幂函数导学案
高中数学《幂函数》导学案
2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。
3.3 幂函数 导学案(1)
3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。
1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。
一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。
二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。
(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。
(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。
a 是S 的函数 。
（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。
（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。
注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。
练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。
《幂函数》导学案
y x-3-2-1-3-2-143432121《幂函数》导学案【学习目标】1.了解幂函数的形式，会判断是否是幂函数；2、了解幂函数的图象与性质；3、体会幂函数的变化规律并能进行简单的应用；【课前导学】阅读课本P77～78的内容，找出疑惑之处，完成新知学习。
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，这里S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，这里V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.以上5个函数解析式的共同特征是____________________________________________。
定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.【预习自测】1、判断下列函数哪些是幂函数，其中是幂函数的序号是 ；①1y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =。
2、已知幂函数()y f x =的图象过点2)，试求出这个函数的解析式；【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究任务：幂函数的图象与性质探究一：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）2y x =；（3）3y x =；（4）12y x =；（5）1y x -=． 从图象分析出幂函数所具有的性质.y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性定点探究二：证明幂函数()f x x =∞[0，+）上是增函数。
【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【课后作业】1、下列所给的函数中，是幂函数的是（ ） A 、3y x =- B 、3y x -= C 、32y x = D 、31y x =-2、下列命题中正确的是（ ）A 、当0α=时，函数y x α=是一条直线；B 、幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C 、若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D 、幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定4、 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a5、已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，试求出这个函数的解析式；并作出图象，判断奇偶性、单调性。
幂函数导学案
.学校 乐从中学 年级 高一 学科 数学 导教案 主备江自龙审查 张国富 讲课人 讲课时间小组2.3 幂函数【学习目标 】1．理解幂函数的看法，会画函数 y x ， y x 2 ， y1班级 姓名（ 教 师“复备”栏 或 学生 笔 记x 3 ， y x 1 ， 栏）y x 2 的图象 .2. 认识幂函数的图象， 理解幂函数图象的变化状况和性质， 并能进行简单的应用．3．浸透辨证唯心主义看法和方法论，培育学生运用详细问题详细剖析的方法剖析问题、解决问题的能力。
：【学习过程 】研究一、【创建情形】（1）假如正方形的边长为 a ，那么正方形的面积是 S =，S 是 a 的函数。
（2）假如正方体的边长为 a ，那么正方体的体积是 V =，V 是 a 的函数。
（3）假如正方形场所的面积为 S ，那么正方形的边长 a=，a 是 S 的函数。
（4）假如某人 t s 内骑车前进了 1km ，那么他骑车的均匀速度v =km/s ， v 是 t 的函数。
思虑：能否为指数函数？上述函数分析式有什么共同特点？二、新课导学研究二、 研究新知（ 1）一般地 , 叫做幂函数 , 此中 是自变量 ,是常数 . 例 1、判断以下函数哪些是幂函数 : 1x , 2. y x 2 1 3. y4 74 . 1 6.5 xy 5.xy xx 3 y（ 2）幂函数与指数函数有什么差别？1（ 3）请在同一坐标系内作出幂函数y x ， yx 2 ， y x 3 ， y x 2 ，yx 1 的图象.x⋯-3-2-1-1011222y x⋯y x 2⋯y x3⋯1⋯y x2y x 1⋯14）函数y x ；y x2； y x3；y x2；y x 1的性y x y x2y x 31y x23⋯⋯⋯⋯⋯⋯y x 1定域域奇偶性性定点【合作研究】概括幂函数的性质：(1) 幂函数 y x 图象过定点。
(2) 幂函数 y x , 在第 象限都有图象。
我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性可以帮助我们达成其余象限的图象。
幂函数及其性质导学案
幂函数及其性质导学案（一）创设情景，引入新课请同学们观察以下几个具体问题，分析归纳这些问题中的函数有什么共同特征？问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜ω千克，那么她需要支付P ω=元，这里P 是ω的函数；问题2：如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2S a =，这里S 是a 的函数；问题3：如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积3V a =，这里V 是a 的函数；问题4：如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长12a S =，这里a 是S 的函数；问题5：如果某人t s 内骑车行进了1km ，那么他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数。
