圆锥曲线的统一定义 教案
圆锥曲线的统一定义的教学设计1
圆锥曲线的统一定义的教学设计一、教材分析1、教材的地位与作用圆锥曲线是高中数学的重要组成部分，也是高中数学的一个难点。
圆锥曲线的统一定义是我准备在学生学习完椭圆、双曲线、抛物线的标准方程以及它们的性质之后,对圆锥曲线进行一节总结性的专题课.它一方面可以使学生进一步加深对圆锥曲线的理解与认识,使学生对圆锥曲线之间的关系有一个更加系统、完整的认识。
同时也让学生进一步提高用代数方法解决几何问题的能力，体会数形结合思想和分类讨论思想。
2、学情分析（1）知识分析：学生已经掌握圆锥曲线的基础知识，但知识还不系统、不完整。
已经掌握了化简、推导圆锥曲线的基本方法。
（2）年龄分析：本课的教学对象为高二学生，这个年龄段的学生思维活跃、求知欲强，已经具备对数学问题进行合作探究的能力。
但高二学生程度参差不齐，两极分化已经形成,个性差异比较明显。
(3）思维分析：学生的思维已经基本完成从形象思维向理性思维的过度，但对形象思维还有依赖，思维习惯上还有待教师引导，因此数形结合是引导学生的较好方法。
3、教学重点与难点根据学生的认知方式，这一节课内容特点，结合学情实际，我确定如下的教学重点和难点:教学重点：圆锥曲线的统一定义的生成、理解、应用。
教学难点：圆锥曲线的统一定义的应用。
4、教学目标:新课标指出“三维"目标是一个密切联系的有机整体,应该在渗透知识和技能过程，同时成为学生树立正确价值观的过程。
这要求我们在教学中以知识技能为主线,渗透态度情感价值观.因此,我制定了以下的教学目标。
（1）知识与能力目标（直接性目标）:掌握圆锥曲线的共同性质,对圆锥曲线有一个系统、完整的认识；会用圆锥曲线的统一定义解决距离、最值问题。
（2）过程与方法目标（发展性目标）:引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主构建圆锥曲线的统一定义等概念，使学生领会数形结合的数形思想和分类讨论思想.培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。
（3）情感态度价值观目标（可持续性目标)：在探究圆锥曲线的统一定义的过程中，培养学生主动探究知识、合作交流的意识，体验在探究问题的过程中获得的成功感。
圆锥曲线统一定义的教学设计-无锡洛社高级中学
圆锥曲线统一定义的教学设计洛社高中徐建强一教材分析1．教学内容高级中学课本《数学》必修第八章－－圆锥曲线方程。
本章主要研究圆锥曲线的定义方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。
2．教材的地位与作用前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。
本章是在这个基础上学习求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。
由于高考试卷中区分度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。
考虑到本校学生的实际情况，设计例题时难度应适中。
本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课，上节课总结椭圆、双曲线、抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比较清楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。
这节课继续利用圆锥曲线的第二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。
3．教学重点和难点圆锥曲线统一定义及其应用。
突破方法：（1）引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。
（2）引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。
4．教学目标知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标（1）分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
（2）利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
（3）解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系” 的观念分析事物。
（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
二教法分析高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。
所以设计问题时应考虑灵活性。
采用启发探索式教学，师生共同探索，共同研究，充分发挥学生主题能动性，教师的主导作用。
在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨论。
通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。
数学苏教版选修21圆锥曲线的统一定义教案
圆锥曲线的统一定义江苏省海州高级中学 成泽花教学目标1、了解圆锥曲线的统一定义；2、 掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法．教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程．教学过程一、问题情境1．情境：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线．［设计意图]：以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电脑实验探索的问题情境，为猜想的形成提供足够的感性认识基础当这个比值是一个不等于１的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？2．问题： 试探讨这个常数分别是12和2时，动点P 的轨迹？ 二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示）； 可以得到：当常数是12时，得到的是椭圆；当常数等于2时得到的是双曲线； 问题：请大家回顾椭圆的标准方程的推导过程（可以用课件演示）［设计意图]：回忆推导椭圆的标准方程的过程，从中探索到定点距离与到定直线距离之 比为定值所蕴涵的关系，从而自然提出后面的思考。
在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个方程：222)(y c x a cx a +-=-将其变形为思考：你能解释这个方程的几何意义吗？c a x c=-［设计意图]：这个等式表明，椭圆上任意一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比是一个常数，这个常数就是椭圆的离心率。
从而使学生学会从多个角度（如代数的、几何的角度）认识同一个数学对象。
三、数学运用例题：已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a(0)a c >>，求点P 的轨迹．变题：已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a(0)c a >>，求点P 的轨迹．［设计意图]：双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义。
四、知识建构类似地，我们可以得到：当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a>>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b -=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆；当1e >时，它表示双曲线；当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方分别为22,a a x x c c=-=．五、随堂检测1、填空（见课本第53页感受⋅理解第一题）［设计意图]:对焦点在y 轴上的椭圆、双曲线（标准形式）的准线方程，让学生通过画图，独立探索） 2、已知某圆锥曲线的准线是1x =，在离心率分别取下列各值时，求圆锥曲线的标准方程：（1）12e = （2）1e = （3）32e =［设计意图]：此题是在学生学习了圆锥曲线的统一定义后的一道习题，目的在于学生首先根据离心率的大小来确定曲线是椭圆、双曲线还是抛物线，然后再求准线。
