集值映射的次微分以及最优性条件
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第 １ 卷第 １ ４ 期
２ １ 年 ３月 ０２
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ Ｉ ＹＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰＰＬ ＣＡＴＡ Ｉ Ｉ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １ ， １ ． Ｍａ ． ０ ２ ｒ，２ １
ＤＯＩ：０ ７４Ｓ ． １６ ． １． １０ １． ２ ／ＰＪ １０ ０ ２ ００ ３ ． ２ ０
优化 问题 的 Ｈ ｎｇ全局有效 解对 的必 要性条件 和充分性条 件． ｅｉ
２ 预备知识与定义
本文通篇设 （ ｘ ， ， ） （ ｙ中凸点锥， 其对偶锥定义为： ｙ 是 Ｂ ｎｃ ） ａ ａｈ空间， 其拓扑对偶空间分别记为 ， 又设 是 ｙ．
Ｃ ＝｛ ∈Ｙ （ ≥０Ｖ ∈ ｝ ： ｃ ） ，ｃ
记 Ｆ（） Ｕ Ｆ ｚ． Ａ ： （） ＝
ｘＥＡ
定义 ２１ 设 Ｘ Ｙ ｘ ） ． ０ＥＡ，ｏＥｒ（ｏ．
（ 设 ｉ （） ．ｏ ｉ ） ｎ Ｃ ≠西 Ｙ 称为 （Ｖ Ｐ 的弱有效点， ｔ ＳＯ ） 记为 ｙ Ｅ （ （） ）如果 ｏ ＷＥ Ｕ Ｆ ， ，
ｚ∈Ａ
关键词：弱次微分； ｅｉ Ｈ ｎｇ全局次微分； 集值向量优化； 最优性条件
中图分类号 ： Ｏ２ ４ ２ 文献标志码：Ａ
１ 引言
向量优化是一重要而有趣的研究领域， 长期以来备受人们的关注， 并且获得了许多研究成果． 例 如， ｏｗ ｉ 研究了无限维空间中向量优化问题 Ｂ ｒ ｅ Ｂ ｒｅ ［ ｎ１ ｏｗ ｉ ｎ真有效解的最优性条件； ｏｅ 讨论 Ｃ ｒｌ １ ｙ【 了有限维空间中向量优化问题的最优性条件： 借助于集值映射的相依导数， ｕ ｉ Ａ ｂｎ与 Ｅ ｅ ｎ ［ ４ ｋｌ ｄ －】 ａ ３ ， Ｃ ｒｌ 以及 Ｌ ｃ［ 分别给出了强解 、 ｏｅ ］ ｙ［ ｕ 】 有效解和局部有效解的最优性条件； 利用半范数， ａｎ 】 Ｊｈ ［ 给出了有效解和弱有效解的最优性条件； ｉ Ｃ ｅ 】 Ｌ 和 ｈｎ Ｉ 建立了集值映射的等式 ． Ｓ 不等式系统的择
收稿 日期： ０ ００－５ ２ １—５０ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （０６０ ７ １５ １０ ）
作 者 简介 ： 秀 玲 （９ ０ ， ， 王 １８一）女 理学 硕 士 ， 助教
第１ 期
王秀玲， ： 等 集值映射的次微分 以及最优性条件
１１ ０
用 ０表示 向量空 间中的零元 ． 的拟 内部记为 社 其 中 ｃ ，
Ｇ Ｘ０ ２ ： — ｚ给定， 且对所有的 ＸＥＸ ， （） ， （） ． ｏ Ｆ ≠ Ｇ ≠西 定义约束集 Ａ＝｛ ｏ Ｃ Ｘ ｎＫ ≠ ＥＸ ： （） ｝
