2-2 平稳随机过程和各态历经过程

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1 lim T →∞ T
∫
2T
0
(1 −
τ1
2T
)[ B (τ 1 ) − R 2 (τ )]d τ 1 = 0 X
证：
E < X (t ) >= E [
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
X (t ) dt ] =
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
E [ X (t )]dt
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l .i . m T →0
1 RX (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t + τ )dt = E[ X (t ) X (t + τ )] = RX (τ ) T →∞ T
称平稳随机过程具有各态历经性 ( 遍历性) 称平稳随机过程具有 各态历经性( 遍历性 ) ， X(t) 称为 各态历经性 广义各态历经过程，简称各态历经过程。 广义各态历经过程，简称各态历经过程。
l .i . m T →∞
1 2T
∫
T
−T
m X dt = m X
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=
=
l .i . m T →∞
l .i . m T →∞
设 τ = t 2 − t1 u = t 2 + t1
1 ∂ (t1 , t 2 ) J = = 2 1 ∂ (τ , u ) − 2 1 2 =1 1 2 2
1 4T 2 1 4T 2
5
2.2.2 宽平稳过程
1、定义 、 若随机过程 X(t)满足 满足
mX (t) = mX
RX (t1, t2 ) = E( X t1 , X t2 ) = RX (τ )
ψ 2 (t) = E[X 2 (t)]< ∞ 则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。 则称 为宽平稳或广义平稳随机过程。 为宽平稳或广义平稳随机过程
1 2T τ lim ∫ (1 − 1 )[ B (τ 1 ) − R 2 (τ )]d τ 1 = 0 X T →∞ T 0 2T 式中： 式中： B (τ 1 ) = E [ X (t + τ + τ 1 ) X (t + τ 1 ) X (t + τ ) X (t )]
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(3) 对于正态平稳随机过程，若均值为零，自相关 对于正态平稳随机过程，若均值为零， 连续， 函数R X (τ ) 连续，则可以证明此过程具有遍历性 的一个充分条件为
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2.2.3各态历经过程 各态历经过程
各态历经的含义： 各态历经的含义： 随机过程中的任一次实现都经历了随机 过程的所有可能状态。 过程的所有可能状态。 具有各态历经性的随机过程一定是平稳 随机过程， 随机过程 ， 但平稳随机过程却不一定都具有 各态历经性。 各态历经性。
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例题
某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中 和ωc 例2 某随机相位余弦波 ，其中A和 均为常数， 是在 是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。 内均匀分布的随机变量。 均为常数，θ是在 内均匀分布的随机变量 讨论X(t)是否具有各态历经性。 是否具有各态历经性。 讨论 是否具有各态历经性
2
2、性质 、
的一维分布与时间t无关 （1）严平稳随机过程的一维分布与时间 无关。 ）严平稳随机过程的一维分布与时间 无关。 f1(x1, t1)=f1(x1)
∀τ f X ( x1 ; t1 ) = f X ( x1 ; t1 + τ )
∞ −∞ ∞
∞
令 Σ=− t 1 f X ( x1 ;0) = f X ( x1 ) →
8
例题
X(t)的自相关函数为 的自相关函数为
R (t1 , t 2 ) = E [ X (t1 ) X (t 2 )]
= E [ A cos(ω c t1 + θ ) A cos(ω c t 2 + θ )] 2 A = E {cos ω c (t 2 − t1 ) + cos[ω c (t 2 + t1 ) + 2θ ]} 2 2 2 A A 2π 1 = cosωc (t2 − t1) + ∫ cos[ c (t2 + t1) + 2θ ] dθ ω 2 2 0 2π
平稳过程X(t)的均值具有各态历经性的充要条件 的均值具有各态历经性的充要条件 平稳过程
1 lim T →∞ T
∫
2T
0
(1 −
τ
2T
)[ R X (τ ) − m 2 ]d τ = 0 X
(2)自相关函数各态历经判别定理 自相关函数各态历经判别定理
平稳过程X(t)的自相关函数具有各态历经性充要条件 平稳过程 的自相关函数具有各态历经性充要条件
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例题
的时间平均为： 解： X(t)的时间平均为： 的时间平均为
1 T /2 X (t ) = lim ∫ A cos(ωc t + θ )dt = 0 −T / 2 T →∞ T
X(t)的时间相关函数： 的时间相关函数： 的时间相关函数
1 T /2 R (τ ) = lim ∫ A cos(ω c t + θ ) ⋅ A cos[ω c (t + τ ) + θ ]dt −T / 2 T →∞ T T /2 A2 T / 2 = lim ∫−T / 2 cos ω cτ dt + ∫−T / 2 cos( 2ω c t + ω cτ + 2θ ) dt T → ∞ 2T
∀∈ f X ( x1, x2 ; t1, t2 ) = f X ( x1, x2 ; t1 + λ, t2 + λ)
令λ =−t 1 → f X ( x1x2;0, t 2 − t1) = f X ( x1, x2;τ )
RX (t1, t2 ) = ∫
∞
−∞ −∞ 1
∫
∞
x , x2 f X (x1, x2 ;t)dx1dx2 = RX (τ )
A A = cos ω c (t 2 − t1 ) = cos ω cτ 2 2
9
2
2
例题
X(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔 的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔τ 的数学期望为常数 有关， 所以X(t)为广义平稳随机过程。 为广义平稳随机过程。 有关， 所以 为广义平稳随机过程
2.2 平稳随机过程和各态历经过程
2.2.1 严平稳过程 2.2.2宽平稳过程 宽平稳过程 2.2.3 各态历经过程 2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
1
2.2.1 严平稳过程
1、定义 、
