《计算导数》课件
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高中数学选修2-2第1章第2节导数的计算课件
f′(x)＝__a_x_ln__a_(_a_>_0)
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
f′(x)＝__e_x_______ 1
f′(x)＝___x_ln__a____(a>0 且 a≠1) 1
f′(x)＝__x________
数学 选修2-2
1．指数函数与对数函数的导数公式的记忆
对于公式(logax)′＝
1 xln
a
，(ax)′＝axln
ห้องสมุดไป่ตู้
∴ lim Δx→0
2x＋Δx＋xx－＋2Δx＝2x－x22.
数学 选修2-2
[问题3] F(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？ [提示3] F(x)的导数等于f(x)，g(x)导数和．
[问题 4] [提示 4]
试说明 y＝cos3x－π4如何复合的． 令 u＝g(x)＝3x－π4，y＝f(u)＝cos u，
导数几何意义的应用
已知曲线方程y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切 的直线方程．
[思路点拨] 解决切线问题的关键是求切点的坐标，要注 意区分是曲线在某点处的切线还是过某点的切线．
设出切点 → 函数求导 → 写出切线方程 → 条件代入 → 解出切点 → 得出答案
数学 选修2-2
设 P(x0，y0)为切点，则切线斜率
数学 选修2-2
已知 f(x)＝x2，g(x)＝2x. [问题 1] f(x)，g(x)的导数分别是什么？ [提示 1] f′(x)＝2x，g′(x)＝－x22.
数学 选修2-2
[问题2] 试求F(x)＝f(x)＋g(x)的导数．
[提示 2] ΔΔxy＝x＋Δx2＋xΔ＋2xΔx－x2＋2x
＝2x＋Δx＋xx－＋2Δx，
数学 选修2-2
第一章
高中数学(新课标)选修2课件1.2.1-2导数的计算
函数
导数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
f′(x)＝____0____ f′(x)＝____1____
f′(x)＝____2_x___ f′(x)＝__－__x1_2___ f′(x)＝____1____
2· x
知识点二 基本初等函数的导数公式
切点处导数值为 2，求切点坐标； (2)利用切线过定点 P(0,1)列方程求出切点坐标．
方法归纳
(1)求过点 P 的切线方程时应注意，P 点在曲线上还是在曲线外， 两种情况的解法是不同的；
(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐 标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的 斜率是曲线在此切点处的导数值．
【解析】
(1)设切点为(x0，y0)，由 y＝
x得
y′|
x＝ x0
＝ 2
1 x0.
因为切线与
y＝2x－4
平行，所以 2
1x0＝2，
所以 x0＝116，所以 y0＝14，所以切点为116，14.
则所求切线方程为 y－14＝2x－116，即 16x－8y＋1＝0.
(2)设切点 P1(x1， x1)，
答案：C
4．函数 f(x)＝sin x，则 f′(6π)＝________.
解析：f′(x)＝cos x，所以 f′(6π)＝1. 答案：1
类型一 利用导数公式求导数
例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x－3； (2)y＝3x；
(3)y＝ x x x； (4)y＝log5x； (5)y＝cosπ2－x； (6)y＝sin π6； (7)y＝ln x； (8)y＝ex.
跟踪训练 2 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点， 求与直线 PQ 垂直的曲线 y＝x2 的切线方程．
导数运算ppt课件
fa＋Δx－fa＋fa－fa－Δx Δx
＝ lim Δx→0
fa＋ΔΔxx－fa＋－lΔimx→0
fa－Δx－fa －Δx
＝A＋A＝2A.
