最大值和最小值定理-精选文档
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二 介值定理
定义: 如果 x 使 f ( x ) 0 ,则 x 称为函数 0 0 0
f ( x ) 的零点 .
定理 2(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
(a b) ，使 f () 0 . 那末至少有一点
§1.10 闭区间上连续函数的性质
一 最大值和最小值定理
f(x ) 在区间 I 上有定义 , 定义: 设函数 如果有 x I ,且对于 x I都有 0 f(x )f(x ) ( 或 f(x )f(x )) 0 0 则称 f(x ) 是函数 f(x ) 在 I 上的最大值 ( 最小值 ). 0
证：设 f ( x ) x a si x n b ,f( x ) 在 0 ， a b 上连续
f ( a b ) a b a sin( a b ) b a 1 si a b ) 0 ,
2
y
y f( x )
y
y f( x )
1
o
2
x
o
1
2
x
推论 (有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数 x [ a , b ], f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
有 m f ( ) f ( x ) f ( ) M ,
即方程 f( x ) 0 在 ( a ,b ) 内至少存在一个 .
5
几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x)的两个 端点位于 x轴的不同侧 ,则曲
y f( x )
1 2
3
b x
ao
线弧与 x轴至少有一个交点 . 定理 3(介值定理) 设函数 f ( x )在闭区间[a,b]
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
y sgn x , 1 ; 1 , y 在 ( , ) 上 ,y min max
y 1 . 在 ( 0 , ) 上 , y max min
1
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
0, 而 F ( a ) f ( a ) a
0, F ( b ) f ( b ) b
由零点定理,
F ( ) f ( ) 0 , ( a , b ),使
即 f ( ) .
9
xa sin xb ， a0, b0 ， 例 3证 明 方 程 其 中 至 少 ab . 有 一 个 正 根 ， 并 且 它 不 超 过
3 2 (0 ,1 ), 使 f( ) 0 , 即 4 1 0 ,
3 2 f( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , f ( x ) x 4 x 1 ,则 证 令
3 2 方程 x 4 x 1 0 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一 .
若 f ( x ) C [ a , b ], 则 , [ a , b ], 使得 x [ a , b ], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
yHale Waihona Puke Baidu
y f( x )
o a
b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
f (a ) A 及 f (b) B ,
那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区 间 a , b 内至少有一点 ，使得 f ( ) C
(a b).
6
B C ,m ( b ) f ( b ) C
M 则 ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , B yf(x ) C 且 ( a ) f ( a ) C a o x1 1 A C , A
( a ,b ), 使
7
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M与最小值 m 之间的任何值. 例1 证明方程 x 4 x 1 0 在区间 ( 0 , 1 ) 内
3 2
至少有一根 .
又 f ( 0 ) 1 0 , f ( 1 ) 2 0 , 由零点定理,
证 设 ( x ) f ( x ) C ,
y
2 3 x2 b
x
( a ) ( b ) 0 , 由零点定理,
( ) 0 , 即 ( ) f ( ) C 0 , f ( ) C .
y f( x ) 与水平 几何解释: 连续曲线弧 直线 y C 至少有一个交点 .
f ( x ) K . 取 K max{ m , M },则有
函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 .
3
例1 设 f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且
证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界.
x
lim f ( x ) , 存在
证： lim f(x )A
x
8
例2 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 ,且 f ( a ) a ,
f ( b ) b .证明 ( a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x ,则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
1 , X 0 ,当|x|>X时, | f (x)-A|<1 ∴取 0
又||f (x)|-|A||<| f (x)-A|<1, 即: | f (x)|<|A|+1
∵ f(x) 在(-∞，+∞)上连续，∴ f(x)在[-X，X]上连续。 由有界性定理, M0>0, x [-X，X], 都有| f (x)|≤M0 取M=max{|A|+1, M0}, x ( , ), | f ( x ) | M .
二 介值定理
定义: 如果 x 使 f ( x ) 0 ,则 x 称为函数 0 0 0
f ( x ) 的零点 .
定理 2(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
(a b) ，使 f () 0 . 那末至少有一点
§1.10 闭区间上连续函数的性质
一 最大值和最小值定理
f(x ) 在区间 I 上有定义 , 定义: 设函数 如果有 x I ,且对于 x I都有 0 f(x )f(x ) ( 或 f(x )f(x )) 0 0 则称 f(x ) 是函数 f(x ) 在 I 上的最大值 ( 最小值 ). 0
证：设 f ( x ) x a si x n b ,f( x ) 在 0 ， a b 上连续
f ( a b ) a b a sin( a b ) b a 1 si a b ) 0 ,
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y
y f( x )
y
y f( x )
1
o
2
x
o
1
2
x
推论 (有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数 x [ a , b ], f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
有 m f ( ) f ( x ) f ( ) M ,
即方程 f( x ) 0 在 ( a ,b ) 内至少存在一个 .
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几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x)的两个 端点位于 x轴的不同侧 ,则曲
y f( x )
1 2
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b x
ao
线弧与 x轴至少有一个交点 . 定理 3(介值定理) 设函数 f ( x )在闭区间[a,b]
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
y sgn x , 1 ; 1 , y 在 ( , ) 上 ,y min max
y 1 . 在 ( 0 , ) 上 , y max min
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定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
0, 而 F ( a ) f ( a ) a
0, F ( b ) f ( b ) b
由零点定理,
F ( ) f ( ) 0 , ( a , b ),使
即 f ( ) .
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xa sin xb ， a0, b0 ， 例 3证 明 方 程 其 中 至 少 ab . 有 一 个 正 根 ， 并 且 它 不 超 过
3 2 (0 ,1 ), 使 f( ) 0 , 即 4 1 0 ,
3 2 f( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , f ( x ) x 4 x 1 ,则 证 令
3 2 方程 x 4 x 1 0 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一 .
若 f ( x ) C [ a , b ], 则 , [ a , b ], 使得 x [ a , b ], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
yHale Waihona Puke Baidu
y f( x )
o a
b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
f (a ) A 及 f (b) B ,
那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区 间 a , b 内至少有一点 ，使得 f ( ) C
(a b).
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B C ,m ( b ) f ( b ) C
M 则 ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , B yf(x ) C 且 ( a ) f ( a ) C a o x1 1 A C , A
( a ,b ), 使
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推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M与最小值 m 之间的任何值. 例1 证明方程 x 4 x 1 0 在区间 ( 0 , 1 ) 内
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至少有一根 .
又 f ( 0 ) 1 0 , f ( 1 ) 2 0 , 由零点定理,
证 设 ( x ) f ( x ) C ,
y
2 3 x2 b
x
( a ) ( b ) 0 , 由零点定理,
( ) 0 , 即 ( ) f ( ) C 0 , f ( ) C .
y f( x ) 与水平 几何解释: 连续曲线弧 直线 y C 至少有一个交点 .
f ( x ) K . 取 K max{ m , M },则有
函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 .
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例1 设 f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且
证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界.
x
lim f ( x ) , 存在
证： lim f(x )A
x
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例2 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 ,且 f ( a ) a ,
f ( b ) b .证明 ( a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x ,则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
1 , X 0 ,当|x|>X时, | f (x)-A|<1 ∴取 0
又||f (x)|-|A||<| f (x)-A|<1, 即: | f (x)|<|A|+1
∵ f(x) 在(-∞，+∞)上连续，∴ f(x)在[-X，X]上连续。 由有界性定理, M0>0, x [-X，X], 都有| f (x)|≤M0 取M=max{|A|+1, M0}, x ( , ), | f ( x ) | M .