2018_2019学年九年级数学下册第1章二次函数1-5二次函数的应用练习新版湘教版

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第1章二次函数

州省境内,FAST是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜,
用来探测来自太空的无线电波.根据有关资料显示,该望远
(1)
镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面
AB的距离是100米,若建立如图(2)所示的平面直角坐标系,
则抛物线的表达式就是y=
1 625
x2-100.
(2)
知识点二次函数y=ax2+k的图象和性质
4
知识点二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
2019年国际泳联世锦赛,跳水赛场依然是中国最稳定的夺金点, 中国跳水队获得全部13枚金牌中的12枚,中国跳水“梦之队” 以如此耀眼的成绩收官,创造了世锦赛参赛历史上的最佳战绩.
知识点二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点用待定系数法求二次函数表达式
用待定系数法确定表达式的一般步骤: (1)确定函数表达式的形式; (2)把已知图象上的点(自变量与函数的对应值)代入函数表达式,得到关于待定系数的方程或方程组; (3)解方程或方程组,确定待定系数的值,从而确定表达式.
第1章二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
8 后的最大高度为BC=2.5 m,若小亮要在篮球下落过程中接到球,我们就可以求出小亮离小明的最短距离OB.这样能够提高运动员的训练成绩.
知识点二次函数与一元二次方程的关系
抛物线 y =ax2+bx+c与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),则抛物线的对称轴为
√ x= x1+x2 2
,且满足x1+x2=-,x1·x2=,两交点间的距离AB=|x1-x2|=

第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)

第1章二次函数数学九年级下册-单元测试卷-湘教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（）A.a＜0B.c＞0C.a+b+c＞0D.方程 ax 2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=32、如图，在▱ABCD中，AB=6，BC=10，AB⊥AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A. B. C. D.3、如图，抛物线与x轴交于点，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到与x轴交于点，若直线与共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4、二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①②③④⑤其中正确的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个5、足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：t 0 1 2 3 4 5 6 7 …h 0 8 14 18 20 20 18 14 …下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t= ；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.46、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（）秒，四边形APQC 的面积最小．A.1B.2C.3D.47、如图，二次函数的图象与轴交于两点，点位于、之间，与轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，点在轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①；②；③（其中为任意实数）；④，其中正确的是（）A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④8、已知抛物线的解析式为y=﹣（x+3）2+1，则它的顶点坐标是（）A.（﹣3，1）B.（3，1）C.（3，﹣1）D.（1，3）9、抛物线y＝x2＋bx＋c图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的关系式为y＝x2－2x－3，则b，c的值为( )A.b＝2，c＝2B.b＝2，c＝0C.b＝－2，c＝－1D.b＝－3，c ＝210、如图，已知抛物线的图象与x轴交于两点，其对称轴与x轴交于点C,其中两点的横坐标分别为和下列说法错误的是（）A. B. C. D.当时，y 随x的增大而减小11、向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则下列几个时刻高度最高的是（）A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第14秒12、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A. B. C. D.13、已知二次函数的与的部分对应值如下表：…0 1 3 …… 1 3 1 …则下列判断中正确的是（）A.抛物线开口向上B.抛物线与轴交于负半轴C.当＝4时，＞0D.方程的正根在3与4之间14、若点P（x，y）的坐标满足方程组，则点P不可能在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15、小明从右边的二次函数y=ax2+bx+c图象中，观察得出了下面的五条信息：①a＜0，②c=0，③函数的最小值为﹣3，④当x＜0时，y＞0，⑤当0＜x1＜x2＜2时，y1＞y2，⑥对称轴是直线x=2．你认为其中正确的个数为（）A.2B.3C.4D.5二、填空题(共10题，共计30分)16、某飞机着陆滑行的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为：s=60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行________ 米才能停止．17、已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象的对称轴在y轴的左侧，请写出满足条件的一组a，b的值，这组值可以是a＝________，b＝________．18、如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x2，②y=﹣，③y=﹣x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是________（填序号）19、若抛物线y=ax2+4x+a的顶点的纵坐标是3，则a=________．20、如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是________．21、二次函数y=ax2−3ax+2(a<0)的图象如图所示，若y<2，则x的取值范围为________.22、二次函数y== 的图象如图,点O为坐标原点,点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y= 的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为________.23、如图，二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx=0的根是________．24、已知抛物线经过原点及点（，），且抛物线与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该抛物线的解析式为________．25、将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式是________．三、解答题(共5题，共计25分)26、将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．27、已知二次函数的图象过点且顶点坐标为，求此二次函数的解析式.28、已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …10 5 2 1 2 …（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）写出y≤5时自变量x的取值范围（可以结合图象说明）．29、将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5化为顶点式y=（x﹣h）2+k，并写出它的对称轴及顶点坐标．30、如图，已知抛物线y=-+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知B点的坐标为B（8，0）.（1）求抛物线的解析式及其对称轴方程；（2）连接AC、BC，试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（3）M为抛物线上BC之间的一点，N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、D4、C5、B6、C7、C8、A10、B11、B12、B13、D14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。

人教版九年级数学二次函数应用题(含问题详解)

