第七节数学归纳法2

第二十三节 数学归纳法

一、学习目标：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证题步骤． 二、教学重点与难点

重点：数学归纳法的原理及步骤．

难点：用数学归纳法证题的步骤、技巧． 三、教学过程 （一）复习与引入 用数学归纳法证明：11111

11234

(21)(2)12n n n n n n

+++

=++

⨯⨯-+++

（二）例题评析：

例1：设*

1

,()523

1n

n n N f n -∈=+⨯+

（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何猜想？用数学归纳法证明你的结论。

例2：用数学归纳法证明：1

376n ++能被9整除

用数学归纳法证明：(31)71n

n +-能被9整除。

例3：用数学归纳法证明：当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除。

用数学归纳法证明 x n －y n 能被x －y 整除

例4：用数学归纳法证明：

（1）1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1

n (n ≥2)．

（2）1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1

2＋n (n ∈N *)．

例5：用数学归纳法证明()24,2n n n N n *≥≥∈

用数学归纳法证明：2

*

2(,5)n

n n n N n >+∈≥

例6：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？

用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线的条数为：f (n )＝1

2n (n －3) (n ≥3)．

平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2-n+2个部分。

例7：是否存在常数a，b，c使等式1·(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c对一切正整数n成立？证明你的结论．

已知数列{a n}的第一项a1＝5且S n－1＝a n(n≥2，n∈N*)，(1)求a2，a3，a4，并由此猜想a n 的表达式；(2)用数学归纳法证明{a n}的通项公式．

三、课后作业

1 观察下列式47

4

131211,3531211,2321122222<+++<++<+

…则可归纳出___________________

2．已知数列

1111

......14477103231n n ⨯⨯⨯-+，，，，，，

（）（）

计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明。

3.是否存在常数

a 、

b 、

c ，使等式3

3

3

3

2123an bn c n

n n n n n +++++

+=

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

对一切n N *∈都成立？并证明你的结论.

4.求证：a n ＋1＋(a ＋1)2n －

1能被a 2＋a ＋1整除，n ∈N *，a ∈R .

5.数列{a n }中，1n n a a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++=

（1）求234,,a a a 的值；

（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。