圆锥曲线统一定义的教案
圆锥曲线统一定义的教案江苏省镇江第一中学 数学组：刘海军【学习要求】1．通过例子，归纳出圆锥曲线的统一定义．2．理解并掌握圆锥曲线的统一定义，感受圆锥曲线在解决实际问题的作用，进一步体会数形结合的思想和变化统一观点．【学法指导】通过圆锥曲线的统一定义看三种圆锥曲线的联系，从变化的观点看待圆锥曲线，利用它们的统一定义解决一些与焦点准线有关的问题.圆锥曲线可以统一定义为：平面内到 和到 (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．①当 时，该圆锥曲线为椭圆；②当 时，该圆锥曲线为抛物线；③当 时，该圆锥曲线为双曲线. 探究点一 圆锥曲线的统一定义问题1：抛物线上的点满足什么条件？答案：抛物线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线(定点不在定直线上)的距离相等，即这两个距离之比为1.问题2：F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离的比e 是小于1的 常数．那么M 点的轨迹是什么？若e >1呢？答案：用《几何画板》软件画出动点M 的轨迹，观察这个轨迹，可以发现它是一个椭圆．在0<e <1的范围内，改变e 的大小，或改变点F 与直线l 的相对位置，可以发现动点M 的轨迹仍然是一个椭圆． 若e >1，则轨迹为双曲线．例1：若点M (x ，y )与定点F (c,0)的距离和它到定直线l ：x ＝a 2c 的距离的比是常数c a(a >c >0)，求点M 的轨迹方程． 解 根据题意可得 (x －c )2＋y 2|a 2c－x |＝c a ， 化简得(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)．令a 2－c 2＝b 2，上式就可以化为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)． 所以点M 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 问题3：若将例1中的条件“a >c >0”改为“c >a >0”，其他条件不变，M 的轨迹方程又是什么？答案：x 2a 2－y 2b2＝1 (其中b 2＝c 2－a 2) 问题4：三种圆锥曲线有什么共同特征？答案 它们可以统一定义为：平面内到一定点F 和到一条定直线(F 不在l 上)的距离之比为常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，表示椭圆；e >1时，表示双曲线；e ＝1时，表示抛物线；e 是离心率，F 是焦点，l 是准线． 跟踪训练1：(1)双曲线2mx 2－my 2＝2的一条准线为y ＝1，则m 的值为________．(2)点M 与F (0，－2)的距离比它到直线l ：y －3＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__________． 解析 (1)2mx 2－my 2＝2化为y 2－2m －x 2－1m＝1，所以a 2＝－2m ，b 2＝－1m ， c ＝a 2＋b 2＝ －2m －1m ＝－3m .因为－2m －3m＝1，且m <0，所以m ＝－43. (2)符合抛物线定义．探究点二 圆锥曲线统一定义的应用问题1：通过圆锥曲线的统一定义可以得到曲线上的点到焦点与准线的什么关系？答案：设曲线上的点为M ，焦点为F ，M 到准线的距离设为d ，则MF d＝e ，∴MF ＝de . 问题2：圆锥曲线的共同特征体现了一种什么数学思想？答案：转化思想，曲线上的点到准线的距离和到焦点的距离可以相互转化．例2：已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是椭圆的右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到椭圆左准 线的距离为32，求此椭圆方程． 解 设F 1为左焦点，连结AF 1，BF 1，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1、d 2、d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2， ∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1，∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 小结：在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪训练2：已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离． 解 由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆定义PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ， 得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .又PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 【课堂练习】1．双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为________． 解析 两准线间距离为2·a 2c ，焦距是2c ，则2·a 2c 2c ＝13，a 2c 2＝13，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝3，e ＝c a＝ 3. 2．准线方程为x ＋y ＝1，相应的焦点为(1,1)的等轴双曲线方程是__________．解析 利用统一定义求得．设动点为(x ，y )，∵等轴双曲线e ＝2，∴(x －1)2＋(y －1)2|x ＋y －1|2＝2，整理得，xy ＝12. 3．点M (x ，y )与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，则点M 的轨迹方程为____________． 解析 由圆锥曲线的统一定义知c ＝3，a ＝5，b ＝4，∴方程为x 225＋y 216＝1. 4．试在抛物线y 2＝4x 上求一点A ，使A 到点B (3，2)与到焦点的距离之和最小．解 由已知易得点B 在抛物线内，p 2＝1，准线方程x ＝－1，如图，过B 作C ′B ⊥准线l 于C ′，直线BC ′交抛物线于A ′，则A ′B ＋A ′C ′为满足题设的最小值．因为C ′B ∥x 轴，B 坐标为(3，2)，所以A ′点坐标为(x,2)．又因点A ′在抛物线上，所以A ′(1,2)即为所求A 点，此时最小值为BC ′＝3＋1.【课堂小结】1．三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化.。
《圆锥曲线的统一定义》教学设计
《圆锥曲线的统一定义》教学设计作者：姚圣海来源：《新课程·教研版》2010年第16期【教材分析】《圆锥曲线的统一定义》是苏教版高中数学选修2-1第二章第五节的内容。
本教科书对本章总体设计思路是“总—分—总”,即先从整体上认识圆锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系,再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。
最后在学生对直线、圆及圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题。
这一设计体现了数学的文化价值、科学价值及应用价值,反映了数学的美学意义,遵循了“适度形式化”的课程理念。
【教学目标】1.知识与技能目标:通过本节的学习,了解圆锥曲线的统一定义,掌握根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用。
2.过程与方法目标:教材通过多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线,通过观察、类比、归纳总结得出圆锥曲线的共同性质。
3.情感、态度与价值观目标:通过本节的学习,可以培养我们观察、猜想、归纳、推理的能力,感受圆锥曲线的统一美。
【重点与难点】重点:圆锥曲线统一定义的推导。
