曲线的切线与导数关系问题之一招毙命
3.1导数的概念(一)―曲线的切线概要
3. 1导数的概念(一—曲线的切线一、切线的定义圆与圆锥曲线的切线定义 :与曲线只有一个公共点并且位于曲 1.曲线的切线如图, 设曲线 c 是函数 ( y f x =的图象, 点 00(, P x y 是曲线 c PQ 当点 Q 沿着曲线 c 无限地趋近于点 P ,割线 PQ 无限地趋近于某一极限位置 PT ,叫做曲线 c 在点 P 处的2. 确定曲线 c 在点 00(, P x y 处的切线斜率的方法:因为曲线 c 是给定的, 根据解析几何中直线的点斜是方程的知识, 只要求出切线的斜率 PQ 的倾斜角为β, 切线 PT 的倾斜角为α, 既然割线 PQ 的极限位置上的直线 PT 是切线,所以割线 PQ 斜率的极限就是切线 PQ 的斜率tan α, 即tan α=0lim→∆x =∆∆x y0lim →∆x 我们可以从运动的角度来得到切线, 所以可以用极限来定义切线, 以及切线的斜率 . 那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线, 也可以求出它在某一点处的切线了 . 三、讲解范例:例 1曲线的方程为 y =x 2+1,那么求此曲线在点 P (1, 2 处的切线的斜率,以及切线的方程 .解:k =xx f x x f x ∆-∆+→∆( (lim0002200(1 (1(1 1(11 lim lim x x f x f x x x ∆→∆→+∆-+∆+-+==∆∆ 200( 2lim lim(2 2x x x x x x∆→∆→∆+∆==∆+=∆∴切线的斜率为 2.切线的方程为 y -2=2(x -1 ,即 y =2x .例 2求曲线 f (x =x 3+2x +1在点 (1, 4 处的切线方程 . 解 :k =xf x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆1( 1(lim( (lim0000330(1 2(1 1(1211lim x x x x ∆→+∆++∆+-+⋅+=∆ 23053( ( lim x x x x x ∆→∆+∆+∆=∆2lim[53( ]5x x x ∆→=+∆+∆=∴切线的方程为 y -4=5(x -1 , 即 y =5x -1 例 3求曲线 f (x =31x 3-x 2+5在 x =1处的切线的倾斜角 . 分析:要求切线的倾斜角,也要先求切线的斜率,再根据斜率 k =tanα,求出倾斜角α.解:∵ tan α=xf x f x x f x x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆1( 1(lim ( (lim 000032011(1 (1 5(15lim x x x x∆→+∆-+∆+--+=∆ 301( lim x x x x∆→∆-∆=∆201lim[( 1]13x x ∆→=∆-=- ∵ α∈[0, π,∴ α=43π.∴切线的倾斜角为43π. 例 4求曲线 y =sinx 在点 (21, 6π 处的切线方程 . 解:k =xx x f x f x x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆sin sin(lim ( (lim 00ππππ011cos lim x x x x ∆→∆+∆-=∆001cos 1sin lim lim 2x x x x x x∆→∆→∆-∆=∆∆22sin 1lim 2x xx ∆→∆-=∆202sin 1lim( 22( 2x x x x ∆→∆∆=⋅-+∆110222=⋅⋅+=∴切线方程是 6(2321π-=-x y , 即 2112323+-=πx y 例 5 y =x 3在点 P 处的切线斜率为 3,求点 P 的坐标 .解:设点 P 的坐标 (x 0, x 03∴斜率 3=xx f x x f x ∆-∆+→∆ ( (lim 00033000( lim x x x x x ∆→+∆-=∆ 22300033( ( limx x x x x x x∆→∆+∆+∆=∆2220000lim[33( ]3x x x x x x ∆→=+∆+∆= ∴ 3x 02=3, x 0=±1∴ P 点的坐标是 (1, 1 或 (-1,-1 三、练习 :1.已知曲线 y =2x 2上一点 A (1, 2 求: (1点 A 处的切线的斜率 . (2点 A 处的切线方程 .2. 求曲线 y =x 2+1在点 P (-2, 5 处的切线方程 .3 求下列曲线在指定点处的切线斜率 .(1y=-3x +2, x (2 y =11+x , x =0处.答案:1.解:(1k =xx x f x f x x ∆⋅-∆+=∆-∆+→∆→∆220012 1(2lim1( 1(lim 4 24(lim (24lim 020=∆+=∆∆+∆=→∆→∆x xx x x x ∴点 A 处的切线的斜率为 4.2. 解:k =xx x f x f x x ∆---+∆+-=∆--∆+-→∆→∆1 2(1 2(lim 2( 2(lim 2200 4 4(lim (4lim 020-=∆+-=∆∆+∆-=→∆→∆x xx x x x ∴切线方程是 y -5=-4(x +2,即 y =-4x -3.3. 解:(1k=-12, (2 k=。
高中数学曲线的切线与法线解题技巧
高中数学曲线的切线与法线解题技巧在高中数学中，曲线的切线与法线是一个重要的考点，也是学生们容易出错的地方。
本文将通过具体的题目举例，结合解题技巧，帮助学生和家长更好地理解和掌握曲线的切线与法线的概念和解题方法。
一、切线的定义与求解切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。
切线的斜率等于曲线在该点处的导数。
举例说明：已知曲线y = 2x^2 + 3x - 1，求曲线在点(2, 11)处的切线方程。
解题思路：1. 求曲线在点(2, 11)处的导数。
曲线的导数可以通过对原函数求导得到，对y = 2x^2 + 3x - 1求导，得到y' = 4x + 3。
2. 计算曲线在点(2, 11)处的斜率。
将x = 2代入导数公式y' = 4x + 3，得到斜率m = 4*2 + 3 = 11。
3. 利用点斜式求切线方程。
已知切点坐标为(2, 11)，斜率为11，代入点斜式y - y1 = m(x - x1)，得到切线方程y - 11 = 11(x - 2)。
通过以上步骤，我们求得曲线在点(2, 11)处的切线方程为y - 11 = 11(x - 2)。
二、法线的定义与求解法线是垂直于切线的直线，其斜率与切线的斜率互为相反数。
举例说明：已知曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x，求曲线在点(1, 2)处的法线方程。
解题思路：1. 求曲线在点(1, 2)处的斜率。
同样地，我们先求曲线在点(1, 2)处的导数。
对y = x^3 - 2x^2 + 3x求导，得到y' = 3x^2 - 4x + 3。
2. 计算曲线在点(1, 2)处的斜率。
将x = 1代入导数公式y' = 3x^2 - 4x + 3，得到斜率m = 3*1^2 - 4*1 + 3 = 2。
3. 计算法线的斜率。
法线的斜率与切线的斜率互为相反数，因此法线的斜率为-1/2。
4. 利用点斜式求法线方程。
已知切点坐标为(1, 2)，斜率为-1/2，代入点斜式y - y1 = m(x - x1)，得到法线方程y - 2 = -1/2(x - 1)。
高一数学导数与曲线的切线与法线
高一数学导数与曲线的切线与法线导数是微积分中的一个重要概念，它反映了函数在某一点的变化率。
在数学中，导数的应用领域非常广泛，其中之一就是用导数来求曲线的切线与法线。
本文将介绍高一数学导数与曲线的切线与法线的概念及计算方法。
一、导数的概念导数是函数在某一点的变化率，用极限表示。
若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率。
二、切线的概念在曲线上取一点P，过点P且与曲线仅有一个公共点的直线，称为切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
三、法线的概念在曲线上取一点P，过点P且与切线垂直的直线，称为法线。
法线的斜率等于切线的斜率的相反数。
四、求曲线的切线与法线的步骤1. 确定曲线上一点的坐标，记为（a，f(a)）。
2. 求出函数f(x)在点x=a处的导数，记为f'(a)。
3. 利用导数f'(a)求出切线的斜率k。
4. 根据切线的斜率k和已知点（a，f(a)）求出切线的方程。
5. 切线的方程即为所求。
五、示例假设有函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，我们来求曲线y = f(x)在点x = 2处的切线和法线。
解：1. 确定曲线上一点的坐标，此处是x = 2，代入函数f(x)得到y = f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15。
2. 求导数f'(x) = 4x + 3，将x = 2代入得到f'(2) = 4(2) + 3 = 11。
3. 切线的斜率k = f'(2) = 11。
4. 根据切线的斜率k和已知点（2，15）求出切线的方程。
切线方程为y - 15 = 11(x - 2)。