并 考虑 下面 的向量集值 优化 问题 ：
Ｖ — ｍ ｉＦ（） ｎ ｘ
∈Ａ
—
（ＶＯ Ｓ Ｐ）
Ｃ非 ≠ ．
设 是 的非空子集， Ｆ：
令
一２ ｙ是集值映射， 且对所有的 ∈Ｘ ， （） ． ｏＶｘ ≠
ｅｉ （ ） （，） ｐｃＦ ＝｛ Ｙ ∈Ｘｏ ×Ｙ： （） ＹＥＦ ＋ｃ ）
设 ｚ 是 Ｂ ｎｃ 空 间， ａａｈ 是 ｚ 中点 凸锥 ， 是 的 非空子 集，集值 映 射 Ｆ： ０— ２ ， ｙ
（ （ 一 ｎ 一 ｔ ） ≯ Ｕ Ｆｚ ） （ｎＣ） ） ｉ（ ＝
次微分 的概念 ， 使之 作为能够 非常好地刻 画 Ｈ ｎｇ全 局有效 点的工具是 十分必要 的． ｅｉ 基于 Ｙ Ｓｗａａｉ Ｔ Ｔ ｎｎ ［】 出的集值 映射 的弱次微分 的概 念， 们定义 了集值 映射的 ａ ｒｇ 和 ａ ｉｏ１ 提 ４ 我
Ｈ ｎ 全局次微分， ｅｉ ｇ 研究了它的存在性条件以及运算性质． 利用这一概念， 给出了具约束向量集值最
Ｃ ＝ｆ ： ∈Ｃ ： （ ＞０ Ｖ ∈ ＼ ’ ｃ ） ， ｃ （）
用 ｃｎ （ 表 示 由集合 生成 的锥， ｏ ｅＡ） 即 ｃｎ （ ： ｛Ａ ： ≥０ ｏ ｅＡ）： ） 用 ｃ（） ｌ 表示 Ａ 的闭包 ，ｎ（ 表 示 的 内部． Ａ ｉｔＡ）
Ｃ 的凸子集 Ｂ称为 ｃ 的基， 如果 Ｃ ＝ｅｎ（ ） ０￣ ｌ ） 可知 ｃ有基的充分必要条件是 ｏ ｅＢ 且 ｔ （ ． ｃＢ
向量值函数和集值映射的另外一种次微分概念， 在此基础上获得了锥弱次微分的存在性定理． ｉ［】 Ｌｎ 与 Ｔｘ１ 研究了 Ｙ Ｓｗ ｒｇ和 ＴＴ ｎ ｏ ］ ａ ｉ】 ３ ａ ａａｉ ａ ｉ ［ 提出的集值映射的弱次微分的性质， ｎＭ 利用这一概念， 他 们给出了具约束向量集值最优化问题的最优性条件． 我们知道， ｅｉ全局真有效解是十分重要的真有效解， Ｈｎ ｇ 因此给 出合适的集值映射的 Ｈ ｎ 全局 ｅｉ ｇ
文章编 １０—３７２１）１ １０ ９ 号： ０９１２（０２０— ０— ０ ０
集值映射的次微分以及最优性条件
王秀玲 龚循 华 。 ，
１ 宿迁高等师范学校 数学系， ． 宿迁 ２ ３ ０ ２８０ ２ 昌大学 数学系， 昌 ３ ０ ４ ．南 南 ３０７
摘要：基于 已有的集值映射 的弱次微分的概念， 定义了集值映射 的 Ｈ ｎｇ全局次微分， ｅｉ 研究了它的存在 性条件 以及运算性质． 利用这一概念， 分别给 出了具约束向量集值最优化问题的 Ｈｅ ｉ 全局有效解对的 ｎｇ 必要性条件和 充分性条 Ｌ ｒｎｅ乘 子形 式 以及鞍 点形 式的 充分 必要 性条件 ；自从 Ｃ ｅ 并 ａａｇ ｈｎ和
Ｃ ａｅ［ 证明了向量值函数的弱次梯度和强次梯度以来， ｈｎ和 Ｊ ｈ 【１ ｒｖｎ ｌ ９ Ｃｅ ａｎ ０ 又证明了集值映射的的 １