答案：2A
设 f(x)为可导函数，且满足lim x→0
f1－f2x1－2x＝－1，则过曲
线 y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
f(x0)，则当Δx≠0时，商
fx0＋Δx－fx0 Δx
Δy ＝__Δ_x___.称为函数y
＝f(x)从x0到x1的平均变化率．
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体运动的平均速度是 v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_. (2)瞬时速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率ΔΔst ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为 t0 时刻的瞬时 速度．
2．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系
(1)函数在一点处的导数 f ′(x0)是一个常数，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点 x 而言的．函 数 f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的 每一个确定的值 x0，都对应着一个确定的导数 f ′(x0)．根据 函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是 函数 f(x)的导函数 f ′(x)．
解析：f ′(x)＝3ax2＋2bx－3， 由题意±1 是方程 f ′(x)＝0 的根， ∴－23ba＝0，－1a＝－1，故 a＝1，b＝0. 曲线方程为 y＝x3－3x，点 A(0,16)不在曲线上． 设切点为 M(x0，y0)，则 y0＝x03－3x0. ∵f ′(x0)＝3(x20－1)， ∴切线方程为 y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
人教A版数学选修2-2《1.2导数的计算》课件(共26张ppt)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
x
x2 2x x x2 x2
x
2x x
O
所以 y' lim y lim 2x x 2x.
x0 x x0
y=x2 x
从几何的角度理解：
y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜 率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x 表明:
x
x
kx x kx
x
kx kx kx k， x
所以 y' lim y lim k k. x0 x x0
3.函数 y = f (x) = x2 的导数
因为
y
f x x f x x x3) y 3 x (4) y 3 x5
2:
(1)已知y x , 求f (1). x2
(2)已知y 2x3 , 求f (2).
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f (x) g(x) f (x) g(x)
(3)求极限，得导函数y f (x) lim y . x0 x
几种常见函数的导数 基本初等函数的导数公
式及导数的运算法则
二、几种常见函数的导数
《计算导数》课件
实际问题的应用
导数在实际问题的最优化、曲线的切线与法线、 物理学中都有重要应用。
总结
导数是什么，有什么意义
导数是函数变化率，有几何及物理意义。
如何计算导数
掌握基本导数公式，四则运算法则，复合函数求导法则和链式法则。
导数的应用和实例
最优化、曲线的切线与法线、物理学等实际应用。
导数如何让我们更精确地计算变化率
导数在所有科学领域中的应用
科学领域 物理学 经济学 天文学 生物学 化学 地理学
应用 运动物体的速度与加速度 市场的需求和弹性 天体的位置与速度 神经信号与代谢变化 反应速率与反应机制 环境变化的减乘除外，掌握导数的运算法则对
于计算复杂函数的导数至关重要。
3
复合函数求导法则
复合函数的求导需要使用复合函数求
导法则，这是导数计算中的重要主题。
链式法则
4
复合函数求导法则的重要推论，用于 求解复杂函数的导数。
应用与实例
常见函数的导数
求解基本三角函数、指数函数、对数函数的导数 是导数计算的基础。
1 例子一：移动的车
辆
2 例子二：市场需求
如何计算市场的弹性需
3 例子三：自行车竞
赛
当车速不稳定时，要怎
求？
如何计算速度的瞬间变
样才算得出它的平均加
化和匀速运动？
速度？
什么是微积分？
微积分是一门研究连续变化的学科。我们可以通过计算导数和积分来研究较为复杂和抽象的物理量，如 速度、加速度、功和能量。
《计算导数》PPT课件
计算导数是高等数学中的重要内容，掌握导数的定义、计算、应用、求解及 其实例对学习高等数学大有裨益。
什么是导数
导数的定义
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
导数的运算_课件
解： (1)405
(2) (3)1 (4)1
练习3 解： y'=-sinx
练习4 解：
和(或差)的导数
设
，g(x)=x，计算[f(x)+g(x)]'与[f(x)-g(x)]，它
们与f(x)和g'(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关
系仍然成立吗？由此你能想到什么?