5. 同理，法线的斜率为切线斜率的相反数，即-1/11。
过点（2，15）的法线方程为y - 15 = (-1/11)(x - 2)。
六、结论通过求导数，我们可以求出曲线上任意一点处的切线与法线。
导数的应用曲线的切线与法线
导数的应用曲线的切线与法线导数是微积分中一个重要的概念，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
本文将重点讨论导数的应用之一——曲线的切线与法线。
一、切线的定义与性质在数学中，对于曲线上的任意一点，我们可以通过求导数来确定该点处的切线。
切线是曲线在该点附近与曲线最为接近的一条直线。
切线的性质如下：1. 切线与曲线在相交点处有相同的斜率；2. 切线与曲线在相交点处有相同的切点。
这意味着，通过求导可以得到曲线在某一点处的斜率，从而确定该点处的切线方程。
二、切线的求解方法求解曲线的切线可以遵循以下步骤：1. 确定曲线上的一点，设其坐标为(x0, y0)；2. 求解该点处的导数，即求解曲线的导函数，记为f'(x)；3. 将点(x0, y0)代入导数f'(x)中，得到导数在该点的值，即斜率k；4. 利用点斜式或一般式等形式构建切线方程。
f'(x) = 2x，然后将点(2, 4)代入导数中，得到斜率k = 2*2 = 4。
最后，可以利用点斜式得到切线方程y - 4 = 4(x - 2)，进一步化简为y = 4x - 4。
三、法线的定义与性质与切线相应的是法线，它在曲线上的某一点处与切线垂直。
法线的斜率是切线斜率的相反数。
法线的性质如下：1. 法线与曲线在相交点处垂直；2. 法线与切线在相交点处的斜率乘积等于-1。
因此，通过求解切线斜率的相反数，可以确定曲线在某一点处的法线方程。
四、法线的求解方法计算曲线的法线可以按照以下步骤进行：1. 找到曲线上的一点，坐标为(x0, y0)；2. 求曲线在该点处的导数，记为f'(x)；3. 计算导数在该点的斜率，即切线的斜率k = f'(x0)；4. 计算法线的斜率，即切线斜率的相反数，记为k' = -(1/k)；5. 代入点斜式或一般式等形式，构建法线方程。
f'(x) = 2x，然后将点(2, 4)代入导数中，得到切线斜率k = 4。
导函数与切线方程的关系
导函数与切线方程的关系《导函数与切线方程的关系》导函数与切线方程之间的关系非常重要，因为它们为函数的局部特性提供了一种很好的描述方式。
一般而言，导数可以用于描述函数的局部特性，而切线方程可以用来描述函数的切线情况。
当函数的局部特性发生变化时，切线时刻也会随之变化，这就是导函数和切线方程之间的联系。
定义：导函数（Derivative Function）：导函数是描述局部特性的一种函数形式，它指的是函数在某一点处的梯度值。
即任意函数f(x)在点x处的导函数为f'(x)，则f'(x)代表函数f(x)在点x处的梯度，即斜率：f'(x)=lim Δx→0 [f(x+Δx)-f(x)]/Δx.切线方程（Tangent Line Equation）：切线方程是描述切线情况的一种函数形式，它指的是函数在某一点处的切线方程式，即任意函数f(x)在点x处的切线方程为：y-f(x)=f'(x)(x-x0)，其中f'(x)为函数f(x)在点x处的导函数，x0为切线与x轴的交点坐标。
关系：从上述定义中可以看出，导函数和切线方程是有着密切关系的。
导函数可以用来求函数的切线方程，即任意函数f(x)在点x处的切线方程为：y-f(x)=f'(x)(x-x0)，其中f'(x)即是函数f(x)在点x处的导函数，可以以此来求取相应的切线方程。
反过来，从切线方程可以得到对应的导函数。
例如，若f(x)=x2+1，则f'(x)=2x，切线方程为：y-x2-1=2x(x-x0)，可以从此切线方程得出导函数f'(x)=2x。
从上述可以看出，导函数与切线方程之间存在着密切的关系，可以互相推导出对方。
因此，在分析函数的特性时，我们可以结合使用导函数和切线方程，以更好地描述函数的局部特性。
导数之切线题型归纳总结教师版
切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）； （5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值； （2）判断位置关系 （3）讨论方程的根的情况 （一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+． 总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程． 变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程． 【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-， 解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =， 所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21）） 已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1： 设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2： 已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C． 【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题 题型一：公切点 例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ， 联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=， 设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点， 则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。
参数方程的导数与曲线的切线
参数方程的导数与曲线的切线参数方程是描述曲线的一种方式，通常用一个参数来表示曲线上的点的坐标。
在求解参数方程的导数时，我们可以得到曲线上各点斜率的表达式，进而求出曲线上某一点的切线方程。
本文将探讨参数方程的导数与曲线的切线之间的关系。
一、参数方程的导数对于参数方程 x=f(t)、y=g(t)，其中 t 为参数，f(t) 和 g(t) 分别表示曲线在 x 和 y 方向上的坐标。
我们可以通过求 f(t) 和 g(t) 的导数，得到参数方程的导数 dx/dt 和 dy/dt。
具体来说，参数方程 x=f(t) 的导数 dx/dt 表示了曲线在 x 方向上的单位长度变化率，而参数方程 y=g(t) 的导数 dy/dt 表示了曲线在 y 方向上的单位长度变化率。
二、曲线的切线方程曲线的切线是与曲线仅在一个点相切的直线。
对于参数方程x=f(t)、y=g(t) 所表示的曲线，我们可以利用参数方程的导数求解曲线上任意一点的切线方程。
在某一参数值 t0 处，曲线上的点坐标为 (x0, y0)，而曲线在该点的切线的斜率为 dy/dx。
根据导数的定义可知 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
因此，在已知参数方程及其导数的情况下，我们可以求解曲线上任意一点的切线斜率，并利用该斜率和该点的坐标来得到切线方程。
三、参数方程导数与曲线切线的应用参数方程的导数与曲线的切线有着广泛的应用。
其中一些应用包括：1. 曲线的切线近似替代：由于参数方程的导数表示曲线在 x 和 y 方向上的单位长度变化率，我们可以使用曲线上某一点的切线方程来近似代替曲线本身的计算，从而简化问题的复杂度。
2. 曲线的切线求解：通过参数方程导数和切线斜率的计算，我们可以得到曲线上任意一点的切线方程。
这对于研究曲线的特性和性质非常有帮助。
3. 曲线的切线绘制：通过求解切线方程，我们可以绘制出曲线上某一点处的切线。
这有助于我们更好地理解和可视化曲线的形状和变化。
利用导数的几何意义求曲线的切线方程题
「利用导数的几何意义求曲线的切线方程」是一道经典问题，涉及到微积分中的导数概念和几何意义。
在这篇文章中，我将深入探讨这个主题，先从导数的概念和几何意义入手，然后逐步引出利用导数求曲线的切线方程的方法，最后共享一些个人观点和理解。
1. 导数的概念和几何意义在微积分中，导数代表了一个函数在某一点的变化率。
它可以通过极限的概念来定义，也可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率。
这个概念在几何上有非常直观的意义，可以帮助我们理解函数图像在不同点的变化趋势。
2. 函数图像的切线函数图像的切线是指曲线在某一点处的线性逼近。
利用导数的几何意义，我们可以求得函数图像在某一点的切线的斜率，进而得到切线方程。
这个过程对于理解函数图像的局部特性非常重要，也是微积分中的一个重要应用场景。
3. 利用导数求曲线的切线方程要利用导数求曲线的切线方程，可以按照以下步骤进行：- 首先求得函数在某一点的导数，得到切线的斜率；- 然后利用给定点和切线斜率，可以得到切线的方程；- 最后对切线方程进行求解，得到切线的具体表达式。
