第四章 频率特性2

以角频率ω为参变量，根据系统的幅频特性 G( j) 和相频
特性G( j) 在复平面G( j) 上绘制出的频率特性叫做幅相特性
曲线或频率特性的极坐标图。它是当角频率ω从0到无穷变化时，
矢量
G( j的) e矢j量端点在复平面上描绘出的曲线。
2
（一） 放大环节（比例环节）
放大环节的传递函数为 G(s) K
幅频特性为 G( j)
1
1
n
2
2
4
2
n
2
相频特性为
2
G( j) arctg
n
2
1
n
0
A 1 A 0
0。 180。
16
实频特性 虚频特性
2
U ()
1
n
1
n
2
2
4
2
n
2
2
V
()
1
n
2
2
n 4
2
n
2
令实部=0，求与虚轴的交点，
其中τ为微分时间常数、1为比例项因子，因此， 严格地说，由式（4-43）表示的是一阶比例微分环节的 传递函数，由于实际的物理系统中理想微分环节或纯微 分环节（即不含比例项）是不存在的，因此用比例微分 环节作为一阶微分环节的典型形式。
频率特性是 G( j) j 1
实频特性 U () 1
虚频特性 V () T
G(s)
T1s
K
1T2s
1
试绘制系统的开环Nyquist图。
G(
j)
T1
j
K
1T2
j
1
K 1 T1T2 2 1 2T12 1 2T22
j
K T1 T2 1 2T12 1 2T22
A()
K
1 T12 1 T22
arctgT1 arctgT2
36
0
A K 0。
A 0 180。
令实部=0，
1
T1T2 求与虚轴的交点
Im
0
[G]
K
Re
0
G( j)H ( j) K T1T2 ，
jk T1T2 T1 T2
T1 T2
1
G( j)H ( j) 900
T1T2
图4-24 开环系统极坐标图
37
已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Nyquist图。
第二节 典型环节频率特性的绘制
自动控制系统通常由若干环节构成，根据 它们的基本特性，可划分成几种典型环节。典型 环节的基本特性在第二章已经介绍，本节将介绍 典型环节频率特性的绘制方法。系统或环节频率 特性的绘制有多种方式，本节主要介绍应用较为 广泛的极坐标图（奈氏图）和伯德图。
1
一、典型环节的幅相特性曲线（奈氏图）
4
（二） 惯性环节
惯性环节的传递函数为
G(s) 1 （4-26） Ts 1
其对应的频率特性是
G( j)
1
jT
（4-27）
1
实频特性
U
(
)
1
1
2T
2
虚频特性
V
(
)
1
T 2T
2
幅频特性为
G( j) 1 1 T 2 2
（4-28）
相频特性为
G( j) arctgT （4-29）
5
两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的 幅角等于它们幅角的和； 两个复数的商的模等于它们的模的商；两个复数商的幅 角等于它们幅角之差；
Re
900
当 时， A 0
0
图4-3 积分环节的频率响应
11
表明积分环节对正弦输入信号有900的滞后 作用；其幅频特性于 1 ，是ω的函数， 当ω
由零变到无穷大时，输出幅值则由无穷大衰减
至零。在 G( j) 平面上，积分环节的频率特
性与负虚轴重合。
12
(四）纯微分环节
微分环节的传递函数为 G(s) S
6
G( j) 1 1 T 2 2
G( j) arctgT
当 0 时，
当 1 时，
T
当 时，
G( j0) 1 G( j0) 00
G( j 1 ) 1 0.707 G( j 1 ) 450
T
2
T
G( j) 0 G( j) 900
Im
G
当ω由零至无穷大变化
时，惯性环节的频率特性在 G( j)
Im
G
G
0
0
1
Re
图4-7 一阶微分环节的频率响应
26
（七） 二阶微分环节
二阶微分环节的传递函数为 G(s) 2s2 2s 1
频率特性是 G( j) 2 2 j2 1
实频特性 U () 1 T 2 2