若f(x)，g(x)在x处可导，则 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)
例题
某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：mm）关于时间t（单
若
表示路程关于时间的函数，则
可以解释为某物体做变速速度，它在时刻
x的瞬时速度为2x。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x3的导数
因为
所以
常见函数的导数
函数y=f(x)= 的导
数 观察导函数，你能否把它和原函数进行对应
？
表示函数
的图象（图
5.24）上点（x,y）处切线的斜率
为
，这说明随着x的变化，切线
公式1：
常见函数的导数 函数y=f(x)=x的导数：
因为
所以
常见函数的导数Biblioteka 函数y=f(x)=x的导数：
若 y=x（如图）表示路程关于 时间的函数，则y′=1可以解释 为某物体做瞬时速度为1的匀 速直线运动。
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数：
因为
所以
常见函数的导数 函数y=f(x)=x2的导数
否相等？f(x)与g(x)商的导数是否等于它们导数的商呢？
通过计算可知 ，因此[f(x)g(x)]'≠f'(x)g'(x) .同，样f的'(x)g'(x)=2x·1=2x， ，
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
2.3 计算导数 课件(北师大选修2-2)
[一点通]
利用基本初等函数的求导公式，结合导数
的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问
题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题， 利用导数求解．
3 6．y＝x 上切线斜率为 的切点为________． 4
3
3 1 1 解析：y′＝3x ，令3x ＝ ，解得x＝ 或－ ，分别 4 2 2
y＝ax (a>0， a≠1) y＝loga
y′＝
axln a
x
特别地(ex)′＝ e
1 2 y＝tan x y′＝ cos x 1 sin2 x y＝cot x y′＝－
1 y′＝xln a 特别 1 x(a>0，a≠1) 地(ln x)′＝ x
1．f′(x)是函数f(x)的导函数，简称导数，它是一个 确定的函数，是对一个区间而言的；f′(x0)表示的是函数 f(x)在x＝x0处的导数，它是一个确定的值，是函数f′(x)的 一个函数值．
2 2
1 1 代入y＝x 得，y＝ 或y＝－ . 8 8
3
1 1 1 1 ∴所求点为2，8，－2，－8.
1 1 1 1 答案：2，8或－2，－8
7．求曲线f(x)＝sin
π x在点P ， 3
3 处的切线的斜率， 2
2 － －1 5 － 2 5
)′
2 －7 ＝－ x 5 . 5
[一点通]
求简单函数的导函数有两种基本方法：
(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难 度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调 整，再选择合适的求导公式．
π 3．函数y＝sin2－x的导数是________．
【课件】人教版2-2 1.2《导数的计算》 课件
巩固练习
求函数y f ( x) x3的导数。
解：y ' f '( x) lim f ( x x) f ( x)
x0
x
lim ( x x)3 x3 lim 3x2 x 3x(x)2 3(x)3
x0
x
x0
x
lim (3x2 3x x 3(x)2 ) 3x2 x0
1； x2
且随x的变化，斜率在变化； 当x 0时，x ，y 1 减小得越来越快；
x 当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢。
② y ' |x1
1 x2
|x1
1, 斜率k
1所求方程为：x
y
2
0
例5：求函数y f ( x) x的导数。
解：y' lim f ( x x) f ( x)
c'(x)
( 5284 )' 100 x
5 2 8 4 '(1 0 0
x) 5284 (1 0 0 x ) 2
(1 0 0
x)'
0 (100 x ) 5284 (1) (100 x ) 2
5284 (100 x)2
(1)因 为 c ' (90)
O
x
从几何的角度理解：
y ' 2x表示y x2图象上各点处的切线的斜率都为2x；
且随x的变化，斜率在变化；
当x 0时，x ，y x2减小得越来越慢；
当x 0时，x ，y x2增加得越来越快。
从物理的角度理解：
1.2.1《导数的计算》省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件
x
xx
x x xx
x2
1 x
•
， x
所以
y'
lim
x0
y x
lim x0
x2
1 x
•
x
1 x2
.
11/32
探究
画出函数
y
1 x
图象.依据图象,描述它改变情况,并求出
曲线在点(1,1)处切线方程.