4. 个人观点和理解对于导数的几何意义和求曲线的切线方程这个问题，我个人认为这不仅是数学知识的应用，更是一种对函数图像变化趋势的深刻理解。
通过求解切线方程，我们可以更加直观地理解函数图像在某一点的局部特性，这对于理解微积分的核心思想有非常重要的意义。
总结回顾通过本文的讨论，我们深入探讨了利用导数的几何意义求曲线的切线方程这一经典问题。
首先从导数的概念和几何意义入手，然后引出了求解切线方程的方法。
最后共享了个人观点和理解，强调了这个问题在微积分学习中的重要性。
结论在数学学习过程中，掌握利用导数的几何意义求曲线的切线方程这一方法，不仅有助于提高数学解题能力，更重要的是培养了对函数变化趋势的直观理解。
希望通过本文的讨论，读者能对这一问题有更深刻、全面和灵活的理解。
导数在微积分中扮演着非常重要的角色，它代表了函数在某一点的变化率。
高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解11---导数起源于切线曲切联系需熟练
（3）已知切线上一点(非切点)，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，利用 导数求得切线斜率 f ′(x0)，再由斜率公式 求得切线斜率，列方程(组)解得 x0， 最后由点斜式或两点式写出方程． （4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂 直关系确定切线的斜率，再由 k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方 程． （5）①在点 P 处的切线即是以 P 为切点的切线，P 一定在曲线上． ②过点 P 的切线即切线过点 P，P 不一定是切点．因此在求过点 P 的切线方程时， 应首先检验点 P 是否在已知 曲线上．
高考数学压轴题归纳总结及解题方法专题讲解
专题 11---导数起源于切线 曲切联系需熟练
【题型综述】
导数的几何意义：
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数 f ′(x0 ) 就是曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0 )) 处的切线的斜
率 k ，即 k
=
f
′( x0
)
=
lim
求曲线 y=f (x )的切线方程的类型及方法 （1）已知切点 P(x0, y0)，求 y=f (x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f ′(x0)， 由点斜式写出方程； （2）已知切线的斜率为 k，求 y=f (x)的切线方程：设切点 P(x0, y0)，通过方程 k=f ′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程；
第一步：设出切点坐标 P′(x1，f (x1))；
第二步：写出过 P′(x1，f (x1))的切线方程为 y−f (x1)=f ′ (x1)(x−x1)； 第三步：将点 P 的坐标(x0，y0)代入切线方程求出 x1；
曲线的切线与导数关系
曲线的切线与导数关系作者：刘春生来源：《世纪之星·交流版》2015年第04期摘要：如果存在，曲线在点存在切线，这是大家都知道的常识，但是很多教材和辅导书上都没有讨论如果不存在，是否曲线在点不存在切线。
本文主要就是讨论了该种情况。
关键词：邻域；切线；连续导数曲线的切线是反映切点处曲线局部特征的重要直线，但是在教学中发现，很多大学生受到高中阶段切线概念的影响，对曲线的切线概念的理解存在偏差，另一方面，一般的辅导书和教材对曲线在可导点处的切线都有介绍，但对于在不可导点处的切线的存在性，基本没有讨论，因此在讨论曲线的时候往往容易发生遗漏，或者在理解上有误区。
本文就切线的定义，切线的存在性进行了完整讨论，以帮助大学生更加深刻理解切线与导数的关系。
一、切线的定义给定曲线，点为曲线上的两点，称为曲线的割线，当沿曲线趋于点M时，割线的极限位置称为曲线在点处的切线。
由该定义可以看出来，曲线在点处的切线只与该点处的领域内的形态有关。
高中阶段所学的关于圆的切线只是该定义的一种特殊情况。
但是关于圆的切线结论并不适合一般曲线。
比如，直线与圆的切线相切的充要条件是直线与圆的交点只有一个，这个结论就不适合一般曲线，事实上，曲线与直线虽然只有一个交点，但直线并不是曲线的切线；而曲线与直线虽然有无穷多个交点，但是直线却是曲线的切线。
二、切线的存在性根据导数的定义可得到以下结论结论一：设在的邻域内有定义，若存在，则曲线在点处有切线，而且切线的斜率。
切线方程为特别地：若，则曲线在点处有水平切线例（1）在点处导数，故在处切线方程为，即：结论二：设在的邻域内连续，若不存在，但且，则曲线在点处有垂直切线。
例（2）曲线在的邻域内连续，在处的导数不存在，但故在点处有切线结论三：设在的邻域内连续，若不存在，但与不同时成立，则曲线在点处无切线。
例（3）1.曲线在的邻域内连续，在处的导数不存在，而且故在点处无切线2.曲线在的邻域内连续，在处的导数不存在，而且故在点处无切线结论四：设在（或者）上连续，若（或者）存在，则曲线在点处有切线，而且切线的斜率（或者。
切线和导数的关系
切线和导数的关系
切线和导数的关系是微积分中一个重要的概念。
切线是曲线上某一点处与曲线切于一点的直线，而导数则是描述曲线在某一点的变化率。
在数学中，如果曲线在某一点的导数存在，那么这条曲线在该点处必然存在切线。
具体地说，如果函数f(x)在点x=a处可导，那么
曲线y=f(x)在点(x=a, y=f(a))处必然存在切线。
切线的斜率等于函数在该点的导数值。
也就是说，如果函数f(x)在点x=a处可导，那么切线的斜率就等于f'(a)。
利用这个关系，我们可以求得曲线在任意一点的切线斜率，并进一步得到这条切线的方程。
切线和导数的关系可以帮助我们更好地理解曲线在某一点的性质。
通过研究导数的正负和零点，我们可以确定曲线在某一点的上升或下降趋势，以及曲线是否有极大值或极小值。
通过深入研究导数的性质，我们还可以了解曲线的凹凸性、拐点等更加详细的信息。
另外，通过切线和导数的关系，我们还可以解决一些实际问题。
例如，当我们需要求解曲线上某一点的切线方程时，我们可以利用导数来求得切线的斜率，并通过该点的坐标和斜率来确定切线的方程。
这在物理学、工程学等应用中非常常见。
总之，切线和导数的关系是微积分中一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们更好地理解曲线的性质，还可以应用于解决实际问题。
对于学习微积分的人来说，掌握切线和导数的关系是非常必要的。
高考数学高分必做专题分享——导数-曲线的切线题型汇总一
高考数学高分必做专题分享——导数-曲线的切线题型汇总一
曲线的切线问题，常考两种题型：
1、求曲线的切线方程；
2、求参数的值；
用到的知识点包括：
1、导数的几何意义：曲线在切点处的导数等于切线的斜率；
2、注意：“切点既在曲线上，又在切线上”的应用。
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曲线的切线与导数关系问题之一招毙命
曲线的切线与导数关系问题之一招毙命学习目标：掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率，以及由此延伸的切线问题。
高考地位：常以选择题填空题的形式出现，或者出现在解答题的第一问，难度不大，但有时比较绕，属于必会题。
(个别题目要学会向切线方面考虑）知识准备：1、求导公式和导数的运算法则：2、点斜式直线方程：3、直线位置关系的判定 平行： 垂直：4、导数的几何意义：函数在某一点处导数就是图象在该点处的切线的斜率即 解题绝招：一点三等式一点：切点 有则直接用，无则假设有三等式：切点即满足切线方程也满足曲线方程 切点处的导数就是切线方程的斜率典型例题：例1.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是221+=x y ,)1()1(/f f += . 3 例2.过P(-1,2)且与曲线2432+-=x x y 在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 y=2x+4曲线过点(0,0)的切线方程 x y 36±= 例3、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，求a 的的值(a=2)例4、已知函数)(ln )(,)(R a x a x g x x f ∈==，它们有交点且交点处有相同的切线，求a 的值及交点处的切线方程 (02,22=+-=e ey x e a )例5、点P 是曲线x x y ln 2-=上任一点，则点P 到直线2-=x y 的距离的最小值是 。