人教版九年级数学二次函数实际问题（含答案）一、单选题1.在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为[ ] A．28米B．48米C. 68米D．88米2.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：y=ax2 +bx+c的图象过点(1，0)……求证这个二次函数的图象关于直线x=2对称．，题中的二次函数确定具有的性质是[ ] A．过点(3，0)B．顶点是(2，-1)C．在x轴上截得的线段的长是3D．与y轴的交点是(0，3)3.某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是A．2mB．3mC .4 mD．5 m4.如图，铅球运动员掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是，则该运动员此次掷铅球的成绩是[ ] A．6 mB．8mC. 10 mD．12 m5.某人乘雪橇沿坡度为1：的斜坡笔直滑下，滑下的距离S(m)与时间t(s)间的关系为S=l0t+2t2，若滑到坡底的时间为4s，则此人下降的高度为[ ] A．72 mB．36 mC．36 mD．18 m6.童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y=-x2 +50x-500，则要想获得最大利润，销售单价为[ ] A．25元B．20元C．30元D．40元7.中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12米处的挑射，正好从2.4米高（球门距横梁底侧高）入网．若足球运行的路线是抛物线y=ax2 +bx+c所示，则下列结论正确的是①a<；② <a<0；③ a-b+c>0；④ 0<b<-12a[ ]A.①③B.①④C.②③D.②④8.关于x的二次函数y=2mx2 +(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值围是[ ] A．m<≥且m≠0C．m=D.m m≠09.某种产品的年产量不超过1 000吨，该产品的年产量（吨）与费用（万元）之间函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分，如图①所示；该产品的年销售量（吨）与销售单价（万元／吨）之间的函数图象是线段，如图②所示，若生产出的产品都能在当年销售完，则年产量是( )吨时，所获毛利润最大．（毛利润=销售额-费用）①②[ ] A．1 000B．750C. 725D．50010.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图所示，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一个挂校名匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）[ ] A．5.1 mC．9.1 mD．9.2 m11.图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在如图(1)时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4 m.如图(2)建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是[ ]A. y= - 2x2B．y=2x2C. y=-2 x2D．y= x212.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？[ ] A．第8秒B．第10秒C. 第12秒D．第15秒二、填空题13.把一根长为100 cm的铁丝剪成两段，分别弯成两个正方形，设其中一段长为xcm，两个正方形的面积的和为S cm2，则S与x的函数关系式是( )，自变量x的取值围是( )．14.如图所示，是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下，建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A(0，1.25)，水流路线最高处B(1，2.25)，则该抛物线的表达式为( )．如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要( )，才能使喷出的水流不致落到池外．15.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16 m，跨度是40 m，在线段AB上离中心M处5m的地方，桥的高度是( )m .16.在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v o(m/s)竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足:(其中g是常数，通常取10m/s)，若v0=10 m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面( )m三、计算题17.求下列函数的最大值或最小值．(l);(2)y=3(x+l) (x-2).四、解答题18.如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6 m．(1)求抛物线的解析式；(2)如果该隧道设双行道，现有一辆货运卡车高为4.2 m，宽为2.4 m，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明．19.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与每件的销售价x (元)满足一次函数：m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式．(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？能力提升20.如图所示，一边靠学校院墙，其他三边用40 m长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB =x m，面积为Sm2(1)写出S与x之间的函数关系式，并求当S=200 m2时，x的值；(2)设矩形的边BC=y m，如果x，y满足关系式x：y=y：(x+y)，即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．21.某产品每件成本是120元，为了解市场规律，试销售阶段按两种方案进行销售，结果如下：方案甲：保留每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；方案乙：不断地调整售价，此时发现日销量y(件)是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：(1)如果方案乙中的第四天，第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？(2)分析两种方案，为了获得最大日销售利润，每件产品的售价应定为多少元？此时，最大日销售利润S是多少？（注：销售利润=销售额-成本额，销售额=售价×销售量）．22.某医药研究所进行某一抗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后可知：成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10-3毫克）随时间xh的变化规律与某一个二次函数y=ax2 +bx+c(a ≠0)相吻合．并测得服用时（即时间为0）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2h，每毫升血液中含药量为6微克；服用后3h，每毫升血液中含药量为7.5微克．(l)试求出含药量y微克与服用时间xh的函数关系式；并画出0≤x≤8的函数图象的示意图；(2)求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．(3)结合图象说明一次服药后的有效时间有多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0 的总时间．）23.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5 m，长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=x m．（不考虑墙的厚度）(1)若想水池的总容积为36 m3，x应等于多少？(2)求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值围；(3)若想使水浊的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？实践探究24.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10 m.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)现有一辆载有一批物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以40 km/h的速度开往乙地，当行驶1 h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？25.全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．如图所示是庙垭隧道的截面，截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线2车道．(1)建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线EHF的解析式；(2)在隧道拱的两侧距地面3米高处各安装一盏路灯，在(1)的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏路灯的位置；(3)为了保证行车安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米．现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否通过这个隧道？请说明理由．26.我市有一种可食用的野生菌，上市时，外商经理按市场价格30元／千克收购了这种野生菌1 000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．(2)若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P 与x之间的函数关系式．(3)经理将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润W元？（利润=销售总额-收购成本-各种费用）27.在如图所示的抛物线型拱桥上，相邻两支柱间的距离为10 m，为了减轻桥身重量，还为了桥形的美观，更好地防洪，在大抛物线拱上设计两个小抛物线拱，三条抛物线的顶点C、B、D离桥面的距离分别为4m、10 m、2 m．你能求出各支柱的长度及各抛物线的表达式吗？28.某商业公司为指导某种应季商品的生产和销售，对三月份至七月份该商品的售价和生产进行了调研，结果如下：一件商品的售价M(元)与时间t（月）的关系可用一条线段上的点来表示，如图甲，一件商品的成本Q(元)与时间t（月）的关系可用一条抛物线上的点来表示，其中6月份成本最高，如图乙．根据图象提供的信息解答下面问题(1)一件商品在3月份出售时的利润是多少元？（利润=售价一成本）(2)求出图（乙）中表示的一件商品的成本Q(元)与时间t（月）之间的函数关系式；(3)你能求出3月份至7月份一件商品的利润W(元)与时间t（月）之间的函数关系式吗？若该公司能在一个月售出此种商品30000件，请你计算该公司在一个月最少获利多少元？29.某工厂生产A产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨这种产品的售价为每吨Q元，已知(1)该厂生产并售出x吨，写出这种产品所获利润W（元）关于x（吨）的函数关系式；(2)当生产多少吨这种产品，并全部售出时，获利最多？这时获利多少元？这时每吨的价格又是多少元? 30.某商场销售一种进价为20元／台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台）与销售单价x(元)满足w=-2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当销售单价定为多少元时．每天的利润最大？最大利润是多少？(3)在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润．应将销售单价定为多少元？word参考答案1、D2、A3、B4、C5、C6、A7、B8、B9、B10、C11、C12、B13、0<x<10014、y=-（x-1）2+2. 25 2.515、1516、717、解：(l),y有最大值，当x=-l时，y有最大值.(2)y= 3(x+l) (x-2)=3(x2-x-2)a=3>0，y有最小值，当x=时，y有最小值．18、解：设抛物线的解析式为y=ax2+6，又因为抛物线过点(4，2)，则16a+6=2，，抛物线的解析式为y =+6．(2)当x=2.4时，y=+6 =-1. 44+6=4. 56>4.2，故这辆货运卡车能通过该隧道．19、解：(l)y=(x-30) (162-3x)= - 3 x2 +252x-4860 (2)y= -3 (x-42) 2 +432 当定价为42元时，最大销售利润为432元20、解：(l)S=x(40- 2x)=-2 x2+40x, 当S=200时，.(2)当BC=y，则y=40-2x①又y2 =x(x+y) ②由①、②解得x=20±，其中20+不合题意，舍去，x=20-，y=当矩形成黄金矩形时，宽为20-m，长为m.21、解：(1)方案乙中的一次函数为y= -x+200．第四天、第五天的销售量均为20件．方案乙前五天的总利润为：130×70+150×50+160 ×40+180 ×20+180 ×20-120 ×(70+50+40+20+20)=6 200元．方案甲前五天的总利润为(150-120)×50×5=7 500元，显然6200<7 500，前五天中方案甲的总利润大．(2)若按甲方案中定价为150元／件，则日利润为(150-120)×50=1500元，对乙方案：S =xy-120y=x(-x+200) -120(-x+200)= -x2 +320x- 24000= - (x-160) 2 +1600，即将售价定在160元／件，日销售利润最大，最大利润为1600元．22、解：(1)图象略．(2) 当x=4时，函数y有最大值8．所以服药后4h，才能使血液中的含药量最大，这时的最大含药量是每毫升血液中含有药8微克．(3)图象与x轴两交点的横坐标的差即为有效时间．故一次服药后的有效时间为8h23、解：(l)因为AD= EF=BC=x m，所以AB=18-3x.所以水池的总容积为1. 5x(18-3x)=36，即x2- 6x+8=0，解得x1=2，x2=4，所以x应为2或4．2 +27x，且x的取值围是：0<x<6．(3)V=4.5 x2 +27．所以当x=3时，V有最大值，即若使水池总容积最大，x应为3，最大容积为40.5 m3.24、解：(1)设抛物线的解析式为y= ax2，1 / 10word桥拱最高点0到水面CD的高为h米，则D(5，-h)．B(10，-h-3)．所以即抛物线的解析式为y=-. (2)货车按原来速度行驶不能安全通过此桥．要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过60千米／时．25、解：(1)以EF所在直线为x 轴，经过H且垂直于EF的直线为y轴，建立平面直角坐标系，显然E(-5，0)，F(5，0)，H(0，3)．设抛物线的解析式为+bx+c 依题意有：所以y= +3．(2)y=1，路灯的位置为（，1）或（一，1）．（只要写一个即可）(3)当x=4时，，点到地面的距离为1.08+2=3.08，因为3.08-0.5=2.58>2.5，所以能通过．26、解：(1)y=x+30（1≤x≤160，且x为整数）(2)P=(x+30)（1000-3x）=-3+910x+30000 (3)由题意得W=（-3+910x+30000）-30×1000-310x=-3（x-100）2+30000 当x=100时，W最大=30000．100天<160天，存放100天后出售这批野生菌可获得最大利润30000元．27、解：抛物线OBA过B(50, 40) ,A(100,0)，抛物线OBA的解析式为．当x=20, 30, 40时，y的值分别为：MC=4( m)，EN= (m)，FQ=50-= ( m)，GT= ( m)，BR= 10 (m). G1T1 =GT- (m)，PQ1-FQ= (m)．又抛物线CE过顶点C(10,46),E(20，)，解析式为y=-(x-10)2 +46．而抛物线PD过顶点D(85,48),P(70，)．解析式为y=-(x-85)2+48．x= 80求得y=．KK1=50--，KK1-LL1 = (m)．综上：三条抛物线的解析式分别为：从左往右各支柱的长度分别是：4m，m，m，m，10m，m，10m，m，m，m，m28、解：(1)一件商品在3月份出售时利润为：6-1=5(元)．(2)由图象可知，一件商品的成本Q(元)是时间t（月）的二次函效，由图象可知，抛物线的顶点为(6,4),由题知t=3, 4,5,6,7．(3)由图象可知，M(元)是t（月）的一次函数，其中t=3,4,5,6,7∴当t=5时，W∴所以该公司一月份最少获利元29、解：（1）当x=150吨时，利润最多，最大利润2 000元．当x=150吨时，Q=+45=40（元）．30、解：(1)y=（x-20）（-2x+80）=-2+120x-1600 (2) y=-2+120x-1 600=-2（x-30）2+200 当x=30时，最大利润为y=200元．(3)由题意，y=150，即-2（x-30）2+200=150解得x l=25，x2=3 5．又销售量w=-2x+80随单价增大而减小，故当x=25时，既能保证销售量大，又可以每天获得1 50元的利润．2 / 10。