难点:对圆锥曲线统一定义的理解与运用。
【教法分析】将椭圆、双曲线的统一定义安排在学习抛物线之后集中处理,是从整体、统一以及追求和谐的理念出发的设计。
教学时以抛物线的定义作为新知识的生长点,设计了用电脑实验探索的问题情境,为猜想的形成提供足够的感性认识的基础。
再通过建立方程加以证实。
根据圆锥曲线的标准方程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单应用也需要学生掌握。
所以,在教学中也设计了形式多样的练习,如填表等,让学生在趣味中形成新的认知结构。
【学法分析】对圆锥曲线的统一定义和性质,鼓励学生根据方程形式、图形特征进行直觉猜想,通过对特殊情形的研究引发从特殊到一般的归纳猜想。
同时,也不忽视让学生适当运用方程等工具进行逻辑探索,从各个侧面、不同层次上提高学生的数学素养。
教学设计2：圆锥曲线的统一定义
《圆锥曲线的统一定义》教学设计【教学手段】多媒体演示 【教学方法】讨论发现法 【教学过程】 一、知识回顾1、学生看课本P28《椭圆的标准方程》、P36《双曲线的标准方程》在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样的一个式子：222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为：ac x ca y c x =-+-222)(， 你能解释这个式子的意义吗？这个式子表示一个动点P （x ，y ）到定点（c ，0）与到定直线c a x 2=的距离之比等于定值ac，那么具有这个关系的点的轨迹一定是椭圆吗？二、新课讲解已知点点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线c a x l 2:=的距离之比是常数)0(>>c a ac，求点P 的轨迹．解：由题意可得ac x ca y c x =-+-222)( 化简得)()(22222222c a a y a x c a -=+-．令222b c a =-，则上式可以化为)0(12222>>=+b a by a x 这是椭圆的标准方程．所以点P 的轨迹是焦点为（c ，0），（-c ，0），长轴长、短轴长分别为2a 、2b 的椭圆．若将条件0>>c a 改为c a <<0呢？由上例知，椭圆上的点P 到定点F 的距离和它到一条定直线（F 不在上）的距离的比是一个常数，这个常数就是椭圆的离必率类似地，可以得到：双曲线上的点P 到定点F （c ，0）的距离和它到定直线c a x l 2:=（2220a c b a c -=>>，）的距离的比是一个常数，这个常数ac就是双曲线的离心率．F 和到一条定直线（F 不在定直线上）的距离之比是一个常数．F（1） 椭圆的离心率满足0<<1，双曲线的的离心率>1，抛物线的的离心率＝1．（2） 根据图形的对称性知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是c a x 2±=；对于中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆或双曲线，准线方程都是ca y 2±=．（3） 圆锥曲线的定义深刻提示了三类曲线的内在联系，使焦点、离心率和准线等构成一个和谐的整体，当圆锥曲线上一点与一焦点和相应准线的距离需要建立联系时，常考虑第二定义；当圆锥曲线上一点与两焦点距离之和（或差）为常数时，常考虑第一定义．三、新知巩固：1、学生填表（见课本P47习题 1、填空）2、学生板演：（见课本P46 （1）－（4）） 四、知识拓展：椭圆的焦半径公式：若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点和右焦点，则ex a PF ex a PF -=+=21，；若P （x ，y ）是椭圆上任一点，F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a bx a y 的下焦点和上焦点，则ey a PF ey a PF -=+=21，；例2 椭圆的中心为点(10)E -，，它的一个焦点为(30)F -，，相应于焦点的准线方程为72x =-，求这个椭圆的方程．解析：椭圆的中心为点(1,0),E -它的一个焦点为(3,0),F -∴ 半焦距，相应于焦点F 的准线方程为7.2x =-∴ 252a c =，225,1a b ==，则这个椭圆的方程是22(1)15x y ++= 例3 已知椭圆1361002=+yx 上有一点P ，到其左、右焦点距离之比为1：3， 求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．。
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义教学设计
人教版高中选修(B版) 4-12.2.4 圆锥曲线的统一定义教学设计教学目标1.理解圆锥曲线的统一定义方法。
2.能够根据圆锥曲线的不同参数绘制出不同类型的图形。
3.掌握圆锥曲线的一些基本概念，如焦距、离心率等。
4.熟练掌握圆锥曲线的基本公式和性质。
教学重点1.圆锥曲线的统一定义方法。
2.圆锥曲线的基本公式和性质。
教学难点1.理解和掌握圆锥曲线的统一定义方法。
2.对圆锥曲线的不同参数，如焦距，离心率等的理解和运用。
教学方法1.授课法2.演示法教学准备1.课件2.准备好黑板、多彩粉笔、直尺、圆规等教学工具1. 导入新课1.引入圆锥曲线。
2.过渡到圆锥曲线的统一定义。
2. 讲解圆锥曲线的统一定义1.通过展示圆锥切割图来说明圆锥曲线的本质。
2.介绍圆锥曲线的统一定义方法。
3.给出圆锥曲线的基本形式：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0。
解释各参数的含义。
3. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义方法1.给出不同参数下的统一定义公式。
2.利用统一定义方法，绘制出不同类型的图形，如圆、椭圆、双曲线、抛物线。
4. 讲解圆锥曲线的性质及运用1.圆锥曲线的焦点和焦距的概念及运用。
2.圆锥曲线的离心率及相关公式的推导。
3.圆锥曲线的常见性质及相关公式的推导。
5. 课堂小结1.确认本节课的教学内容。
2.总结圆锥曲线的统一定义方法，以及圆、椭圆、双曲线、抛物线的统一定义公式和性质。
通过课堂教学，学生们对圆锥曲线有了更深入的理解，能够根据不同的参数绘制出不同类型的图形，同时也能够掌握圆锥曲线的基本公式和性质。
但是，在课堂中存在一些小问题，如学生对部分概念的理解不够深入，需要加强课后的练习和巩固。
另外，需要更加注重学生的思维能力和创造性思维的培养，增强学生实际应用能力。
25圆锥曲线的统一定义教案(苏教版选修2-1).docx
2. 5圆锥曲线的统一定义•三维目标1. 知识与技能(1) 圆锥曲线统一定义及其应用. (2) 圆锥曲线的准线及其应用. 2. 过程与方法(1)通过对圆锥Illi 线的统-定义的研究，体会三种Illi 线的内在统--性，培养学生归纳、 总结能力.(2)通过对圆锥］III 线统一定义的应用，培养学牛对圆锥|11|线的准线的理解，培养 学生转换角度，认识问题的能力.(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决 问题的能力.体会特殊到一般，具体到抽彖的认识规律.3. 情感、态度与价值观在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念 分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神.•重点难点重点：圆锥曲线统一定义的推导. 难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.(教师用书独具)•教学建议以前己学过求圆锥mi 线的标准方程和利用圆锥mi 线方程研究MI 线儿何性质的初步知 识.本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三 种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和学握坐标法.通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确木节的重难点，主动思考，发现问题, 在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学牛主讲，学生板书，学牛点评，当堂 进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学冃标.