《导数运算法则》PPT课件
合集下载
导数运算法则加减法则ppt课件
[ f1(x) f2 (x)
fn (x)] f1(x) 解多项式函数的导数就容易了——
练习
求函数 f (x) 2x3 9x2 6x 4 的导数
f (x) (2x3) (9x2 ) (6x) (4) 和差法则
常函数
2 (x3) 9 (x2 ) 6 (x) 0 数乘法则
3x2
2x
1
23x2 9 2x 61
幂法则 整理
6x2 18x 6
求函数 f (x) 2x 1 的导数
2x
f (x) (2x) ( 1 ) 2 (x) 1 (x1)
2x
2
2
11
1 2
(
x2x)2
2
1 2x2
求函数 f (x) 3 x 1 的导数
f (x) ( 3
x ) (
点( 2, 3 )的切线方程 ( y 3) 3(x 2)
y 3x 9
函数 f (x) 1 5x 2x2
2）何处有水平切线
斜率为零 f (x) 5 4x 0 x5 4
3）何处的斜率为1 f (x) 5 4x 1
x 1
1.25
求函数 f (x) x 2 在一点( 1, 3 )的切线方程 x
1 幂法则 （xn） nxn1 2 数乘法则 [c f (x)] c f (x)
常数的导数为零 (c) 0
多项式函数
f (x) an xn an1xn1
是若干幂函数的和
a0
引入两个或两个以上函数和的导数法则是非常有用的
3 和差法则
两个可导函数和的导数等于这两个函数导数的和
[ f (x) g(x)] f (x) g(x)
( y 3) k(x 2)
点( 2, 3 )处的切线斜率值
高等数学导数的计算教学ppt课件
25
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
三.隐函数与参数式函数的导数
（一）隐函数的导数
显函数：因变量可由自变量的某一分析式来表示 的函数称为显函数．例如：
y 1 sin3 x , z x2 y2 .
隐函数：由含x，y的方程F(x, y)=0给出的函数称 为隐函数.例如：
x2/ 3 y2/ 3 a2/ 3 , x3 y3 z3 3xy 0 .
32
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
(二)参数式函数的导数
由参数方程给出的函数：
x y
x(t) y(t )
t
确定了y与x的函数关系．其中函数x(t),y(t)可导，且
x (t)0, ，则函数y=f (x)可导且
f ( x) 1
( y)
或
dy dx
1 dx
.
dy
7
第二章 导数与微分
第二节 导数的计算
例5 求y=arcsinx的导数．
解：由于y=arcsinx，x(-1,1) 为x=siny，y (-/2, /2) 的反函数，且当y (-/2, /2)时，
(siny)=cosy>0． 所以
(arcsin x)' 1 1 1 1 (sin y)' cos y 1 sin2 y 1 x2
f
( x)
3
1
x2
1
x2
1
3
x2
2
2
例10 设y arcsin x 2 x x
解：
y
arcsin
x
3
2x4
，求 y ．
1
3
x
1 4
1 x2 2
522导数的四则运算法则课件共36张PPT
课堂篇·互动学习
类型一
导数的运算法则
[例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (2)y＝x22＋x 1； (3)y＝xsin x－co2s x； (4)y＝3x－lg x. [思路分析] 本题考查导数的运算法则，观察函数的结构特征，可先对函数式 进行合理变形，然后利用导数公式及相应的运算法则求解．
3．已知 f(x)＝xln x＋2 018x，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝__e___.
解析：∵f′(x)＝ln x＋1＋2 018，∴f′(x0)＝ln x0＋2 019＝2 020，∴ln x0＝1，解 得 x0＝e.
4．若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标 是___(_e，__e_)___．
5．2 导数的运算
5．2.2 导数的四则运算法则
[课标解读]1.掌握导数的基本运算法则.2.能利用导数的四则运算法则求简单函 数的导数．
[素养目标] 水平一：能应用导数的四则运算法则求简单函数的导数(数学运 算)．
水平二：能利用导数的运算法则求复杂函数的导数(数学运算).
课前篇·自主预习 检测篇·达标小练
[解] (1)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3) ＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11. (2)y′＝x22＋x 1′＝2x′x2＋x12＋－122xx2＋1′ ＝2x2x＋2＋11－24x2＝2x－2＋21x22.
[变式训练 1] 求下列函数的导数： (1)y＝( x－2)2；(2)y＝( x＋1) 1x－1.
解：(1)∵y＝( x－2)Байду номын сангаас＝x－4 x＋4，
导数的运算法则 课件
(5)y′＝cos3x－π4·3x－π4′＝3cos3x－π4. (6)y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.
[方法规律总结] 应用复合函数的导数公式求导时，应把 握好以下环节：
(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符 合导数公式中的函数结构．
(2)从外到内，层层剥皮，依次求导． (3)把中间变量转换成自变量的表达式．
(8)y′＝2sinx(sinx)′＝2sinxcosx＝sin2x. (9)∵y＝sin2x－2sinx＋3，∴y′＝sin2x－2cosx. (10)y′＝cos2x′x·2x－cos2x＝－2xsinx2x2－cos2x ＝－xsin2x2＋x22cos2x.