弱次梯度 的存在性 ， 给 出了向量集值最优 化 问题 的最优性条 件．另一方面， 并 Ｈｕ和 Ｍｅｇｕ 引进 了 ｎ ［】
２ １ 年 ３月 ０２
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ Ｉ ＹＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰＰＬ ＣＡＴＡ Ｉ Ｉ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １ ， １ ． Ｍａ ． ０ ２ ｒ，２ １
ＤＯＩ：０ ７４Ｓ ． １６ ． １． １０ １． ２ ／ＰＪ １０ ０ ２ ００ ３ ． ２ ０
优化 问题 的 Ｈ ｎｇ全局有效 解对 的必 要性条件 和充分性条 件． ｅｉ
２ 预备知识与定义
本文通篇设 （ ｘ ， ， ） （ ｙ中凸点锥， 其对偶锥定义为： ｙ 是 Ｂ ｎｃ ） ａ ａｈ空间， 其拓扑对偶空间分别记为 ， 又设 是 ｙ．
Ｃ ＝｛ ∈Ｙ （ ≥０Ｖ ∈ ｝ ： ｃ ） ，ｃ
记 Ｆ（） Ｕ Ｆ ｚ． Ａ ： （） ＝
ｘＥＡ
定义 ２１ 设 Ｘ Ｙ ｘ ） ． ０ＥＡ，ｏＥｒ（ｏ．
（ 设 ｉ （） ．ｏ ｉ ） ｎ Ｃ ≠西 Ｙ 称为 （Ｖ Ｐ 的弱有效点， ｔ ＳＯ ） 记为 ｙ Ｅ （ （） ）如果 ｏ ＷＥ Ｕ Ｆ ， ，
ｚ∈Ａ
关键词：弱次微分； ｅｉ Ｈ ｎｇ全局次微分； 集值向量优化； 最优性条件
中图分类号 ： Ｏ２ ４ ２ 文献标志码：Ａ
１ 引言
向量优化是一重要而有趣的研究领域， 长期以来备受人们的关注， 并且获得了许多研究成果． 例 如， ｏｗ ｉ 研究了无限维空间中向量优化问题 Ｂ ｒ ｅ Ｂ ｒｅ ［ ｎ１ ｏｗ ｉ ｎ真有效解的最优性条件； ｏｅ 讨论 Ｃ ｒｌ １ ｙ【 了有限维空间中向量优化问题的最优性条件： 借助于集值映射的相依导数， ｕ ｉ Ａ ｂｎ与 Ｅ ｅ ｎ ［ ４ ｋｌ ｄ －】 ａ ３ ， Ｃ ｒｌ 以及 Ｌ ｃ［ 分别给出了强解 、 ｏｅ ］ ｙ［ ｕ 】 有效解和局部有效解的最优性条件； 利用半范数， ａｎ 】 Ｊｈ ［ 给出了有效解和弱有效解的最优性条件； ｉ Ｃ ｅ 】 Ｌ 和 ｈｎ Ｉ 建立了集值映射的等式 ． Ｓ 不等式系统的择
收稿 日期： ０ ００－５ ２ １—５０ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （０６０ ７ １５ １０ ）
作 者 简介 ： 秀 玲 （９ ０ ， ， 王 １８一）女 理学 硕 士 ， 助教
第１ 期
王秀玲， ： 等 集值映射的次微分 以及最优性条件
１１ ０
用 ０表示 向量空 间中的零元 ． 的拟 内部记为 社 其 中 ｃ ，
Ｇ Ｘ０ ２ ： — ｚ给定， 且对所有的 ＸＥＸ ， （） ， （） ． ｏ Ｆ ≠ Ｇ ≠西 定义约束集 Ａ＝｛ ｏ Ｃ Ｘ ｎＫ ≠ ＥＸ ： （） ｝
