知识讲解 不等关系与不等式 基础

不等关系与不编稿：张希勇审稿：李霞

【学习目标】

1．了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系. 2．会用差值法比较两实数的大小；3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】

要点一、符法则与比较大小

实数的符：

任意xR?，则0x?（x为正数）、0x?或0x?（x为负数）三种情况有且只有一种成立。

两实数的加、乘运算结果的符具有以下符性质：

①两个同实数相加，和的符不变

符语言：0,00abab?????；

0,00abab?????

②两个同实数相乘，积是正数

符语言：0,00abab????；

0,00abab????

③两个异实数相乘，积是负数

符语言：0,00abab????

④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符语言：20xRx???，200xx???. 比较两个

实数大小的法则：

对任意两个实数a、b

①0baba????；

②0baba????；

③0baba????.

对于任意实数a、b,ab?,ab?,ab?三种关系有且只有一种成立。

要点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。

要点二、不等式的性质

不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分

基本性质有：

(1) 对称性：a>b b

(2) 传递性：a>b, b>c a>c?

(3) 可加性：abacbc????? (c∈R)

(4) 可乘性：a>b，??????????????bcaccbcaccbcacc000

运算性质有：

(1) 可加法则：,.abcdacbd??????

(2) 可乘法则：,ab>0cd>0acbd>0??????

(3) 可乘方性：*0,0nn abnNab??????

(4) 可开方性：nn ab0,nN,n1ab???????

要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.

要点三、比较两代数式大小的方法

作差法：

任意两个代数式a、b，可以作差ab?后比较ab?与0的关系，进一步比较a与b的大小。

①0baba????；

②0baba????；

③0baba????。

作商法：

任意两个值为正的代数式a、b，可以作商ab?后比较ab与1的关系，进一步比较a 与b的大小。

①1baab???；

②1baab???；

③1baab???. 中间量法：

若a>b且b>c，则a>c（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小

若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤：

第一步：作差；

第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”；

第三步：定，就是确定差是大于、等于还是小于0；

最后下结论。

要点诠释：“三步一结论”。这里“定”是目的，“变形”是关键过程。

【典型例题】

类型一：用不等式表示不等关系

例1.某人有楼房一幢，室内面积共2180m，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为218m，

可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为215m，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式.

【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件和目标的关系。

【解析】假设装修大、小客房分别为x间，y间，根据题意，应由下列不等关系：（1）总费用不超过8000元

（2）总面积不超过2180m；

（3）大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有：

**1800(0(100060080001815))xxNyyN xyxy???????????????即

**600(0(534065))xxNyyN xyxy???????????????

此即为所求满足题意的不等式组

【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题。在解决实际问题时，要注意变量的取值范围.

举一反三：

【变式】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？

【答案】设杂志社的定价为x 元，则销售的总收入为2.5(80.2)0.1xx???万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式

2.5(80.2)200.1xx????

类型二：不等式性质的应用

例2．对于实数a,b,c判断以下命题的真假

（１）若a>b, 则acbc2，则a>b;

（３）若aab>b2; （４）若a|b|;

（５）若a>b, a1>b1, 则a>0, b<0．

【思路点拨】本类题一般采用不等式性质法或者比差法。

【解析】

（１）因为c的符不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。

（２）因为ac2>bc2, 所以c≠0, 从而c2>0，故原命题为真命题。

（３）因为?????0aba，所以a2>ab ①

又?????0bba，所以ab>b2②

综合①②得a2>ab>b2，故原命题为真命题．

（４）两个负实数，绝对值大的反而小，故原命题为真命题．

（５）因为???????baba11 ，所以0110abab?????????

所以?????????00ababab ，从而ab<0