典例探究学案
复合函数的导数
求下列函数的导数：
写出下列函数的导数：
(1)y＝lnsixnx，y′＝________________；
(2)y＝ 1－x x，y′＝________________；
(3)y＝sin2x1－2cos24x，y′＝________________.
[答案]
xcosx－sinx (1) xsinx
(2)12x－12(1－x)－32
1 x
(3)－
2
3 1－3x
(4)22xln2
(5)2e2x－ex
2lnx＋1 (6) x
sinx (7)cos2x
(8)sin2x (9)sin2x－2cosx
(10)－xsin2x2＋x22cos2x
[解析] (1)解法1：y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′ ＝2(sinx)′·cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. 解法2：y′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x. (2)解法1：∵y＝ln1－lnx＝－lnx， ∴y′＝－1x. 解法2：y′＝x·(1x)′＝－1x.
导数的运算法则PPT教学课件
• 能利用给出的基本初等函数的导数公式表 和导数的四则运算法则求简单函数的导数
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
5.2.2导数的运算法则课件(人教版)
导数的四则运算法则
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
复习回顾
基本初等函数的导数公式
公 式1.若f ( x ) c， 则f ' ( x ) 0;
公 式2.若f ( x ) x ， 则f ' ( x ) nx
n
n 1
;
公 式3.若f ( x ) sin x， 则f ' ( x ) cos x;
公 式4.若f ( x ) cos x， 则f ' ( x ) sin x;
巩固练习
例2 求导数：
2sin
3
（1） = e ； （2） = 2 ;
巩固练习
例3 日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需
净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度x%时所需费用(单位：元)为
5284
c( x )
(80 x 100)
100 x
(2)98％
巩固练习 练习：求下列函数的导数:
1 2
x
2
(1) y 2 x x ;
(2) y
;
2
x x
1 x
(3) y tan x;
ln x
(4) y (2 x 3)(3 x 2)； (5) y x tan x;
(6) y
x
1
2
1
4 5 3
2
x ;
解：(1) y ( )'( 2 )' x x ' 2 3
(100 x ) 2
(100 x ) 2
(100 x ) 2
5284
(1)因为c' (90)
52.84
2
(100 90)
导数的运算法则课件
乘除法则
总结词
导数的乘除法则是指两个函数的乘积或商的导数等于它们各自导数的乘积或商。
详细描述
对于两个函数的乘积或商，其导数可以通过将两个函数的导数相乘或相除来获得 。具体地，如果函数$u(x)$和$v(x)$的导数分别为$u'(x)$和$v'(x)$，则$(uv)'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$，$left(frac{u}{v}right)'(x) = frac{u'(x)v(x) u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$。
极值定理
利用导数，我们可以证明一些极 值定理，例如费马定理和罗尔定 理。这些定理在解决极值问题时
非常有用。
曲线的切线问题
切线斜率
导数可以表示曲线在某一点的切线斜率。在几何上，切线 与x轴的夹角正切值等于该点的导数值。
切线方程
给定曲线上的一个点，我们可以利用导数求出该点的切线 方程。切线方程的一般形式为 y=mx+b，其中 m 是切线 的斜率，b 是切线在y轴上的截距。
导数在数学建模和实际问题中的应用
导数可以用来建立数学模型，例如在 经济、物理、工程等领域中，可以用 导数来描述和预测事物的变化趋势。
导数可以用来研究实际问题中的变化 规律，例如在物理学中的速度、加速 度、电流等物理量的变化规律可以用 导数来描述。
导数可以用来解决实际问题，例如在 优化问题、经济问题、物理问题等领 域中，可以用导数来求解问题。
速度函数的导数。
03
动能与势能
利用导数，我们可以计算物体在运动过程中的动能和势能。动能是速度
平方与质量乘积的一半，势能是位置函数与重力加速度乘积的一半。
高二数学《导数的四则运算法则》课件
导数的运算
引入新课
问题
我们学习了哪些基本初等函数的导数？
答案：1.若 = 为常数 ，则′ = 0；
2.若 = （α∈Q，且α≠0），则′ = −1 ；
3.若 = sin，则′ = cos；
4.若 = cos，则 ′ () = −sin；
知识应用
追问1
怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？
′
5284
=
100 −
5284′ × 100 − − 5284 × 100 −
=
100 − 2
′
答案：
′
0 × 100 − − 5284 × −1
5284
=
=
2
100 −
100 −
所以 ′
5284
90 =
100 − 90
2
=
52.84, ′
2
5284
98 =
100 − 98
.
2
= 1321.
知识应用
追问2
根据导数的物理意义，结合两个计算结果，对比纯净度及资金投
入的变化，你有什么发现？
答案：
′ 98 = 25 ′ 90 .
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
知识应用
例1
求下列函数的导数：
（1） = 3 − + 3；
（2） = 2 + cos.
