括的地区范围小，不管采用什么投影，变形都是很小的，在使用时可以忽略不计。
判别地图投影一般是先根据经纬线网形状确定投影种类，如方位、圆柱、圆锥等，其次是判定投影的变形性质，如等角、等积或任意投影。
（一）确定投影种类对于常见的地图投影，一般还是比较容易确定它的种类的，表2-16列出一些常见投影，供判别时参考。
判别经纬线形状的方法如下：直线只要用直尺量度，便可确定。
判断曲线是否为圆弧，可以将透明纸覆盖在曲线之上，在透明纸上沿曲线按一定间隔定出三个以上的点，然后沿曲线移动透明纸，使这些点位于曲线的不同位置，如这些点处处都与曲线吻合，则证明曲线是圆弧，否则就是其他曲线。
判别同心圆弧与同轴圆弧，则可以量测相邻圆弧间的垂线距离，若处处相等则为同心圆弧，否则是同轴圆弧。
（二）确定投影的变形性质当已确定投影的种类后，对有些投影的变形性质是比较容易判定的。
例如已确定为圆锥投影，那么只须量任一条经线上纬线间隔从投影中心向南、北方向的变化就可以判别变形性质：如果相等，则为等距投影；逐渐扩大，为等角投影；逐渐缩小，为等积投影。
地图投影及其判别与变换
• 投影前以O为圆心，OM为半径微分 圆的方程式为：
ｘ2＋ｙ2＝ｒ2
投影后得到以O′为中心，θ为交角的
两共轭直径为斜坐标轴的椭圆方程
式
x'2 a2
y'2 b2
1
23
• 比较变形椭圆与微分圆，
– 椭圆与圆的半径不等，且在 某一点附近随方向的改变而 变化，长度变形；
– 椭圆面积与圆面积为不等面 积的变形；
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
11
极值长度比和主方向
– 极值长度比 投影后,保持正 交的一对直径即构成变形椭 圆的长短轴。称为极大和极 小长度比。
– 通常用ａ和ｂ表示，是个变 量，在不同点上其值不等； 在同一点上也随方向不同而 变化。
12
– 经纬线为正交，经线长度比（ｍ）和纬 线长度比（ｎ）即为极大和极小长度比。
面积比是变量，随位置的不同而变化。
16
（3） 角度变形 ：
• 投影面上过一点的任意两方向线的夹角α′与地面上相
应两方向线的夹角α之差值，以α′－α表示。设ω/2代
表α－α′
最大角度变形:
sin ab
或
2 ab
si n
2
m2n22msniqn m2n22msniqn
– 角度变形是形状变形的具体标志。
第三章 地图投影及其判别与变换
第一节 地图投影基本概念
• 一、地图投影的基本概念 • 1.地图投影的科学内涵 • 地图是纸质平面图，而地球椭球面是个曲
面。 • 将曲面展开，使其成为没有破裂和重叠的
平面。
2
3
2.定义
• 地图投影：在球面与平面之间建立点与点 之间对应函数关系的数学方法。
地图投影的基本方法
地图投影的基本方法：数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系，通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。
几何透视法是利用透视的关系，将地球体面上的点投影到投影面（借助的几何面）上的一种投影方法。
地球仪上的经纬线的长度的特点：第一，纬线长度不等；第二，在同一条纬线上，经差相同的纬线弧长相等； 第三，所有经线长度相等。
地球仪上的经纬线网格面积的特点：第一，在同一纬度带内，经差相同的球面网格面积相等； 第二，在同一经度带内，纬度愈高，网格面积愈小。
地球仪上的经纬线角度的特点：a bc在图（b、c）上，只有中央经线和各纬线相交成直角，其余的经线和纬线均不呈直角相交，而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交，这表明地图上有角度变形。
变形椭圆指地球椭球体面上的一个微小圆，投影到地图平面上后变成的椭圆，特殊情况下为圆。
可证明球面上的一个微小圆，投影到平面上之后是个椭圆。
在分析地图投影时，可借助对变形椭圆和微小圆的比较，说明变形的性质和大小。
椭圆半径与小圆半径之比，可说明长度变形。
很显然，长度变形随方向的变化而变化，其中有一个极大值，即椭圆长轴方向，一个极小值，即椭圆短轴方向。
这两个方向是相互垂直的，称为主方向。
