一次函数的图像和性质
一次函数的图象及性质
在某个点处，函数的导数为0，并且在该点左侧导数小 于0，右侧导数大于0，那么这个点就是极小值点。
一次函数的凹凸性
凹函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数大于 0，那么这个函数在这个区间内是凹函数 。
VS
凸函数
如果在某个区间内，函数的二阶导数小于 0，那么这个函数在这个区间内是凸函数 。
04
一次函数与数列的关系
数列是一次函数图象上多个点的集合，表示在多个自变 量下函数的值的变化规律。通过对数列的研究，我们可 以找到一次函数图象上对应的多个点。
一次函数与数列的关系还表现在解决实际问题中，如等 差数列和等比数列的问题，通过建立一次函数模型可以 解决实际问题的最优解。
06
一次函数的扩展知识
一次函数与方程的关系还表现在求解未知数 的运算过程中，通过对方程的求解可以得到
一次函数的解析式。
一次函数与不等式的关系
不等式可以看作一次函数图象上某一段的横坐标，表 示在这一段上函数的值大于或小于零。通过对不等式 的求解，我们可以找到一次函数图象上对应的区间。
一次函数与不等式的关系还表现在解决实际问题中， 如时间、速度、价格等问题，通过建立一次函数不等 式模型可以解决实际问题的最优解。
为截距。
当自变量取值为`x`时，函数值 计算公式为`y = kx + b`。
绘制点
根据计算出的函数值和自变量的取值，绘制散点图。
对于每个自变量值，计算其对应的函数值，并在坐标系中绘制一个点。
连接点
使用线段或曲线连接散点图中的点。
对于一次函数，通常使用直线连接点，因为一次函数的图像是一条直线。
03
一次函数的应用
一次函数在代数中的应用
求解方程
一次函数的图像和性质
课题 一次函数的图像与性质1、一次函数的图像的画法（1）画函数图像的三步：列表－描点－连线. （2）一次函数的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线。
一次函数y=kx+b 也称为直线y=kx+b ，这时，我们把一次函数的解析式y=kx+b 称为这一直线的表达式。
（3）因为一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象是一条直线，根据“两点确定一条直线”的基本性质，画一次函数的图象时只需描出图象上的两个点，再作过这两点的直线即可。
2、一次函数的图像的性质（1）一次函数与x 轴交点的纵坐标为0，与y 轴交点的横坐标为0.（2）一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像平行时，则12k k =。
反之，当12k k =时，两直线平行，且当12k k =，12b b =时，两直线重合。
（3）当一次函数111(y k x b k =+、110b k ≠为常数，）与222(y k x b k =+、220b k ≠为常数，）的图像的截距相同且不平行时，则12b b =，12k k ≠。
（4）一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）当k>0时函数值随着x 的增大而增大、减小而减小，即该函数为增函数；当k<0时函数值随着x 的增大而减小、减小而增大。
即该函数为减函数。
3、一次函数图像的平移一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，且k ≠0）的图象向上平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b+h;向下平移h 个单位后的函数解析式为y=kx+b-h 。
4、一次函数图像经过的象限示意图k 、b 的符号直线y=kx+b 经过的象限增减性一．基础练习：1.一次函数y=3x-6的图像是，它与x轴的交点坐标是，它与y轴的交点坐标是2.将直线y=x向下平移4个单位，得到直线3.将直线y=-3x-5向上平移4个单位，得到直线4.若直线y=3x-5与直线y=kx-4相互平行，则k=5.若直线y=-2x-5与直线y=6x+b相交于y轴上同一点，则b=6. 请你在不同的平面直角坐标系中画出下列函数的图像（1）y=2x+6 （2）1722 y x=+（3）4833y x=--（4）1344y x=--7,做一做：画出函数y=-2x+2 的图像，结合图象回答下列问题：（ 1 ）这个函数中，随着x 的增大，y 将增大还是减小？（ 2 ）当x 取何值时，y=0 ？当y 取何值时，x=0 ？（ 3 ）当x 取何值时，y>0 ？（ 4 ）函数的图像不经过哪个象限？8、完成下列各题：（1）下列函数中，y的值随着x的增大而减小的是（）A.y=2x-7B.y=0.5x+2C.y=(2-1)x+3D.y=-0.3x+1（2）函数y=4x-3中，y的值随着x值的增大而____（3）函数y=(2m-1)x+2的函数值随x的增大而减小，则m的值为______ （4）一次函数y=2x+4的图像上有两点A(3,a)，B(4,b)，请判断a与b的大小（5）y=x+5与y=2x-5的增减性（y 随着x 的增加而增加，还是随着x 的增加而减小）是否一样？（6）y=-2x+5与y=-2x-5的增减性是否一样？（7）A(a,6)和B(b,-2)在函数y=2x-5的图像上，请你判断a ，b 的大小关系 9、已知一次函数2(2)28y k x k =--+，分别根据下列条件求k 的值或k 的取值范围： （1）它的图像经过原点（2）它的图像经过点（0,－2）（3）它的图像与y 轴的交点在x 轴上方 （4）y 随着x 的增大而减小（5）这条直线经过一、二、三象限10、要使一次函数y=-3x+4的函数值大于4，求自变量x 的取值范围。
一次函数的图象与性质
x
类似地，数学上已经证明：
一次函数y= kx+b（b≠0）的图像是一条 直线.
