运动学模型一

1、追及、相遇模型（易错点刹车，双向可逆问题）

例1 火车甲正以速度v1向前行驶，司机突然发现前方距甲d 处有火车乙正以较小速度v2同向匀速行驶，于是他立即刹车，使火车做匀减速运动。为了使两车不相撞，加速度a 应满足什么条件？

例2 A 、B 两球，A 从距地面高度为h 处自由下落，同时将B 球从地面以初速v 0竖直上抛，两球沿同一竖直线运动.试求以下两种情况下，B 球初速度v 0的取值范围：

①B 球在上升过程中与A 球相遇；

②B 球在下落过程中与A 球相遇.

（变形1）一观察者发现，每隔一定时间有一个水滴自8 m 高处的屋檐落下，而且看到第五

滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，那么这时第二滴水离地的高度是

( )

A ．2 m

B ．2．5 m

C ．2．9 m

D ．3．5 m

（变形2）一杂技演员单手抛球接球，他每隔0.4s 抛出一个球，接到便立即抛出，已知除抛接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动近视看作是竖直方向的运动，不计空气阻力，则球到达的最大高度是（高度从球抛出点算起）（ ）

A ．2.6m

B ．2.4 m

C ．3.2m

D ．4m

2、等时圆模型（如图所示）

一、 等时

规律：

1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a ）

2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b ）

3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 g R g R g d t 2420=== （式中R 为圆的半径。）

等时性的证明

设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为

图a 图b

g d g d a s t 2sin sin 220===αα

即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

应用等时圆模型解典型例题

1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从

点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些

小物体所在位置所构成的面是（ ）

A.球面

B.抛物面

C.水平面

D.无法确定

例1：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆

顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。求小环从A

滑到B 的时间。

解：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。根据“等时圆”的

规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有g L g L g d t t AD AB 242===

= 2如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶

流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和

解：在屋顶宽度（2L ）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨

水流下的最短时间是多少？

3如图5所示，在倾角为α的传送带的正上方，有一发货口A 。为了使货物从静止开始，由A 点沿光滑斜槽以最短的时间到达传送带，则斜槽与竖直方向的夹角β应为多少？

任务

3、曲线运动（小船过河，关联速度问题） ，圆周运动临界问题分析方法（火车转弯，拱形桥，轻杆轻绳模型，圆锥摆模型），

恒定功率启动

4、开普勒行星运动规律（双星和多星模型）（等效思维运用） 图1 A O A B L L

D

图2 图3

图5