2 总结：基础训练：1、曲线b x y x x y +==2ln 与相切与点p ，则p 点坐标为 .(e,e)2、若曲线),0(2b b ax x y 在++=处的切线是x-y+1=0,则a= b= (1、1）3、若曲线4x y =的一条切线l 与084=-+y x 垂直,则l 的方程为4.曲线x e y 21=在),4(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .5、已知直线y=kx 与y=lnx 有公共点,则k 的最大值为 .e 1 6、曲线x x x y +-=232在21p p 处的切线斜率都为1，则21p p 在x 轴上得摄影长为7、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意21122121)()(),(,x x x f x f x x x x -<-≠恒成立的是（ ）. A xx f 1)(= B x x f =)( C x x f 2)(= D 2)(x x f = 8．设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.9.设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡π∈θ650，， 则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）A ． []63，B ．[]343+，C ．[]634，-D ． []3434+-， 10、若存在过点（1,0）的直线与曲线9415,23-+==x ax y x y 都相切，求a 值(1,23.6425,000-=-=-==a x a x )11、设,),()(,)()(),()(,sin )(/1/12/010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ 则=)(2009x f ( )cA sinxB –sinxC cosxD -cosx。
利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解
利用导数求曲线的切线和公切线一.求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1.(1)求在点P（1,0）处的切线l1的方程；(2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二.有关切线的条数【例2】．（2014•北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣或x=，∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1，∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y），则y0=2﹣3x，且切线斜率为k=6﹣3，∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x），∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1），∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1，∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．【例3】．已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e f（x）+g（x）＞0；（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）﹣g（x），过点（1，﹣1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．【解答】解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e ln3x+＞0；等价于，解得x，故解集为（Ⅱ）∵对x≥1恒成立，所以，令，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，故a的取值范围为：[1，+∞）（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x，），∴切线方程：y+1=，将点T坐标代入得：即，①设g（x）=，则∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，故g（x）极大=g（1）=1＞0，故g（x）极，小=g（2）=ln2+＞0，．又g（）=+12﹣6﹣1=﹣ln4﹣3＜0，由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（，1）内有且仅有一根，方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．【作业1】．（2017•莆田一模）已知函数f （x ）=2x 3﹣3x+1，g （x ）=kx+1﹣lnx ． （1）设函数，当k ＜0时，讨论h （x ）零点的个数；三.切线与切线之间的关系 【例4】．（2018•绵阳模拟）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax+bcosx+csinx 的图象都相切，则a+c的取值范围是 .23a b c ++=则23b c +，∵b 2+c 2=1，∴sin ,cos b a ββ==设，∴235sin()b c βϕ+=+，故a+c ∈[﹣，]，【例5】.已知函数f （x ）=lnx ﹣a （x ﹣1），g （x ）=e x ，其中e 为自然对数的底数． （Ⅰ）设，求函数t （x ）在[m ，m+1]（m ＞0）上的最小值；（Ⅱ）过原点分别作曲线y=f （x ）与y=g （x ）的切线l 1，l 2，已知两切线的斜率互为倒数，求证：a=0或．【解答】（Ⅰ）解：，令t'（x）＞0得x＞1，令t'（x）＜0得x＜1，所以，函数t（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，∴当m≥1时，t（x）在[m，m+1]（m＞0）上是增函数，∴当0＜m＜1时，函数t（x）在[m，1]上是减函数，在[1，m+1]上是增函数，∴t（x）min=t（1）=e．（Ⅱ）设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，∴x2=1，y2=e∴k2=e．由题意知，切线l1的斜率，∴切线l1的方程为，设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），∴，∴，，又y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1，a后整理得，令，则，∴m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，若x1∈（0，1），∵，，∴，而，在单调递减，∴．若x1∈（1，+∞），∵m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，∴x1=e，∴综上，a=0或．【作业2】．（2017•黄山二模）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x+f'（0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若g（x）=e﹣x f（x）+lnx，h（x）=e x，过O（0，0）分别作曲线y=g（x）与y=h（x）的切线l1，l2，且l1与l2关于x轴对称，求证：﹣＜a ＜﹣．四．求公切线的方程【例6】．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x ）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x）=3e，f′（x）=g'（x）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．【作业3】．已知函数f （x）=lnx，g（x）=2﹣（x＞0）（1）试判断当f（x）与g（x）的大小关系；（2）试判断曲线 y=f（x）和 y=g（x）是否存在公切线，若存在，求出公切线方程，若不存在，说明理由；（3）试比较（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）与 e4021的大小，并写出判断过程．五.与公切线有关的参数取值范围问题【例7】．已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（Ⅰ）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（Ⅱ）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；（Ⅲ）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=，g'（x）=2ax﹣1．∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得a=b=1．（Ⅱ）设P（x0，y），则由题设有lnx=ax2﹣x…①，又在点P有共同的切线，∴f′（x0）=g′（x），∴，∴a=，代入①得lnx0=x，设h（x）=lnx ﹣+x，则h′（x）=+（x＞0），则h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．