九年级数学下册第1章二次函数1.4二次函数与一元二次方程的联系同步练习2新版湘教版201811223

1.4 二次函数与一元二次方程的联系知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象，如图1－4－1，则关于x的方程x2＋ax＋b ＝0的解是( )图1－4－1A．无解B．x＝1 C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝42．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点情况是( )A．有两个相同的交点B．有两个不同的交点C．没有交点D．无法确定3．二次函数y＝x2＋x－6的图象与x轴交点的横坐标是( )A．2和－3 B．－2和3C．2和3 D．－2和－34．2018·自贡若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为________．5．抛物线y＝3x2＋x－10与x轴有无交点？若无，请说明理由；若有，请求出交点坐标．知识点 2 用二次函数的图象求一元二次方程的近似解6．2017·兰州下表是二次函数y ＝x 2＋3x －5的自变量x 与函数值y 的几组对应值：那么方程x 2＋3x A ．1 B ．1.1 C ．1.2 D ．1.37．用图象法求一元二次方程x 2＋2x －10＝0的近似解(精确到0.1)．知识点 3 用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题8．小明同学在体育课上练习推铅球，图1－4－2是某次铅球被推出后所经过的路线，铅球从点A 处出手，在点B 处落地，它的运行轨迹满足二次函数y ＝－112x 2＋23x ＋53，则小明同学这次推铅球的成绩是________ m .图1－4－29．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端B 处，其身体(看成一点)经过的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图1－4－3所示．(1)求演员弹跳时离地面的最大高度；(2)已知人梯BC 高3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演能否成功？请说明理由．图1－4－310．2017·徐州若函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是( )A ．b ＜1且b ≠0B ．b ＞1C ．0＜b ＜1D ．b ＜111．2017·苏州若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a(x －2)2＋1＝0的实数根为( )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝－2，x 2＝6C ．x 1＝32，x 2＝52D ．x 1＝－4，x 2＝012．若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝1，x 2＝5C ．x 1＝1，x 2＝－5D ．x 1＝－1，x 2＝513．2017·牡丹江若将图1－4－4中的抛物线y ＝x 2－2x ＋c 向上平移，使它经过点(2，0)，此时抛物线位于x 轴下方的图象对应的x 的取值范围是________．图1－4－414．已知抛物线y ＝(x －m)2－(x －m)，其中m 是常数．(1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点． (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线表示的函数的表达式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点？拓广探究创新练冲刺满分15．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心位置，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图1－4－5①所示．建立如图②所示的直角坐标系，水流喷出的高度y (米)与水平距离x (米)之间的表达式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请回答下列问题：(1)柱子OA 的高度为多少米？ (2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面？图1－4－5教师详解详析1．D2．A [解析] 在二次函数y ＝x 2－2x ＋1中，∵Δ＝4－4＝0，∴二次函数的图象与x 轴有两个相同的交点．3．A [解析] 解方程x 2＋x －6＝0，得x 1＝2，x 2＝－3.∴函数图象与x 轴交点的横坐标是2和－3.4．－1 [解析] 由二次函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有且只有一个交点，可得b 2－4ac ＝22－4×1×(－m )＝0，∴4m ＋4＝0，解得m ＝－1，∴m 的值为－1.5．解：有．令y ＝0，得3x 2＋x －10＝0.∵Δ＝12－4×3×(－10)＝121＞0，∴抛物线y ＝3x 2＋x －10与x 轴有交点．∵解方程3x 2＋x －10＝0，得x 1＝－2，x 2＝53，∴抛物线y ＝3x2＋x －10与x 轴的交点坐标是(－2，0)，(53，0)．6．C7．[解析] 方程x 2＋2x －10＝0的解可以看成抛物线y ＝x 2＋2x －10与x 轴交点的横坐标．因此应先画出抛物线，由抛物线与x 轴交点的位置确定方程的根的取值范围，观察图象求得近似解．解：画出函数y ＝x 2＋2x －10的图象如图所示．由图象，知方程有两个根，一个根在－4和－5之间，另一个根在2和3之间．先求－5和－4因此，x ＝－4.30.1的近似解为x ＝2.3.故一元二次方程x 2＋2x －10＝0的近似解为x 1≈－4.3，x 2≈2.3.[点评] 本题还可以将方程化为x 2＝－2x ＋10的形式，利用函数y ＝x 2和y ＝－2x ＋10的图象的交点求解．8．10 [解析] 当y ＝0时，－112x 2＋23x ＋53＝0，解得x 1＝10，x 2＝－2(不合题意，舍去)，所以小明同学这次推铅球的成绩是10 m.9．解：(1)将二次函数y ＝－35x 2＋3x ＋1化成y ＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194的形式，当x ＝52时，y 有最大值，y 最大值＝194＝4.75.因此，演员弹跳时离地面的最大高度是4.75米． (2)这次表演能成功．理由：当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4.即点B (4，3.4)在抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1上，因此，这次表演能成功．10．A [解析] ∵函数y ＝x 2－2x ＋b 的图象与坐标轴有三个交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（－2）2－4b >0，b ≠0，解得b ＜1且b ≠0. 11．A [解析] ∵二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，∴4a ＋1＝0，解得a ＝－14.∴方程－14(x －2)2＋1＝0的实数根为x 1＝0，x 2＝4.故选A.12．D [解析] 由题意，得二次函数图象的对称轴为直线x ＝2，由对称轴公式得－b2＝2，解得b ＝－4，代入一元二次方程，得x 1＝－1，x 2＝5.故选D.13．0＜x ＜2 [解析] 设平移后抛物线的函数表达式为y ＝x 2－2x ＋c ＋b ，把A (2，0)代入，得c ＋b ＝0，则该函数表达式为y ＝x 2－2x .当y ＝0时，x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2，∴此时抛物线位于x 轴下方的图象对应的x 的取值范围是0＜x ＜2.14．解：(1)证明：y ＝(x －m )2－(x －m )＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ，∵Δ＝(2m ＋1)2－4(m 2＋m )＝1>0，∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点．(2)①根据对称轴公式，得x ＝－－（2m ＋1）2＝52，∴m ＝2，∴抛物线表示的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6.②设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线表示的函数表达式为y ＝x 2－5x ＋6＋k ，∵抛物线y ＝x 2－5x ＋6＋k 与x 轴只有一个公共点，∴Δ＝(－5)2－4(6＋k )＝0，解得k ＝14.即把该抛物线沿y 轴向上平移14个单位后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点．15．解：(1)当x ＝0时，y ＝54，故柱子OA 的高度为54米．(2)解方程－x 2＋2x ＋54＝0，得x 1＝－12，x 2＝52，∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴OB ＝52.故不计其他因素，水池的半径至少为52米，才能使喷出的水流不至于落在水池外面．。

九年级数学一元二次函数练习题

九年级数学一元二次函数练习题考点：①二次函数性质②二次函数最值③二次函数图像④二次函数应用问题1、如图，□ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线经过x轴上的两点A，B.（1）求点A，B，C的坐标；（2）若抛物线向上平移后，恰好经过点D，试求平移后的抛物线的解析式.2、如图，一张边长为16㎝的正方形硬纸板，把它的四个角都剪去一个边长为x㎝的小正方形，然后把它折成一个无盖的长方体，设长方体的容积为V㎝3，请回答下列问题：（1）若用含有X的代数式表示V，则V=（2）完成下表：（4分）x(㎝) 1 2 3 4 5 6 7V(㎝3) 196 288 180 96 28(3) 观察上表，容积V的值是否随x值得增大而增大？当x取什么值时，容积V的值最大？3、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？4、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90销，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.（1）写出平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）当销售价为多少元时，每天可获最大利润？最大利润是多少？5、某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：．（1）设李明每月获得利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（不需求出利润的最大值）（2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）6、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384•件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，•由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；（2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？7、某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是60元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是200件，而销售单价每降低1元，就可多售出20件．(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式；(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元，且商场要完成不少于240件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少？8、我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）．当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润（万元）⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？9、已知抛物线与x轴分别交于（－1，0），（5，0），当x=1时，函数值为y1，当x=3时，函数值为y2，则y1，y2的大小为（）A. y1＞y2B. y1＝y2C. y1＜y2D.不能确定10、已知二次函数的图象如图，则下列5个代数式：ac，a+b+c，，2a+b，a+b中，值大于0的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个11、二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过 ()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限12、二次函数y＝ax2＋bx十c的图像如下图所示，则下列结论正确的是A．a>－0，b<0，c>0 B．a<0，b<0,c>OC．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b>0，c>013、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( ) A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c >014、抛物线可以由抛物线平移得到,则下列平移过程正确的是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位15、已知反比例函数y ＝的图象如右图所示，则二次函数y ＝的图象大致为（）（A）（B）（C）（D）16、抛物线的对称轴是，顶点坐标为，若将这条抛物线向左平移两个单位，再向上平移三个单位，则所得抛物线的解析式为 .17、如图所示，已知抛物线 (a≠0)经过原点和点（-2，0），则2a-3b 0.(＞、＜或＝)18、嫦娥二号探月卫星于2010年10月1日发射成功。

第1章二次函数单元检测(解析卷)

