矩阵论第一章ppt
合集下载
西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换
2100 3100 2100 3100
2100
例 求解一阶线性常系数微分方程组
ddt x1 2x1 x2 x3
ddt x2 x1 2x2 x3
d dt
x3
x1
x2
2 x3
解令
x
x1 x2 x3
，
dx dt
d dt
d dt
d dt
x1 x2 x3
， A
2 1 1
一次因式方幂的乘积， 并分别写出这些方幂
(相同的按出现的次数计数)，称之为A的初等因子，
本题中A的初等因子为
2 和 ( 2)2 第三步：对每个初等因子( i )ri 作出 ri 阶
Jordan块
i
1
i
1
i
ri
ri
所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵 J
即是A的Jordan标准形。本题中A的Jordan标准形为
1 1
10
1 0 0，
1 0
3 0 ( 3)( 2)， 1 2
3
1
1 2，
1
1 1
0 ( 2)， 2
1 1 ( 2)， 1 0 2，
11
1 2
1 0 ( 1)( 2)
1 2
所以
D2() 2
又 det(I A) ( 2)3，故
D3() ( 2)3
；
1 1 2
解 第一步：对 I A 用初等变换化为Smith
标准形：
3
I A 1
1
3
1
1
1
0
c2 ( 1) c1
1 0
1 2 2 4 4
0
r1( 3) r2
矩阵论第1章
例 1.1.4 在实数域上，m n 矩阵全体 R mn 按照通常矩阵 的加法，数与矩阵的乘法构成一个线性空间.
线性空间的三个重要例子：
P n , P[ x]n , P mn
1.1.2线性空间的性质
1 线性空间中零元素是唯一的．
2 线性空间中任一元素的负元素是唯一的．
3 0 0 ， (1) ， k 0 0 ．
向量组之间的等价关系具有如下性质． （1）反身性 每一个向量组都与它自身等价； （2）对称性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，则 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, m 等价； （3）传递性 如果向量组 1 , 2 ,, m 与 1 , 2 ,, s 等价，且 向量组 1 , 2 ,, s 与 1 , 2 ,, t 等价，则向量组 1 , 2 ,, m 与
（2）(加法结合律) ( ) ( ) ；
（3）(有零元)在 V 中存在元素 0 ，使对任何 V ，都 有 0 ，称 0 为零元素； （ 4 ） ( 有 负 元 ) 对 任 何 V ， 都 有 元 素 V ， 使
0 ，称 为 的负元素，记为 ；
所以 在基 1 , 2 , , n 下的坐标为 (a1 , a 2 a1 , , a n a n 1 ) ．
T
例 1.2.7 求线性空间 P[ x]n 的一个基、维数以及向量 p 在该基下的坐标．
容易看出，在线性空间 P3 x 2 ,, p n x n1 , p n 1 x n ，
T
例1.2.6 在 R n 中如下的 n 个向量
1 (1,1,1,,1), T 2 (0,1,1,,1) T , ， n (0,0,,0,1) T
矩阵论第一章第二节PPT课件
分析： 设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换 在这组基下的矩阵为A.
设 0是 的特征值，它的一个特征向量 在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换 定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若 是 的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是 的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的， 但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设 在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且
矩阵论课件
6、基与维数的几何解释——直观解释
R
2
中，常用基
i
(1,0),
j
(0,1)
维数为2
R3 中，常用基 i (1,0，0), j (0,1，0)，k (0,0,1)
维数为3
固有特性：维数相当于向量所在直角系坐标轴的个数
注：含非零向量的任意线性空间必有基。
只含非零向量的零值空间所含的元素是n元向量，但维数为0.