引导学生在探究中发 现问题、研究问题并解决问题.在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成放字教法分析明课标分条解读现“数法”教学助 & K I敷多方案设ir授方略冰稅细解用“教秦”教案设 甘区上良好学习习惯和思维习惯.•教学流程设置情景，导入新课.上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题， 平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线I 的0不在I 上）距离的比等于1的动点P 的轨 迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么呢？今师生 互动，探求新知.思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：出=务 同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学生学会从多个角度（如代数的、几何的角度） 认识同一个对象.今 学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线Z0不在Z 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹.当（）“vl 时，它表示椭圆；当 01时，它表示双曲线；当0=1时，它表示抛物线.设计说明：使学生对圆锥曲线的共同 性质有理性的认识.今通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法, 领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统 一定义中的重要性.今通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用 圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的 目的.利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方 程.=＞通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解 焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程.今通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的 严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应.二归纳整 理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.今完成当堂双基达标，巩固基本知识，形 成 基 本 能 力・【问题导思】如何求圆锥曲线的统一方程呢？【提示】 如图，过点M 作丄/, H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知= e\MH\}.理教材自查自测固“基础”自主学习区*取过焦点F,且与准线/垂直的直线为兀轴，F(0)为坐标原点，建立直角坐标系.设点M的坐标为(x,叨，则\OM\ = yfx2 + y2.①设直线/的方程为兀=—p,则\MH\ = |x + p|. ②把①、②代入\0M\ = e\MH I，得\jx2+y1=e\x+p\.两边平方，化简得(1 - e2)x2 +/ - 2pe2x ~p2e2=0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程.1.平面内到一个定点F和到一条定直线/(F不在/上)的距离的比等于並数旦的点的轨迹.当0«<1时,它表示椭圆；当少1时,它表示双曲线；当€=1时,它表示抛物线.其屮匕是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点,定玄线/是圆锥曲线的准线.2 2 2 2 22.椭圆寺+”=l(a>b>0)的准线方程为x=士牛，^2+p=l(a>b>0)的准线方程为ycf=±—・c2 2 2双曲线歹一*=1(。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案2
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标1.知识与内容：(1)通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2(2)利用Dandelin 双球证明定理2中情况(1)(3)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2.情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题.教学重、难点重点：(1)定理2的证明(2)椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.生成椭圆的方法有许多，例如：(1)圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图；(2)椭圆的定义(3)平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0<e <1)的点的轨迹(4)一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线.思考： AD 是等腰三角形ABC 底边BC 上的高，∠BAD =α.直线l 与AD 相交于点P ，且与A D 的夹角为(0).2πββ<<试探究：当α与β满足什么关系时， (1)l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交；(2)l 与AB 不相交；(3)l 与BA 的延长线、AC 都相交.可以有如下结论：(1)当l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交时，设l 与AB (或AB 的延长线)交于E ，与AC 交于F .因为β是△AEP 的外角，所以必然有β>α；反之，当β>α时，l 与AB (或AB 的延长线)、AC 都相交.(2)当l 与AB 不相交时，则l //AB ，这时有βα=；反之，当βα=时，l //AB ，那么l 与A B 不相交.(3)当l 与BA 的延长线、AC 都相交时，设l 与AB 的延长线交于G ，因为α是△APG 的外角，所以必然有β<α；反之，当β<α时，l 与AB 的延长线、AC 都相交.思考：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面.如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？ 归纳提升：定理2 在空间中，取直线l 为轴，直线l '与l 相交于O 点，其夹角为α，l '围绕l 旋转得到以O 为顶点，l '为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l 交角为β(π与l 平行，记住β＝0)，则：(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.思考：你能仿照定理1的证明方法证明定理2的结论(1)吗？下面给出交线为椭圆时的证明.利用Dandelin 双球(这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切)证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.讨论：点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比小于1).证明1：利用椭圆第一定义，证明 F A +AE =BA +AC =定值，详见课本.证明2：①上面一个Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；②如果平面π与平面π/的交线为m ，在图中椭圆上任取一点A ，该Dandelin 球与平面π的切点为F ，则点A 到点F 的距离与点A 到直线m 的距离比是(小于1).(称点F 为这个椭圆的焦点，直线m 为椭圆的准线，常数为离心率e .)点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.