结论：这几个函数解析式的共同特征是： 。
（二）讲授新课 1、幂函数的概念（1）提问：如果设自变量为x ，函数值为y ，则得到函数分别是什么？它们的一般式是什么？即：y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x = 它们的一般式为：y x α=幂函数的定义：--------------------------------------------------------- 。
（2）合作探究：幂函数与指数函数有什么区别？ 结论：从它们的解析式来看有如下区别： 幂函数—— -------------------------------------。
指数函数——指数是自变量、底数是常数。
2、几个常见幂函数的图象和性质（1）请同学们在同一坐标系内画出幂函数y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x =的图象。
（2）合作探究：观察函数y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x =的图象，将发现的结论填入表格内。
（3）合作探究：①根据上表内容并结合图象，试总结函数y x =、2y x =、3y x =、1y x -=、12y x =的共同性质；———————————————————————。
幂函数复习导学案(珍藏版)
2.3幂函数复习导学案（珍藏版）一.学习目标：（1）了解幂函数概念。
（2）会画常见幂函数的图象。
（3）结合图象了解幂函数图象的变化情况和简单性质。
（4）会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小。
二、需要掌握的基础知识：1.幂函数的定义： 练习:（1）①y=21x②y= -x 2 ③y=x 2+x ④xy 3.0=⑤y=x 0⑥y=1属于幂函数的是_________.（2）若函数22)33()(x a a x f +-=是幂函数，则a 值为________. 2.幂函数的图像在同一坐标系内画出函数,,,,2132x y x y x y x y ====y=x -10x y =的图象3.幂函数的x性质：①所有幂函数在_________都有定义，并且图像都过点________； ②0a >时，幂函数的图像通过_________，并且在区间[)0,+∞上是_________，特别的，当1a >时，幂函数的图像________，当01a <<时，幂函数的图像________。
③0a <时，幂函数的图像在区间()0,+∞上是_________，在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋向+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。
（4）幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α函数,,,,2132x y x y x y x y ====x y =-1的性质4.性质的应用.),0[)(1上是增函数在、证明幂函数+∞=x x f2．比较下列各组中值的大小，并说明理由：(1)1.10.5，1.40.5 (2) (-π)-1, （-3.14）-1 (3)1.40.5，1.433、下列函数中不是幂函数的是 ( )A. B. C. y=2x D.y=x -14、幂函数的如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为：________________ 5、幂图像过点，则它的单调递增区间是（ ）Ａ[)1,-+∞Ｂ[)0,+∞Ｃ(),-∞+∞Ｄ(),0-∞6.若幂函数y=f(x)的图像经过点()9,3，则f(25)=______________7.比较下列各组数的大小：（1）0.7521_____0.7621 （2）（-3.14）2_____2π （3）4.06.03.0___2.0（4）3232)6_____()32(----π8. 幂函数y=(m 2-m-1)x m 在区间()+∞,0上是减函数，则 m 的值为________。
3.2幂函数(学生版)
3.3.1幂函数的概念【知识梳理】幂函数的概念一般地，函数叫做幂函数，其中x 是，α是．注意点：(1)自变量前的系数是1.(2)幂的系数为1.(3)α是任意常数．(4)函数的定义域与α有关．例1(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为()A.0B.1C.2D.3(2)(链接教材P91练习T1)已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－2＋m ＋3是幂函数，则m ＝_______.【变式】已知函数op =(2−1)2+r1是幂函数.(1)求实数的值,并求出的解析式;训练1(1)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝16，则f (－4)的值等于________.(2)已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于()A.2B.1C.12D.0训练2若f (x )＝(m 2－4m －4)x m 是幂函数，则m ＝________．3.3.2幂函数的图像与性质【知识梳理】幂函数的性质与图象（1）图像都过点（1，1)；（2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；奇函数的图像在第一和第三象限；偶函数的图像在第一和第二象限；非奇非偶函数的图像在第一象限；注：α>0时函数图像经过原点，α≤0时函数图像不经过原点．（3）当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减；当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增．（4）函数的图像在第一象限以(1，1）为支点，成跷跷板，左高右低，左低右高；（5）当x>1时，函数图像从上往下，α逐渐减小．题型一：幂函数的图象及应用例1：证明幂函数()f x 是增函数．【变式】已知函数op=(2−1)2+r1是幂函数.(1)求实数的值,并求出的解析式;(2)证明在R上是增函数.例2(1)若幂函数f (x )=(2m 2-6m +5)x 2m -3的图象与x 轴没有交点,则f (x )的图象关于对称()A .原点B .x 轴C .y 轴D .不确定(2)在同一坐标系内,函数y =x a (a ≠0)和y =ax -1的图象可能是()【练1】如图是幂函数y =x m 与y =x n 在第一象限内的图象,则()A .-1<n <0<m <1B .n <-1,0<m <1C .-1<n <0,m >1D .n <-1,m >1【练2】如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C1，C 2，C 3，C 4的n 依次为()A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－122,2，12D ．2，12，－2，－12题型二：利用幂函数的单调性比较大小例3(链接教材P91练习T2)比较下列各组数中两个数的大小:(1;(2)−与−.【练3】(链接教材P91练习T2)比较下列各组数的大小:(1;(2)-3.143与-π3.题型三：根据单调性求参数值(或范围)例4已知幂函数f (x )＝()32221m m m x--+的图象过点(4,2)．①求f (x )的解析式；②判断函数的单调性，并进行证明；③若f (a ＋1)>f (2a －3)，求实数a 的取值范围．【练4】已知幂函数f (x )＝x 9－3m (m ∈N ＋)的图象关于原点对称，且在R 上函数值随x 的增大而增大．①求f (x )的解析式；②求满足f (a ＋1)＋f (3a －4)<0的a 的取值范围．题型四：幂函数性质的综合应用例5已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合．【练5】已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,2).(1)求函数f(x)的解析式,并求出它的定义域;(2)试求满足f(1+a)>f(3-a)的实数a的取值范围.。