并 考虑 下面 的向量集值 优化 问题 ：
Ｖ — ｍ ｉＦ（） ｎ ｘ
∈Ａ
—
（ＶＯ Ｓ Ｐ）
Ｃ非 ≠ ．
设 是 的非空子集， Ｆ：
令
一２ ｙ是集值映射， 且对所有的 ∈Ｘ ， （） ． ｏＶｘ ≠
ｅｉ （ ） （，） ｐｃＦ ＝｛ Ｙ ∈Ｘｏ ×Ｙ： （） ＹＥＦ ＋ｃ ）
设 ｚ 是 Ｂ ｎｃ 空 间， ａａｈ 是 ｚ 中点 凸锥 ， 是 的 非空子 集，集值 映 射 Ｆ： ０— ２ ， ｙ
（ （ 一 ｎ 一 ｔ ） ≯ Ｕ Ｆｚ ） （ｎＣ） ） ｉ（ ＝
次微分 的概念 ， 使之 作为能够 非常好地刻 画 Ｈ ｎｇ全 局有效 点的工具是 十分必要 的． ｅｉ 基于 Ｙ Ｓｗａａｉ Ｔ Ｔ ｎｎ ［】 出的集值 映射 的弱次微分 的概 念， 们定义 了集值 映射的 ａ ｒｇ 和 ａ ｉｏ１ 提 ４ 我
Ｈ ｎ 全局次微分， ｅｉ ｇ 研究了它的存在性条件以及运算性质． 利用这一概念， 给出了具约束向量集值最
Ｃ ＝ｆ ： ∈Ｃ ： （ ＞０ Ｖ ∈ ＼ ’ ｃ ） ， ｃ （）
用 ｃｎ （ 表 示 由集合 生成 的锥， ｏ ｅＡ） 即 ｃｎ （ ： ｛Ａ ： ≥０ ｏ ｅＡ）： ） 用 ｃ（） ｌ 表示 Ａ 的闭包 ，ｎ（ 表 示 的 内部． Ａ ｉｔＡ）
Ｃ 的凸子集 Ｂ称为 ｃ 的基， 如果 Ｃ ＝ｅｎ（ ） ０￣ ｌ ） 可知 ｃ有基的充分必要条件是 ｏ ｅＢ 且 ｔ （ ． ｃＢ
向量值函数和集值映射的另外一种次微分概念， 在此基础上获得了锥弱次微分的存在性定理． ｉ［】 Ｌｎ 与 Ｔｘ１ 研究了 Ｙ Ｓｗ ｒｇ和 ＴＴ ｎ ｏ ］ ａ ｉ】 ３ ａ ａａｉ ａ ｉ ［ 提出的集值映射的弱次微分的性质， ｎＭ 利用这一概念， 他 们给出了具约束向量集值最优化问题的最优性条件． 我们知道， ｅｉ全局真有效解是十分重要的真有效解， Ｈｎ ｇ 因此给 出合适的集值映射的 Ｈ ｎ 全局 ｅｉ ｇ
文章编 １０—３７２１）１ １０ ９ 号： ０９１２（０２０— ０— ０ ０
集值映射的次微分以及最优性条件
王秀玲 龚循 华 。 ，
１ 宿迁高等师范学校 数学系， ． 宿迁 ２ ３ ０ ２８０ ２ 昌大学 数学系， 昌 ３ ０ ４ ．南 南 ３０７
摘要：基于 已有的集值映射 的弱次微分的概念， 定义了集值映射 的 Ｈ ｎｇ全局次微分， ｅｉ 研究了它的存在 性条件 以及运算性质． 利用这一概念， 分别给 出了具约束向量集值最优化问题的 Ｈｅ ｉ 全局有效解对的 ｎｇ 必要性条件和 充分性条 Ｌ ｒｎｅ乘 子形 式 以及鞍 点形 式的 充分 必要 性条件 ；自从 Ｃ ｅ 并 ａａｇ ｈｎ和
Ｃ ａｅ［ 证明了向量值函数的弱次梯度和强次梯度以来， ｈｎ和 Ｊ ｈ 【１ ｒｖｎ ｌ ９ Ｃｅ ａｎ ０ 又证明了集值映射的的 １
弱次梯度 的存在性 ， 给 出了向量集值最优 化 问题 的最优性条 件．另一方面， 并 Ｈｕ和 Ｍｅｇｕ 引进 了 ｎ ［】