y
2 1
-2 -1
12
x
-1
-2
12/32
5.函数 y = f (x) = x 导数
因为 y f x x f x x x x
f ' (1)等于 ___e___
1
(4) (1oga x )' ___x_l_n_a__
20/32
4.求以下函数导数
(1) y x12 (2) y x x (3) y 1 (4) y 5 x3
x4
1
(5) y x (6) y x3
21/32
小结、基本初等函数导数公式 （1）若f(x)=c,则f′ (x)=___0__;
f (x)g(x) f (x)g(x)
g ( x)2
3:求以下函数导数
(1)y=tanx
sin x cos2 x sin2 x 1
y' ( )' cos x
cos2 x
cos2 x
(2) y
x3 x2 3
y'
x2 6x (x2 3)2
3
27/32
堂上练习 求以下函数导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
2y 3 2x 4x2 5x3 1 x4
6
3y (2x3 1)(3x2 x)
《函数求导法则》课件
高阶导数的求导法则
高阶导数的定义
总结词
高阶导数的定义是指一个函数在某一点 的导数，对其再次求导，得到的导数称 为二阶导数，以此类推，可以得到更高 阶的导数。
VS
详细描述
高阶导数的定义是通过对一个函数进行多 次求导来得到的。具体来说，一个函数在 某一点的导数，对其再次求导，得到的导 数称为二阶导数。类似地，对二阶导数再 次求导，可以得到三阶导数，以此类推， 可以得到更高阶的导数。
高阶导数的计算方法
总结词
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。具体的计算方法取决于函数的表达式和 求导法则。
详细描述
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。对于多项式函数，可以使用链式法则和 幂函数求导法则进行计算。对于三角函数、 指数函数等其他类型的函数，可以使用相应 的求导法则进行计算。在进行高阶求导时， 需要注意保持运算的准确性和简洁性，以避 免计算错误和繁琐的计算过程。
05
导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是求 切线的斜率。
详细描述
对于可导函数，其在某一点的导数值 即为该点切线的斜率。通过求导，我 们可以得到切线的斜率，进而确定切 线的方程。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
详细描述
当一元函数在某区间内单调递增时，其导数大于0； 当函数单调递减时，其导数小于0。因此，通过判断 导数的符号，我们可以确定函数图像的凹凸性。
复合函数的导数
总结词
理解复合函数的导数概念，掌握复合 函数导数的计算方法。
详细描述
复合函数的导数是通过对函数进行微 分来得到的，它描述了函数值随自变 量变化的速率。复合函数的导数计算 需要遵循链式法则、乘积法则等基本 法则。
高阶导数的定义
总结词
高阶导数的定义是指一个函数在某一点 的导数，对其再次求导，得到的导数称 为二阶导数，以此类推，可以得到更高 阶的导数。
VS
详细描述
高阶导数的定义是通过对一个函数进行多 次求导来得到的。具体来说，一个函数在 某一点的导数，对其再次求导，得到的导 数称为二阶导数。类似地，对二阶导数再 次求导，可以得到三阶导数，以此类推， 可以得到更高阶的导数。
高阶导数的计算方法
总结词
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。具体的计算方法取决于函数的表达式和 求导法则。
详细描述
高阶导数的计算方法是通过连续求导来得到 的。对于多项式函数，可以使用链式法则和 幂函数求导法则进行计算。对于三角函数、 指数函数等其他类型的函数，可以使用相应 的求导法则进行计算。在进行高阶求导时， 需要注意保持运算的准确性和简洁性，以避 免计算错误和繁琐的计算过程。
05
导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是求 切线的斜率。
详细描述
对于可导函数，其在某一点的导数值 即为该点切线的斜率。通过求导，我 们可以得到切线的斜率，进而确定切 线的方程。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
详细描述
当一元函数在某区间内单调递增时，其导数大于0； 当函数单调递减时，其导数小于0。因此，通过判断 导数的符号，我们可以确定函数图像的凹凸性。
复合函数的导数
总结词
理解复合函数的导数概念，掌握复合 函数导数的计算方法。
详细描述
复合函数的导数是通过对函数进行微 分来得到的，它描述了函数值随自变 量变化的速率。复合函数的导数计算 需要遵循链式法则、乘积法则等基本 法则。
导数的概念与计算课件
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专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
第6页/共32页
1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
第24页/共32页
专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
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专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
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1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
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专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
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专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
3.3《计算导数》同步导学课件(北师大版选修1-1)
4 ＝(x )′＝－ 5 x
－4
(3) (4)
利用(ax)′＝axln a 得(2x)′＝2xln 2 1 1 利用(logax)′＝xln a得(log2x)′＝xln 2
1.求下列函数的导数 3π (1)y＝sin ；(2)y＝log27； 4 1 (3)y＝x ；(4)y＝ 2. x
10
解析：
导函数 f′(x)＝ f′(x)＝
1 －sin2x
. .
axlna(a>0) ex
f′(x)＝ 1
.
f(x)＝logax ＝
xlna(a>0 且 a≠1) f′(x) 1 x
.
f(x)＝lnx
• 1．曲线y＝xn 在x＝2处的导数为12，则n等于
( ) B．2 D．4
• A．1 • C．3
• 解析： ∵y′＝nxn－1，
fx＋Δx－fx Δy Δx (2)求平均变化率Δx＝ ； Δy lim (3)取极限，求导数 f′(x)＝Δt→0 Δx .