二次函数单元检测一、单选题1．把二次函数y=−x2的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（）A．y=−(x+1)2+3B．y=−(x+1)2−3C．y=−(x−1)2−3D．y=−(x−1)2+3【答案】A【详解】解：y=−x2的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位得y=−(x+1)2+3．故选A．2．用配方法将二次函数y=−x2−2x−3化为y=a(x−ℎ)2+k的形式为（）A．y=−(x−1)2+3B．y=(x+1)2−4C．y=−(x+1)2−2D．y=(x−1)2+2【答案】C【详解】解：y=−x2−2x−3=−(x2+2x+1)−2=−(x+1)2−2故选：C．3．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度ℎ（单位：米）与经过的时间t（单位：秒）满足函数关系式ℎ=−5t2+15t，那么球弹起后又回到地面所经过的时间t是（）A．4秒B．3秒C．2秒D．1秒【答案】B【详解】解：∵ℎ=−5t2+15t，∴当ℎ=0时，即：0=−5t2+15t，解得：t=0或t=3，∴球弹起后又回到地面所经过的时间t是3秒．故选：B．4．函数y=(1+m)x m2−2m−1是关于x的二次函数，则m的值为（）A．2B．−1或3C．3D．m不存在【答案】C【详解】解：由题意得{m2−2m−1=21+m≠0，解得：m=3，故选：C．5．某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（）A．y=9(1+x)2B．y=9+9x+x2C．y=9+9(1+x)+9(1+x)2D．y=9(1+x)2【答案】C【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：9(1+x)，三月份新产品的研发资金为：9(1+x)2，今年一季度新产品的研发资金y=9+9(1+x)+9(1+x)2，故选：C．6．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（）④y＝3x2．①y＝x②y＝﹣2x+1③y＝﹣1xA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】①函数为增函数，满足题意；②函数为减函数，不满足题意；③函数为反比例函数，图象在二、四象限函数值y随x的增大而增大；④函数对称轴为y轴，开口向上，当x＜0时，函数值y随x的增大而减小，不满足题意；故选B．7．如图，二次函数y=x2−ax+1和y=ax−a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】B>0，在y轴右侧，一次函数y=ax−a经过第一、三、四象【详解】解：当a>0时，二次函数对称轴x=a2<0，在y轴左侧，一次函数y=ax−a经过第一、二、四象限；限；当a<0时，二次函数对称轴x=a2故选项A、C、D不合题意，选项B符合题意．故选：B．8．已知(−4,y1)，(2.5,y2)，(5,y3)是抛物线y=−3x2−6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1>y2>y3B．y3>y2>y1C．y1>y3>y2D．y2>y1>y3【答案】A【详解】解：根据题意，则∵y=−3x2−6x+m，=−1，∴对称轴是：x=−−62×(−3)∵−3<0，∴当x>−1时，y随x的增大而减小，∵2.5<5，∴y2>y3，∵−1−(−4)<2.5−(−1)，∴y1>y2，∴y1>y2>y3；故选：A9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线AB和射线AC的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接EF，以EF为边向下做正方形EFGH，设点E运动的路程为x(0<x<12)，正方形EFGH和等腰Rt△ABC重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：当HG与BC重合时，设AE=x，由题可得：∴EF=EH=2x，BE=12−x，在Rt△EHB中，由勾股定理可得：BE2=BH2+EH2，∴(2x )2+(2x )2=(12−x )2，∴x =4，∴当0<x ≤4时，y =(2x )2=2x 2，∵2>0，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当HG 在BC 下方时，设AE =x ，由题可得：∴EF =2x ，BE =12−x ，∵∠AEF =∠B =45°，∠A =∠EOB =90°,∴△FAE ∽△EOB ，∴AE EF =EO EB ，∴x 2x =EO 12−x ，∴EO =12−x2，∴当4<x <12时，y =(2x )·12−x2=(12−x )x =−x 2+12x ，∵−1<0，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A 正确，故选：A ．10．如图，二次函数y =−x 2+2mx +2m +1（m 是常数，且m >0）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．其对称轴与线段BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．连接AC ．若∠BEF =2∠ACO ，则m 的值为（）A ．12B ．22C ．2−12D ．3−12【详解】当y =0时，−x 2+2mx +2m +1=0，解方程，得x 1=−1，x 2=2m +1，∵点A 在点B 的左侧，且m >0，∴A(−1,0)，B(2m +1,0)，当x =0时，y =2m +1，∴C(0,2m +1)，∴OB =OC =2m +1，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =45°，∵EF ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∵∠BEF =2∠ACO ，∴∠BCO =2∠ACO ，作∠OCB 的平分线交OB 于点G ，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，如图，∴∠BCO =2∠OCG ，GH =GO ，∴∠ACO =∠GCO ，在△ACO 和△GCO 中，{∠ACO =∠GCO OC =OC ∠AOC =∠GOC，∴△ACO≌△GCO(ASA)，∴OA =OG =1，∴GB =OB−OG =2m +1−1=2m ，∵GH ⊥BC ，∠GBH =45°，∴GB =2GH ，即2m =2，∴m =22．二、填空题11．下列函数一定是二次函数的是．①y =ax 2+bx +c ；②y =−3x ；③y =4x 2−3x +1；④y =(m−1)x 2+bx +c ；⑤y =(x -3)2-x 2【答案】③【详解】解：①y =ax 2+bx +c ，必须满足a≠0才为二次函数，故①不一定是二次函数；②等号右边为分式，故②不是二次函数；③y =4x 2−3x +1是二次函数，故③是二次函数；④y =(m−1)x 2+bx +c ，m =1时，该式不是二次函数；⑤y =(x−3)2−x 2=x 2−6x +9−x 2=−6x +9，该式不是二次函数；故答案为：③．12．把抛物线y =x 2+6向下平移3个单位，得到抛物线．【答案】y =x 2+3【详解】解：将抛物线y =x 2+6向下平移3个单位所得直线解析式为：y =x 2+6-3；即：y =x 2+3．故答案为：y =x 2+3．13．若二次函数y =2x 2−4x−1的图象与x 轴交于A (x 1，０)，B (x ２，０)两点，则1x 1+1x 2的值为．【答案】﹣4【详解】设y=0，则2x 2−4x−1=0，∴一元二次方程的解分别是点A 和点B 的横坐标，即x 1，x 2，∴x 1+x 2=−−42=2，x 1x 2=−12∴1x 1+1x 2 =x 1+x 2x 1x 2=2−12=-4，故答案为−4．14．如图，P 是抛物线y=﹣x 2+x+1在第一象限上的点，过点P 分别向x 轴和y 轴引垂线，垂足别为A ，B ，则四边形OAPB 周长的最大值为．【答案】4【详解】试题解析：∵y=-x2+x+1，∴当y=0时，-x2+x+1=0，解得 x=1+52或x=1−52故设P （x ，y ）（1+52＞x ＞0，y ＞0），∴C=2（x+y）=2（x-x2+x+1）=-2（x-1）2+4．∴当x=1时，C最大值=4，．即：四边形OAPB周长的最大值为4．15．若直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有三个不同交点，则b的取值范围为．【答案】−3<b<−158【详解】对于抛物线y=−2x2+8x−6，当y=0时，x=3或x=1，对于抛物线y=−2x2+16x−30=−2(x−3)(x−5)，当y=0时，x=3或x=5，两条抛物线如下图：∴A(3,0)，B(5,0)，C(1,0)，当直线y=x+b经过A(3,0)时，3+b=0，得b=−3，此时直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有两个交点，此时y=x−3，结合图象可知，当直线y=x+b在y=x−3下方时，只有两个交点不符合题意；当直线y=x+b与抛物线y=−2x2+16x−30只有一个交点时，即：方程−2x2+16x−30=x+b只有一个解，即：方程−2x2+15x−30−b=0只有一个解，，∴Δ=152−4×(−2)×(−30−b)=0，解得：b=−158此时直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有两个交点，此时y=x−15，8上方时，最多只有两个交点不符合题意；结合图象可知，当直线y=x+b在y=x−158时，直线y=x+b与抛物线y=−2x2+8x−6(y>0)与抛物线y=−2x2+16x−30有三综上，当−3<b<−158个不同交点，．故答案为：−3<b<−15816．如图（1），在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等，设x=AD，y=AE+CD，y关于x的函数图象如图（2），图象过点(0,2)，则图象最低点的横坐标是．【答案】2−1【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2∴AB=AC=1，BC=2，图象最低点函数值即为AE+CD 的最小值由题意可得：CD=x 2+1,AE=(22−x )2+(22)2 ∴AE+CD=x 2+1+(22−x )2+(22)2，即点（x ，0）到（0,-1）与（22，22）的距离之和∴当这三点共线时，AE+CD 最小设该直线的解析式为y=kx+b{−1=b 22=22k +b 解得{k =2+1b =−1 ∴y =(2+1)x−1当y=0时，x=2−1．故填2−1．三、解答题17．已知函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2．(1)当m 为何值时，这个函数是二次函数？(2)当m 为何值时，这个函数是一次函数？【详解】（1）解：当函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2为二次函数时，则m 2−9≠0，即m ≠±3．（2）解：当函数y =(m 2−9)x 2−(m−3)x +2为一次函数时，则{m 2−9=0−(m−3)≠0，解得：m =−3．18．用描点法画函数的图象是学习各类函数的基础，并能直观反映出两个变量之间的函数关系．请用描点法画函数y =12x 2的图象，并按照要求回答下列问题：x …−3−2−10123…y… 4.50.502 4.5…(1)补齐上表；(2)在所给坐标系内描出表格中的点；(3)将上述各点用平滑曲线连线．(4)由图象可知：当x=4时，y=；当y<2时，x的取值范围是．