探究：找出椭圆的准线；(2)探讨P 到焦点F 1的距离与到两平面交线m 的距离之比. 上面一个Dandelin 球与圆锥的交线为圆S ，记圆S ，所在的平面为π′.设π与π′的交线为m .在椭圆上任取一点PF 1，连接P .在π中过P 作m 的垂线，垂足为A .过P 作π的垂线，垂足为B ，连接AB ，则AB 是P A 在平面π′上的投影.容易证明，m ⊥AB .故∠P AB 是平面π与平面π′交成的二面角的平面角.在Rt △ABP 中，∠APB =β，所以cos .PB PA β=(1)设过P 的母线与圆S 交于Q 1，则在Rt △PQ 1B 中，∠Q 1PB =α，所以11cos cos .PB PQ αPF α==(2)由(1)(2)得：1cos .cos PF βPA α= 10,2cos cos .cos 1.cos παββαPF βPA α<<<∴<∴=<由上述可知，椭圆的准线为m ，椭圆上任意一点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数cos cos βα，因此椭圆的离心率cos cos βe α=，即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比. 最后，我们延用讨论椭圆结构特点的思路，讨论一下双曲线的结构特点.当βα<时，平面π与圆锥的两部分相交.在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin 球，与平面π的两个切点分别是F 1、F 2，与圆锥两部分截得的圆分别为S 1、S 2.在截口上任取一点P ，连接PF 1、PF 2.过P 河圆锥的顶点O 作母线，分别与两个球相切与Q 1、Q 2，则PF 1=PQ 1，PF 2=PQ 2.所以121212.PF PF PQ PQ QQ -=-=由于Q 1Q 2为两圆S 1、S 2所在平行平面之间的母线段长，因此Q 1Q 2得长为定值.由上所述可知，双曲线的结构特点是：双曲线上任意一点到两个定点(即双曲线的两个焦点)的距离之差的绝对值为常数.课堂小结回顾本课学习了哪些知识？。
圆锥曲线的统一定义教案(高一数学)MMUMKw
(1)完成下表:探究1: 平面内到一个定点F 的距离和到一个定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，定点P 的轨迹又是什么曲线呢？探究2:在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程222)(y c x a cx a +-=-，将其变形为acx ca y c x =-+-222)(，你能解释这个方程的几何意义吗？ 在推导双曲线标准方程时，我们也得到一个类似的方程，你能写出来并解释其几何意义吗？探究３:根据问题１与问题２，你能得出什么结论呢？例1．已知点),(y x P 到定点)0,(c F 的距离与它到定直线ca x l 2:=的距离的比是常数)0(>>c a ac，求点P 的轨迹．探究４:例１中若括号中条件)0(>>c a 变为)0(>>a c ，点P 的轨迹是何种曲线？探究５:焦点在y 轴上的椭圆与双曲线其准线方程是什么？例２．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离是14，求点P 到右准线的距离。
三、思维训练１.试写出下列曲线的焦点坐标与准线方程：（１）14491622=+y x ；（2）（２）328422=-y x ；（３）y x 322-=．２.若动圆的圆心在抛物线y x 122=上，且圆与直线03=+y 相切，则此动圆恒过定 点 ．３.已知点)2,1(A 在椭圆1121622=+y x 内点F 的坐标为)0,2(，在椭圆上求一点P ，使PF PA 2+最小． 四、课后巩固1．椭圆64322=+y x 的离心率为 ．2．若椭圆13622=+m y x 的焦点在x 轴上，离心率32=e ，则=m ．3．若椭圆116222=+by x 过点)3,2(-，则其焦距为 ．4． 2222=-my mx 的一条准线是1=y ，则=m ．5．已知方程12322=-+-ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围为 ．6．已知双曲线19222=-b y x )0(>b 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围为 ．７.AB 是抛物线2x y =的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为１，则弦AB 的长度的最大值为 ．８. 椭圆1422=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为椭圆上一动点，当21PF F ∠为钝角时，求点P 的横坐标的取值范围．。
苏教版选修(2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案
圆锥曲线的统一定义主备人： 熊慧 审核人：杨鹤飞学 案一、学生自主学习阅读课本P 51--52中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。
二、结合学习的内容思考如下问题： 平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的________, 定点F 叫做圆锥曲线的________, 定直线l 就是该圆锥曲线的__________.三、自主解答几道题目1.填空:(书本P 53习题1)2. 如果双曲线 上一点P 到右焦点 的距离等于 ，那么点P 到右准线的距离是_______3.椭圆 上一点P 到其右准线的距离为10，则该点到其左焦点的距离是_____ 教 案一、教学内容：圆锥曲线的统一定义二、教学目标：知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。
能力目标1．分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。
2．利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。
3．解题过程中，培养学生运算与思维能力。
情感目标（1） 在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。
（2） 讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。
三、教学重难点：教学重点：圆锥曲线的统一定义的理解与运用教学难点：圆锥曲线的统一定义的运用（一）课前自主学习检查1121322=-y x 1313610022=+y x2. 513 3. 12 （二）导入(创设情景)1．复习：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 L ( F 不在L 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线2．思考：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？3．思考：将推导椭圆标准方程中得到的方程： ()222y c x a cx a +-=-变形为 ()a c x ca y c x =-+-222 你能解释这个式子的几何意义吗？（三）分析（互动对话）:讨论以上问题,并解答以下问题。
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案1