我们常常把这条直线叫作“直线y= kx+b”. 由于两点确定一条直线，因此画一次函数 的图像，也只要描出图像上的两个点，然 后过这两点作一条直线就行了.
归纳：一次函数通常选取（0，b）， （-b/k，0)两点连线
• 一次函数 y = kx + b ( k ≠ 0 ) 有以 下性质：
（4）函数的图象过原点。 m 1
2
一次函K：数决y=定k直x向+线b倾(k斜≠的0方)的图象特点： b⑴: 决当定k直>0线时与，y轴图相象交过的_一__、__三_象限； ⑵当交k<点0的时位，置图。象过_二__、__四_象限。
⑶根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图 中k、b的符号：
k_>__0，b__>_0
k__>_0，b_<__0
k_<__0，b_>__0 k_<__0，b_<__0
小结与回顾：
一次函数图象和性质： 1（、_一_bk__次，函0)数的y_=_一k_x_条+_b_直(_k_线≠_0_)。的图象是过点（0，__b_),
2、一次函数的性质： 1）当 k>0 时 y 随着x的增大而__增__大__ 。 2）当 k<0 时 y 随着x的增大而__减__小__ 。
y = k3x+b3
归纳：一次函数y=kx+b的图象是经过(0， b)点且平行于直线y=kx的一条直线， 我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由 直线y=kx平移|b|个单位长度得到. （当b>0时，向上平移；当b<0时，向 下平移）图象与y轴交于(0，b)，b就 是与y轴交点的纵坐标
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象
正比例函数、一次函数、反比例函数的性质及图象一、正比例函数性质和图象：概念：一般地，形如(k是常数，且k≠0 )的函数，叫做正比例函数。
当k＞0时，图象过象限； y随x的增大而。
当k＜0时,图象过象限； y随x的增大而。
：概念：一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，且k≠0 )的函数，叫做一次函数。
图像和性质：①k>0,b>O,则图象过象限②k>0,b<0,则图象过象限当k＞0时， y随x的增大而。
③k<0,b>0,则图象过象限④k<0,b<0,则图象过象限当k＜0时, y随x的增大而。
三、反比例函数性质和图象：1.定义：形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
其他形式2.图像：反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y值随x值的增大而减小。
当k＜0时双曲线的两支分别位于，在每个象限内y 值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
练习题 1、若y =(m －1)x22m -是正比例函数，则m 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2或－2 2、下列函数中，一次函数为（ ）A 、25y x = B ．25y x =－1 C ．245y x = D ．25y x=-3、下列函数中，反比例函数是（ ）A 、y=x+1B 、y=C 、=1D 、3xy=24、正比例函数y=kx （k ≠0）函数值y 随x 的增大而增大，则y=kx+k 的图象大致是（ ）5、直线443--=x y 与两坐标轴围成的三角形面积是（ ） A 3 B 4 C 12 D 66、函数y 1=kx 和y 2=的图象如图，自变量x 的取值范围相同的是（ ）7、若点A(x 1,1)、B(x 2,2)、C(x 3,－3)在双曲线上，（ ）A 、x 1>x 2>x 3B 、x 1>x 3>x 2C 、x 3>x 2>x 1D 、x 3>x 1>x 28、已知一次函数y=ax+b 图象在一、二、三象限，则反比例函数y=的函数值随x 的增大而__________。
一次函数的图像与性质
一次函数与其他数学知 识的联系
与二次函数的关系
一次函数与二次函数的定义域和值域相同 一次函数和二次函数的图像都是直线或抛物+bx+c，可以转化为一次函数的形式y=ax+b
与线性代数的关系
一次函数是线性代数的基本概念之一，是线性方程组的一种形式。
图像的绘制方法
确定函数表达式
确定自变量的取值 范围
计算对应的函数值
将自变量和函数值 对应在坐标系上描 点
图像的特性
一次函数的图像是一条直 线
图像的斜率表示一次函数 的增减性
图像上的点满足一次函数 的解析式
图像上的点满足函数的定 义域和值域
一次函数的性质
斜率
一次函数图像的 斜率等于函数的 系数
积分与一次函数：积分是微分的逆运算，与一次函数有密切的联系，可以通过积分 来研究一次函数的图像和性质。
微分方程与一次函数：微分方程是描述函数随时间变化的数学模型，一次函数是微分 方程的解的一种形式，可以用来解决实际问题。
线性代数与一次函数：线性代数是研究线性方程组的数学工具，一次函数是线性方 程组的一种特例，可以通过线性代数来研究一次函数的解和性质。
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一次函数的图像与性质
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 一次函数的图像
02 一次函数的性质
03 一次函数的应用
04 一次函数与其他数 学知识的联系
一次函数的图像
一次函数图像是一条直线
图像的形状
斜率表示函数图像的倾斜程度
y截距表示函数图像与y轴的交点
图像随x的增大而增大或减小
感谢您的耐心观看
汇报人：XX
值域和定义域
《一次函数的图像和性质》课件
四、巩固提高，达标测试
1. 直线y=2x-3与x轴交点坐标为______;与y轴 的交点坐标为______;图象经过________象 限,y随x的增大而___.
2.若此直线平行于直线y=-3x-5,则k=
.
3. 直线y=2x-3的图象经过点 （0， ）与点 （ ，0），图像经过___象限，y 随x的增大 而。
比一比：正比例函数y=x与一次函数y=x+2 、 y=x－2图象有什么异同点.
y 6
5
4y=x+2
y=x
3
2
y=x－2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 6 x -1 -2
-3
-4
-5 -6
巩固练习(一)：
1.将直线y=-2x向 上 平移 3 单位，可
得直线 y=-2x +3的图象；将直线y=-2x向
在直线y=kx+b上
∴
3k b5 4k b9
解得
k 2 b1
∴ 一次函数解析式为y=2x-1
5、已知直线y= -2x+4,它与x轴的交点为A, 与y轴的交点为B.
(1).求A, B两点的坐标.
(2).求∆AOB的面积. (O为坐标原点)
6、已知某一次函数的图象经过(3, 4), (-2, 0)两点,试求这个一次函数的解析式.
b>a
(4)直线y=2x-3与x轴交点坐标为（
3 2
,0
）
与y轴交点坐标为（ 0,-3 ），图象经过
一三四 象限，y随x的增大而 增大，图
象与坐标轴所围成的三角形的面积是
9 4
（4）已知一次函数y=kx+b(k≠0)的 图象经过点（0，1）,且y随x的增大 而增大，请你写出一个符合上述条件 的函数关系式_y_=_x_+_1_.
