圆锥曲线的统一定义 教案

§2.5圆锥曲线的统一定义

教学目的：

1、知识与技能:

掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法

类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。 3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 教学过程： 一.情境设置

复习回顾

1、抛物线的定义：

探究与思考:

1≠d

PF

呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子： 将其变形为:

你能解释这个式子的几何意义吗？

二、知识建构

例 1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2

:=的距离的比是常数 c

a

(a>c>0),求P 的轨迹.

变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2

:= 的距离的比是常数 c

a

(c>a>0),求P 的轨迹.

222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-2

2

2)(

圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）

(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是

其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考

1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？

2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？

3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？

准线: 定义式:

)0(12222>>=+b a b y a x )0,0(122

22>>=-b a b

y a x (0,0)

a b >>

三、应用知识

例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:

注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p 的值,得出焦点坐标与准线方程. 例3已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.

辨析：点P 与定点F （2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1/2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。

1925)1(2

2=+y

x 164)2(22=+y x 19

25)3(22=-y x 164)4(22=-x y x y 16)5(2=y x 16)6(2-=136642

2=-y x 1

2

=

直译法： 动点P （x,y ），则

化简得： 所以动点P 的轨迹方程为： 轨迹 为椭圆 待定系数法： 由题意所求点的轨迹为椭圆，所以设为： )0(1222

2>>=+b a b y a x 则 解得：

所以所求点P 的轨迹方程为： 以上两种做法都正确吗？ 轨迹方程的思考:

例4.已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数5

5

，求P 的轨迹方程.

思考(1):已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数

5

7

求P 的轨迹方程.

(2)到点A （1，1）和到直线x+2y-3=0距离相等的点的轨迹方程为 。

椭圆的焦半径

例5、椭圆 上一点P （0,0y x ），21,F F 分别为椭圆的左、右焦点， 求证：01ex a PF +=，02ex a PF -=

双曲线焦半径公式及推导

双曲线上一点与其焦点的连线段叫做双曲线上这点的焦半径.

例.P(0,0y x )为双曲线122

22=-b

y a x 上一点,求证:|1PF |=|0ex a + |;|2PF |=|0ex a - |

22

11612x y +=22

11612x y +=222

2/1/2c c a b a c ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22

1

1612x y +=22

2

21(0)x y a b a b +=>>

练习

椭圆

的离心率为

A 、1/25

B 、1/5

C 、1/10

D 、无法确定

2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是 A 、[8,10] B 、[4,5] C 、[6,10] D 、[2,8]

3、若椭圆的长轴长为200,短轴长为160,则椭圆上点到焦点距离范围是 A 、[40,160] B 、[0,100] C 、[40,100] D 、[80,100]

4、P 是椭圆 上点,F1、F2是两焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值的差是

5.双曲线 的右支上有A,B,C 三个不同的点,若此三点关于右焦点的焦半

径成等差数列,则它们的横坐标m,n,p 满足的关系式为

例7.已知点A （1，2）在椭圆3x2+4y2=48内，F （2,0）是焦点，在椭圆上求一点P ，使|PA|+2|PF|最小，求P 点的坐标及最小值。

变题:已知双曲线 的右焦点为F,点A(9,2),试在此双曲线上求一点M,使

|MA|+ |MF|的值最小,并求出这个最小值.(与椭圆题型比较)

四、课堂小结：

1.圆锥曲线的共同性质;

2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式);

3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法) 五、作业 创新训练

|348|25

x y ++=22

143

x y +=22

22

1x y a b -=22

1916

x y -=3

5