《2.2.4圆锥曲线的统一定义》教学案教学目标：(1)了解圆锥曲线的共同特征.(2)熟练利用坐标法求解曲线方程.(3)培养类比、联想、归纳、总结的能力.教学重点、难点：重点:圆锥曲线统一定义的推导难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用.教学程序设计：(1)创设情境，引入新课：用平面截取圆锥面，得到椭圆、抛物线、双曲线，它们都是由平面截圆锥面所得，因此都称为圆锥曲线，这节课我们就一起来研究圆锥曲线的统一定义.(这个问题的设计：起了承上启下的作用，承上：前面的圆锥曲线第一定义，启下：本节所研究的圆锥曲线的统一定义，通过多媒体的演示，激发学习和探究知识的兴趣；通过图象说明问题.由“形”上共同特点类比得出“数”上的共同特点.)为了便于下面的探索活动，我设计知识回顾.复习回顾：1．平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做____．表达式：2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于F1F2且不等于零)的点的轨迹叫做______．表达式：3．平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做______．表达式：(这个环节的设计：是引导学生复习回顾旧知，为新知的探究打好基础.)接下来，我设计了问题1：(2)提出问题，探究新知问题1：曲线上点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线x=-2的距离的比是常数1，求曲线的方程.(这个问题学生可能会从两个角度求解：1.定义法，2.坐标法，肯定定义法，强化坐标法的运用，为问题2，3的解决做好铺垫，强调如何解决有关根式化简的问题.由学生通过实物投影仪展示他们的解题过程，由其他学生点评，培养学生叙述和书写的正规化，完善学生的知识结构.这个问题的设计：是为了进一步让学生熟悉用坐标法求动点轨迹方程的方法，掌握化简含根号等式的方法，提高运算能力，养成不怕困难的钻研精神)(在充分肯定学生回答后，依次提出)问题2：曲线上点M (x ，y )到定点F (2，0)的距离和它到定线l :x =8的距离的比是常数21，曲线还是抛物线吗？如果不是，又会是什么呢？问题3： 曲线上点M (x ，y )到定点F (-4，0)的距离和它到定线l :x =-1的距离的比是常数2，求曲线的方程.曲线还是抛物线或者椭圆吗？如果不是，又会是什么呢？(学生同样采用分组讨论，通过实物投影仪展示解题过程，这样的设计：是让学生经历知识和方法产生和发现过程，进而得出解决同类问题的一般方法，同时也给学生渗透了探究问题的基本思路——由特殊到一般.)通过上面3个问题的研究，提出问题4：让学生们观察对比动点到定点和到定直线的距离的比值，与该动点轨迹图形有什么关联呢？分组讨论交流，最后由学生表述结论，老师最后给出标准的圆锥曲线的统一定义，结论：椭圆、抛物线、双曲线都可以看作到定点的距离与它到定直线的距离之比为常数e 的点的集合.当0<e <1 时，圆锥曲线是椭圆；当e >1 时，圆锥曲线是双曲线；当e =1 时，圆锥曲线是抛物线.其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率，定点F 叫做圆锥曲线的焦点， 定直线l 就是该圆锥曲线的准线.(强调比值的顺序性)强调此定义中三个关键词：比值、定点、定直线，并分别给予定义.(这个环节的设计：突出了本节课的重点，圆锥曲线的统一定义，通过学生展示解决问题的方法，培养学生的语言表达能力和沟通能力，增强学生思维的严谨性，重点和难点初步突破. 把学生学习数学的过程转变为学生对数学知识的“再创造”过程，体验数学发现和创造的历程，为学生形成积极探究的学习方式，创造有利条件，发展了学生的创新意识.培养学生的类比、联想、归纳、概括能力)通过课前的预习学生知道抛物线只有一个焦点和一条准线，而椭圆和双曲线都有两个焦点和两条准线，强调焦点准线对应关系.为了巩固圆锥曲线的统一定义，我设计如下的例题：(3)巩固新知，深化理解例 求证：通过椭圆的两个焦点的直线垂直于椭圆的一条准线.证明：如图，已知圆锥面S .平面σ截S 所得截线为一椭圆.圆锥面的两个内切球1O 和2O 分别与平面σ相切于点12F F 和.球1O 的切点圆所在的平面记为平面δ，平面δ和平面σ相交于直线l ，则l 为椭圆的准线.分别作球的半径1122O F O F 和，则112211*********//.O F O F O F O F O F O F O O F ⊥⊥平面，平面因此，和确定一平面σδ1212112121212.F F O O F O O F F F F O O 所以直线为平面与平面的交线，与平面的交点必在上，并且为在平面内的射影σσσ1212.()l O O l F F l ⊥⊥又因为直线是平面和平面的交线，所以，从而三垂线定理σδ即通过椭圆两个焦点的直线垂直于椭圆的准线.为了让学生与已经学过的圆锥曲线第一定义联系起来，我设计如下的变式训练：(4)．变式探究，强化方法 变式训练：已知双曲线221169x y -=上一点P 到其左焦点的距离是10，求点P 到右准线的距离.(此题是双曲线的两个定义的综合应用，强调焦点与准线的关系.)为了检查学生本节课对圆锥曲线的统一定义掌握情况，我设计了以下当堂检测.(5)．知识应用【当堂检测】：1. 动点P 到点(3，1)的距离与它到直线x =8的距离之比为3，则点P 的轨迹是 ；2. 动点P 到点(-1，2)的距离与它到直线x =8的距离之比为0.8，则点P 的轨迹是 ；3. 动点P 到点(6，0)的距离与它到直线x =-9的距离相等，则点P 的轨迹是 ；4.动点P 到直线x =6的距离与它到点(2，1)的距离之比为0.5，则点P 的轨迹是 ； 5．已知双曲线 4x 2－9y 2 = 36，①若双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离为2，求它到左焦点的距离.②若双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离为2，求它到左准线的距离.③求双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比.(这5题由浅入深，符合学生的思维发展规律，目的是突出重点，突破难点.)(6)．课堂小结(通过小结使学生理清本节知识的脉络和使用方法)。
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义课程设计
人教版高中选修(B版)4-12.2.4圆锥曲线的统一定义课程设计一、课程目标本次课程的主要目标是让学生了解圆锥曲线的基本概念，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线的数学定义及其图像特征，并掌握它们在代数方程和几何方程中的表示方法。
二、教学过程1. 引入在介绍圆锥曲线之前，先让学生回忆一下二次函数的基本知识，包括二次函数图像的基本特征、二次函数的代数方程和几何方程等。
2. 圆的统一定义引入圆的统一定义，即平面内到定点距离等于定值的点的集合为圆。
让学生通过画图来理解和掌握圆的性质，包括圆的半径、直径、弧度、圆心角等。
3. 椭圆的统一定义介绍椭圆的统一定义，即平面内到两个定点的距离之和等于定值的点的集合为椭圆。
让学生通过画图来理解和掌握椭圆的性质，包括椭圆的焦距、长轴、短轴、离心率等。
4. 双曲线的统一定义引入双曲线的统一定义，即平面内到两个定点的距离之差等于定值的点的集合为双曲线。
让学生通过画图来理解和掌握双曲线的性质，包括双曲线的焦距、渐近线、离心率等。
5. 抛物线的统一定义介绍抛物线的统一定义，即平面内到定点的距离等于定直线的距离的点的集合为抛物线。
让学生通过画图来理解和掌握抛物线的性质，包括抛物线的离心率、对称轴、焦点、准线等。
6. 圆锥曲线的数学表示方法通过以上几个部分的学习，让学生对圆锥曲线的基本特征有了一定的了解和掌握。
接下来，我们要学习如何将圆锥曲线用代数方程或几何方程进行表示。
7. 代数方程的表示方法介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线在代数方程中的表示方法，包括二次方程和一次方程的形式。
8. 几何方程的表示方法介绍圆、椭圆、双曲线和抛物线在几何方程中的表示方法，包括参数方程、极坐标方程和直角坐标方程等。
9. 综合练习通过对之前所学内容的综合练习，测验学生掌握情况，并巩固知识点。
三、课后作业1.查找资料了解圆锥曲线在工程和技术方面的应用。
2.制作一个关于圆锥曲线的海报，用来介绍圆锥曲线的基本概念和图像特征。
圆锥曲线的统一定义
圆锥曲线的统一定义（一）教材分析：（1）教材内容《圆锥曲线的统一定义》是普通高中新课程标准实验书北师大版《数学》选修2—1第三章第4节的内容.本节主要研究圆锥曲线的共同特征，在整个教材中起着承上启下的作用。
（2）教学目标：根据新课标的具体要求，结合学生已有认知，我制定了如下三维教学目标：知识与技能：了解圆锥曲线的共同特征;熟练利用坐标法求解曲线方程.过程与方法：利用坐标法来探究圆锥曲线统一定义，使学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力。
情感、态度与价值观：通过自主探究、合作交流激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气；通过多媒体展示，让学生体会圆锥曲线和谐美和对称美，培养学生良好的审美习惯和思维品质。
（3）教学重点难点：根据三维目标的要求及学生的实际情况，确定本节课的重点是圆锥曲线统一定义的推导。
教学的难点是对圆锥曲线统一定义的理解与运用。