基与维数： 基——极大无关组
维数——秩 3、特殊向量空间 平凡子空间
V自身 零子空间
非平凡子空间——真子空间（部分向量组成）
4、向量在基下的坐标
标准正交基/规范正交基：特殊极大无关组（正交单位向量组）
设 1，2，r 为向量空间的一组基，设 V， 则 k11 k22 krr，称 （k1，k2，kr）为β在 基 1，2，r下的坐标。
①（，）（，）②（ ，）（，）（，）
五、子空间及其判定
例：设 A Pnn (Rnn或C nn ), Pn 的子集W {x | Ax 0, x Pn} 就构成 Pn 的一个子空间，称为A的零空间（或核），也叫
方程 Ax 0 的解空间，记为N(A)，其维数记为null(A)
注：x是n元列向量，N(A)表示A的零空间。
例：设 A Pnn ，对满足 Ax x 的所有 P, x Pn , 称x所构
2、 a b ab
k a ak
构成线性空间
a,b R
注：①线性空间必含有零向量（零元素），且唯一
②线性空间中任意元素的负元素唯一
③ 0 0 零向量 ；k·0=0;(-1)α =-α
数0
二、线性空间的维数和基
例：全体n阶方阵构成线性空间，且维数为n 2
矩阵分析第一章课件.ppt
是行满秩的。该系统是可观测的充分必要条件是可观测
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
性判别矩阵
C
V
CA
CAn
1
是列满秩的。
例 5：设
A
0 1
1 0
,
B
1 1
1 1
由于矩阵
B
AB
1 1
1 1 1 1 1 1
是行满秩的，所以相应的系统是可控制的。
二 矩阵理论在生物数学中的应用
在化的花瓣中存在一种特殊的生物模式。几乎所有 花，其花瓣数都是一种有规律的级数。例如百合花 的花瓣有3瓣；毛茛属的植物有5瓣花；许多翠雀属 的植物有8瓣花；万寿菊的花瓣有13瓣；紫菀属的植 物有21瓣花；大多数的雏菊有34，55，89 瓣花。 另外，在向日葵的花盘内葵花籽的螺旋式排列中也 可以发现类似的排列模式，同时植物的叶序中也存 在此种现象。这就是著名的Fibonacci级数模式。我 们称下面的数列
x2
4 3 , x3
1 3 , x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相 同的。
基变换与坐标变换
设 1,2 , ,n（旧的）与 1, 2, , n （新的） 是 n 维线性空间V 的两组基底，它们之间的关系为
注意： 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前，我们主要讨论有限维的线性空间。
例 4 在4维线性空间 R22 中，向量组
0 1
1 1
,
1 1
0 1
,
1 0
1 1
,
1 1
课件 矩阵论
6
证
对于数组
k 1
,L ,
km
,
因为
k 1
y 1
+L+
km
ym
=
(
x 1
,L,
x
n
)(
k1α
1
+L+
kmα m
)
=θ
等价于 k1α1 + L + kmα m = θ , 所以结论成立.
四、基变换与坐标变换
1．基变换：设线性空间V
n
的基(Ⅰ)为
x 1
,L,
xn
,
基(Ⅱ)为
y 1
,L,
yn
,
则
y 1
=
cx 11 1
⊆
S 2
∀b ∈
S 2
⇒
b∈
S 1
,
即S 2
⊆
S 1
交：
S 1
I
S 2
=
{a
a
∈
S 1
且
a∈
S2 }
并：
S 1
U
S 2
=
{a
a
∈
S 1
或
a
∈
S 2
}
和： S 1
+
S 2
=
{a
=
a 1
+
a 2
a 1
∈
S 1
,
a 2
∈
S 2
}
例1
S 1
=
{A
=
a 11
a21
0
a
22
ai j ∈ R}
S 2
=
{A
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换
2
例 已知一个12阶矩阵的不变因子是
1,1,, 1，( 1)2，( 1)2( 2)，
9
( 1)2( 2)(2 3)2
求A的Jordan标准形。 解 A的初等因子为
( 1)2，( 1)2，( 2)，( 1)2，( 2) ( 3i)2，( 3i)2
故A的Jordan标准形为：
1 1
从而A的不变因子为
d1() D1() 1，
d2
()
D2 ( ) D1( )
1
11
1
2
J
11 1
2
3i 1
3i
3i
1 3i
例 求下列矩阵的Jordan标准形：
1)
3 A 1
1 1
0 0
；
1 1 2
解
3 1 0 I A 1 1 0
1
1 2
一阶子式共有9个， 显然 D1() 1；
二阶子式共有 C32 C32 9 个：
3 1 ( 2)2， 3 0 0，
01，
p2
11，
p3
1 1
1
1
0
故相似变换阵
P
1 0
1 1
11，使得
1 1 0
P 1AP
1
2
3
2)
3 A 1
1
解 可求得
1 1
0 0
；
1 2
det(I A) ( 2)3
所以A的特征值为 1 2 3 2
对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量
(1, 1, 0)T， (0, 0, 1)T
1 2 1
1 1 2
则微分方程组可写成矩阵形式
d x Ax dt
矩阵论PPT
条件是 A为正规矩阵.