椭圆面积与小圆面积之比，可说明面积变形。
椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较，可说明角度变形。
baxy几何投影方位投影圆柱投影圆锥投影条件投影伪圆柱投影 伪方位投影 多圆锥投影 伪圆锥投影常用地图投影一、世界地图常用投影（1）墨卡托投影（Mercator Projection）墨卡托投影属于正轴等角圆柱投影。
该投影设想与地轴方向一致的圆柱与地球相切或相割，将球面上的经纬线网按等角的条件投影到圆柱面上，然后把圆柱面沿一条母线剪开并展成平面。
经线和纬线是两组相互垂直的平行直线，经线间隔相等，纬线间隔由赤道向两极逐渐扩大（如图）。
图上无角度变形，但面积变形较大。
等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。
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地图投影的判别实验一说明⒈地图几大投影系统的经纬网的基本形状（1）方位投影正轴方位投影：纬线是以极点为圆心的同心圆，经线是以极点为中心的放射状直线。
横轴方位投影：赤道是直线，其他纬线为对称于赤道的曲线；中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
斜轴方位投影：中央经线为直线，其他经线为对称与中央经线的曲线；纬线为任意曲线。
（2）圆柱投影正轴圆柱投影：纬线为平行于赤道的直线，经线为垂直于迟到的平行直线。
横轴圆柱投影（高斯投影或UTM投影）：中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线；赤道为直线，其他纬线为对称于赤道的曲线。
（3）圆锥投影通常均指正轴圆锥投影。
正轴圆锥投影：纬线为同心圆弧，经线为交于一点的放射状直线束。
（4）伪圆投影和伪圆锥投影伪圆柱投影：纬线是同心圆弧；中央经线是直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
伪圆锥投影：纬线是平行于赤道的直线；中央经线为直线，其他经线为对称于中央经线的曲线。
⒉一些常用地图投影的经纬线形状特征，如表1⒊地图上经纬线形状的判别地图上的经纬线一般有直线、曲线、同心圆、同心圆弧、同轴圆弧几种形式，其判断方法如下：（1）直线和曲线的判断：取一直尺，将经线或纬线线段的两个端点置于直线的直线边上，如果线段上的各点均位于直尺的直线边上，则说明这条线段是直线，否则是曲线。
（2）曲线与圆弧的判别：用一块透明纸蒙在曲线上，在曲线上按一定间隔绘出3-5个点，然后移动透明纸至曲线的另外位置，若透明纸上的点仍在这条曲线上，则说明此曲线为圆弧，否则为其他曲线。
）同心圆弧的判断：若每一个圆弧上的任一点与另一个圆弧的最短距离均相同，即相邻圆弧3（之间的垂线处处等长，则这组圆弧为同心圆弧。
）同轴圆弧的判断：有一组圆弧，相邻圆弧之间垂线处处不相等，且左右对称，这组圆弧就4（是同轴圆弧，既圆心不在一点而在一条直线上，这一条直线一般是中央经线。
判断直线、曲线、圆弧、同心圆弧、同轴圆弧的方法是确定经危险形式的基础，根据经纬线形式就可以确定常见的几种投影的类别。
常见的投影的变形性质都决定于⒋根据地图上纬线间距变化规律判别地图投影变形性质中央经线上的纬线间距的变化规律。
例如，等角投影的纬线间距是从地图的中央向南北逐渐增大，并且增大具有一顶规律。
像横轴等角方位投影，纬线间距在中央经线上由赤道向两极逐渐放大，扩°间距增°～20°～80°间距比0→大比率有12。
墨卡托投影，由赤道向两极对称增大，在纬度60 3倍。
大约等积投影的纬线间距是从地图中央向南北逐渐减小，且缩小也有一定规律。
像正轴等积方位投由赤道向两极缩小，摩尔魏特投影，→0.7。
影，纬线间距从投影中心向边缘逐渐减小，缩小比率由1 2.5倍。
10°间距比0°～°间距缩小90在纬度80°～等距投影的纬线间距相等。
若纬线间隔迅速增大或减小，则可能是任意投影。
量测纬线间隔的常用工具是分规，在中央经线上依次量各纬线间距的变化。
在进行量算之前，确定标准纬线的方法是进行图上量算。