幂函数导学案
§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，12，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝12时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型题型一 理解幂函数的图象与性质下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C题型二 幂函数定义及性质的应用已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值．分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x pq是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x pq的奇偶性与p 的值相对应．解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0.当t ＝0时，f (x )＝x 75是奇函数；当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 25.点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．题型三 幂函数的图象如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布． 正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.幂函数在高考中几进几出，在课改实验区是高考的一个考点．主要考查五种具体幂函数的图象和性质，以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．(山东高考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析 根据幂函数的定义和性质易得x ＝1,3时，定义域为R 且为奇函数． 答案 A1．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.2．幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为( ) A ．2 6 B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24. 3．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象，不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 答案 B解析 据幂函数的定义，知m 2－3m ＋3＝1， 所以m ＝1，m ＝2.又图象不过原点，所以m 2－m －2≤0，经验证，m ＝1，m ＝2均适合． 4．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B.5．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.6．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四7．把下列各数223，⎝⎛⎭⎫53－13，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫150，⎝⎛⎭⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝⎛⎫－233<⎝⎛⎫53－13<⎝⎛⎫150<⎝⎛⎫3223<223. 8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3. ∴3<a <5.9．在图中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．解 对于①y=x-1为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(1)；对于②y=-x3为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(2)；对于③④y=x2+1和y=-x 4都为偶函数，其图象都关于y 轴对称，可画出另一半，如图(3)(4)．10．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是 (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。
高中数学《幂函数》导学案
1.幂函数的定义□1一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的区别幂函数□2y＝xα的底数为自变量，指数是常数；指数函数正好相反，指数函数□3y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象(如图)．它们的性质如下表．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若y＝mxα是幂函数，则m＝________.(2)(教材改编P79T1)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.(3)若y＝ax a是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)1(2)－8(3)(－∞，＋∞)『释疑解难』(1)幂函数的图象大致分为下表中的几类：(2)幂函数与指数函数的区别探究1 幂函数的定义例1 (1)在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x －12中，是幂函数的是()A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．解析 (1)幂函数是形如y ＝x α(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．(2)∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．答案 (1)C (2)见解析 拓展提升判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.