2020届高考数学抛物线总复习测试题

第四节 抛物线

一、填空题

1. (2020·苏北四市联考)若抛物线的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的标准方程是________．

2. (2020·福建改编)以抛物线y 2

＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为________．

3. 若垂直于x 轴的直线交抛物线y 2

＝4x 于点A ，B ，且AB ＝43，则直线AB 的方程为________．

4. (2020·湖南改编)设抛物线y 2

＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．

5. (2020·江苏海安高级中学、南京外国语学校、南京市金陵中学高三调研测试)抛物线y 2

＝8x 的焦点到双曲线x 212－y 2

4

＝1的渐近线的距离为________．

6. (2020·南京模拟)在直角坐标系xOy 中，双曲线x 2

－y 2

3

＝1的左准线为l ，则以l 为

准线的抛物线的标准方程是________．

7. 探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 cm ，灯深40 cm ，则光源放置位置为灯轴上距顶点________处．

8. 点M 到直线l ：x ＋2y －3＝0的距离等于到点A (1,1)的距离，则点M 的轨迹为________．

9. (2020·海安中学模拟)已知P 为抛物线y 2

＝4x 上一点，设P 到准线的距离为d 1，P 到点A (1,4)的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．

二、解答题

10. (2020·广东东莞五校联考)设抛物线y 2

＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，求|PF |.

11. 如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当直线PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．

12. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时AB 的宽为20 m ，如果水位上升3 m 时，水面CD 的宽为10 m.

(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280 km(桥长忽略不计)，货车正以每小时40 km 的速度开往乙地，当行驶1小时时，突然接到紧急通知：前方连降暴雨造成水位以每小时0.25 m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行)．

试问：如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少km?

参考答案

1. y 2

=8x 解析：∵抛物线的焦点在x 轴上，且p

2

=2，∴抛物线的标准方程是y 2

=8x .

2. x 2+y 2

-2x =0 解析：因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0)，即所求圆的圆心，又圆过

原点，所以圆的半径为r =1，故所求圆的方程为(x -1)2+y 2=1，即x 2-2x +y 2

=0.

3. x =3 解析：由题意知点A ，B 的纵坐标为23和-23，代入抛物线方程求得x =3，所以直线AB 的方程为x =3.

4. 6 解析：抛物线y 2

=8x 的准线方程为x =-2，∵点P 到y 轴的距离是4，∴点P 到抛物线准线的距离是6，由抛物线的定义可知点P 到该抛物线焦点的距离是6.

5. 1 解析：抛物线y 2

=8x 的焦点坐标是(2,0)，双曲线x 212-y 2

4

=1的渐近线方程为x 3

y =0，利用点到直线的距离公式得所求距离为2

12+3

2

=1. 6. y 2=2x 解析：双曲线x 2-y 2

3=1的左准线l 的方程为x =-a 2c =-12，

∴所求抛物线的准线方程为x =-12，即抛物线的焦点在x 轴上，且-p 2=-1

2

，解得p =1，∴

抛物线方程为y 2

=2x .

7. 5. 625 cm 解析：将抛物线放到直角坐标系中，使顶点与原点重合，焦点在x 轴正

半轴上，则由题意可知点(40,30)在抛物线上，代入y 2

=2px 中，解得p =454

，而光源放在焦点

位置，距离顶点12p =45

8

=5.625 cm 处．

8. 经过点A (1,1)且垂直于直线l 的直线

解析：因为点A (1,1)在直线x +2y -3=0上，所以动点的轨迹不是抛物线，而是过点A 且与直线x +2y -3=0垂直的直线，其方程为2x -y -1=0.

9. 4 解析：由抛物线定义得P 到准线的距离d 1等于点P 到焦点F (1,0)的距离PF ，又点A (1,4)在抛物线外部，所以当点P 、A 、F 三点共线时，d 1+d 2取得最小值AF ，即最小值为4.

10. 设点P (x 0，y 0)，则y 20=8x 0，A (-2，y 0)，又焦点F (2,0)，直线AF 的斜率为-3，所以y 0

-4

=-3，解得y 0=43，所以P (6,43)，所以|PF |=

6-2

2

+43

2

=8.

11. (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2

=2px .

∵点P (1,2)在抛物线上，∴22

=2p 1，解得p =2.

∴所求抛物线的方程是y 2

=4x ，准线方程是x =-1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .

则k PA =y 1-2x 1-1(x 11)，

k PB =y 2-2x 2-1

(x 21)， ∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， ∴k PA =-k PB .

由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得 y 21=4x 1，① y 22=4x 2，② ∴y 1-214y 21-1=-y 2-214

y 22-1， ∴y 1+2=-(y 2+2)，∴y 1+y 2=-4. 由①-②得直线AB 的斜率为