⒌圆锥、圆柱投影标准纬线的确定首先根据地图区域轮廓范围初步判断一下可能是采用相割的投影，还是相切的投影。
当地图的区域所占的纬差较大时，大部分采用相割投影；当纬差较小时，则一般为相切投影。
当相切时，肯定应处的纬线。
根据初步判取区域中间部位的纬线；如果是相割时，则一般采用区域轮廓线南北约1/4SM=dsMdS1/4断，再量算中间纬线或南北各处图上纬线长度，然后乘以地图比例尺分母，若×△2 / 6（△S为相应纬线实际长度），则说明所量算的纬线就是标准纬线。
有的图上并没有绘出标准纬线，在这种情况下，只能根据所量算的相邻纬线的长度比。
推算出标准纬线位置。
⒍方位投影投影中心的确定正轴方位投影的投影中心在经线交点处，横方位投影的投影中心是赤道与中央经线的交点。
在斜轴方位投影中，其投影中心所在的位置，应该是上下两侧相对应的纬线间距相等，因此可在中央经线上量取纬线间距来确定。
如果所量得的纬线间距相等，则该投影属于等距斜轴方位投影，确定投影中心需用其他辅助方法。
例如，假定地图图幅中部的中央经线与纬线交点为投影中心，从该点量取与其对应的各经纬网交点的距离，如果均相等，则该点为投影中心点；如果不相等，则在该点附近的中央经线与纬线交点上继续实验，直到找到能使该点与各对应经纬网焦点距离相等的点，即为该投影的中心点。
?）结果，确定变形性质有些地图投影，用所m、n、⒎根据量测、计算图上经纬网交点（学知识根本无法辨认，对变形性质一无所知，这就给读图带来很大困难。
此时，可根据地图投影变形的特性，如果在一幅地图上对某些特征点的经线长度比、纬线长度比和经纬线的夹角能够确定，?和纬线长度比n那么就可以判断其变形性质及变形分布特点。
下面介绍用图解法求经线长度比m，（经纬线夹角θ与90°之差）的方法。
????S?S处，量出上下相同纬差的经线长A和如图1a，在特征点从提供的“地图上1°的经纬mm线弧长”资料中查出相应的这一段经线弧长△S，则经线长度比，m????S??S mm?m2(?S?1/M)m式中1/M为地图上所注的主比例尺。
????SS?°的经纬线弧长”,和从提供的“地球1处量出左右相同经差的纬线长同法，在特征点A nn资料中查出相应的这一段弧线长△S,则纬线长度比n????SS??nm?n2(?S?1/M)n?，可按下列步骤求出：先在A点所在的纬线上取与A点等距的B、C对于两点，（图1b），再将三角板的一边置于BC上，平行移动三角板至A点，作纬线的切线BAC。
作A，垂直于BAC。
然11111后在经线DAE上，取DA=AE，过A点作经线DAE的切线A（为了使切线作得比较准确，可用一直尺2??EE?DD，画出A2线）（图点，使10-1c），则A、A线于A点所成的夹角，即为所求的ε切于A21角（图1a）?、n图解法求m、图10-1??=0,则为等角投影；如果、、nm=n, 之后，就可以利用变形公式进行判断。
求出各特征点的m如果mncosε=1(或非常接近于1)，则为等积投影；若不属于上述两种情况，则一定属于任意投影。
?的数值，就可以大致判断其变形分布情况。
、n、因此，根据均匀分布于图上不同部位特征点m目的要求通过识别1972年版《世界地图集》中的“亚洲地区”、“大洋州及太平洋岛屿”、“南美地区”图：⒈巩固学过的地图投影知识；⒉掌握识别地图投影系统和分析地图投影变形性质的方法；3 / 6⒊为正确使用地图投影奠定基础。
实习步骤提要⒈利用在说明中介绍的方法，观察地图经纬线形状特征，判别地图的投影系统。
⒉观察制图区域位置、大小、形状，分析判别地图投影时投影面是与球面相切或相割关系。
如如果是相，则此条纬线即为标准纬线；，若n=1果是相切关系，应量取图幅中央纬线的纬线长度比n有的图幅不画则此两条纬线即为标准纬线。
若n=1,应量取图幅南北1/4处的纬线长度比n,割关系， n 值变化情况，确定标准纬线位置。
标准纬线，则应根据上下纬线的）。
⒊量测中央经线上的纬线间隔变化规律，确定投影的变形性质（表1⒋当经过上述步骤分析，仍然无法判别其地图投影的变形性质时，则应采取量测地图上经纬线?）、ε的方法，求算各经纬线交点上的面积比（P）和最大角度变形（。
交点的m、n ），即当各点的计算结果，面积比均等于1（或非常接近于1P)ε=1(n·cos·=m，或非常接近于1 则为等积性质的投影。