(完整版)一次函数的图像与性质
一次函数的性质和图像目录一、函数的定义（一）、一次函数的定义函数。
（二）、正比例函数的定义二、函数的性质（一）、一次函数的性质（二）、正比例函数的性质三、函数的图像（一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置（二）、一次函数的图像1、一次函数图像的形状2、一次函数图像的画法（三）、正比例函数的图像1、正比例函数图像的形状2、正比例函数图像的画法3、举例说明正比例函数图像的画法四、k、b两个字母对图像位置的影响K、b两个字母的具体分工是：（一次项系数）k决定图象的倾斜度。
（常数项）b决定图象与y轴交点位置。
五、解析式的确定（一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次（二）用待定系数法确定解析式六、两条函数直线的四种位置关系两直线平行，k1= k2，b1≠b2两直线重合，k1= k2，b1=b2两直线相交，k1≠k2两直线垂直，k1×k2=－1（一）两条函数直线的平行（二）两条函数直线的相交（三）两条函数直线的垂直一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数这一节我们要学习正比例函数和一次函数。
一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。
因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。
正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。
在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。
确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。
但是，在一次函数y=kx+b和二次函数y=ax2+bx+c中，我们从观察解析式就可以看出，函数y与自变量x之间没有相直接对应的比例关系，因此这两种函数自变量x前面的k，就不能叫比例系数，只能叫常数。
若欲确定一次函数或二次函数的解析式时，题意仅已知常数k还不行，还需要其他常数如b、c等常数的协助。
一次函数图像性质总结
一次函数图像性质总结一次函数图像性质总结3、一次函数的图象及性质（1）形状：一次函数y=kx+b的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b.（2）画法：由于一次函数y=kx+b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时,只要确定两个点,再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y=kx+b的图象是经过点（0，b）和b（－，0）的一条直线，当b=0时，即为正比例函数，其图象k是经过原点（0，0）和点（1，k）的一条直线.（3）性质：一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：（增减性）一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。
①k＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大。
②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。
性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置，反之亦然。
①b＞0直线与y的交点在x轴的上方。
②b=0直线过原点。
③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。
性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；即两直线平行K的值相等。
当b确定k变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。
即当b相等时两直线相交于Y轴一点。
性质四：一般的，一次函数的k、b都未确定，他的图像分为四种情况：注意：一般的画一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0)图像时，选取（0，b）、（－，0）两点，即选取直线与两坐标轴的交点。
bk扩展阅读：一次函数图像性质小结与配套练习一次函数的图像性质总结（阅读+理解）一、一次函数的图像姓名1.正比例函数y=kx(k≠0,k是常数)的图像是经过O（0，0）和M（1，k）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k＜0时，图像经过原点和第二、四像限.2.一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)的图像是经过A（0,b）和B（-直线，当kb≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况：（1）k＞0,b＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A（2）k＞0,b＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B（3）k＜0,b＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C（4）k＜0,b＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18Db，0）两点的一条k3.