（Ⅲ）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′（x）=，f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y﹣lnt=（x﹣t），即y=x+lnx﹣1．与y=ax2﹣x，联立得ax2﹣（1+）x﹣lnt+1=0．∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程△=+4a（lnt﹣1）=0，即=4a（1﹣lnt）（*）总有解．若t＞e，则1﹣lnt＜0，而＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，从而，方程（*）可化为4a=．令H（t）=（0＜t＜e），则H′（t）=．∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，∴要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1．∴正实数a的最小值为1．【例8】．（2017•韶关模拟）.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②：=2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，当b=时，G（b）最大=G（）=e+﹣＜0，∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b ＜，综上所述，b 的取值范围（，）．【作业4】．已知函数f（x）=a（x ﹣）﹣blnx（a，b∈R），g（x）=x2．（1）若a=1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴垂直，求b的值；（2）若b=2，试探究函数f（x）与g（x）在其公共点处是否有公切线，若存在，研究a的个数；若不存在，请说明理由．六．公切线的条数问题【例9】．已知函数f（x）=lnx，g（x）=e x．（1）确定方程f（x）=实数根的个数；（2）我们把与两条曲线都相切的直线叫作这两条曲线的公切线，试确定曲线y=f （x），y=g（x）公切线的条数，并证明你的结论．【解答】解：（1）由题意得lnx==1+，即lnx﹣1=．分别作出y=lnx﹣1和y=的函数图象，由图象可知：y=lnx﹣1和y=的函数图象有两个交点，∴方程f（x）=有两个实根；（2）解：曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2，证明如下：设公切线与f（x）=lnx，g（x）=e x的切点分别为（m，lnm），（n，e n），m≠n，∵f′（x）=，g′（x）=e x，∴，化简得（m﹣1）lnm=m+1，当m=1时，（m﹣1）lnm=m+1不成立；当m≠1时，（m﹣1）lnm=m+1化为lnm=，由（1）可知，方程lnm=有两个实根，∴曲线y=f（x），y=g（x）公切线的条数是2条．【作业5】．已知函数f（x）=x2+2（1﹣a）x﹣4a，g（x）=﹣（a+1）2，则f （x）和g（x）图象的公切线条数的可能值是．【作业1解答】解：（1）f′（x）=（2x+1）（x﹣1）2=0，x=﹣或1，∴x=﹣是h（x）的零点；∵g′（x）=k﹣，k＜0，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）的最大值为g（1）=k+1．k＜﹣1，g（1）＜0，g（x）在[1，+∞）上无零点；k=﹣1，g（1）=0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；﹣1＜k＜0，g（1）＞0，g（e1﹣k）=ke1﹣k+k＜0，g（x）在[1，+∞）上有1个零点；综上所述，k＜﹣1时，h（x）有1个零点；﹣1≤k＜0时，h（x）有两个零点；（2）设切点（t，f（t）），f′（x）=6x2﹣6x，∴切线斜率f′（t）=6t2﹣6t，∴切线方程为y﹣f（t）=（6t2﹣6t）（x﹣t），∵切线过P（a，﹣4），∴﹣4﹣f（t）=（6t2﹣6t）（a﹣t），∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①由题意，方程①有3个不同的解．令H（t）=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′（t）=12t2﹣6t﹣12at+6a=0．t=或a．a=时，H′（t）≥0，H（t）在定义域内单调递增，H（t）不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意；a时，在（﹣），（a，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（，a）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（），极小值为H （a）；a时，在（﹣∞，a），（，+∞）上，H′（t）＞0，函数单调递增，在（a，）上，H′（t）＜0，函数单调递减，H（t）的极大值为H（a），极小值为H （）；要使方程①有三个不同解，则H（）H（a）＜0，即（2a﹣7）（a+1）（2a2﹣5a+5）＞0，∴a＞或a＜﹣1．【作业2解答】解：由已知得f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x，f'（0）=0，所以f （x）=（ax2+x﹣1）e x．（1）f'（x）=[ax2+（2a+1）x]e x=[x（ax+2a+1）]e x．①若a＞0，当或x＞0时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．②若a=0，f（x）=（x﹣1）e x，f'（x）=xe x，当x＞0时，f'（x）＞0；当x＜0时，f'（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．③若，当或x＜0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．④若，故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）．⑤若，当或x＞0时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a＞0时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当a=0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；单调递减区间为（﹣∞，0）．，当时，f（x）的单调递增区间为；单调递减区间为．当时，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）；当时，f（x）单调递增区间为；单调递减区间为，（0，+∞）；（2）证明：g（x）=e﹣x f（x）+lnx=﹣e﹣x（ax2+x﹣1）e x+lnx=ax2+x﹣1+lnx，设l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，所以x2=1，y2=e，k2=e．由题意知k1=﹣k2=﹣e，所以l1的方程为y=﹣ex，设l1与y=g（x）的切点为（x1，y1），则．又，即，令，在定义域上，u'（x）＞0，所以（0，+∞）上，u（x）是单调递增函数，又，所以，即，令，则，所以，故．【作业3解答】解：（1）证明：设F（x）=f（x）﹣g（x），则F′（x）=﹣，由F'（x）=0，得x=3，当0＜x＜3时，F'（x）＜0，当x＞3时F'（x）＞0，可得F（x）在区间（0，3）单调递减，在区间（3，+∞）单调递增，所以F（x）取得最小值为F（3）=ln3﹣1＞0，∴F（x）＞0，即f（x）＞g（x）；（2）假设曲线f（x）与g（x）有公切线，切点分别为P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）．因为f′（x）=，g′（x）=，所以分别以P（x0，lnx）和Q（x1，2﹣）为切线的切线方程为y=+lnx﹣1，y=+2﹣．令，即2lnx1+﹣（3+ln3）=0．令h（x）=2lnx1+﹣（3+ln3）．所以由h′（x）=﹣=0，得x1=3．显然，当0＜x1＜3时，h'（x）＜0，当x1＞3时，h'（x）＞0，所以h（x）min=ln3﹣1＞0，所以方程2lnx1+﹣（3+ln3）=0无解，故二者没有公切线．所以曲线y=f（x）和y=g（x）不存在公切线；（3）（1+1×2）（1+2×3）•…•（1+2012×2013）＞e4021．理由：由（1）可得lnx＞2﹣（x＞0），可令x=1+n（n+1），可得ln（1+n（n+1））＞2﹣＞2﹣=2﹣3（﹣），则ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+2012×2013）＞2×2012﹣3（1﹣+﹣+…+﹣）=4024﹣3+＞4021．即有（1+1×2）（1+2×3）…（1+2012×2013）＞e4021．