10利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法

3 瑕积分的性质与收敛判别

2、写出定理11.6及其推论1的证明。

定理11 .6（比较原则）设定义在[a,b]上的两个函数f 与g ，确定同为,a x =在任何

必发散）。

发散时，必定收敛（或当收敛时，则当上都可积，且满足⎰⎰⎰⎰∈≤⊂b

a

b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x f dx x g b a x x g x f b a b u )()()()(]

,(),()(],[],[推论1 又若，则有且c x g x f x g a x =>-

→)

()(lim ,0)(：

（1） 当0

同时敛散。与⎰⎰

b

a

b

a

dx x g dx x f )()(

收敛也发散。

发散可推知时，由）当（收敛也收敛。

收敛可推知时，由）当（⎰⎰⎰⎰+∞==b

a

b

a

b

a

b a

dx x f dx x g c dx x f dx x g c )()(3)()(02

分析：定理11.6按定义可证明，推论由定理直接推导出来。 证：定理11.6的证明：

收敛

故从而时有

，当收敛，所以因为⎰⎰⎰

⎰

⎰<≤<<+∈>∃>∀b a

u u u u u u b

a

dx x f dx x g dx x f dx x g u u a a u u dx x g )()()(,)(),,(,0)(,02

1

2

1

2

1

2121ε

εδδε

推论1的证明：

()()()()，故可得结论。

，即时，，当，则）若（）式右半部分即得结论

，则由（）若（同敛散。

与（或发散）。综合即知也收敛（或发散）时，

收敛当类似上面方法，可知：发散。又因为

知由定理发散，则发散若收敛知从而由定理收敛，则收敛于是，若）

（或时，

，当及所以因为)()(1)

()

(),(0302)()()()(,1

)

()(lim 0)(6.11,)()(.)(6.11,)()()()()(0)

()(0),(00,)

()(lim 0)1(000000x f x g x g x f a a x c c dx x g dx x f dx x g dx x f c

x g x f dx x f dx x g c dx x g dx x f dx x g c dx x g x g c x f x g c c x g x f c a a x c x g x f b

a

b

a

b

a

b a a

x b a

b

a

b

a

b

a

b

a

b a

a

x ≤≥+∈>∃+∞=*=+∞<=

<-+*+<<-<+<<

-<+∈>>∃+∞<=<⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰+

+

→→δεεεεεεεδδε 3、讨论下列瑕积分的收敛性：

xdx e dx x

x

dx x

x

dx x

x

x m

ln )8(cos 1)6(1ln )4(sin )2(0

2

/0

1

2/3-∞

+⎰

⎰

⎰

⎰

--ππ

提示：此类题目直接应用判别法。 解：

故积分收敛。

这里是瑕点，由于）（,1,21

1

sin lim 022

/32

1

0====+→λp x x

x

x x 故积分收敛。由是瑕点，

故只有是）因为（,0,21

,01ln lim 0,111

lim 1ln lim 421

111===-=-=-=----→→→λp x x x x x x x

x x x 时积分发散。

时积分收敛；当所以当）因为（33,2

1

21

,21cos 1lim cos 1lim 62

02

≥<===-=-++→-→m m x x x x x x m m x λλ

xdx

e xdx e xdx e x

x

x

ln ln ln 0)8(1

1

-∞

+--∞

+⎰

⎰⎰

+=∞+故瑕积分可写为和此瑕积分的瑕点为

4、 计算下列瑕积分的值（其中n 为正整数）：

;1)2(1

dx x

x n -⎰

分析：式子里含有参数n ，因此考虑推导递推公式，再作出计算。 解：

)

(2sin 2sin

2[2]cos sin 2cos sin [2sin sin 21,cos sin 2,sin )2(1122

/0

1

22

/0

2122

/0

2

/0

222

/0

1

2n n n n n n

n n n I I n d d n d n d dx x

x I d dx x --=+==-===-+--⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

θ

θθθθθθθθθ

θθθθθθπππππ于是则令