一次函数的图像的两个特征（1）对于直线y=kx+b(k≠0),当x=0时,y=b即直线与y轴的交点为A（0,b）,因此b叫直线在y轴上的截距.（2）直线y=kx+b(k≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A（0，b）和B（-4.一次函数的图像与直线方程（1）一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数.（2）与坐标轴平行的直线的方程.①与x轴平行的直线方程形如：y=a（a是常数）.a＞0时，直线在x轴上方；a=0时，直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19）b，0）.k②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20).二、两条直线的关系1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解;若l1与l2平行，则k1=k2.三、一次函数的增减性1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性.2.一次函数的增减性一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质：（1）k＞0时，y随x的增加而增加；（2）k＜0时，y随x的增加而减小.3.用待定系数法求一次函数的解析式：若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是：（1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b①y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值.这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.一次函数的图像和性质练习题题组一：1.正比例函数ykx(k0)一定经过点，经过(1一次函数ykxb(k0)经，)，过(0，)点，(，0)点．2.直线y2x6与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。
一次函数的图像和性质
3.2 一次函数一、知识汇总： 1、 函数的概念：在某变化的过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么称y 是x 的函数，其中 x 是 ，y 是 2、 一次函数与正比例函数：若两个变量x ，y 之间的关系可以表示成 的形式，则称y 是x 的一次函数，特别地当 时，称y 是x 的正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特殊情况． 3、 一次函数的图象：正比例函数y =kx （0≠k ）的图象经过点（0， ）（1， ）的一条直线，一次函数y =kx 十b （k ，b 为常数，0≠k ）的图象经过点（0， ）（ ，0）的一条直线，具体的见下表：正比例函数和一次函数有相同的性质即当k >0时，y 随x 的 ，当k <0时，y 随x 的 ． 二、典型例题与易错题：例1、已知函数133255y x y x y y y x =-=-=+==，，，，其中一次函数的个数是（ ）Ａ．2 Ｂ．3Ｃ．4Ｄ．5例2、 当k 满足什么条件时函数23(2)2k y k x -=++是一次函数？例3、一次函数(1)5y m x =++中，y 的值随x 的减小而减小，则m 的取值范围是（ ）Ａ．1m >- Ｂ．1m <- Ｃ．1m =- Ｄ．1m < 例4、关于一次函数y =－x+1的图像，下列所画正确的是()【答案】C两个一次函数1y ax b =+与2y bx a =+，它们在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）例5、某一次函数的图像经过A （0，3），B （－1，1），求该一次函数的解析式。
例8、如图，直线y=kx+b 与x y 21=图象交于点A （2，1）， 则不等式b kx x +>21的解集为 三、基础知识练习： 1、函数y =122++-x x x 的自变量x 的取值范围是2、在函数2y x b =-中，函数y 随着x 的增大而 ，此函数的图象经过点(21)-，，则b = ．3、已知直线35y x =+与直线6y ax =-是两条互相平等的直线，则a = ．4、一次函数3y x =+与2y x b =-+的图象交于y 轴上一点，则b = ．5、已知一次函数y kx b =+的图象不经过第三象限，也不经过原点，那么k b 、的取值范围是（ ）Ａ．0k >且0b <Ｂ．0k >且0b < Ｃ．0k <且0b > Ｄ．0k <且0b <已知一次函数y ax b =+的图象过第一、二、四象限，且与x 轴交于点（2，0），则关于x 的不等式(1)0a x b -->的解集为A ．x<－1B ．x> -1C ． x>1D ．x<1 6、已知一次函数的图象过点（3，5）与（-4，-9），则该函数的图象与y 轴交点的坐标为 7、如图，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m n ，为常数，且mn 0≠）1 x x 1 x Ｄ． Ｃ． B ． A ．图象的是（ ）如图所示，函数x y =1和34312+=x y 的图象相交于（－1，1），（2，2）两点．当21y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜－1B ．—1＜x ＜2C ．