【作业4解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x﹣﹣blnx，∴f′（x）=1+﹣，由于曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1）=0，即1+1﹣b=0，∴b=2；（2）假设f（x），g（x）的图象在其公共点（x0，y）处存在公切线，由f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，得f′（x）=，g′（x）=2x，由f′（x0）=g′（x），得=2x，即2x3﹣ax2+2x﹣a=0，即（x02+1）（2x﹣a）=0，则x=，又函数的定义域为（0，+∞），当a≤0时，x0=≤0，则f（x），g（x）的图象在其公共点（x，y）处不存在公切线；当a＞0时，令f（）=g（），﹣2ln﹣2=，即=ln，令h（x）=﹣ln（x＞0），h′（x）=x﹣=，则h（x）在（0，2）递减，（2，+∞）递增．且h（2）=﹣＜0，且当x→0时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）在（0，+∞）有两个零点，∴方程=ln在（0，+∞）解的个数为2．综上：当a≤0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处不存在公切线；当a＞0时，函数f（x）与g（x）的图象在其公共点处存在公切线，a的值有2个．在导数的练习中，常见这一类题型：已知含有的一个不等式，以及的一些其他性质，让解不等式或者比较大小。
导数与曲线的切线方程 课件
（1）由题：f / (x) x2 ax b，则曲线在点
p(0, f (0)) 处的斜率为： k b
又曲线在点 p(0, f (0))处的切线方程为：y 1 故而 k 0 ，所以：b 0
又切点 p(0, f (0)) 既在曲线上又在切线上
所以有：f (0) 1
所以：c 1
y f (x) 在点 x 1 处的切线 l 不过第四象限
且斜率为3，又坐标原点到切线的距离为
10 10
若x 2时，y f (x)有极值.（1）求 a,b, c 的值
3
（2）求函数y f (x)在 3,1上的最大最小值；
(1)a 2,b 4,c 5
(2)
f
( x) m ax
二、典题演练
例：已知曲线 y 1 x3 4
33
（1）求曲线在点（2,4）处的切线方程； （2）求曲线过点（2,4）的切线方程；
(1) y 4x 4
(2) y 4x 4或y x 2
三、反思归纳
1、求切线方程的步骤：
判断点
点是切
求
点
导
的性质
（位置）
点不
求
是切
导
点
2、求解注意事项：
代点求 斜率
点斜式求 切线方程
设切点， 用斜率列式
求出 切点 坐标
点斜式 求切线 方程
切点位置 的判断
求导的 正确性
方程解的个数 与曲线切线条 数的关系
……
四、变式训练
1、已知直线 l1为曲线 y x 2 x 2 在点
（1,0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线 且l1 l2 ，求 l1，l2 的方程；
运用导数探究曲线的切线问题
运用导数探究曲线的切线问题曲线的切线反映了曲线的变化情况，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲。
因此，利用导数求解曲线的问题，几乎是新课程高考每年必考的内容。
在这类问题中，导数所肩负的任务是求切线的斜率，这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法，真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具。
【注意】（1）过某一点的切线，则该点不一定为切点；（2）直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点；（3）导数不存在，切线也不一定不存在，只能说切线的斜率不存在。
求曲线的切线方程有以下几种常见的类型：类型一：已知切点，求曲线在此处的切线方程类型二：求过某点的切线方程求过某点的切线时，无论此点是否在曲线上，都应先设切点，再求切点，即用待定切点法．类型三：两曲线的公切线问题【点睛】本题主要考查导数的几何意义、导数与函数的单调性以及函数的极值与最值，考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算，是难题.类型四：切线的应用在导数题目特别是在求参数取值范围时，往往作为邻界线使用。
【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法.【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题。
【点睛】本题主要考查函数极值的应用，利用数形结合以及参数分离法进行转化，求函数的导数研究函数的单调性极值，利用数形结合是解决本题的关键．。
切线和导数的关系
切线和导数的关系一、引言切线和导数是微积分中的两个重要概念，它们之间有着密不可分的关系。
本文将从定义、性质、计算等方面探讨切线和导数的关系。
二、切线的定义与性质1. 切线的定义在平面直角坐标系中，对于函数y=f(x)，若曲线上存在一点(x0,y0)，则过该点且斜率存在的直线称为函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线。
2. 切线的性质（1）切线与曲线相切于一点；（2）切线斜率等于曲线在该点处的导数；（3）曲线在该点处左侧和右侧各有一条切线。
三、导数的定义与性质1. 导数的定义函数y=f(x)在点x0处的导数定义为：f'(x0)=lim┬(Δx→0)〖(f(x_0+Δx)-f(x_0))/Δx〗2. 导数的性质（1）函数y=f(x)在某一点处可导，则该点处必连续；（2）函数y=f(x)可导，则其必定连续，但反之不成立；（3）若函数y=f(x)在某一区间内可导，则该函数在该区间内必定单调。
四、切线和导数的关系1. 切线斜率等于导数根据切线的定义，切线斜率等于曲线在该点处的导数。
因此，计算函数y=f(x)在点x0处的切线斜率时，只需求出f'(x0)即可。
2. 利用导数求切线方程（1）已知函数y=f(x)在点(x0,y0)处的导数f'(x0)，则该点处的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)（2）已知函数y=f(x)在某一点处的切线方程，可通过求解方程组得到该点处的横纵坐标和导数。
3. 利用切线求导数（1）已知函数y=f(x)在某一点处的切线方程，可通过求出斜率得到该点处的导数；（2）若函数y=f(x)在某一区间内单调递增或递减，则可以通过求解相邻两个点间直线斜率来估算其导数。
五、应用举例1. 求函数y=x^3-3x^2+2在点(1,-2)处的切线方程。
解：首先求出该函数在点(1,-2)处的导数：f'(1)=lim┬(Δx→0)〖(f(1+Δx)-f(1))/Δx〗=3因此，该点处的切线方程为：y+2=3(x-1)2. 求函数y=x^2在点(2,4)处的导数。
导数的几何意义之切线方程
导数的几何意义之求切线方程考点一：求切线方程【方法总结】求曲线切线方程的步骤(1)求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤第一步，求出函数y =f (x )在点x =x 0处的导数值f ′(x 0)，即曲线y =f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率；第二步，由点斜式方程求得切线方程为y -f (x 0)=f ′(x 0)·(x -x 0)．(2)求曲线过点P (x 0，y 0)的切线方程的步骤第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f (x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f (x 1))的切线方程为y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)；第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1)可得过点P (x 0，y 0)的切线方程．注意：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．考点二：求切线方程曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y =f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y =g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)=g ′(x 2)=f (x 1)-g (x 2)x 1-x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】1.曲线y =e xx +1在点1,e2 处的切线方程为( )A.y =e 4x B.y =e2xC.y =e 4x +e 4D.y =e 2x +3e4【答案】C【详解】设曲线y =e x x +1在点1,e2 处的切线方程为y -e2=k x -1 ，因为y =e xx +1，所以y=e x x +1 -e x x +1 2=xe x x +12，所以k =y x =1=e4所以y -e 2=e4x -1所以曲线y =e x x +1在点1,e 2 处的切线方程为y =e4x+e4.