（二）学情分析：我的授课对象是高二学生，他们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义和它们的标准方程，前一节又学习了如何利用坐标法求曲线的方程.为本节新课内容的学习奠定了良好的基础.（三）教法学法：根据以上学生的认知水平及教材内容特点，本节课我主要采用了“任务驱动法”“科学推理法”“归纳讲解法”并借助现代多媒体教学手段的综合探究式教学，学生在教师有效的引导下，突出“自主探究、合作学习、互动交流”的学习方式，经历知识的发现过程。
以教师为主导，学生为主体完成本节课的教学任务。
设计思想研究教法和学法是搞好教学的前提和基础，而合理安排教学过程，则更为关键。
本节课我根据从特殊到一般，再从一般到特殊的科学思维方法，设计了以下几个环节，环环相扣,层层深入，逐步推进，帮助学生实现由感性认识到理性认识的飞跃。
（四） 教学过程：（1）创设情境，引入新课：高尔基说：“好奇是了解的开端和引向认识的途径。
”教学中，我重视课堂导入的设计,首先用一个“平面截圆锥”的动画并配合动画效果，激发学生的兴趣，引出“圆锥曲线”这一名称。
圆锥曲线统一定义优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
程方法。 二、教学重点、难点 重点：圆锥曲线统一定义。 难点：圆锥曲线统一定义
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椭圆、双曲线、抛物线都是有一个平面截一 个圆锥面得到，统称圆锥曲线
我们知道，平面内到一个定点F距离和到 一条定直线 l（F 不在 l上）距离之比等于1 动 点 P 轨迹是抛物线．
d M l 表示点M到直线l：x
a2 c
的距离
焦点
准线
椭圆上点到一个定点距离与到一条定直线距离
之比为常数e (0<e<1) 点轨迹．
比
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变式：假如我们在例１中，将条件（a＞c＞0）
改为（c＞a＞0），点Ｐ轨迹又发生怎样改变呢？
类似可得:双曲线 距离与它到定直线
x2 a2
l
y2
2
b
:x
1上点P到定点F（c，0） a2 (c a 0, b2 c2 a距2 ) 离比是
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（三）巩固练习 1。求以下曲线焦点坐标和准线方程
x2 4 y2 16 x2 y2 1 2x2 4 y2 1
x2 y 0
2。已知平面内动点P 到一条定直线L距离和它
一个定点F距离（F不在L上）比等于
2
，则点P轨迹是什么曲线？
3。求到点A（1，1）和到直线x+2y=3距离相等 点轨迹。
●当这个比值是一个不等于1 常数时，动 点 P 轨迹又是什么曲线呢？
第3页
例1：已知点P（x,y)到定点F（c，0）距离与它
到定直线 l : x a2 距离比是常数
轨迹。
c
c (a c， 0求) 点P点
a
结论：点P轨迹是焦点为（-c，0），（c，0）， 长轴、短轴分别为2a，2b椭圆。这个椭圆离 心率e就是P到定点F距离和它到定直线l（F不 在l上）距离比。
高二年级数学 《圆锥曲线的统一定义及其应用》教学设计
《圆锥曲线的统一定义及其应用》教学设计一、教学分析１．教学内容分析本节课是在学习了圆锥曲线的定义及其基本几何性质之后的一节复习课。
本节课的内容是利用几何画板演示曲线随着离心率的变化而变化，观察圆锥曲线之间的内在联系，归纳总结椭圆、双曲线、抛物线的统一定义，并对利用统一定义求轨迹、求最值，并拓展到在实际生活中的应用。
为下节课复习用圆锥曲线的定义和性质解决实际问题打下基础。
在知识上是对已学知识的归纳拓展，在能力上是在学生已有能力基础上更高层次的提升。
本节课的内容是在探究圆锥曲线的内在联系的基础上，利用信息技术手段演练动态数学，探究其规律，进而使学生更深刻的感受数形结合思想反映的数学美。
通过了解圆锥曲线与实际生活的联系，让学生体会生活中的数学，增强学习数学的积极性。
２．教学对象分析本课的教学内容适合高二的学生学习掌握。
这个时期的学生在个体身心两方面逐步走向成熟，个性化特征也日趋明显。
这一时期的学生已经具有知识的迁移能力、联想与类比的学习策略，养成了探究与归纳的学习习惯。
学生通过前面的学习，已经对圆锥曲线本身的内在性质和它们之间的相互联系有了一定的认识，已经掌握了解决一些与圆锥曲线有关的问题的方法和技巧。
深圳的学生受环境的影响，了解、掌握信息的能力很强，特别是深圳学校的信息技术的使用程度，使学生对信息技术有深刻的认识，甚至学生也能较熟练的使用信息技术手段解决实际问题。
３．教学环境分析本节课内容需要借助几何画板演示圆锥曲线的动态变化情况，同时需要借助几何画板解决圆锥曲线有关的应用问题，以增强课堂教学的直观性和生动性，因此，本节课选择多媒体教室环境最佳。
二、教学目标知识与技能理解、掌握圆锥曲线的统一定义，并能利用圆锥曲线的统一定义求轨迹、求最值和解决实际问题等。
过程与方法①通过归纳得出圆锥曲线的统一定义的过程，提高类比转化的能力；②通过圆锥曲线随着离心率的变化而变化规律的探究，理解掌握椭圆、双曲线、抛物线的内在联系；③通过圆锥曲线统一定义的应用，并利用几何画板等信息技术手段，直观刻画动态圆锥曲线的过程，体会数形结合的思想与方法。
苏教版高中数学(选修2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案2篇
圆锥曲线的统一定义教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程．教学过程一、问题情境1．情境：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？2．问题： 试探讨这个常数分别是12和2时，动点P 的轨迹？ 二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示或直接推导）； 可以得到：当常数是12时，得到的是椭圆；当常数等于2时得到的是双曲线；三、数学运用1．例题：例1．已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a(0)a c >>，求点P 的轨迹．||c a x c=- 化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-令222a cb -=，上式可化为22221(0)x y a b a b+=>> 这是椭圆的标准方程．所以点P 的轨迹是以焦点为(,0),(,0)c c -，长轴、短轴分别为2,2a b 的椭圆。
这个椭圆的离心率e 就是P 到定点F 的距离和它到定直线l (F 不在l 上)的距离的比．类似地，我们可以得到：当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆；当1e >时，它表示双曲线；当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方程分别为22,a a x x c c=-=．例2．椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是，求该点到椭圆左焦点的距离．解：设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F，该椭圆的离心率为e =线的统一定义可知，23PF e b =⋅== 所以，12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b ．说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）例3．若椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使||2||MP MF +最小，则点M 为（ ）()A (1)3- ()B 3(1,)2± ()C 3(1,)2- ()D (1)3±- 略解：因为椭圆的离心率为12，则2||MF 就等于M 点到右准线的距离d ，则可以看到||2||||MP MF MP d +=+，由点到直线的最短距离是垂线段得01M Mx y >⎧⎨=-⎩可以得到1)-．故选()A ．四．回顾小结：圆锥曲线的统一定义．2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）一、教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。
知识科普圆锥曲线教案
知识科普圆锥曲线教案一、教学目标1. 了解圆锥曲线的定义和性质。
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和参数方程。