×(−2)2=2；【详解】（1）当x=−2时，y=12×12=0.5；当x=1时，y=12故答案为：2，0.5．（2）描点如下图．（3）用平滑曲线连线如下图．（4）由图象可知：当x=4时，y=8；当y<2时，−2<x<2．19．某影像公司经过市场调研，发现制作某种毕业相册的销量y（套）是售价x（元/套）的一次函数，其售价、销售量、销售利润w（元）的三组对应值如下表：售价x（元/套）130150180销售量y（套）21015060销售利润w（元）10500105006000注：销售利润=销售量×（售价−成本价）(1)求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)求制作该毕业相册的成本价；(3)当售价为多少元时，销售利润最大？最大利润是多少？(4)已知影像公司在七月份为某校九年级制作这种毕业相册的过程中，尽可能让利于学生，最后所得利润为9600元，求这种毕业相册的售价．【详解】（1）解：由题意可设y关于x的函数解析式为y=kx+b，由表格可知当x=130时，y=210；当x=150时，y=150，∴{210=130k+b150=150k+b解得：{k=−3b=600∴y关于x的函数解析式为y=−3x+600；（2）设制作该毕业相册的成本价为m元/套由题意可知：w=y(x−m)由表可得当x=130时，y=210，w=10500，∴10500=210(130−m)，解得：m=80∴制作该毕业相册的成本价为80元/套；（3）解：由题意可知：w=y(x−80)=(−3x+600)(x−80)=−3x2+840x−48000=−3(x−140)2+10800∵−3<0∴当x=140时，w有最大值，最大值为10800答：当售价是140元时，销售利润最大，最大利润是10800元．（4）解：当所得利润为9600元，即w=9600时，−3(x−140)2+10800=9600，解得：x1=120，x2=160，∵由于影像公司尽可能让利于学生，∴x=120，∴这种毕业相册的售价为120元/套．20．已知二次函数y=ax2+bx+5的图象经过点A(1,4),B(−1,8)．(1)求二次函数的表达式；(2)若关于x的方程ax2+bx+5−m=0有实数根，求m的取值范围．【详解】（1）解：把A(1,4),B(−1,8)代入，得{a+b+5=4,a−b+5=8,解得{a=1,b=−2,,∴二次函数表达式为y=x2−2x+5．（2）解：∵a=1,b=−2，∴方程为x2−2x+5−m=0，∴Δ=(−2)2−4×1×(5−m)≥0，∴m≥4．21．已知二次函数y=ax2+bx−3a经过点A(−1,0)、C(0,3)，与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC、BC、DB，求△BCD的面积；(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【详解】（1）解：把A(−1,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx−3a得：{0=a−b−3a3=−3a，解得：{a=−1b=2，∴此二次函数解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴D(1,4)，此二次函数对称轴为直线x=1，∵A(−1,0)，∴B(3,0)，∴CD=12+(4−3)2=2，BC=32+32=32，BD=42+(3−1)2=25，∵CD 2+BC 2=2+18=20=BD 2，∴△BCD 为直角三角形，∴S △BCD =12BC ⋅CD =12×2×32=3；（3）解：①当DC =DP 时，∵C(0,3)，此二次函数对称轴为直线x =1，∴P(2,3)；②当CP =DP 时，设P(m,n)，∵C(0,3)，D(1,4)，P(m,n)，∴PC 2=m 2+(3−n )2,PD 2=(m−1)2+(4−n )2，∵CP =DP ，∴m 2+(3−n )2=(m−1)2+(4−n )2，整理得：n =−m +4，∵P(m,n)在抛物线上，∴n =−m 2+2m +3，∴−m +4=−m 2+2m +3，解得：m 1=3+52，m 2=3−52<1（舍去），∴P(3+52,5−52)，③当DC =CP 时，∵点P 在对称轴右边，∴此情况不存在，综上：P(2,3)或P(3+52,5−52)．22．如图，水池中心点O 处竖直安装了一跟水管，水管上端有一喷头，可喷出形似抛物线的水柱，当喷头上下移动时，喷出的抛物线型水柱也会随之竖直上下平移，但水柱落点与O 点始终保持在同一水平面，安装师傅调试后发现，当喷头距地面高2.5米时，水柱落点到O 点的水平距离为2.5米，此时，喷头喷出水柱的最高点距离水管的水平距离为0.5米．(1)求此时喷出的水柱所在抛物线的表达式；(2)若要使喷出的水柱落点距O 点3米，那么喷头应向上移动几米？【详解】（1）解：（1）由题意可知，抛物线经过点(0,2.5)和(2.5,0)，且抛物线的对称轴为直线x =12，所以抛物线与x 轴的另一交点坐标为(−1.5,0)，设抛物线表达式为y =ax 2+bx +c ，将点(0,2.5)，(2.5,0)，(−1.5,0)代入，得{6.25a +2.5b +c =02.25a−1.5b +c =0c =2.5，解得{a =−23b =23c =52，∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为y =−23x 2+23x +52；（2）（2）由（1）可知y =−23x 2+23x +52=−23(x−12)2+83，设需要将喷头向上移动m 米，即将抛物线向上平移m 米．那么平移后的函数表达式为y =−23(x−12)2+83+m ，将点(3,0)代入，得0=−23×(3−12)2+83+m ，解得m =32．答：喷头应向上移动32米．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +3与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，抛物线经过A ，B 两点，并与x 轴交于另一点C ，抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点为点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E 为对称轴右侧的抛物线上的点．①点F 在抛物线的对称轴上，且EF //x 轴，若以点D ，E ，F 为顶点的三角形与△ABD 相似，求出此时点E 的坐标；②点G 在平面内，则以点A ，B ，E ，G 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出此时点E 的坐标；若不能，请说明理由．【详解】解：（1）在y=-x+3中令x=0得到y=3，令y=0得到x=3，∴A 、B 坐标分别为（0，3）、（3，0），设抛物线的函数表达式为y =ax 2+bx +c ，则由题意可得：{c =39a +3b +c =0−b2a=2，∴{a =1b =−4c =3，∴所求抛物线的函数表达式为y =x 2−4x +3；（2）①如图，可设E 点坐标为(x,x 2−4x +3)，所以F 点坐标为 (2,x 2−4x +3)，由（1）可得D 坐标为（2，-1），∴AB2=32+32=18,AD2=22+42=20,BD2=12+12=2，∴AB2+BD2=AD2,∴△ABD为以AD为斜边的直角三角形，所以由题意可分两种情况：a、△DFE∽△ABD，则DFAB =EFBD，即x2−4x+3+132=x−22，解之得x=5或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为(5，52−4×5+3)即（5，8）；b、△EFD∽△ABD，则EFAB =FDBD，即x−232=x2−4x+3+12，解之得：x=73或x=2（不合题意，舍去），∴E点坐标为[73，(73)2−4×73+3]即(73，−89)，综上所述，若以点D，E，F为顶点的三角形与△ABD相似，则点E的坐标为（5，8）或(73，−89)；②由①知，∠ABD=90°，所以当E点为D点时，以点A，B，E，G为顶点的四边形能够成为矩形，即E点坐标为（2，-1）．24．如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．(1)如图1，点B 与地面的距离为2米，水滑道最低点C 与地面的距离为78米，点C 到点B 的水平距离为3米，则水滑道ACB 所在抛物线的解析式为______；(2)如图1，腾空点B 与对面水池边缘的水平距离OE =12米，人腾空后的落点D 与水池边缘的安全距离DE 不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD 的解析式；②此人腾空飞出后的落点D 是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；(3)为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M 处竖直支撑的钢架MN ，另一条是点M 与点B 之间连接支撑的钢架BM ．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM 平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN 上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．【详解】（1）解：根据题意得到水滑道ACB 所在抛物线的顶点坐标为C (−3,78)，且过点B(0,2)，设水滑道ACB 所在抛物线的解析式为y =a(x +3)2+78，将B(0,2)代入，得：2=a(0+3)2+78，即9a =98，∴a =18，∴水滑道ACB 所在抛物线的解析式为y =18(x +3)2+78；（2）解：①∵人腾空后的路径形成的抛物线BD 恰好与抛物线ACB 关于点B 成中心对称，则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为y =−18(x +b)2+c ，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标与抛物线ACB 的顶点坐标C (−3,78)关于点B(0,2)成中心对称，∵ 0×2−(−3)=3,2×2−78=258，∴人腾空后的路径形成的抛物线BD 的顶点坐标为(3,258)，即b =3,c =258，∴此人腾空后的最大高度是258米，人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：y =−18(x−3)2+258；由①知人腾空后的路径形成的抛物线BD 的解析式为：y =−18(x−3)2+258，令y =0，则−18(x−3)2+258=0，即(x−3)2=25∴ x =8或x =−2（舍去，不符合题意），∴点D(8,0)，∴OD =8，∵ OE =12，∴DE =OE−OD =4>3，∴此人腾空飞出后的落点D 在安全范围内；（3）解：根据题意可得M 点的纵坐标为4，令y =18(x +3)2+78=4，即(x +3)2=25，∴x =2（舍去，不符合题意）或x =−8，∴M(−8,4)，设BM 所在直线的解析式为y =kx +b ′，将M(−8,4),B(0,2)代入得：{2=b ′4=−8k +b ′，解得：{b ′=2k =−14，∴ BM 所在直线的解析式为y =−14x +2，如图，设这条钢架为GH ，与MN 交于点G ，与地面交于H ，∵这条钢架与BM 平行，∴设该钢架GH 所在直线的解析式为y =−14x +n ，联立{y =−14x +n y =18(x +3)2+78，即−14x +n =18(x +3)2+78，整理得：x 2+8x +16−8n =0，∵该钢架GH 与水滑道有唯一公共点，∴Δ=82−4×1×(16−8n )=0，∴ n =0即该钢架所在直线的解析式为y =−14x ，∴点H 与点O 重合，∵ GN =−14×(−8)=2，NO =8，∠GNO =90°，∴GH=GN2+NO2=217，∴这条钢架的长度为217米．。