虚频特性 V () 2T
27
幅频特性为 G( j) 1 2 2 2 4 2 2 2
虚频特性 V () 1
幅频特性为 A G( j) 1 1
j 1
相频特性为 G( j) arctg 900
0
（4-24）
（4-25）
10
A G( j) 1 1
j
1
G( j) arctg 900
0
积分环节的相频特性等于-900 ， 与角频率ω无关，
Im
G
当 0 时， A
相频特性为
G(
j
)
arctg
1
2 2
2
0
G( j0) 1 G( j0) 00 G( j) G( j) 1800
28
实频特性 U () 1 T 2 2
虚频特性 V () 2T
令实部=0， 1 求与虚轴的交点=2ζ，
1
G( j 1)
2
G( j 1) 900
二阶微分环节频率特性曲 线如图4-8所示，它是一个相位 超前环节，最大超前相角为 180o。
21
当阻尼比 1 时，此 时振荡环节可等效成 两个 不同时间常数的惯性环节 的串联， 即
G(s)
T1s
1
1T2s
1
1
T1，T2为一大一小两个不同的时间常数，小时间常 数对应大的负实极点，离虚轴较远，对瞬态响应的影响
较小。
22
（六） 一阶微分环节
典型一阶微分环节的传函数为
G(s) s 1 （4-43）
G(j) -180 G(j) -360
44
G(j) Re[G(j )] Im[G(j )] 令 Re[G(j )] 0 得 1
T1T2
这时 Im[G(j)] K(T1T2 )32
T1 T2 由此得出Nyquist图与虚轴的交点
45
例3. 解:
G(S)
K(T1S1) S (T2S 1)
推广：当惯性环节传递函数的分子是常数K时，
即 G( j) K 时，其频率特性是圆心为 半径为 K 的jT实轴1 下方半个圆周。
K ,0 ，
2
2
9
（三） 积分环节
积分环节的传递函数为
G(s) 1 s
其对应的频率特性是 G( j) 1 j 1 j
（4-22） （4-23）
实频特性 U () 0
n
V () 1 2
G( j) 1 2
G( j) 90
17
其中 n 称为 振荡环节的无阻尼自 然振荡频率，它是振 荡环节频率特性曲线 与虚轴的交点处的频 率。
Im
0 n
r
n
n n
G
1
Re
0
Mr
r
图4-5 振荡环节的频率响应
ζ大于0.707时，A（ω）随ω增加单调减小， ζ小于0.707时，A（ω）先随ω增大而增大，
其对应的频率特性是 G( j) K
其幅频特性和相频特性分别为
G( j) K
Im
G( j) 00
频率特性如图4-2所示。
0
（4-18） （4-19）
（4-20） (4-21)
.K
Re
0
图4-2 放大环节的频率响应
3
由图4-2可看出放大环节的幅频特性为常 数K，相频特性等于零度，它们都与频率 无关。理想的放大环节能够无失真和无滞 后地复现输入信号。
0 | G(j) | G(j) -90 | G(j) | 0 G(j) -180
42
G(j
) - j -KT 1T2 2
K (1T2 2 )
U()
Re[G(j
)]
-
KT 1 T 2
2
V()
Im[G(j)]
-k (1T2 2
)
lim U() kT lim V() 0
0
0
Im
当ω=ωr, A（ω）最大， 当ω>ωr后，A（ω）随ω增大而减小
18
振荡环节的幅频特性和相频特性均与阻尼比ξ有关，
如图4-5所示。同时，当阻尼比较小时，会产生谐振，
谐振峰值 方程解出。
M r (M r和谐1)振频率
由幅r 频特性的极值
d
d
G(
j)
d
d
1
n
2
2
4
2
n
2
0
r n 1 2 2
-(kT,j0)
0 Re
43
例2.
解:
G(j)
G(S)
(j)2
K S2 (1T1S)(1T2S)
K
(1 jT1)(1 jT2)
| G(j) |
K
2 1 T122 1 T22 2
G(j ) -180 arctgT1 arctgT2
0 | G(j) | | G(j) | 0