3. 能够应用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点1. 圆锥曲线的定义和性质。
2. 圆锥曲线的标准方程和参数方程。
三、教学难点1. 圆锥曲线的参数方程的推导和应用。
2. 圆锥曲线的实际问题解决。
四、教学过程1. 圆锥曲线的定义和性质圆锥曲线是平面上的一类曲线，它们可以由一个圆锥和一个平面相交而得到。
圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
它们都具有许多重要的性质，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
2. 圆锥曲线的标准方程和参数方程（1）圆的标准方程和参数方程圆的标准方程为：x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。
圆的参数方程为：x = r*cosθ，y = r*sinθ，其中θ为参数。
（2）椭圆的标准方程和参数方程椭圆的标准方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长。
椭圆的参数方程为：x = a*cosθ，y = b*sinθ，其中θ为参数。
（3）双曲线的标准方程和参数方程双曲线的标准方程为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1或者(y/b)^2 - (x/a)^2 = 1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半轴长。
双曲线的参数方程为：x = a*coshθ，y = b*sinhθ，其中θ为参数。
（4）抛物线的标准方程和参数方程抛物线的标准方程为：y^2 = 2px或者x^2 = 2py，其中p为焦点到准线的距离。
抛物线的参数方程为：x = p*t^2，y = 2pt，其中t为参数。
3. 圆锥曲线的实际问题解决圆锥曲线在实际问题中有着广泛的应用，比如天体运动、工程设计、物理实验等。
学生可以通过解决一些实际问题来加深对圆锥曲线的理解和应用能力。
五、教学方法1. 讲授法：通过讲解圆锥曲线的定义、性质、标准方程和参数方程，让学生了解圆锥曲线的基本知识。
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§2.5圆锥曲线的统一定义
教学目的：
1、知识与技能:
掌握椭圆、双曲线的第二定义以及准线的概念 2.过程与方法
类比抛物线的定义引出椭圆和双曲线的第二定义，借助几何画板等多媒体手段探究出轨迹的形成，进一步推导出椭圆和双曲线的方程。
3.情感、态度与价值观
通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,探究能力，激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力. 教学重点：圆锥曲线的统一定义的形成 教学难点：圆锥曲线方程的推导 教学过程： 一.情境设置
复习回顾
1、抛物线的定义：
探究与思考:
1≠d
PF
呢 2、在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个式子： 将其变形为:
你能解释这个式子的几何意义吗？
二、知识建构
例 1.已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2
:=的距离的比是常数 c
a
(a>c>0),求P 的轨迹.
变题:已知点P(x,y)到定点F(c,0)的距离与它到定直线c a x l 2
:= 的距离的比是常数 c
a
(c>a>0),求P 的轨迹.
222)(y c x a cx a +-=-a c x c a y c x =-+-2
2
2)(
圆锥曲线的统一定义:平面内到一定点 F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）
(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是 (3)当 e = 1 时, 点的轨迹是
其中常数e 叫做圆锥曲线的离心率, 定点F 叫做圆锥曲线的焦点, 定直线l 就是该圆锥曲线的准线. 思考
1、上述定义中只给出了一个焦点，一条准线，还有另一焦点，是否还有另一准线？
2、另一焦点的坐标和准线的方程是什么？
3、题中的|MF|=ed 的距离d 到底是到哪一条准线的距离？能否随意选一条？
准线: 定义式:
)0(12222>>=+b a b y a x )0,0(122
22>>=-b a b
y a x (0,0)
a b >>
三、应用知识
例２.求下列曲线的焦点坐标与准线方程:
注:焦点与准线的求解:判断曲线的性质→确定焦点的位置→确定a,c,p 的值,得出焦点坐标与准线方程. 例3已知双曲线 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离.
辨析：点P 与定点F （2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比为1/2，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。
1925)1(2
2=+y
x 164)2(22=+y x 19
25)3(22=-y x 164)4(22=-x y x y 16)5(2=y x 16)6(2-=136642
2=-y x 1
2
=
直译法： 动点P （x,y ），则
化简得： 所以动点P 的轨迹方程为： 轨迹 为椭圆 待定系数法： 由题意所求点的轨迹为椭圆，所以设为： )0(1222
2>>=+b a b y a x 则 解得：
所以所求点P 的轨迹方程为： 以上两种做法都正确吗？ 轨迹方程的思考:
例4.已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数5
5
，求P 的轨迹方程.
思考(1):已知点P 到定点F(1,0)的距离与它到定直线5:=x l 的距离的比是常数
5
7
求P 的轨迹方程.
(2)到点A （1，1）和到直线x+2y-3=0距离相等的点的轨迹方程为 。
椭圆的焦半径
例5、椭圆 上一点P （0,0y x ），21,F F 分别为椭圆的左、右焦点， 求证：01ex a PF +=，02ex a PF -=
双曲线焦半径公式及推导
双曲线上一点与其焦点的连线段叫做双曲线上这点的焦半径.
例.P(0,0y x )为双曲线122
22=-b
y a x 上一点,求证:|1PF |=|0ex a + |;|2PF |=|0ex a - |
22
11612x y +=22
11612x y +=222
2/1/2c c a b a c ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩221612a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22
1
1612x y +=22
2
21(0)x y a b a b +=>>
练习
椭圆
的离心率为
A 、1/25
B 、1/5
C 、1/10
D 、无法确定
2、椭圆长轴长为10,短轴长为8,则椭圆上点到椭圆中心距离的取值范围是 A 、[8,10] B 、[4,5] C 、[6,10] D 、[2,8]
3、若椭圆的长轴长为200,短轴长为160,则椭圆上点到焦点距离范围是 A 、[40,160] B 、[0,100] C 、[40,100] D 、[80,100]
4、P 是椭圆 上点,F1、F2是两焦点,则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值的差是
5.双曲线 的右支上有A,B,C 三个不同的点,若此三点关于右焦点的焦半
径成等差数列,则它们的横坐标m,n,p 满足的关系式为
例7.已知点A （1，2）在椭圆3x2+4y2=48内，F （2,0）是焦点，在椭圆上求一点P ，使|PA|+2|PF|最小，求P 点的坐标及最小值。
变题:已知双曲线 的右焦点为F,点A(9,2),试在此双曲线上求一点M,使
|MA|+ |MF|的值最小,并求出这个最小值.(与椭圆题型比较)
四、课堂小结：
1.圆锥曲线的共同性质;
2.圆锥曲线的准线定义与方程的求解(标准形式);
3.轨迹方程的思考.(定义法与直接法) 五、作业 创新训练
|348|25
x y ++=22
143
x y +=22
22
1x y a b -=22
1916
x y -=3
5。