x ＞2D ． x ＜－1或x ＞2 8、如图，已知函数b ax y +=与kx y =得图象交于点P ，则关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=kxy bax y 的解是9、如图，已知函数b x y +=3和3-=ax y 的图象交于点P （-2，-5），则不等式33->+ax b x 的解集是12、如图，已知直线1l 经过点A （-1，0）与点B （2，3），另一条直线2l 经过点B,且与x 轴相交于点P （m ，0） （1）求直线1l 的解析式（2）若△APB 的面积为3，求m 的值四、拓展提高：1、如图，直线33+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，若把 △AOB 沿直线AB 翻折，点O 落在点C 处，则点C 的坐标是2、如图，已知直线1l ：3832+=x y 与直线2l ：162+-=x y 相交于点C ，1l 、2l 分别交x 轴与A 、B 两点，矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合。
一次函数的图像及性质
一次函数的图象及性质1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴ 次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数． 2、正比例函数和一次函数图像及性质3、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：即横坐标或纵坐标为0的点.4、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.例1：已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，求函数表达式．例2、直线与x 轴交于点A （-4，0），与y 轴交于点B ，若点B 到x 轴的距离为2，求直线的解析式。
例1:已知一次函数)1()14(+-+=m x m y 。
（1）m 为何值时，y 随x 的增大而减小？（2）m 为何值时，此直线与y 轴交点在x 轴下方？ （3）m 为何值时，此直线不经过第三象限？（4）若1=m ，求这个一次函数与两个坐标轴的交点。
19.2.2一次函数的图像和性质
( B) y1＝y2 (D) y1 ＞y2
(C) y1< y2
y1
y2
-3
0
2
x
小结
告诉大家本节课你的收获！
1.会画:用两点法画一次函数的图象 ２.会求:一次函数与坐标轴的交点 3.会用:一次函数的性质
谈谈收获
交流分享
一次函数是重点，系数k、b很关键.
K的取值大于0， 从左往右向上升.
K的取值小于0， 从左往右向下行.
(A) y (B) y
o
x
o
x
(C)
y
(D)
y
o
x
o
x
16、一次函数y=kx－k的图象可能是( C ）
A B
C
D
17、如图所示，不可能是关于x的一次函 数y=mx-(m-3)的图像是( C )
18、点A(-3,y1）、点B（2，y2)都在直线 y=(-a2-1)x+3上，则 y1 与 y2 的关系是（ D ） (A) y1 ≤ y2
y y=1.5x y 正确为： 0 y y=1.5x x 0 y 0 x
y=-2x+3 正确为：
x 0
x y
y
0
y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚ x 正确为： 0 x
y=kx+b﹙k＞0，b＜0﹚
3.下列一次函数中，y的值随x的增大 (2) (4) 。 而减小的有________ (1) y=10x-9 (2) y=-0.3x+2
画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象。 -1 1 1 0.5 由于一次函数的图象是直线，所 以只要确定两个点就能画出它。 直线y=2x-1由直线y=2x
一次函数的图像和性质
⑴求一次函数y＝－2（x－1）的特征数；
⑵若特征数是 的一次函数为正比例函数，求k的值．
20.某服装厂现有A种布料35m，B种布料26m，现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套．已知做一套男时装需要A种布料0.6m、B种布料0.9m，可获利90元；做一套女时装需要A种布料1.1m，B种布料0.4m，可获利100元，若设生产男时装套数为x套，用这批布料生产这两种时装所获得总利润为y元．
02．一次函数y＝（m－1）x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是（）
A． B． C．－1D．－2
03．直线y1＝kx＋b过第一、二、四象限，则直线y2＝bx－k不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
04．已知一次函数y＝（1－2m）x＋m－2，函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（）
∴ ∴ ，∴y＝－x＋11
∴所求解析式为y＝x＋3或y＝－x＋11
【变式题组】
01．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则kb的值为（）
A．4B．－6C．－4或21D．－6或14
02．已知整数x满足－5≤x≤5，y1＝x＋1，y2＝-2x＋4，对任意一个x，m都取y1,、y2中的最小值，则m的最大值是（）
13．如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝－x＋b恰好平分长方形的面积，则b＝_______.