【跟踪训练1】 (1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；从y ＝1＝x 0(x ≠0)可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究2 幂函数的图象及应用例2 幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x13 ，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 1，C 3，C 2，C 4 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x－12在第一象限内的图象为C 3.答案 D 拓展提升幂函数图象的特征(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大．(2)幂函数y＝xα，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减．(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求其定义域；②判断其奇偶性；③已知该函数在第一象限内的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图所示，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23＝3x 2，定义域为实数集R . ②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝x23的图象，如图所示．根据图象易知，函数y ＝x23在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．探究3 幂函数的性质及应用 例3 比较下列各题中两个值的大小：(1)2.3 34 ，2.4 34；(2)(2) －32，(3)－32；(3)(－0.31) 65，0.3565.解(1)∵y ＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334 <2.434 .(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)－32 >(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R上的偶函数，∴(－0.31) 65 ＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165 <0.3565 ，即(－0.31) 65 <0.3565.拓展提升比较大小的方法比较幂值的大小，关键是构造适当的函数： (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【跟踪训练3】比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎪⎫230.5与⎝⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3.解(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且23>35，∴⎝⎛⎭⎪⎫230.5>⎝⎛⎭⎪⎫350.5.(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.例4若(3－2m)12>(m＋1)12，求实数m的取值范围．解因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m≥0，m＋1≥0，3－2m>m＋1，解得－1≤m<23.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.拓展提升利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练4】已知幂函数y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．解∵y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x ∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0)．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1,1).(2)如果α>0，幂函数图象过原点，在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的增大，图象逐渐靠上.1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝(x＋1)3答案B解析函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，故不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为() A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a答案A解析a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c<a<b.3．函数y＝x 53的图象大致是图中的()答案 B 解析 ∵函数y ＝x53是奇函数，且α＝53>1，∴函数图象为B.4．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝______.答案 24解析 设幂函数为y ＝x α(α为常数)． ∵函数f (x )的图象过点(4,2)，∴2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 12 ＝24.5．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．解 ∵幂函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3. 又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又y ＝x 3m －9的图象关于y 轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m －9是偶数．∴m ＝1. ∴f (x )＝x －6(x ≠0)．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限 答案 D解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；当x >0，α∈R 时，y ＝x α>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确．2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝x13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －2答案 B解析 ∵A ，C 项在(－∞，0)上为增函数；D 项中y ＝x －2＝1x 2在(－∞，0)上也是增函数，故选B.3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 <⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a <b .