一个随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数 与时间起点无关， 与时间起点无关，即对任意的正整数n和所有实数τ， 随机过程X(t)的n维概率密度函数满足： 的 维概率密度函数满足： fX(x1,x2,···,xn;t1,t2,···,tn)= fX(x1,x2,···,xn;t1+ τ,t2 + τ,···,tn+ τ) 是严格意义下的平稳随机过程（ 则称X(t)是严格意义下的平稳随机过程（严平稳随机过 是严格意义下的平稳随机过程 程或狭义的平稳随机过程 ）。 严平稳过程的n维概率密度不随时间起点不同而改变。 严平稳过程的 维概率密度不随时间起点不同而改变。 维概率密度不随时间起点不同而改变
2 C X (t1 , t2 ) = RX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ) = RX (τ ) − mX = C X (τ )
4
3、严平稳的判断 、
按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 按照严平稳的定义，判断一个随机过程是否为严平稳， 需要知道其n维概率密度 可是求n维概率密度是比较困难 维概率密度， 需要知道其 维概率密度，可是求 维概率密度是比较困难 不过，如果有一个反例， 的。不过，如果有一个反例，就可以判断某随机过程不是 严平稳的，具体方法有两个： 严平稳的，具体方法有两个：
∫
∞
0
RX (τ ) dτ < ∞
注意：判断一个平稳过程是各态历经的的， 注意：判断一个平稳过程是各态历经的的，总是先假设其是 各态历经的的，然后看是否满足定义要求（ 各态历经的的，然后看是否满足定义要求（即时间平均以概 率1等于统计平均），一般不用两个判别定理。 等于统计平均），一般不用两个判别定理。 ），一般不用两个判别定理
X
严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界， 严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界，则此过 程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程， 程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程，严平稳与宽平 稳等价。 稳等价。
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例题
某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωct+θ)，其中 和ωc 例1 某随机相位余弦波 ，其中A和 均为常数， 是在 是在(0,2π)内均匀分布的随机变量。 内均匀分布的随机变量。 均为常数，θ是在 内均匀分布的随机变量 讨论X(t)是否是广义的平稳随机过程。 是否是广义的平稳随机过程。 讨论 是否是广义的平稳随机过程
{
}
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A2 cos ω cτ = 2
例题
比较统计平均（ 比较统计平均（例1）与时间平均，得 ）与时间平均， mX= m X R(τ)= R (τ ) 因此，随机相位余弦波是各态历经过程。 因此，随机相位余弦波是各态历经过程。
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2、应用 、
一般随机过程的时间平均是随机变量， 一般随机过程的时间平均是随机变量，但各态历经过程 的时间平均为确定量， 的时间平均为确定量，因此可用任一样本函数的时间平均代 替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间T不可能无限长 不可能无限长， 替整个过程的统计平均，在实际工作中，时间 不可能无限长， 只要足够长即可。 只要足够长即可。
E[ X (t )] = ∫ x1 f X ( x1 )dx1 = mX
2 E[ X 2 (t )] = ∫ x12 f X ( x1 )dx1 = ΨX −∞
2 D[ X (t )] = ∫ ( x1 − mX )2 f X ( x1 )dx1 = σ X −∞
3
2、性质 、
有关， 二维分布只与时间间隔τ= t2- t1有关，即有 f2(x1, x2; t1, t2)=f2(x1, x2;τ)
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例题
解： X(t)的数学期望为 的数学期望为 2π 1 m X (t ) = E [ X (t )] = ∫ A cos(ω c t + θ ) dθ 0 2π A 2π = ∫0 (cos ω c t cos θ − sin ω c t sin θ ) dθ 2π
2π 2π A = [cos ω c t ∫ cos θ d θ − sin ω c t ∫ sin θ d θ ] = 0 (常数） 0 0 2π
k (1) 若X(t)为严平稳，k为任意正整数，则E [ X (t )] X(t)为严平稳 k为任意正整数 为严平稳， 为任意正整数， 与时间t无 与时间t无 关。
(2) 若X(t)为严平稳，则对于任一时刻 0， X(t0)具有相同的统 为严平稳， 为严平稳 则对于任一时刻t 具有相同的统 计特性。 计特性。
1 2T t 2 D < X (t ) >= 0 ⇔ (1 − )[ R X (t ) − mX ]dt = 0 T ∫0 2T 1 T 1 T l .i . m l .i . m D[ < X (t ) > ] = D[T → ∞ ∫−T X (t ) dt ] = T → ∞ D[ 2T ∫− T X (t ) dt ] 2T 1 T l .i . m = T → ∞ E {[ X (t ) dt − m X ]2 } 2T ∫− T 1 T l .i . m = T → ∞ E {[ ( X (t ) − m X ) dt ]2 } 2T ∫− T T 1 l .i . m =T → ∞ E {[ ∫ ( X (t ) − m X ) dt ]2 } −T 4T 2
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2.2.3各态历经过程 各态历经过程
1、定义 、
对平稳随机过程， 对平稳随机过程 ， 如果它的统计平均值等于它的 任意一次实现（样本）的时间平均值， 任意一次实现（样本）的时间平均值，即：
1 X (t ) = lim T →∞ T
T 2 T − 2
∫
T 2 T − 2
x (t ) dt = E[ X (t )] = m X
3 、各态历经过程和平稳过程的关系
各态历经过程必须是平稳的， 各态历经过程必须是平稳的，而平稳过程不一定是各态 历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知） 。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知 历经的。（各态历经过程必定平稳由遍历定义即可知）
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4 、各态历经过程的两个判别定理
(1) 均值各态历经判别定理