14．如图，点B、C分别在两条直线y＝2x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k＝______.
15．正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn的坐标是________.
一次函数的图像与性质(教师用)
一、知识聚焦：1．一次函数的概念：形如y=kx+b (k ≠0，k 、b 为常数)，则y 是x 的一次函数．2.一次函数的图象（1）一次函数的图象是直线．（2）一次函数y=kx+b (k ≠0)的图象的位置是由k 、b 决定的，当k>0，b>0时，图象过一二三象限；当是k>0,b<0时，图象过一三四象限，当k<0，b>O 时，图象过一二四象限；当k<0，b<0时，图象过二三四象限．3．一次函数y=kx+b 的性质（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大，图象从左到右逐渐上升；（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小，图象从左到右逐渐下降。
（3） 一次函数y 1=k 1x+b 1和y 2=k 2x+b 2，当k 1=k 2，b 1≠b 2时，两直线平行；当k 1=k 2，b 1=b 2时，两直线重合。
4.图像的平移：上加下减自变量，左加右减常数项。
5．待定系数法求一次函数解析式：（1）设一次函数解析式为y=kx+b ；（2）将图像所经过点的坐标代入解析式；（3）解关于k,b 的二元一次方程组，求出k,b 的值；（4）将k,b 的值代回到所设解析式中。
二、经典例题：例1. 给出下列函数：(1)y=πx ；(2)y=2x －1；(3)1y x =；(4)y=2－1－3x ；(5)y=x 2－1．其中一次函数的有 ( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例2.将直线y=2x 的图象向上平移两个单位，所得直线的函数关系式为 ( )A ．y=2x+2B ．y=2x －2C ．y=2(x －2)D ．y=2(x+2)例3．一次函数y=－4x+8的图象不经过的象限是 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例4．已知一次函数y=(1-3k)x+2k-1(1)当k= 时,直线经过原点; (2)当k= 时,直线与x 轴交于点(43,0);(3)当k 时,与y 轴的交点在x 轴下方;(4)当k 取何值时,直线经过第二,三,四象限.例5．已知一次函数的图象经过A (-2,3),B(3,-12)两点,求此函数的解析式经典例题答案：例1. B 例2．A 例3.C 例4.（1）21（2）-1 (3) <21且k ≠31 (4) 31<k<21 例5．y=-3x-3三、基础演练：1. 某种储蓄的月利率为0.15%，现存入1000元，则本息和y （元）与所存月数x 之间的函数关系式是 .2．一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标是 ，与坐标轴围成的三角形面积是 。
第11节 一次函数的图象和性质
，与 y 轴的截距为﹣ ，
由于该直线不通过第一象限，所以得到：
即
，
由①得到 a 与 b 同号；由②得到 b 与 c 同号．所以 a，b，c 同号． 故选 D
4.设 b＞a，将一次函数 y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，则 有一组 a，b 的取值，使得下列 4 个图中的一个为正确的是（ ）
典例分析：
例 3：（1）直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限，则有（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
解：若直线 y=kx+b 通过第一、三、四象限， 则必有 k＞0，b＜0， 故选：B．
（2）若 ac＜0，bc＜0，则直线 ax+by+c=0 的图形只能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由题意知，函数的解析式即 y=﹣ x﹣ ，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，
∴﹣ ＜0，﹣ ＞0，故直线的斜率小于 0，在 y 轴上的截距大于 0，
故选 C．
练习：
1．若 a+b=0，则直线 y=ax+b 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
解：根据题意，得；
当 x=1 时，y=a+b=0，