故选：C 2.若曲线y =x -12在点a ,a-12处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则a =( )A.64B.32C.16D.8【答案】A【详解】求导数可得y=-12x -32，所以在点a ,a -12 处的切线方程为：y =-12a -32x +32a -12，令x =0，得y =32a -12；令y =0，得x =3a ．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积S =12×32a -12×3a =94a 12=18，解得a =64故选A ．3.已知曲线y =x 24-3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.3 B.2C.1D.12【答案】A【详解】设切点为x 0,y 0 ，x 0>0，由题知：y =12x -3x，所以12x 0-3x 0=12，解得：x 0=3或x 0=-2(舍去).故选：A4.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0，b )处的切线方程是x -y +1=0，则( )A.a =1，b =1 B.a =-1，b =1C.a =1，b =-1 D.a =-1，b =-1【答案】A【详解】由题意可知k =y |x =0=(2x +a )|x =0=a =1，又(0，b )在切线上，解得：b =1.故选：A .5.设曲线y =x +1x -1在点(3，2)处的切线与直线ax +y +1=0垂直，则a =A.2 B.12C.-12D.-2【答案】D【详解】y =x-1-(x+1)(x-1)2=-2(x-1)2,y |x=3=-2(3-1)2=-12,直线ax+y+1=0的斜率为-a.所以a=-2,故选D6.若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为( )A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【答案】D【详解】设直线l在曲线y=x上的切点为x0,x0，则x0>0，函数y=x的导数为y =12x，则直线l的斜率k=12x0，设直线l的方程为y-x0=12x0x-x0，即x-2x0y+x0=0，由于直线l与圆x2+y2=15相切，则x01+4x0=15，两边平方并整理得5x20-4x0-1=0，解得x0=1，x0=-1 5(舍)，则直线l的方程为x-2y+1=0，即y=12x+12.故选：D.7.若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．【答案】-∞,-4∪0,+∞【详解】∵y=(x+a)e x，∴y =(x+1+a)e x，设切点为x0,y0,则y0=x0+ae x0,切线斜率k=x0+1+ae x0,切线方程为：y-x0+ae x0=x0+1+ae x0x-x0,∵切线过原点，∴-x0+ae x0=x0+1+ae x0-x0,整理得：x20+ax0-a=0,∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0,解得a<-4或a>0,∴a的取值范围是-∞,-4∪0,+∞,故答案为：-∞,-4∪0,+∞8.在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是.【答案】4.【详解】当直线x+y=0平移到与曲线y=x+4x相切位置时，切点Q即为点P到直线x+y=0的距离最小.由y =1-4x2=-1，得x=2(-2舍)，y=32，即切点Q(2,32)，则切点Q到直线x+y=0的距离为2+3212+12=4，故答案为4．9.设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点Ρ处的切线垂直，则Ρ的坐标为．【答案】(1，1)【详解】设P(x0,y0).对y=ex求导得y′=ex，令x=0，得曲线y=ex在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y=1x(x>0)上点P处的切线斜率为-1，由y x=x0=-1x02=-1，得x0=1，则y0=1，所以P的坐标为(1，1)．10.曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为，．【答案】y=1e x，y=-1e x【解析】法一：当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y=1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；因为y=ln x 是偶函数，图象为：所以当x<0时的切线，只需找到y=1e x关于y轴的对称直线y=-1e x即可.法二：因为y=ln x ，当x>0时y=ln x，设切点为x0,ln x0，由y =1x，所以y |x=x=1x，所以切线方程为y-ln x0=1x0x-x0，又切线过坐标原点，所以-ln x0=1x0-x0，解得x0=e，所以切线方程为y-1=1e x-e，即y=1e x；当x<0时y=ln-x，设切点为x1,ln-x1，由y =1x，所以y |x=x1=1x1，所以切线方程为y-ln-x1=1x1x-x1，又切线过坐标原点，所以-ln-x1=1x1-x1，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=1-e x+e，即y=-1e x；故答案为：y=1e x；y=-1e x.【趁热打铁】一、单选题1.函数f(x)=x4-2x3的图像在点(1，f(1))处的切线方程为( )A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3D.y=2x+12.曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是( )A.y=7x+4B.y=7x+2C.y=x-4D.y=x-23.曲线y=2sin x+cos x在点(π，-1)处的切线方程为( )A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=04.曲线y=x2x-1在点(1，1)处的切线方程为( )A.x-y-2=0B.x+y-2=0C.x+4y-5=0D.x-4y-5=05.曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.120°6.曲线y=x3-2x+4在点1，3处的切线的倾斜角为( )A.30°B.45°C.60°D.135°7.曲线y=e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A.1B.2C.eD.1e8.曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于( ).A.2eB.eC.2D.19.曲线y=e x在点2,e2处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e2B.2e2C.e2D.e2210.曲线y=13x3+x在点1，43处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )A.19B.13C.29D.2311.曲线y=e-2x+1在点0,2处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为( )A.13B.12C.23D.112.曲线y=e12x在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e2B.4e2C.2e2D.e213.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A.-9B.-3C.9D.1514.已知曲线y=x24的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A.1B.2C.3D.415.已知曲线y=ae x+x ln x在点1,ae处的切线方程为y=2x+b，则( )A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-116.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则α的值为( )A.1B.2C.-1D.-217.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=( )A.0B.1C.2D.318.已知曲线y=x4+ax2+1在点-1，a+2处切线的斜率为8，a=( )A.9B.6C.-9D.-619.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为( )A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=020.设曲线y=ax2在点1,a处的切线与直线2x-y-6 =0平行，则a=( )A.