初三数学二次函数练习题及答案

初三数学二次函数练习题及答案一、基础练习1．把抛物线y=2x向上平移1个单位，得到抛物线_______，把抛物线y=-2x?向下平移个单位，得到抛物线________．．抛物线y=3x-1的对称轴是_____，顶点坐标为________，它是由抛物线y=3x?向_______平移______个单位得到的．．把抛物线向左平移1个单位，得到抛物线_________，把抛物线 ?向右平移3个单位，得到抛物线________．24．抛物线y=x-1）的开口向________，对称轴是______，顶点坐标是_________，222222?它是由抛物线x2向______平移______个单位得到的．．把抛物线y=-13132向_____平移______个单位，就得到抛物线y=-13x2．6．把抛物线y=42向______平移_______个单位，就得到函数y=42的图象．．函数y=-的最大值为________，函数y=-x-22213的最大值为________．8．若抛物线y=a的对称轴为x=-3，且它与抛物线y=-2x2的形状相同，?开口方向相同，则点关于原点的对称点为________．．已知抛物线y=a2过点，则该函数y=a2当x=________?的时候，?有最____值______．10．若二次函数y=ax2+b，当x取x1，x2时，函数值相等，则x取x1+x2时，函数的值为________．11．一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y?万元，则y与x的函数关系式为A．y=50B．y=50C．y=50-x2D．y=5012．下列命题中，错误的是 A．抛物线221212x2-1不与x轴相交;B．抛物线x2-1与121222形状相同，位置不同;12C．抛物线y= D．抛物线y=2的顶点坐标为;12）的对称轴是直线x=13．顶点为且开口方向、形状与函数y=- A．y=-13 1313x的图象相同的抛物线是 D．y=1222B．y=-13x2-5C．y=-13214．已知a x-2的图象上，则A．y1 2在同一坐标系中的图象大致为二、整合练习 1．已知反比例函数y=kx的图象经过点A，若二次函数y=12x2-x?的图象平移后经过该反比例函数图象上的点B，C，求平移后的二次函数图象的顶点坐标．2．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点．BE?的垂直平分线交AB于M，交DC于N．设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式；当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？3．将二次函数y=-2x2+8x-5的图象开口反向，并向上、下平移得一新抛物线，新抛物线与直线y=kx+1有一个交点为．求：这条新抛物线的函数解析式；这条新抛物线和直线y=kx+1的另一个交点．答案: 一、1．y=2x2+1 y=-2x2-2．y轴下 1．x+1）2x-3）2．上直线x=1 右 1．右，6．左．0138．．大 0 10．11．A 12．D 13．C 14．C15．B+k过原点，所以0=1+k，k=-1，双曲线y=-1x ）二、1．由反比例函数y=kx的图象过点A，所以1k2=4，k=2，?所以反比例函数的解析式为y=2x．又因为点B，C在y=2x的图象上，所以m=2，n=1222=1，设二次函数y=12x-x的图象平移后的解析式为y=2+k，它过点B，C，所以平移后的二次函数图象的顶点为．2．连接ME，设MN交BE交于P，根据题意得MB=ME，MN⊥BE．过N作NG⊥AB于F，在Rt△MBP和Rt△MNE中，∠MBP+∠BMN=90°，∠FNM+∠BMN=90°，∠MBP=∠MNF，又AB=FN，Rt△EBA≌Rt△MNE，MF=AE=x．在Rt△AME中，由勾股定理得 ME2=AE2+AM2，所以MB2=x2+AM2，即2=x2+AM2，解得AM=1- 所以四边形ADNM的面积S=AM?DN2?AD?12AM?AF214x2．×2=AM+AM+MF=2AM+AE=2+x=-12x2+x+2．即所求关系式为S=-S=-12x2+x+2．52x2+x+2=-12+=-122+52．52当AE=x=1时，四边形ADNM的面积S的值最大，此时最大值是．3．y=-2x2+8x-5=-22+3，将抛物线开口反向，且向上、?下平移后得新抛物线方程为y=22+m．因为它过点，所以4=22+m，m=2，这条新抛物线方程为y=22+2，即y=2x2-8x+10．直线y=kx+1过点，4=3k+1，k=1，求得直线方程为y=x+1．另一个交点坐标为。

1.5 .第1课时抛物线形二次函数-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)

利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
练一练 1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高100m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的直角坐标系，①求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.
以桥面所在直线为x轴，桥面的垂直平分线为y轴，建立直
角坐标系.设抛物线解析式为 y ax 2
y 1 3502 60.49m 2025
量x的取值范围是：-450≤x≤450.
当x=450－50=400 y 1 4002 79.01m
2025
知识点❷
例2、某学校九年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手
时距地面
20 9
米，与篮框中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时
解：如图，建立直角坐标系.
则点C的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.
y
B(0,3.5)
以点A表示运动员投篮球的出手处.A点坐标为（-2.5，m）
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k
即y=ax2+k.而点B、C在这条抛物线上，所以有
A，
2.25a+k=3.05，
已知主塔高100m，主塔间距离900m，因此A（450，100）
在抛物线上，由此得出
②求距离桥两端主
y
A（450，100）
100 a 4502 1
解得 a 2025
塔分别为100m,50m处
垂直钢索的长.
o
∴函数表达式为 y 1 x2 当x=450－100=350
x
2025
由于主塔间距离为900m,因此自变
3.5m

2018-2019学年湘教版九年级数学下册全册教案(含教学反思)