1．导函数 一般地， 如果一个函数 f(x)在区间(a， b)上的 每一点x lim fx＋Δx－fx 都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝Δt→0 ， Δx 则 f′(x) 也简称为导数． 是关于 x 的函数， f′(x)为 f(x)的导函数， 称 通常 处
2 2 的交点坐标为3，3，y＝－2x＋2
• 答案： A
x2 已知函数 f(x)＝ a －1(a>0)的图象在 x＝1 处的切线为 l，求 l 与两坐标围成的三角形面积的最小值．
• 首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后
求出切线方程，最后利用不等式性质求面积最 值．
2x 2 1 [解题过程] ∵f′(x)＝ a ，∴f′(1)＝a.又 f(1)＝a－1， 1 2 ∴f(x)在 x＝1 处的切线 l 的方程是 y－a＋1＝a(x－1)．
高中数学选修1课件1-3.2导数的计算
＝2scinosx2－x 1.
(4)先化简，得 f(x)＝1－2 x，
故 f′(x)＝1－2 x′＝2′1－x1－－x221－x′＝1－2 x2.
(5)因为 y＝2xx＋－11＝2x＋x＋11－3＝2－x＋3 1，所以 y′＝x＋312.
(6)y′＝e－x＋x(e－x)′＝e－x－xe－x＝e－x(1－)．
切点坐标为(－2，－26)．
状元随笔
方法归纳 根据导数的几何意义，可直接得到曲线上一点处的切线的斜 率．需注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征．当问题 中涉及相切但未出现切点坐标时要设出切点坐标，然后根据已知条 件求出切点坐标．
跟踪训练 3 (1)曲线 y＝x－x 2在点(1，－1)处的切线方程为 ()
答案：x＋2y－ 3－π6＝0
类型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)y＝x20；(2)y＝x14；(3)y＝sin3π；(4)y＝log6x； (5)y＝ 1 .
5 x2
解析：(1)y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19； (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5；
解析：∵y＝xln x，∴y′＝ln x＋1，故切线斜率为 k＝y′|x＝1 ＝1.∴切线方程为 y＝x－1.
答案：C
4．曲线 y＝cosx 在点 Aπ6， 23处的切线方程为________.
解析：因为 y′＝(cosx)′＝－sinx，所以 k＝－sin6π＝－12，所 以在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12x－π6，即 x＋2y－ 3－π6＝ 0.
解析：设切点为 P(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x02＋1， 直线 l 的方程为 y－y0＝(3x20＋1)(x－x0) 即 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16. 又因直线 l 过点(0,0)，
高中数学新教材选择性必修第二册《5.2导数的运算》全部课件
思考2 试求y＝Q(x)，y＝H(x)的导数.并观察Q′(x)，H′(x)与f′(x)，
g′(x)的关系. 答案 ∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x＋1x＝Δx＋x－ x＋ΔΔxx， ∴ΔΔyx＝1－xx＋1 Δx. ∴Q′(x)＝Δlixm→0ΔΔyx＝Δlixm→01－xx＋1 Δx＝1－x12. 同理，H′(x)＝1＋x12. Q(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的和.H(x)的导数等于f(x)，g(x)的导数的差.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
∴所求的最短距离
d＝12－142－2＝7
8
2 .
跟踪训练3 已知直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，O 是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧 AOB上求一 点P，使△ABP的面积最大. 解 由于直线l: 2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点， ∴|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要点P到AB的距离最大， 设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0， ∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0 ＝1. 故可得P(1,1)，∴切线方程为2x－y－1＝0. 故P(1,1)点即为所求弧 AOB 上的点，使△ABP的面积最大.
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
解析 设切点坐标为(x0，y0)，
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也简称为导数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c f(x)＝xα(α∈R＋) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝tan x 导函数 f′(x)＝ 0 . f′(x)＝ αxα－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sinx
1 2 f′(x)＝ cos x
. . .