?0当各点的计算结果，最大角度变形值，即等于=ε m=n 022??cos2?mmn?n?0?0?sin?22?2cos?m2?nmn则为等角性质的投影。
计算结果如果不属于上述两种情况，则为任意投影。
基础数据与资料⒈《世界地图集》（1972年版，中国地图出版社）⒉地球上1°的经纬线弧长（表2）表2 地球上1°的经纬线弧长（根据克拉索夫斯基椭圆体计算）纬度/差纬差1°经差1°纬度/度纬差1°经差1°纬度/度纬差1°经差1°的经线弧的经线弧的纬线弧的经线弧的纬线弧的纬线弧长/m 长/m /m长长/m 长/m/m长 30 111,321 55,081 096,488 60110,576 110,863 111,42361 31 111,305 54,108 95,506 1 110,577 110,880 111,43962 111,254 52,399 94,495 2 32 111,455 110,579 110,89863 50,674 33 111,170 93,455 3 110,580 110,915 111,47264 48,933 92,386 34 111,052 4 110,583 110,934 111,4874 / 65 110,90135 91,29065 47,176110,951111,502110,58745,405 36 110,7166 90,16566110,971111,516110,59043,621 37 67 7 89,013110,497110,989110,596111,53141,822 38 8 87,834110,24568110,600111,007111,54440,011 109,96039 86,6289 69111,027111,55838,187 85,39570 109,64110 40110,613111,570111,04736,352 11 84,13771 41 109,289111,065110,620111,58234,505 82,852108,90442 12 72110,629111,085111,59432,647 81,54273 108,48743 13111,605110,636111,10430,780 80,20874 44 14 108,306 111,124110,646111,61528,902 107,55278,84875 15 45110,656111,625111,14427,016 76 46 107,036 77,46516111,163111,63425,122 77 17 47 106,488 76,057111,182111,643110,67623,219 105,90748 18 74,62778111,651110,689111,20221,810 79 73,17349 19 105,924110,700111,221111,65819,394 50 104,64980 20 71,697110,712111,241111,66517,472 103,97281 70,19921 51111,671111,260110,72615,544 82 103,26422 52 68,679110,739111,278111,67713,612 102,52453 23 83 67,138110,753111,68111,175 84 101,75365,57754 24111,686110,767111,3169,735 25 85 63,99555 100,952111,689110,783111,3557,797 100,11986 26 56 62,394111,353110,797111,6915,846 60,77357 87 99,25727111,694 110,814 111,370 5 / 628 98,36458 59,13488 3,898111,695110,829111,3881,949 57,46789 29 97,44159110,846111,695111,406000090 55,801 30 96,488 60工具两脚规、三角板、铅笔。