(4)直线 y＝kx＋b(k≠0)与 x 轴的交点为(－kb，0)，与 y 轴的交点为(0，b)．
典例分析：
例 1：已知函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m，当 m 为何值时．
（1）这个函数为正比例函数； （2）这个函数为一次函数； 解：∵函数 y=（2m﹣1）x+1﹣3m， （3）函数值 y 随 x 的增大而减小（；1）当 1﹣3m=0，即 m= 时，这个函数为正比例函数； （4）这个函数图象与直线 y=x+（1 的2）交当点2m在﹣1x≠轴0，上即．m 时，这个函数为一次函数；
第11讲 一次函数的图象及其性质
试题 如图，O 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板顶点与 O 重合， 转动三角板使两直角边
始终与 BC，AB 相交，交点分别为 M，N，如果 AB＝4，AD＝6，OM ＝x，ON＝y，则 y 与 x 的关系式是( ) 2 6 3 A．y＝3x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x 错解 B
此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形 ABCD 1 的中心 O 重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变，即 S 矩形 OEBF＝4 6 ×4×6(即取直角三角板的特殊情形)，则易错误地得到 x· y＝6，即 y＝x.但实 际上， 过点 O 作 AB， BC 的垂线， 垂足分别为点 E， F， 如图所示． 由于∠FOM ＋∠EOM＝90°，∠EON＋∠EOM＝90°，所以∠EON＝∠FOM，又∠OEN ON OE 3 3 ＝∠OFM＝90°，因此△OFM∽△OEN，则OM＝OF＝2，即 y＝2x，此时， 可看出 S△OEN∶S△OFM＝(OE ∶OF)2＝9∶4，所以，直角三角板与矩形 ABCD 重合部分面积并非定值 6.此类题目不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形． 正解 D
(2)(2015· 淄博)在直角坐标系中，一条直线经过 A(－1，5)，P(－2，a)， B(3，－3)三点． ①求 a 的值； ②设这条直线与 y 轴相交于点 D，求△OPD 的面积．
解：①设直线的解析式为 y＝kx＋b，把 A(－1，5)，B(3，－3)代入，可得： －k＋b＝5， k＝－2， 解得： 所以直线解析式为：y＝－2x＋3，把 P(－2， 3k ＋ b ＝－ 3 ， b ＝ 3 ， a)代入 y＝－2x＋3 中，得：a＝7；
(3)(2015· 广西)过点(0，－2)的直线 l1：y1＝kx＋b(k≠0)与直线 l2：y2＝x ＋1 交于点 P(2，m)． ①写出使得 y1＜y2 的 x 的取值范围； ②求点 P 的坐标和直线 l1 的解析式．
一次函数的图象与性质
点 数图象中的两个点就可画出此函数的图象.
法
(2)一般地，一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)都过(0,b)
(与y轴交点坐标)和( b , 0 )(与x轴交点坐标)两点. k
平
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线
移 y＝kx平移|b|个单位长度得到。
法
当b＞0时，向上平移； 当b＜0时，向下平移.
知识点 3 一次函数的图象和性质
深入探究：
画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象。
x
01
y=x+1 1 2
y=-x+1 1 0 y=2x+1 1 3
y=-2x+1 1 -1
y=2x+1 y y=x+1
1
-1 -O1 1
x y=-x+1
y=-2x+1
画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象。
A．y＝－2x－1
B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－1
D．y＝2x＋1
一次函数 y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)的图像和性质与k、b
的值紧密相连，归纳起来主要有以下几方面. 1.从k的值来看性质:
(1)从k的值的正负看一次函数的性质 当k＞0时，y随x的增大而增大. 当k＜0时，y随x的增大而减小.
导引：根据一次函数的性质可知，6＋3m＞0，且m－4＜0， 解不等式组即可．
6 3m＞0， 解：根据题意，得 m－4＜0， 解得－2＜m＜4.
所以m的取值范围是－2＜m＜4.