(2011· 大纲全国卷，8)曲线 y＝e－2x＋1 在点(0,2)处的 切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为( 1 A.3 2 C.3 1 B.2 D．1 )
解析： ∵y′＝(－2x)′e k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，
－2x
＝－2e
－2x
，
∴切线方程为 y－2＝－2(x－0)， 即 y＝－2x＋2. 如图，∵y＝－2x＋2 与 y＝x
求线
π y＝sin2－x在点
π 1 A－3，2处的切线方程．
先化简函数的解析式，再利用导数的几何意 义求切线方程．
[解题过程] ∴曲线在点
π ∵sin2－x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx， π 1 A－3，2处的切线的斜率为
◎求曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程． 【错解】 ∵f′(x)＝(2x)′＝2x， ∴f′(0)＝20＝1，即k＝1. ∴所求切线方程为y＝x＋1.
【错因】
若所求切线方程为y＝x＋1，而f(x)＝2x
与y＝x＋1均过定点(0,1)与(1,2)，此时f(x)＝2x与y＝x＋
1在点(0,1)和(1,2)处均相交，但并不相切．上面的解法
1 当且仅当 a＝a，即 a＝1 时， 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积最小， 最小值为 1.
3.已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又 f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)． 解析： 题设中有四个参数a、b、c、d，为确定
它们的值需要四个方程． 由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.
于是有
a＋2＝2c， a＋b＋1＝4d，
① ②
由 f′(x)＝g′(x)，得 2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③ 由 f(5)＝30，得 25＋5a＋b＝30.④ 1 由①③可得 a＝c＝2.由④得 b＝－5.再由②得 d＝－2. 1 1 47 ∴g(x)＝x ＋2x－2.故 g(4)＝16＋8－2＝ 2 .
fx＋Δx－fx Δx
； ；
(3)取极限，求导数 f′(x)＝Δt→0
lim
Δy Δx
.
1．导函数 一般地， 如果一个函数 f(x)在区间(a， b)上的
每一点x
处
lim fx＋Δx－fx 都有导数，导数值记为 f′(x)：f′(x)＝Δt→0 ， Δx 则
f′(x)
是关于 x 的函数， 称 f′(x)为 f(x)的导函数， 通常
切线方程，最后利用不等式性质求面积最值．
[解题过程]
2x 2 1 ∵f′(x)＝ a ，∴f′(1)＝a.又 f(1)＝a－1，
1 2 ∴f(x)在 x＝1 处的切线 l 的方程是 y－a＋1＝a(x－1)． ∴l 与坐标轴围成的三角形的面积
1 a＋1 1 1 1 1 S＝2－a－1· ＝4a＋a＋2≥4×(2＋2)＝1. 2
1 (4)y′＝(log3x)′＝ · log3e x 1 ＝ ； xln 3 (5)y′＝(sin x)′＝cos x； 1 2 x－ (6)y′＝ 5 ＝ ′ 5 2 x 2 2 2 7 ＝－5x－5－1＝－5x－5.
求下列函数的导数： 1 (1)y＝x ；(2)y＝ 4； x
§3
计算导数
1.理解导数的概念． 2.掌握导数的定义求法．
3.识记常见函数的导数公式.
1.基本初等函数的导函数求法．(难点)
2.基本初等函数的导函数公式．(重点)
3.指数函数和幂函数的导函数公式．(易混点)
求函数导数的一般步骤： (1)求函数的增量 Δy＝ Δy (2)求平均变化率Δx＝
f(x＋Δx)－f(x)
)
2．下列各式中正确的是( A．(lnx)′＝x C．(sinx)′＝cosx
答案： C
) B．(cosx)′＝sinx 1 －6 D．(x )′＝－5x
－5
3．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.
解析： ∵y′＝10xln10，
∴y′|x＝1＝10ln10.
答案：
10ln10
4．求下列函数的导数： 1 4 (1)y＝x ；(2)y＝x3；(3)y＝ x；
错用了导数公式 (ax)′ ＝ axlna ，特别地，只有当 a ＝ e 时，
才有(ex)′＝ex成立．
【正解】 ∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，f′(0)＝ln2.