1．1 二次函数1．掌握二次函数的概念，能识别一个函数是不是二次函数；(重点)2．能根据实际情况建立二次函数模型，并确定自变量的取值范围．(难点)一、情境导入已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(平方米)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？二、合作探究探究点一：二次函数的相关概念【类型一】二次函数的识别下列函数哪些是二次函数？(1)y＝2－x2; (2)y＝1x2－1；(3)y＝2x(1＋4x); (4)y＝x2－(1＋x)2.解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义，故y＝1x2－1不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．解：二次函数有(1)和(3)．方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式中自变量最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】根据二次函数的定义求待定字母的值如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解析：紧扣二次函数定义求解，注意易错点为忽视k＋2≠0.解：根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧k 2－2＝2，k ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝±2，k ≠－2，∴k ＝2.方法总结：紧扣定义中的两个特征：①二次项系数不为零；②自变量最高次数为2. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型三】与二次函数系数有关的计算已知一个二次函数，当x ＝0时，y ＝0；当x ＝2时，y ＝12；当x ＝－1时，y ＝18.求这个二次函数中各项系数的和．解析：解：设二次函数的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．把x ＝0，y ＝0；x ＝2，y ＝12；x ＝－1，y ＝18分别代入函数表达式，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝12，a －b ＋c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18，b ＝0，c ＝0.所以这个二次函数的表达式为y ＝18x 2.所以a ＋b ＋c ＝18＋0＋0＝18，即这个二次函数中各项系数的和为18. 方法总结：涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解决这类问题要根据x ，y 的对应值，列出关于字母a ，b ，c 的方程(组)，然后解方程(组)，即可求得a ，b ，c 的值．探究点二：建立简单的二次函数模型一个正方形的边长是12cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1)cm 的小长方形．剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数？ (2)当x 的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．如图所示．解：(1)y＝122－2x(x＋1)，又∵2x≤12，∴0<x≤6，即y＝－2x2－2x＋144(0<x≤6)，∴y 是x的二次函数；(2)当x＝2时，y＝－2×22－2×2＋144＝132，当x＝4时，y＝－2×42－2×4＋144＝104，∴当x＝2或4时，相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2.方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型来解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.1．2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a>0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a>0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象已知y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．列表：x －1 －12 0 12 1 … y ＝3x 2334343…描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)．连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质已知点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，则y 1>y 3>y 2；方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 1>y 3>y 2；方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，∴在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大，而点(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又∵3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.方法总结：比较二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；②图象法；③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数． (1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即m ＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数；(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2(a>0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课时二次函数y＝ax2(a<0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2(a<0)的图象；(重点)2．掌握形如y＝ax2(a<0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入上节课我们学习了a >0时二次函数y ＝ax 2的图象和性质，那么当a <0时，二次函数y ＝ax 2的图象和性质又会有怎样的变化呢？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象【类型一】二次函数y ＝ax 2(a <0)的图象在直角坐标系内，作出函数y ＝－12x 2的图象．解析：作函数的图象采用描点法，即“列表、描点、连线”三个步骤．解：列表：x 0 1 2 … y ＝－12x 2－12－2…描点和连线：画出图象在y 轴右边的部分，利用对称性，画出图象在y 轴左边的部分，如图．方法总结：(1)列表应以0为中心，选取x >0的几个点求出对应的y 值；(2)描点要准；(3)画出y 轴右边的部分，利用对称性，可画出y 轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断当ab >0时，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝ax ＋b 在同一直角坐标系中的图象大致是( )解析：根据a 、b 的符号来确定．当a >0时，抛物线y ＝ax 2的开口向上．∵ab >0，∴b >0.∴直线y ＝ax ＋b 过第一、二、三象限；当a <0时，抛物线y ＝ax 2的开口向下．∵ab >0，∴b <0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.方法总结：本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：二次函数y＝ax2(a<0)的性质【类型一】二次函数y＝ax2(a<0)的性质(2015·山西模拟)抛物线y＝－4x2不具有的性质是()A．开口向上B．对称轴是y轴C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大D．最高点是原点解析：此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.方法总结：抛物线y＝ax2(a<0)的开口向下，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y 有最大值0.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系如图，四个二次函数图象中，分别对应：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为()A．a>b>c>dB．a>b>d>cC．b>a>c>dD．b>a>d>c答案：A方法总结：抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |确定，|a |越大，抛物线的开口越小；|a |越小，抛物线的开口越大．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点三：二次函数y ＝ax 2的图象与几何图形的综合应用已知二次函数y ＝ax 2(a ≠0)与直线y ＝2x －3相交于点A (1，b )，求： (1)a ，b 的值；(2)函数y ＝ax 2的图象的顶点M 的坐标及直线与抛物线的另一个交点B 的坐标； (3)△AMB 的面积．解析：直线与二次函数y ＝ax 2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB 的面积，一般应画出草图进行解答．解：(1)∵点A (1，b )是直线y ＝2x －3与二次函数y ＝ax 2的图象的交点，∴点A 的坐标满足二次函数和直线的关系式，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ×12，b ＝2×1－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1；(2)由(1)知二次函数为y ＝－x 2，顶点M (即坐标原点)的坐标为(0，0)．由－x 2＝2x －3，解得x 1＝1，x 2＝－3， ∴y 1＝－1，y 2＝－9，∴直线与二次函数的另一个交点B 的坐标为(－3，－9)；(3)如图所示，作AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足分别为C 、D ，根据点的坐标的意义，可知MD ＝3，MC ＝1，CD ＝1＋3＝4，BD ＝9，AC ＝1，∴S △AMB ＝S 梯形ABDC －S △ACM －S △BDM ＝12×(1＋9)×4－12×1×1－12×3×9＝6.方法总结：解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节课y ＝ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出y ＝ax 2(a ＜0)的图象和性质，进而得出y ＝ax 2(a ≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.第3课时二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2的图象；2．掌握形如y ＝a (x －h )2的二次函数图象的性质，并会应用；(重点) 3．理解二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道(过水通道)，通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质【类型一】 y ＝a (x －h )2的顶点坐标已知抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标是(－2，0)，且图象经过点(－4，2)，求a ，h 的值．解：∵抛物线y ＝a (x －h )2(a ≠0)的顶点坐标为(－2，0)，∴h ＝－2.又∵抛物线y ＝a (x ＋2)2经过点(－4，2)，∴a (－4＋2)2＝2.∴a ＝12.方法总结：二次函数y ＝a (x －h )2的顶点坐标为(h ，0)．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2图象的形状顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2 C ．y ＝－12(x ＋2)2 D ．y ＝－12(x －2)2 解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝－2，把a ＝－12，h ＝－2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C. 方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】二次函数y ＝a (x －h )2的增减性及最值对于二次函数y ＝9(x －1)2，下列结论正确的是( )A ．y 随x 的增大而增大B ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大C ．当x ＝－1时，y 有最小值0D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大解析：因为a ＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h ＝1，顶点坐标为(1，0)，所以当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．故选D.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2图象的平移【类型一】利用平移确定y ＝a (x －h )2的解析式抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．解析：y ＝ax 2向右平移3个单位后的关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把点(－1，4)的坐标代入即可求得a 的值．解：二次函数y ＝ax 2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y ＝a (x －3)2，把x ＝－1，y ＝4代入，得4＝a (－1－3)2，a ＝14，∴平移后二次函数关系式为y ＝14(x －3)2.方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】确定y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2的关系向左或向右平移函数y ＝－12x 2的图象，能使得到的新的图象过点(－9，－8)吗？若能，请求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由．解：能，理由如下：设平移后的函数为y ＝－12(x －h )2，将x ＝－9，y ＝－8代入得－8＝－12(－9－h )2，所以h ＝－5或h ＝－13，所以平移后的函数为y ＝－12(x ＋5)2或y ＝－12(x ＋13)2. 即抛物线的顶点坐标为(－5，0)或(－13，0)，所以应向左平移5或13个单位．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2与几何图形的综合把函数y ＝12x 2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C ，并与直线y ＝x 分别相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，求△ABC 的面积．解析：利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C 点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y ＝x 组成的方程组，确定A 、B 两点坐标，最后求△ABC 的面积．解：平移后的函数为y ＝12(x －4)2，顶点C 的坐标为(4，0)，OC ＝4. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x －4）2，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝8. ∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8)，∴S △ABC ＝S △OBC －S △OAC ＝12×4×8－12×4×2＝12.方法总结：两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计通过本节学习使学生认识到y ＝a (x －h )2的图象是由y ＝ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y ＝a (x －h )2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a |决定抛物线开口的大小，h 决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.第4课时二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质1．会用描点法画出y ＝a (x －h )2＋k 的图象；2．掌握形如y ＝a (x －h )2＋k 的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2之间的联系．(难点)一、情境导入前面我们是如何研究二次函数y ＝ax 2、y ＝a (x －h )2的图象与性质的？如何画出y ＝12(x －2)2＋1的图象？二、合作探究探究点一：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质【类型一】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象已知y ＝12(x －3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x 轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x ＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．解：(5，0)变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质试说明抛物线y ＝2(x －1)2与y ＝2(x －1)2＋5的关系．解析：对抛物线的分析应从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，及最大(小)值几个方面分析．解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；(2)它们的对称轴相同，都是x ＝1.当x <1时都是左降，当x >1时都是右升；(3)它们都有最小值．不同点：(1)顶点坐标不同．y ＝2(x －1)2的顶点坐标是(1，0)，y ＝2(x －1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；(2)y ＝2(x －1)2的最小值是0，y ＝2(x －1)2＋5的最小值是5.方法总结：对于y ＝a (x －h )2＋k 类抛物线，a 决定开口方向；|a |决定开口大小；h 决定对称轴；k 决定最大(小)值的数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的平移将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( ) A ．y ＝13(x －2)2－1 B ．y ＝13(x －2)2＋1 C ．y ＝13(x ＋2)2＋1 D ．y ＝13(x ＋2)2－1 解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1.故选A. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与几何图形的综合如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y ＝(x －h )2＋k .所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，顶点为D .(1)求h ，k 的值；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由．解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；(2)分别过点D 作x 轴和y 轴的垂线段DE ，DF ，再利用勾股定理，可说明△ACD 是直角三角形．解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x ＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C 点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计通过本节学习使学生掌握二次函数y＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.第5课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；(重点)3．二次函数性质的综合应用．(难点)一、情境导入火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？二、合作探究探究点一：化二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为y ＝a (x －h )2＋k 的形式把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则( )A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝21解析：y ＝x 2－3x ＋5化为顶点式为y ＝(x －32)2＋114.将y ＝(x －32)2＋114向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y ＝x 2＋bx ＋c .则y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x ＋32)2＋194，化简后得y ＝x 2＋3x ＋7，即b ＝3，c ＝7.故选A.方法总结：二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题探究点二：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质【类型一】二次函数与一次函数图象的综合在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )解析：A 、B 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m＞0，则对称轴应在y 轴右侧，故A 、B 选项错误；C 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＞0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝上，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m＜0，则对称轴应在y 轴左侧，故C 选项错误；D 中由函数y ＝mx ＋m 的图象可知m ＜0，即函数y ＝mx 2＋2x ＋2开口方向朝下，对称轴为x ＝－b 2a ＝－22m ＝－1m＞0，则对称轴应在y 轴右侧，与图象相符，故D 选项正确．故选D.方法总结：熟记一次函数y ＝kx ＋b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质若点A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)三点在抛物线y＝x2－4x－m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y1＞y2解析：∵二次函数y＝x2－4x－m中a＝1＞0，∴开口向上，对称轴为x＝－b2a＝2.∵A(2，y1)中x＝2，∴y1最小．又∵B(－3，y2)，C(－1，y3)都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，故y2＞y3.∴y2＞y3＞y1.故选C.方法总结：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题【类型三】二次函数图象的位置与各项系数符号的关系已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，且顶点在第一象限．有下列四个结论：①a＜0；②a＋b＋c＞0；③－b2a＞0；④abc＞0.其中正确的结论是________．解析：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0，抛物线与y轴的正半轴相交，可得出c ＞0，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b＞0，∴abc＜0；∵对称轴在y轴右侧，对称轴为－b2a＞0；由图象可知：当x＝1时，y＞0，∴a＋b＋c＞0.∴①②③④都正确．方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型四】二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为() A．3 B．－1 C．4 D．4或－1解析：∵二次函数y＝ax2＋4x＋a－1有最小值2，∴a＞0，y最小值＝4ac－b24a＝4a（a－1）－424a＝2，整理，得a2－3a－4＝0，解得a＝－1或4.∵a＞0，∴a＝4.故选C.方法总结：求二次函数的最大(小)值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题探究点三：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与几何图形的综合应用如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2，0)、B (0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积．解：(1)把A (2，0)、B (0，－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c 得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2b ＋c ＝0，c ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝－6. ∴这个二次函数的解析式为y ＝－12x 2＋4x －6； (2)∵该抛物线对称轴为直线x ＝－42×（－12）＝4， ∴点C 的坐标为(4，0)，∴AC ＝OC －OA ＝4－2＝2，∴S △ABC ＝12×AC ×OB ＝12×2×6＝6. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题三、板书设计本节课所学的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质可以看作是y ＝ax 2，y ＝a (x －h )2，y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质的归纳与综合，让学生初步体会由简单到复杂，由特殊到一般的认识规律.*1.3 不共线三点确定二次函数的表达式1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求二次函数解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的解析式，在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米．你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究探究点一：不共线三点确定二次函数的表达式【类型一】用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的解析式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的解析式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的任意三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的解析式．解：设二次函数解析式为y ＝a (x －h )2＋k ，∵图象顶点是(－2，3)，∴h ＝－2，k ＝3，依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.∴二次函数的解析式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x －h )2＋k .顶点坐标为(h ，k)，对称轴为x＝h，最值为当x＝h时，y最值＝k.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题【类型三】用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x轴的两个交点，所以可设y＝a(x－x1)(x－x2)求解．解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为抛物线过点M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.方法总结：此题也可设y＝a(x－h)2＋k，因为与x轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y轴．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点二：二次函数解析式的综合运用如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．解析：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，根据对称轴是x＝－3，求出b＝6，即可得出答案；(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x＝－3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD ＝8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为(0，5)，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．解：(1)把点A (－4，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c 得16－4b ＋c ＝－3，c －4b ＝－19.∵对称轴是x ＝－3，∴－b2＝－3，∴b ＝6，∴c ＝5，∴抛物线的解析式是y ＝x 2＋6x ＋5；(2)∵CD ∥x 轴，∴点C 与点D 关于x ＝－3对称．∵点C 在对称轴左侧，且CD ＝8，∴点C 的横坐标为－7，∴点C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵点B 的坐标为(0，5)，∴△BCD 中CD 边上的高为12－5＝7，∴△BCD 的面积＝12×8×7＝28.方法总结：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及利用解析式分析二次函数的图象和性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题三、板书设计教学过程中，强调用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给条件，合理设出其形式，然后求解，这样可以简化计算.1．4 二次函数与一元二次方程的联系1．通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的近似解；(重点)2．通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用．(难点)一、情境导入小唐画y ＝x 2－6x ＋c 的图象时，发现其顶点在x 轴上，请你帮小唐确定字母c 的值是多。