总结
对于一次函数y＝kx＋b（ k ≠ 0 ） (1)判断k值符号的方法：
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教案
人教版八年级下册19.2.2一次函数的图像和性质
参赛号：239
教学目标：
1、会用两点法画出()0y
kx b k =+≠的图像。
2、能结合图像说出正比例函数和一次函数的性质。
3、由一次函数图象画法与性质的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想。
4、体会数形结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用性质、图象及数形结合思想解决相关函数问题。
5、体验“数”与“形”的转化过程，感受函数图象的简洁美。
进而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点与难点：
重点：一次函数的图像和性质。
难点：结合图像理解正比例函数和一次函数的性质的过程 教学手段与方法：
应用幻灯片，创设情境，自主探究，合作交流。
教学流程：
活动1、有实例引入，创设情境，引出课题。
活动2、动手操作，猜想、验证，合作交流。
活动3、灵活运用所学知识，巩固应用。
活动4、课堂小结，清理本节所学。
教学过程： 一、引入：
1、观看音乐MV 《不抛弃不放弃》，激发学生爱国热情。
2、话题：我国西南地区遭遇百年不遇的大旱，灾情再一次凸显了我国淡水资源的匮乏，珍惜和保护水资源变的日益重要。
假设我们每人一天节约2L 水，想一想全班、全校乃至全省、全国一天能节约多少水？！按这样估计，你能列出节水量y 与人数x 之间的函数关系式吗？ 2y x =（由学生回答）
3、提出问题：这是什么函数？你会画它的图像吗？
复习正比例函数的图像和性质：正比例函数()0y kx k =≠的图像是一条直线。
0k >时，图像过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；0k <时，图像过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
二、新课：
1、动动手：画出函数2y x =的图像。
只需找点
()()0,0,1,2，描点得到图像。
画出函数22y x =+的图像，这时我们需要列表、描点、连线。
再请同学们画出函数22y x =-的图像。
归纳总结：一次函数()0y kx b
k =+≠ 的图像是一条直线，我们将y kx b =+ 的图像称为直线y kx b =+。
在画一次 函数的图像时，我们可以通过确定两个点 来作一次函数的图像。
2怎样的特殊关系?函数2y x =的图像经过原点，函数
22y x =+的图像与y 轴的交点为()0,2则它可以看作由直线2y x =单位长度得到。
函数22y x =-的图像与y 轴的交点为()0,2-，则它可以看作由直线2y x =向下平移两个单位得到。
归纳总结：一次函数y kx b =+的图像可以看作由y kx =的图像通过平移得到。
当0b >时，图像向上平移，交y 轴正半轴于（0，b)；当0b <时，图像向下平
移，交y 轴负半轴于（0，b)。
3、做一做：画出函数
与1y
x =-+y =-
你还有其他方法来画它们的图像吗？
先画,y x y x ==-，再分别平移它们得到
探索发现：1y x =+的图像有怎样的变化规律？0k >时，图像从左到右逐渐上升。
一次函数的值又有怎样的变化规律？x 的值逐渐增大，y 的值也随之逐渐增大。
1y x =+的图像又有怎样的变化规律？0k <时，图像从左到右逐渐下降。
一次函数的值又有怎样的变化规律？x 的值逐渐增大，y 的值随之逐渐减小。
归纳总结：一次函数y
kx b =+具有如下性质：
0k >时，y 随x 的增大而增大，图像从左到右逐渐上升。
0k <时，y 随x 的增大而减小，图像从左到右逐渐下降。
4、一显身手：
①直线26y x =-与x 轴的交点坐标为_______;与y 轴的交点坐标为________；
y 随x 的增大而 增大 ；图像过第 一、三、四 象限
()3,0()
0,6-
y
y
y
y
y
y
y
y
y
②一次函数y ax b =+的图像如图一所示，则函数
y bx a =+的图像可能为（ C ） 像可能是（ C ）
A. B. C. D.
5、挑战自我 已知一次函数()121y m x m =-+-，求满足下列条件的的取值范围：
（1）y 随x 的增大而减小；
解：由题意知，120m -<，所以，1
2
m >
（2）图像与y 轴的交点在x 轴的下方；
解：由题意知，10m -<且120m -≠，所以，1m <且12
m ≠ （3）图像过第二、三、四象限。
解：由题意知，120m ->且10m -<，所以，
1
12
m << 6.勇攀高峰
对于一次函数y=kx+b 的图像能否根据k,b 的正负确定图像所过象限？ 三、小结与作业：
本节课有哪些收获？学生自由发言，对本节课所讲知识加以梳理。
作业：课本120页习题14.2的4、5、10、11
请各位老师多提宝贵意见，谢谢指导！。