∴所求切线的方程为y＝xln 2＋1.
2
1．f′(x0)是一个具体实数值，f′(x)是一个函数；
2．f′(x0)是当x＝x0时，f′(x)的一个函数值；
3．求f′(x0)可以有两条途径： ①利用导数定义直接求； ②先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求．
常数函数的导数：①若 f(x)＝C，则 f′(x)＝0； 幂函数的导数：②若 f(x)＝xn(x∈N＋)，则 f′(x)＝nxn 1；
12
(3)y＝2x；(4)y＝log2x.
利用公式求函数的导数．
[解题过程]
序号 (1) 答案 12x11 4 －x5 2xln 2 1 xln 2 理由 利用(xα)′＝α· xα 1 得(x12)′＝12x11
－
(2)
1 －4 α α－1 1 首先x4＝x 再利用(x )′＝α· x x4′
2 2 的交点坐标为3，3，
y＝－2x＋2 与 x 轴的交点坐标为(1,0)， 1 2 1 ∴S＝2×1×3＝3.
答案：
A
x2 已知函数 f(x)＝ a －1(a>0)的图象在 x＝1 处的切线为 l， 求 l 与两坐标围成的三角形面积的最小值．
首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后求出
10 10－1
＝10x9；
1 －2 －2－1 －3 (4)y′＝( 2)′＝(x )′＝－2x ＝－2x . x
(2011· 江西卷， 4)曲线 y＝ex 在点 A(0,1)处的切线斜率为( A．1 C．e B．2 1 D.e
)
解析：
由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线
的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A. 答案： A
4 ＝(x )′＝－ 5 x
－4
(3) (4)
利用(ax)′＝axln a 得(2x)′＝2xln 2 1 1 利用(logax)′＝xln a得(log2x)′＝xln 2
1.求下列函数的导数 3π (1)y＝sin ；(2)y＝log27； 4 1 (3)y＝x ；(4)y＝ 2. x
10
3π 2 解析： (1)∵y＝sin 4 ＝ 2 ，∴y′＝0； (2)∵y＝log27，∴y′＝0； (3)y′＝(x )′＝10x
.
原函数 f(x)＝cot x
导函数 f ′( x) ＝ f ′( x) ＝
1 －sin2x
.
f(x)＝ax
f(x)＝ex f(x)＝logax
axlna(a>0) .
f′(x)＝
ex
.
1 (a>0 且 a≠1) x ln a f′(x)＝ .
f(x)＝lnx
f′(x)＝
1 x
.
1．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于( A．1 C．3 解析： ∵y′＝nxn－1， ∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12. ∴n＝3. 答案： C B．2 D．4
－
三角函数的导数：③若 f(x)＝sinx，则 f′(x)＝cosx； ④若 f(x)＝cosx，则 f′(x)＝－sinx； 指数函数的导数：⑤若 f(x)＝ax，则 f′(x)＝axlna(a>0)； ⑥若 f(x)＝ex，则 f′(x)＝ex； 1 对数函数的导数：⑦若 f(x)＝logax，则 f′(x)＝xlna(a>0， 1 且 a≠1)；⑧若 f(x)＝lnx，则 f′(x)＝x .
13
(4)y＝log3x；(5)y＝sin x；(6)y＝
1 5 x2
.
12
解析： (1)y′＝(x )′＝13x
1 －3 (2)y′＝ x3 ′＝(x )′
13
13－1
＝13x ；
＝－3x
－3－1
＝－3x ；
－4
(3)y′＝(
4
1 1 1 1 3 x)′＝x4′＝4x4－1＝4x－4；
π k＝－sin－3＝
3 ， 2
1 3 π ∴其切线方程为 y－2＝ 2 x＋3， 即 3 3x－6y＋ 3π＋3＝0.
2.求曲线 y＝sin x 在点
π 1 A6，2的切线方程；
解析：
y′＝(sin x)′＝cos x，
π 3 ∴y′|x＝ ＝ ， 6 2 3 ∴切线斜率 k＝ 2 ， 1 3 π ∴切线方程为 y－ ＝ x－6， 2 2 化简得：6 3x－12y＋6－ 3π＝0.