-1B.1C.-12D.12二、填空题21.曲线y=cos x-x2在点0,1处的切线方程为.22.曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为．23.曲线y=xe x+2x+1在点(0，1)处的切线方程为．24.曲线y=2x-1x+2在点-1,-3处的切线方程为．25.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为26.曲线y=1x和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是.27.曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a所围成的三角形的面积为16，则a=. 28.经过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线的方程是．29.若曲线y=ax2-ln x在点(1,a)处的切线平行于x轴，则a=．30.已知函数y=f x 的图像在点M1，f1处的切线方程是y=12x+2，则f1 +f 1 =．31.直线y=12x+b是曲线y=ln x,x>0的一条切线，则实数b=．32.已知曲线y=x+ln x在点1,1处的切线与曲线y= ax2+a+2x+1相切,则a=．33.曲线y=ax+1e x在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=．34.已知a∈R，设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为.35.过原点作曲线y=e x的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为．36.已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a=．【求导训练】1.求下列函数的导数：(1)y=x2+1x+x；(2)y=x sin x-x ln x；(3)y=sin x ln xx；(4)y=x x-11x+1；(5)y=e x tan x；(6)y=x2-1x+ln x；(7)y=x sin x+e x ln x-2；(8)y=x-x2x ln x；(9)y=3x+23；(10)y=sin2x；(11)y=4x-6；(12)y=ln4x+5．2.求下列函数的导数：(1)y=e-x+22x+15；(2)y=cos3x-1-ln-2x-1；(3)y=sin2x+cos2x；(4)y=2x-1x．3.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=x+110；(2)y=e3x+1；(3)y=sin-2x+5；(4)y=ln3x-1；(5)y=32x-1；(6)y=tan-x+1．4.求下列函数的导数：(1)y=x2+3x+3e x+1(2)y=cos(2x+1)x(3)y=ln x1+2x(4)y=(x+1)(x+2)(x+3)(5)y=x ln x+x2-x+2(6)y=ln2+x3+e x-1e x5.写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数：(1)y=12x-12；(2)y=sin-x+1；(3)y=e-2x+1；(4)y=cos x+3．6.求下列函数的导数：(1)y=2x+310；(2)y=e2x+1；(3)y=ln3x-2．7.求下列函数的导数：(1)y=13x-1；(2)y=cos(1-2x)．8.求下列函数的导数：(1)y=(2x-3)3；(2)y=ln(5x+1)．9.求下列函数的导数：(1)y=(3x+5)3；(2)y=e-0.05x+1；(3)y=ln(2x-1)．10.计算下列函数y=f x 的导数，其中：(1)f x =π2+sin-x；(2)f x =3x-1x3；(3)f x =12x-53-4x；(4)f x =cos xx2．。
导数与曲线的切线问题研究
导数在变化率和 最优化问题中的
应用
导数在数学中具有重 要意义，它可以揭示 函数的变化率和速度。 在最优化问题中，通 过导数的分析，可以 找到函数的最优解， 解决各种实际问题。 导数的物理意义不仅 仅局限于变化率的计 算，还可以应用到最 优化问题的求解中。 导数的应用案例丰富 多样，帮助解决各种
导数在曲线形状研究中的应用
导数与曲线的切线问题研究
汇报人：大文豪
2024年X月
目录
第1章 简介 第2章 基本导数函数 第3章 链式法则与隐函数求导 第4章 曲线的切线与切线方程 第5章 导数的应用 第6章 总结
● 01
第1章 简介
导数的定义
导数是函数在某一点的倾斜率，表示函数的变化 速率。通常用极限的概念来定义，即函数在某点 的切线斜率。导数可以用来求曲线的切线方程和 切线斜率。
实例三
针对第三个切线 问题进行练习
实例四
解决第四个切线 问题的方法
实例二
详细解析第二个 切线问题实例
● 05
第五章 导数的应用
函数的最值问题
导数在函数 最值求解中
的应用
应用数学知识解 决函数最值
函数极值问 题的解法和
技巧
技巧性的解决函 数最值问题
寻找函数的 极值点和最
值
找到函数的最大 和最小值
02 应用案例分析
综合应用案例分析
03 技巧方法总结
综合应用中的技巧和方法总结
● 04
第四章 曲线的切线与切线 方程
切线方程的概念和性质
01 切线方程的定义和推导过程
详细解释切线方程的推导方法
02 切线方程与导数的关系和联系
探讨切线方程与导数之间的关联性
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曲线的切线与导数关系问题之一招毙命
学习目标：掌握函数在某一点处导数的几何意义——图象在该点处的切线的斜率，以及由此延伸的切线问题。
高考地位：常以选择题填空题的形式出现，或者出现在解答题的第一问，难度不大，但有时比较绕，属于必
会题。
(个别题目要学会向切线方面考虑）
知识准备：
1、求导公式和导数的运算法则：
2、点斜式直线方程：
3、直线位置关系的判定 平行： 垂直：
4、导数的几何意义：函数在某一点处导数就是图象在该点处的切线的斜率即 解题绝招：
一点三等式
一点：切点 有则直接用，无则假设有
三等式：切点即满足切线方程也满足曲线方程 切点处的导数就是切线方程的斜率
典型例题：
例1.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是221+=
x y ,)1()1(/f f += . 3 例2.过P(-1,2)且与曲线2432+-=x x y 在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是 y=2x+4
曲线过点(0,0)的切线方程 x y 3
6±= 例3、已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，求a 的的值(a=2)
例4、已知函数)(ln )(,)(R a x a x g x x f ∈==，它们有交点且交点处有相同的切线，求a 的值及交点处的切线方程 (02,2
2=+-=
e ey x e a )
例5、点P 是曲线x x y ln 2
-=上任一点，则点P 到直线2-=x y 的距离的最小值是 。
2 总结：
基础训练：
1、曲线b x y x x y +==2ln 与相切与点p ，则p 点坐标为 .(e,e)
2、若曲线),0(2b b ax x y 在++=处的切线是x-y+1=0,则a= b= (1、1）
3、若曲线4x y =的一条切线l 与084=-+y x 垂直,则l 的方程为
4.曲线x e y 21=在),4(2e 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .
5、已知直线y=kx 与y=lnx 有公共点,则k 的最大值为 .
e 1 6、曲线x x x y +-=232在21p p 处的切线斜率都为1，则21p p 在x 轴上得摄影长为
7、在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意21122121)()(),(,x x x f x f x x x x -<-≠恒成立的是（ ）. A x
x f 1)(= B x x f =)( C x x f 2)(= D 2)(x x f = 8．设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________.
9.设函数()142cos 3sin 323-+θ+θ=x x x x f ，其中⎥⎦
⎤⎢⎣⎡π∈θ650，， 则导数()1-'f 的取值范围是 （ ）
A ． []63，
B ．[]343+，
C ．[]634，-
D ． []3434+-， 10、若存在过点（1,0）的直线与曲线9415,23-+
==x ax y x y 都相切，求a 值(1,23.6425,000-=-=-
==a x a x )
11、设,),()(,)()(),()(,sin )(/1/12/010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+ 则=)(2009x f ( )c
A sinx
B –sinx
C cosx
D -cosx。