3-1二维随机向量的分布1
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定义2 如果二维随机向量的每一个分量X和Y 都是离散型随机变量，则称(X，Y)为离散 型随机向量。若 (X，Y)的所有可能值为
( xi , y j ) , i 1,2, ; j 1,2, 称P( X xi ,Y y j ) pij , i 1,2, ; j 1,2,
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
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§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维
随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
度函数，记作(X，Y)～f (x , y).
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1) f (x, y) 0
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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1
从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X ,Y ) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
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ຫໍສະໝຸດ Baidu
图1
4
2)设 x1 x2 , y1 y2
则P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F(x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1 , y2） F( x1 , y1 )
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x, y R,有F( x, y) x
y
f (u,v)dudv
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
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离散型随机向量的联合分布律
Y
X
y1
y2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
pn1 pn2
pnm
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二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P( X xi ,Y y j ) pij ,
i, j =1,2, …
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P(1 X 2,1 Y 2)
F(2,2) F(1,2) F(2,1) F(1,1)
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数.
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二、离散型随机向量的联合分布律
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F( x, y) P( X x,Y y)
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数.
Y
[注] 1)联合分布函数
(x, y)
F(x, y) P(X x,Y y)
Y
(x1, y2 )
(x2, y2 )
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( x1 , y1 )
O
( x2 , y1 )
X
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3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x1 , x2 R, x1 x2 , 有F(x1 , y) F(x2 , y) 固定x, y1 , y2 R, y1 y2 ,有F(x, y1 ) F(x, y2 )
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(X xk ) pk ,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
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例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
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例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令X i
0 1
Y i Y i
(i 1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 0 3/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8
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（2）0 F( x, y) 1;
（3） 固定x,有F( x,) 0; 固定y,有 F (, y) 0;
F(,) 0， F(,) 1，
但F(, y) 1, F( x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 x y 0 F ( x, y) 0 x y 0
解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0
( xi , y j ) , i 1,2, ; j 1,2, 称P( X xi ,Y y j ) pij , i 1,2, ; j 1,2,
为随机向量（X，Y）的联合概率分布律。
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§3.1 二维随机变量的分布 一、二维随机向量及其联合分布
设X,Y是定义在同一个样本空间 上的随机
变量，则称由它们构成的二维向量(X,Y)为二维
随机向量。
二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X,Y各自的性
质有关,而且还依赖于它们之间的相互关系,因此 必须把它们作为一个整体来研究.为了描述二维
度函数，记作(X，Y)～f (x , y).
[注] ① f (x, y)的基本性质：
(1) f (x, y) 0
第三章 随机向量
二维随机向量的分布 随机向量的数字特征 二维正态分布 大数定律与中心极限定理 n维随机向量
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从本讲起，我们开始第三章的学习. 它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的 困难，我们重点讨论二维随机变量 .
的概率意义：
F(x, y)是随机点 (X ,Y ) O
落在以 (x, y) 为顶点的左
X
下方的无穷矩形的概率.
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图1
4
2)设 x1 x2 , y1 y2
则P( x1 X x2 , y1 Y y2 )
F(x2 , y2 ) F( x2 , y1 ) F( x1 , y2） F( x1 , y1 )
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3 对于二维随即向量(X,Y)的分布函数
F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y)
使得对于x, y R,有F( x, y) x
y
f (u,v)dudv
称(X,Y)是一个二维连续型随机向量，称
f(x,y)为连续型二维随机向量(X,Y)的联合密
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离散型随机向量的联合分布律
Y
X
y1
y2
ym
x1
p11 p12
p1m
x2
p21 p22
p2m
xn
pn1 pn2
pnm
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二维随机变量（X,Y） 离散型 联合分布
X和Y 的联合概率函数
P( X xi ,Y y j ) pij ,
i, j =1,2, …
问此F(x,y)是否是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数?
解: 由于 P(1 X 2,1 Y 2)
F(2,2) F(1,2) F(2,1) F(1,1)
1 1 1 0 1 0
所以F(x,y)不是某个二维随机向量(X,Y)的分
布函数.
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二、离散型随机向量的联合分布律
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球 试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
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11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法:
1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对;
2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
随机变量整体的统计规律性,我们引入联合分布
函数的概念.
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定义1 设(X，Y)为二维随机向量, 对于任意x，
y，二元函数F( x, y) P( X x,Y y)
称为(X，Y)的分布函数,或称为X与Y的联合
分布函数.
Y
[注] 1)联合分布函数
(x, y)
F(x, y) P(X x,Y y)
Y
(x1, y2 )
(x2, y2 )
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( x1 , y1 )
O
( x2 , y1 )
X
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3) 联合分布函数F(x,y)的基本性质：
（1） F(x,y)关于x与y是单调增函数.即，固定y,
x1 , x2 R, x1 x2 , 有F(x1 , y) F(x2 , y) 固定x, y1 , y2 R, y1 y2 ,有F(x, y1 ) F(x, y2 )
pij 0, i, j 1,2,
pij 1
ij
一维随机变量X 离散型
X的概率函数
P(X xk ) pk ,
k=1,2, …
pk 0, k=1,2, …
pk1
k
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例2 袋中有5只球，其中2只白球，3只黑球，
取球两次，每次取一个球,定义下列随机变量：
0 第一次取到白球 X 1 第一次取到黑球
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例3 设随机变量Y服从标准正态分布N(0,1)，
令X i
0 1
Y i Y i
(i 1,2)
求(X1, X2)的联合概率分布。
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例4 把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三 次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出 现次数与反面出现次数之差的绝对值，求
(X,Y)的概率函数 .
P(X=3, Y=0)=1/8 P(X=3, Y=i)=0, i=1,2,3
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XY 0 1 2 3
0 0 0 0 1/8 1 0 3/8 0 0 2 0 3/8 0 0
3 0 0 0 1/8
XY 1 3
0 01/8 1 3/8 0 2 3/8 0 3 0 1/8
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（2）0 F( x, y) 1;
（3） 固定x,有F( x,) 0; 固定y,有 F (, y) 0;
F(,) 0， F(,) 1，
但F(, y) 1, F( x,) 1.
（4）F(x,y)在间断点(x,y)上分别关于x 和 y 右连续.
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例1 已知二元函数
1 x y 0 F ( x, y) 0 x y 0
解：X所有可能取值为0,1,2,3;Y所有可能取值为 0,1,2,3.
P(X=0, Y=0)=0 P(X=0, Y=i)=0, i=1,2,
P(X=0, Y=3)=(1/2)3=1/8 P(X=1, Y=0)=0 P(X=1, Y=1)=3(1/2)3=3/8
P(X=1, Y=i)=0, i=2,3; P(X=2, Y=0)=0 P(X=2, Y=1)=3/8 P(X=2, Y=i)=0