用牛顿迭代法求方程的近似解

需要注意的问题
1、根的存在性和唯一性的判断： 通过研究函数的单调区间及零点存在性 定理判断。 2、根所在的区间： 分析函数的连续性并找出端点值异号的 区间。 3、近似解的选取Βιβλιοθήκη Baidu 在达到精确度要求的情况下，区间中任
方法探究
思考并回答以下问题：
1、在研究方程的根的问题时，我 们常可以将其等价转化为什么问 题进行研究？
方法探究
2、在研究函数的性质时，我们新 学习了什么知识可以用来很方便 地刻画函数的什么性质？
方法探究
3、我们新学习的知识中，在刻画 函数性质方面，体现出了什么样 的思想？
方法探究
4、在研究方程的近似解的时候， 二分法体现出了什么样的思想？
方法探究
5、类比二分法的思想，结合我们 新学到的知识，我们能产生什么 新的想法求方程的近似解？
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方法小结
简述牛顿迭代法的原理和步骤： (1)给定精确度z0和初始值x0 (2)写出迭代公式 (3)计算迭代精确度p (4)当精确度达到p<z0时迭代终止。
归纳与整理
1.迭代法： 迭代法也称辗转法，是一种不断 用变量的旧值递推新值的过程。 在给出迭代公式的情况下，能够 通过重复操作实现求解的目的。 迭代法的关键是建立迭代公式。
用牛顿迭代法求方 程的近似解
斐波那契和Leonardo方程
x + 2 x + 10 x - 20 = 0
斐波那契(1175年-1250年)，意大利数学家， 是第一个研究斐波那契数，并将现代书写数 和乘数的位值表示法系统引入欧洲的人， 影响了欧洲数学界一个时代。 斐波那契研究过一个三次方程的求解问题， 并给出了一个精度非常高的近似解。这在 当时是非常重要的结果，但是无人知道他 是怎么计算得到的。
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斐波那契和Leonardo方程
• 斐波那契给出了这个方程的近似解是：
x = 1.368808108
• 斐波那契的解是非常精确的，但是并没有 给出过程。 • 在十三世纪，能得到这个结果，是非常了 不起的成就，即使在当今的年代，我们在 没有图形计算器的条件下，给出近似解也 是非常困难的。 • 设想一下，斐波那契是用什么样的方法得
开普勒方程求解
课堂小结
1、牛顿迭代法求方程的近似解； 2、数学思想方法： 以直代曲的思想，逼近的思想， 迭代的思想，函数与方程的思想， 类比的思想
课后巩固
借助图形计算器，练习用牛顿迭 代法求方程的近似解（精确度 10-6 ） (x + 1)(x - 2)(x - 3) = 1
（1） 0.8x （2） x
归纳与整理
2.牛顿迭代法： （1）核心思想： “以直代曲”，逼近，迭代 （2）算法框图：
课堂延伸——开普勒方程
• 在天文学中，有一类著名的方程——开普 勒方程，是用来确定行星在其运动轨道上 的位置的。 x = q sin x + a (0 < q < 1,a为常数)
• 开普勒方程是一个超越方程，很难得出严 格的分析解，但是，已经证明这个方程存 在惟一解。在实际问题中，我们更希望得 x = - 0.8878622116 到一个精确度很高的近似解。 • 采用今天探究和归纳的方法，计算取
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1 = ln x
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+ 5 = 6 x + 3x
实习作业
从下面的叙述中，选择一个你比较感兴趣 的方向，继续进行新的探究和发现。 1.在实际生活及其他学科研究中，哪些问题 可以转化成方程求近似解的问题？ 2.除了二分法和牛顿迭代法，还可以找到其 他方法来求方程的近似解吗？ 3.如果不判断有根区间，任取初始值利用牛 顿迭代法求近似解，会产生什么样的影响？ 利用图形计算器，我们可以研究更多的课题， 丰富我们的研究手段和学习范围。
方法探究
6、借助图形计算器，验证新的想 法，并思考如何进一步计算。
方法建立
求方程x 2 x 10 x 20 0的近似 解（精确度为10-9）。 1.第一步应该从何处开始？需要 如何处理？
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方法建立
求方程x 2 x 10 x 20 0的近似 解（精确度为10-9）。 2.第二步应该如何继续？计算的 公式又是什么？如何能循环下去？
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方法建立
求方程x 2 x 10 x 20 0的近似 解（精确度为10-9）。 3.如何用图形计算器实现对给定 公式的反复计算？动手完成。
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方法建立
求方程x 2 x 10 x 20 0的近似 解（精确度为10-9）。 4.计算到什么时候终止？如何体 现精确度在求解中的控制作用？
二分法的步骤
1.确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0,给定精 确度。 2.求区间(a,b)的中点c； 3.计算f(c); (1)若f(c)=0,则c就是函数的零点; (2)若f(a)f(c)<0,则令b=c,此时零点在 (a,c); (3)若f(c)f(b)<0,则令a=c,此时零点在 (c,b).