又∵函数y ＝x 25在R 上是增函数，且35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 >⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c >b ，∴a <b <c .4．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1答案 A解析 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1 或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．5．在同一坐标系内，函数y ＝x α(α≠0)和y ＝αx －1α的图象可能是( )答案 C解析 当α<0时，函数y ＝αx －1α是减函数，且在y 轴上的截距－1α>0，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数，∴A ，D 两项均不正确．对于B ，C 两项，若α>0则y ＝αx －1α是增函数，B 项错误，C 项正确，故选C.二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －1在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案 －1解析 由幂函数的定义可知，m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，y ＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝2时，y ＝x －1，在(0，＋∞)上是减函数，不符合题意，所以m ＝－1.7．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为________． 答案 －12解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 (3,5) 解析∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 ；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 和⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1，所以3－52 >3.1－52 .(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 ，函数y ＝x78在(0，＋∞)上为增函数，因为18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 .(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ，⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，因为23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.B 级：能力提升练10．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．解因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。
幂函数导学案
2.3幂函数导学案一.学习目标：（1）了解幂函数概念。
（2）会画常见幂函数的图象。
（3）结合图象了解幂函数图象的变化情况和简单性质。
（4）会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小。
二.新课 问题情境问题1：写出下列y 关于x 的函数解析式①正方形边长x 、面积y ②正方体棱长x 、体积y ③正方形面积x 、边长y④某人骑车x 秒内匀速前进了1m,骑车速度为y⑤某人购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付的钱数y问题2：上面5个函数是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？1.幂函数的定义： 练习:（1）①y=31x②y=2x 2③y=x 2+x ④x 2.0y =⑤y=x 0⑥y=1属于幂函数的是_________.（2）若函数22)33()(x a a x f --=是幂函数，则a 值为________. 2.幂函数的图像（1）x y =，1-=x y ，2x y =的图像（请同学们将三个函数图像画在下面的坐标系中）x（2）3xy=的图像（请同学们完成x,y的对应值表，并用描点法画出它的图像）（3）21xy=的图像（请同学们完成x,y的对应值表，并用描点法画出它的图像）xx3.幂函数的性质观察函数,,,,2132x y x y x y x y ====xy =-1的图象，将你发现的结论写在下表内。
4.性质的应用例1.例2．比较下列各组中值的大小，并说明理由：(1)1.10.5，1.40.5 (2) (-π)-1, （-3.14）-1 (3)1.40.5，1.43.),0[)(上是增函数在证明幂函数+∞=x x f三.当堂达标：1下列函数中不是幂函数的是 ()A. B. C. y=2x D.y=x -1 2.如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为：__________________3.若幂函数y=f(x)的图像经过点()9,3，则f(25)=______________ 4.比较下列各组数的大小：（1）0.7521_____0.7621（2）（-3.14）2_____2π5. 幂函数y=(m 2-m-1)x m 在区间()+∞,0上是减函数，则 m 的值为________。
幂函数导学案
幂函数导学案幂函数是一种常见的基础函数，其形式为y=ax^n，其中a为常数，n为整数。
在学习幂函数的过程中，我们需要了解其导数的计算方法以及一些常见的性质。
本导学案将针对幂函数的导数进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握这一知识点。
一、导数的定义在学习幂函数的导数之前，我们先来回顾一下导数的定义。
导数描述了函数在某一点处的变化率，可以通过极限的定义来计算。
对于函数y=f(x)，其导数f'(x)的定义可以表示为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h (h→0)其中，h表示自变量x的增量。
当h趋近于0时，得到函数在点x 处的导数。
二、幂函数的导数计算1. 当幂函数为y=ax^n时，其中a为常数，n为整数时，我们可以通过以下公式计算其导数：dy / dx = n * ax^(n-1)即，幂函数的导数等于指数n乘以系数a再乘以x的n-1次方。
2. 举例说明：对于函数y=3x^2，其导数为：dy / dx = 2 * 3x^(2-1) = 6x因此，函数y=3x^2的导数为6x。
3. 特殊情况：当幂函数为y=ax^0时，即y=a时，其导数为0。