湘教版数学九年级下册 1

练一练
将函数
y
1 2
x2
2x
1
化为
y
=
a(x-h)2
+
k
的形式.
解：配方： y 1 x2 2x 1
2
1 x2 4x 22 22 1 2
1 x 22 1 4 1
2
2
1 x 22 1
2
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与性质
问题2：我们已经知道 y 1 x2 6x 21 1 (x 6)2 3 ，
c
0,
解得
b c
4, 6,
∴这个二次函数的解析式为
y＝－
1 2
x2＋4x－6；
(2) 设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点C，连
接 BA、BC，求 △ABC 的面积．
(2)∵该抛物线对称轴为直线
x＝
4 2 ( 1)
＝4，
∴点 C 的坐标为(4，0)，
2
∴AC＝OC－OA＝4－2＝2.
∴S△ABC＝
1 2
×AC×OB＝
1 2
×2×6＝6.
配方法
y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式)
y a(x b )2 4ac b2
2a
4a
(顶点式)
顶点：(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
对称轴： x b
2a
公式法最值： 4ac b2 4a
3
最值最大值 1 最大值 -1 最小值 -6
典例精析例1 若点 A(2，y1)，B(－3，y2)，C(－1，y3)
三点在抛物线 y＝x2－4x－m 的图象上，则 y1、y2、y3 的

湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案(有答案)

湘教版九年级下册数学第1章二次函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、.已知点（－2，y1），（1，0），（3，y2）都在二次函数的图象上，则y1，0，y2的大小关系是（）A. B. C. D.2、二次函数与图象的不同之处是（）A.对称轴B.开口大小C.开口方向D.顶点坐标3、如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.4、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）A.﹣4＜P＜0B.﹣4＜P＜﹣2C.﹣2＜P＜0D.﹣1＜P＜05、在同一坐标系中，二次函数y=ax2+bx与一次函数y=bx-a的图象可能是（）A. B. C.D.6、若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A.m＞1B.m＞0C.m＞﹣1D.﹣1＜m＜07、下列关系式中，属于二次函数（为自变量）的是（）A. B. C. D.y=-x+18、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有（）A.1B.2C.3D.49、已知二次函数y=-x2+x- ，当自变量x取m时对应的值大于0，当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2，则y1、y2必须满足（）A.y1＞0、y2＞0 B.y1＜0、y2＜0 C.y1＜0、y2＞0 D.y1＞0、y2＜010、已知（﹣2，a），（3，b）是函数y＝﹣4x2+8x+m上的点，则（）A.b＜aB.a＜bC.b＝cD.a，b的大小关系不确定11、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.412、如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q 同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，△BPQ的面积为ycm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A. B. C.D.13、若抛物线y=（m﹣1）x 开口向下，则m的取值是（）A.﹣1或2B.1或﹣2C.2D.﹣114、某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每kg50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨一元，月销售量就减少10kg．设销售单价为每kg x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A. y＝（x﹣40）（500﹣10 x）B. y＝（x﹣40）（10 x﹣500） C. y＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）] D. y＝（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]15、在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝ax2－bx的图象可能是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为________．17、如图，Rt△OAB的顶点A（﹣4，8）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为________18、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，则将每件的销售价定为________ 元时，可获得最大利润．19、抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B，与y轴交于C，则△ABC的面积＝________．20、若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1， 4）、B（x1+x2， n）、C（x2， 4），则n的值为________.21、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x ﹣1 0 1 3y ﹣1 3 5 3下列结论：⑴ac＜0；⑵抛物线顶点坐标为（1，5）；⑶3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；⑷当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的序号为________.22、某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖出20件.则每周售出商品的利润（单位：元）与每件降价（单位：元）之间的函数关系式为________.（化成一般形式）23、抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣1，0），（3，0），则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根是________．24、如图，矩形纸片ABCD，AD=8，AB=10，点F在AB上，分别以AF、FB为边裁出的两个小正方形纸片面积和S的取值范围是________ ．25、某长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x的关系式为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、二次函数图像的顶点坐标是（-2，3），并经过点（1，2），求这个二次函数的函数关系式．27、已知：二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．请你根据图象提供的信息，求出这条抛物线的表达式．28、如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，求两盏景观灯之间的水平距离（提示：请建立平面直角坐标系后，再作答）．29、用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若宽为x cm，写出它的面积y与x之间的函数关系式，并判断y是x的二次函数吗？30、已知二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象交于两点A（﹣2，﹣5）和B（1，4），且二次函数图象与y轴的交点在直线y=2x+3上，求这两个函数的解析式．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、C4、A5、C6、B7、A8、B9、B10、B11、B12、B13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、29、。

九下第1章二次函数1-3不共线三点确定二次函数的表达式习题新版湘教版

2 抛物线的顶点为(1，－4)，与y轴交于点(0，－3)，则
该抛物线的表达式为( )
A．y＝x2－2x－3
B．y＝2x2＋2x－3
C．y＝x2－2x＋3
D．y＝2x2－3x－3
【点拨】设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将点(0，
－3)的坐标代入，得－3＝a(0－1)2－4，解得a＝1，∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)当x≤0时，y的最大值是2；当x＞0时，y的最大值为 2；x＞0 时，y 的最大值为 3，∴抛物线的对称轴 x＝b2在 y 轴的右侧，∴b＞0， ∵a＝－1＜0，x≤0 时，y 的最大值为 2，∴c＝2. 易得4×(－4×1(－)×c1－) b2＝3，解得 b＝±2，∵b＞0，∴b＝2. ∴二次函数的表达式为 y＝－x2＋2x＋2.
②写出符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小.
【解】∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小；
(2)若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．
【解】∵x＝0 和 x＝2 时的函数值都是 1，∴抛物线的对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴(1，n)是抛物线的顶点，(－1，m) 和(3，p)关于对称轴对称，若在 m，n，p 这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且 m≤0.∵－2ba＝1， ∴b＝－2a，∴二次函数为 y＝ax2－2ax＋1，∴m＝a＋2a＋ 1≤0，∴a≤－13.
(2)当y≤－2时，请直接写出x的取值范围．【解】当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1.
9 已知A(m－1，m2)，B(m＋3，m2)是抛物线y＝x2－2x＋ c上两个不同的点．

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1.5 二次函数的应用
知|识|目|标
1．通过回顾建立方程模型解决实际问题的基本方法，在探究“动脑筋”的基础上，理解通过建立二次函数模型解决实际问题的方法．
2．根据几何图形及其性质建立二次函数关系，并能解决有关面积的问题．
3．能够利用二次函数的最大(小)值解决实际问题中的最值问题．
目标一理解建立二次函数模型解决实际问题的方法
例1 教材“动脑筋”改编有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽为20 m，拱顶距离水面4 m.
(1)在如图1－5－1所示的平面直角坐标系中，求出该抛物线的函数表达式；
(2)在正常水位的基础上，当水位上升h m时，桥下水面的宽为d m，求d关于h的函数表达式；
(3)设正常水位时桥下的水深为2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18 m，求水深超过多少米时，就会影响过往船只在桥下的顺利航行．
图1－5－1
【归纳总结】利用二次函数解决拱桥类问题的“五步骤”：
(1)恰当地建立平面直角坐标系；
(2)将已知条件转化为点的坐标；
(3)合理地设出所求函数表达式；
(4)代入已知条件或点的坐标求出函数表达式；
(5)利用函数表达式解决问题．
目标二能利用二次函数解决几何图形的面积问题
例2 高频考题如图1－5－2，把一张长15 cm、宽12 cm的矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．设剪去的小正方形的边长为x cm.
(1)请用含x的代数式表示长方体盒子的底面积．
(2)当剪去的小正方形的边长为多少时，其底面积是130 cm2?
(3)试判断折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值，若有，请求出最大值和此时剪去的小正方形的边长；若没有，请说明理由．
图1－5－2
【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤：
(1)分析题中的变量与常量；
(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型；
(3)结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值．
目标三能利用二次函数最大(小)值解决实际问题中的最值问题
例3 教材例题针对训练2017·济宁某商店销售一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．经市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元/个)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数表达式．
(2)这种双肩包的销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元/个，若该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，则销售单价应定为多少？
【归纳总结】利用二次函数求最值的“三注意”：
(1)要把实际问题正确地转化为二次函数问题；
(2)列函数表达式时要注意自变量的取值范围；
(3)若图象不包括抛物线的顶点，则应根据函数的增减性来确定最值．。