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
戴华《矩阵论》 第一章线性空间与内积空间 ppt课件
22r111221221000001001000001iiieeee????????????????????????显然111221112212211000101aeeeeee??????????????????类似地211221112212211000101aeeeeee?????????????????????312211112212200111010aeeeeee??????????????????则基iii到基i的过渡矩阵为11100001100111100c??????????????412211112212200111010aeeeeee?????????????????????而基iii到基ii的过渡矩阵为21111111011001000c????????????所以1234111221221aaaaeeeec1234111221222bbbbeeeec从而112ccc?1123421aaaacc?因此基i到基ii的过渡矩阵为21110111122???2100010?????????1234111221222bbbbeeeec注意
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
ppt课件
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
27
ppt课件
28
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向
量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩.
（a,bR）都有a+bi=(1,i)( a ),所以(a,b) T即为k的坐
标。
b
ppt课件
30
例 1.3.2 实数域 R上的线性空间R [x]n中的向量组 1，x， x2 ,… xn-1
是 基底， R [x]n的维数为 n。
例1.3.3 实数域 R上的线性空间 Rnn 的维数为
nn，标准基为Eij：（i=1,2…n;j=1,2…n）
27
ppt课件
28
注: （1）若把线性空间V 看作无穷个向量组成的向
量组，那么 V 的基就是向量组的极大无关组, V 的 维数就是向量组的秩.
矩阵论课件
P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
4 December 2014 河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
4 December 2014
河北科技大学
机动 目录 上页 下页 返回 结束
矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
矩阵论简明教程整理全PPT课件
k
ei
e
H j
E ei , ej , k
第45页/共188页
Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
第13页/共188页
二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
第30页/共188页
推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
第31页/共188页
§1.4 特殊矩阵
一、 几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
第50页/共188页
§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
第51页/共188页
2、特征多项式 定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A A lim ( A A) 0 显然 lim k k
(k ) (k )
例如：
1 1 k (k ) lim A lim k k k 1 1 k
，
1
2 1 0 k sin k e 0 k
第五章 矩阵分析及其应用
5.1 矩阵极限
5.2 矩阵级数
5.3 矩阵函数
5.4 矩阵的微分和积分 5.5 矩阵函数的一些应用
5.1 矩阵极限
定义5.1 设有矩阵序列
，若 收敛，并称矩阵 称 收敛于 A ，记为
lim A( k ) A 或 A( k ) A
k
，其中
，则称
为
的极限，或
不收敛的矩阵序列称为发散.
是有界的。
时有
，则称A 为收敛矩阵. 定理5.2
A O ( A) 1
kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
证
设 A 的Jordan 标准形为J ,则存在可
1
逆矩阵 P 使 A PJP
k k 1
，于是有 A PJ P
k k
1
因为 J diag ( J (1 ), J (2 ),, J (s ))
lim aij
i 1,2, m; j 1,2, n
lim Ak A
定义5.2 矩阵序列
称为有界的，如
果存在常数M>0 ,使得对任意k 都有
a
(k ) ij
M (i 1,2,, m; j 1,2,, n)
性质4 收敛的矩阵序列
定义5.3 设A 为方阵，且当
k
矩阵序列极限有和数列极限相类似的性质。
性质1 设
，则
lim (A
k
(k )
B
(k )
) A B
， ，则
性质2 设
性质3 设 ，则 定理 5.1 设 （ 1） A
(k )
与 A都是可逆矩阵，且
.
，则
O A
(k )
0
（2） A( k ) A A( k ) A 0
k 2 k s
其中 1 , 2 ,, s 是A的特征值.
因为
这里规定
.
充分性. 因为
，所以
，因而有
故
必要性. 因为 ，因此 即 ，所以 , ， 即
.
定理5.3 只要有一种矩阵范数
证毕
，使
，则 例5.1 判断 是否为收敛矩阵.
解：
由定理5.3可知A为收敛
矩阵。
k k
0
lim max aij
k i j 1
n
k
aij 0
lim
k
a
j 1
n
k
ij
aij 0
i 1,2, m
lim aij
k k k
k k
aij 0 aij
i 1,2, m; j 1,2, n
其中
证明：仅证（2），（1）是（2）的特例。 由矩阵范数的等价性得：存在
k2 k 1 0,
k
使得 k1 A
k
A
A
k
A k2 A
A
1 k 1 k k A A A A A A k2 k1
从而 lim Ak A 0 lim Ak A