因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率始终为0。
三、常见幂函数的导数性质1. 幂函数导数的线性：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，其中a、b为常数，n、m为整数，则有：f(x) ± g(x) = f'(x) ± g'(x)即，幂函数的导数是具有线性性质的。
2. 幂函数导数的乘积法则：若f(x)和g(x)分别是幂函数y=ax^n和y=bx^m，则有：[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)即，幂函数的导数在求导乘积时遵循乘积法则。
四、综合练习1. 求以下函数的导数：（1）y=5x^3 - 2x^2解：y' = 3 * 5x^(3-1) - 2 * 2x^(2-1) = 15x^2 - 4x（2）y=2x^4 + 3x^3 - x解：y' = 4 * 2x^(4-1) + 3 * 3x^(3-1) - 1 = 8x^3 + 9x^2 - 12. 若f(x) = x^2，g(x) = 3x，则求f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)的导数。
幂函数导学案
高考要求：了解幂函数的概念、图象及其性质。
【预习目标】对幂函数的定义、图象、性质有初步的了解【预习内容】阅读教材108-109页，思考预习准备中的问题1.幂函数的定义2.试从我们学过的函数中，找出几个幂函数，并画出它们的图象。
3.幂函数的图象（重点把握第一象限的图象）4.幂函数的性质（重点把握第一象限图象的性质）【新课引入】回想我们之前学习过的函数，哪些函数的底数是自变量，指数是常数？这些函数的表达式有什么共同的特征？这类函数表达式的一般形式应如何表示？【新课探究】1、定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数思考：①在概念中为什么没有直接写明函数的定义域？②幂函数与指数函数有什么区别？2、图象：（重点考察幂函数在第一象限的图象）在同一个平面直角坐标系中小组合作完成下面几个函数的图象()1y x=()212=()32y x=()53y x-=()41y x=y xy0 x观察图象，你能发现这些图象有什么相同点和不同点？思考产生不同点的原因？总结作幂函数图象的步骤：①② ③ ④3、性质：（重点考察幂函数在第一象限图象的性质） ① ② ③【课堂检测】 1.比较大小33442.3 2.4与 ()1.51.51a a +与 ()()22--2332+2a与 32552255⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与2、求函数32x y =的定义域，判断其奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的增减性及值域。
课后学案1、下列函数中，是幂函数的是（ ）A 、2y x =B 、32y x =C 、1y x= D 、2x y = 2、下列结论正确的是（ ） A 、幂函数的图象一定过原点B 、当0<α时，幂函数y x α=是减函数C 、当0>α时，幂函数y x α=是增函数D 、函数2y x =既是二次函数，也是幂函数 3、下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（ ）A 、3y x =B 、2y x = C 、1y x= D 、32y x =4、已知幂函数的图象经过点)2,2(，则这个函数的解析式为_________________5、若1133-3(12)x x <+——（），求实数x 的取值范围.。
幂函数(导学案)
《3.3幂函数》一、学习目标1.了解幂函数的概念.2.掌握y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝－1，12，1，2，3的图象与性质.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．二、导学指导与检测导学检测及课堂展示 幂函数的概念一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2五个幂函数的性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 312y x =y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R[0，＋∞){y |y ≠0}奇偶性非奇非偶单调性 增 在[0，＋∞) 上增，在(－∞，0] 上减增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减一般幂函数的图象特征三、巩固诊断1、已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.2、)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 3、已知f (x )＝ax 2a ＋1－b ＋1是幂函数，则a ＋b 等于( )4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．四、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。
幂函数导学案
§2.3.1幂函数导学案一、学习目标通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图像和性质，并进行简单的应用。
二、重点、难点重点：从五个具体幂函数图像中认识幂函数的一些性质难点：画五个具体幂函数图像并由图像概况其性质，体会图像的变化。
规律。
三、学习内容 1、问题引入（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜x 千克，那么她需要支付y=_______元。
（2）如果正方形的边长为x ，那么正方形的面积y=______。
（3）如果立方体的边长为x ，那么立方体的体积y=______。
（4）如果正方形的场地面积为x ，那么正方形的边长y=______。
（5）如果某人x 秒骑车行进了1千米，那么他的速度y=______千米/秒。
讨论：根据函数的定义，以上五个式子都是函数表达式，以上五个式子有什么共同特征？ 2、引出定义由上面五个函数表达式的共同特征得出的新的函数--------幂函数。
幂函数的定义:_________________________________________________ 3、幂函数的图象在同一平面直角坐标系中作出幂函数x y =,2x y =,3x y =,21x y =,1-=x y 的图象。
补充公式n m nm a a =,nm nma1=-(a >0*,N n m ∈且n>1)共同的性质：１.所有的幂函数在______都有定义, 并且函数图象都通过点_____; 2.指数是偶数的幂函数是____函数,指数是奇数的幂函数是____函数； 3.α>0时,图象都经过点______和______，在(0,+∞)函数是___函数.4.α<0时, 图象都经过点_____图象在(0,+∞)函数是___函数;在第一象限内,图象向上与__轴无限地接近,向右与__轴无限地接近. 5、例题讲解例1.判断下列函数是否为幂函数（1）4x y = （2）21x y = （3）xy 1=（4）22x y = （5）2x y -= （6）23+=x y例2 证明幂函数x x f =)(在[)+∞,0上是增函数 例3 利用函数单调性比较下列各值的大小 （1）5.28.0____5.38.0 （2）3.02.0____3.03.0 （3）525.2-____ 2.752-6、练习1．已知幂函数的图象过点)22,2(,试求出此函数的解析式. 2. 比较大小 （1） 5.05.05.1____3.1 （2） 2209.5____1.5--（3）414181.1____79.1-- （4） 32322____)2(--+a3. 如果函数 是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m 的值。