解：（1） ′ = 3 − + 3 ′ = 3 ′ − ′ + 3 ′ = 3 2 − 1；
（2）′ = (2 + cos)′ = 2
引入新课
问题
我们学习了哪些基本初等函数的导数？
答案：1.若 = 为常数 ，则′ = 0；
2.若 = （α∈Q，且α≠0），则′ = −1 ；
3.若 = sin，则′ = cos；
4.若 = cos，则 ′ () = −sin；
知识应用
追问1
怎样求纯净度为90%和98%时，所需净化费用的瞬时变化率？
′
5284
=
100 −
5284′ × 100 − − 5284 × 100 −
=
100 − 2
′
答案：
′
0 × 100 − − 5284 × −1
5284
=
=
2
100 −
100 −
所以 ′
5284
90 =
100 − 90
2
=
52.84, ′
2
5284
98 =
100 − 98
.
2
= 1321.
知识应用
追问2
根据导数的物理意义，结合两个计算结果，对比纯净度及资金投
入的变化，你有什么发现？
答案：
′ 98 = 25 ′ 90 .
净化到纯净度为98%时净化费用的瞬时变化率是净化到纯净
度为90%时的25倍.
知识应用
例1
求下列函数的导数：
（1） = 3 − + 3；
（2） = 2 + cos.
解：（1） ′ = 3 − + 3 ′ = 3 ′ − ′ + 3 ′ = 3 2 − 1；
（2）′ = (2 + cos)′ = 2
导数的四则运算法则课件
详细描述
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程
导数的运算法则 课件
解得 x0＝1 或 x0＝－12. 故所求的切线方程为 y＋1＝x－1 或 y＋1＝－54(x－1)，即 x－y－2＝0 或 5x＋4y－1＝0.
1．求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点 P 处的切 线方程，还是求过点 P 与曲线相切的直线方程．
2．本题中点(1，－1)虽然在曲线上，但经过该点的切线 不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线 的交点．
(3)函数 y＝log2(1－x)可看作函数 y＝log2u 和 u＝1－x 的 复合函数，
∴
y′x
＝
5y′u·u′x
＝
5(log2u)′·(1
－
x)′＝ຫໍສະໝຸດ －5 uln 2＝
5 x－1ln 2.
(4)函数 y＝sin3x 可看作函数 y＝u3 和 u＝sin x 的复合函
数，函数 y＝sin 3x 可看作函数 y＝sin v 和 v＝3x 的复合函数．
【自主解答】 (1)函数 y＝e2x＋1 可看作函数 y＝eu 和 u＝ 2x＋1 的复合函数，
∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数 y＝2x－1 13可看作函数 y＝u－3 和 u＝2x－1 的复 合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x －1)－4＝－2x－6 14.
1．解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失 分．
2．如果所求导的式子较为复杂，可考虑先化简再求导， 从而减少运算量，提高效率．
复合函数的导数
求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；(2)y＝2x－1 13； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin 3x. 【思路探究】 先分析函数是怎样复合而成的，找出中 间变量，分层求导．
导数的四则运算法则(课件)-2024-2025学年高二数学同步课件
u(x)v(x)·…·w′(x)．
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
3．函数的商的导数
f′x
fx
Hale Waihona Puke (1)注意 ′≠.
g′x
gx
g′x
fx 1 1
(2)(特殊化)当 f(x)＝1，g(x)≠0 时， ＝ ， ′＝－
2.
gx gx gx
[gx]
微辨析
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打
＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2＝3x2＋12x＋11.
法二：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2 ＋3x＋2)(x＋3)＝x3 ＋6x2 ＋
11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3 ＋6x2 ＋11x＋6)′＝3x2 ＋12x＋
x＋3′x2＋3－x＋3x2＋3′
＝
x2＋32
－x2－6x＋3
＝
.
x2＋32
(3)法一：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋[(x＋1)(x＋2)](x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
cf′(x)
即[cf(x)]′＝ 04 __________________.
导数的四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝
(2)[f(x)g(x)]′＝
fx
(3)
′＝
gx
f′(x)±g′(x)
；
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
f′xgx－fxg′x
导数的运算法则课件
则y′u=3uln 3，u′v=
1， vln 2
v′x=2x-2，
所以y′x=
(2x 2) 3log2 (x2 2x3) ln 3 (x2 2x 3)ln 2
2log2 3 (x 1)3log2 (x2 2x3) . x2 2x 3
【延伸探究】在本例(2)①中，将cos x换为sin x，当x=0时其
则对 求导.
1 2x
【自主解答】(1)y=f(x)= 1 =(1-3x)-4．
(1 3x)4
设y=u-4，u=1-3x，则
f′(x)=y′x=y′u·u′x=(u-4)′u·(1-3x)′x
=-4u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=12 ．
(1 3x)5
f′(1)=
12 3. (1 3)5 8
答案：1.6x2-12x+2 2. x2 2x
(x 1)2
知识点2 复合函数的导数 复合函数求导的一般方法 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成， 适当选定中间变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中 特别要注意的是中间变量. (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.
2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是_y_=_f_(_g_(_x_)_)_. ②可分解为_y_=_f_(_u_)_与_u_=_g_(_x_)_，其中u称为_中__间__变__量__. (2)求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， u=g(x)的导数间的关系为：y′x=_y_′__u_·_u_′__x_.
所以
(f (x) g(x)
)