幂函数导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
高一数学 第 1 页 (共4页) 高一数学 第 2 页 (共4页) 4.1指数班级： 姓名： 小组：【学习目标】1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点).3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质(重点). 【重点难点】【教学重点】会进行根式与分数指数幂的互化【教学难点】掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质 【导学流程】 一．预习案1. n 次方根、n 次根式 (1)a 的n 次方根的定义一般地，如果 ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. (2)a 的n 次方根的表示n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 naa ∈Rn 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做 ，a 叫做被开方数． 2. 根式的性质(1)n0＝ (n ∈N *，且n >1)； (2)( na )n＝ (n ∈N *，且n >1)； (3)na n ＝a (n 为大于1的奇数)； (4)nan ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，(n 为大于1的偶数)．3.分数指数幂正分数指数幂 规定：nm a = （1,,,0*>∈>n N n m a 且） 负分数指数幂规定：nm nm aa1=-= （1,,,0*>∈>n N n m a 且）0的分数指数幂0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂4.有理数指数幂的运算性质1.=s r a a （∈>s r a ,,0 ）2.s r a )(= （∈>s r a ,,0 ）3.=rab )( （∈>>s r b a ,,0,0 ） 4.=s raa （∈>s r a ,,0 ）5.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a >0，α是无理数)是一个确定的 ．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．二．我的困惑是什么？1．___________________________________________________________2．___________________________________________________________三．探究案探究一：根式与分数指数幂的互化例1.将根式5写成分数指数幂的形式 ；将根式32x 写成分数指数幂的形式 ；将分数指数幂323写成根式的形式 ；将分数指数幂43-a 化为根式 ；高一数学 第 3 页 (共4页) 高一数学 第 4 页 (共4页)例2.用分数指数幂的形式表示下列各式。
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幂函数导学案
一、学习目标
1．掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。
2．能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。
学习重难点：能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，概括出幂函数的性质。
二、学习过程
探究任务一：幂函数的概念
问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？ （1）边长为的正方形面积，是的函数； （2）面积为的正方形边长，是的函数； （3）边长为的立方体体积，是的函数；
（4）某人内骑车行进了1，则他骑车的平均速度，这里是的函数；
（5）购买每本1元的练习本本，则需支付元，这里是的函数. 新知：幂函数定义：
试试：判断下列函数哪些是幂函数.
① ；②；③；④.
探究任务二：幂函数的图象与性质
问题：作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
从图象分析出幂函数所具有的性质：
a 2S a =S a S 12
a S =a S a 3V a =V a ts km 1/v t km s -=v t w p w =p w 1y x
=22y x =3y x x =-1y =y x =12
y x =2y x =1y x -=3y x =
1、观察五个幂函数图像，试分析：函数y＝xα在第一象限内的增减性与α有关系吗？试分类说明。
2、再试分析：函数y＝xα在其他象限图像与什么有关系？怎么画？
三、 典型例题
【例1】 通过图像求下列幂函数的定义域与值域． (1)y ＝x 5； (2)y ＝x 23
； (3)y ＝x 13
； (4)y ＝x －
2；
(5)y ＝x
－14
.
【例2】讨论
的单调性.
【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫25与⎝ ⎛⎭
⎪⎫13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23 34 与⎝ ⎛⎭⎪⎫34 2
3 .
四、反思总结
()f x =[0,)+∞
五、当堂检测
1、下列所给出的函数中，是幂函数的是（）
A．B．C．D．
2. 函数的图象是（）.
A. B. C. D.
3.函数y＝x a，y＝x b，y＝x c的图象如图所示，
则实数a，b，c的大小关系为()
A a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
4.设a＝0.40.5，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是()
A．a<c<b B．b<a<c
C．a<b<c D．c<a<b
5. 已知幂函数的图象过点，则它的解析式为 .
6.已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)求f
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2的值；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，求实数a的值．
3
x
y-
=3-
=x
y3
2x
y=1
3-
=x
y
4
3
y x
=
()
y f x
=(2,2)。