最大值和最小值定理-精选文档
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什么是最大值最小值定理
什么是最大值最小值定理
最大值最小值定理是微积分中的一个重要定理，在函数的连续性和可微性条件下，描述了一个函数在闭区间上取得最大值和最小值的情况。
在数学中，通常将这个定理用于帮助解决优化问题以及判断函数的极值。
下面将从连续函数的角度对最大值最小值定理进行详细的介绍。
定义
给定一个闭区间\[a, b\]上的连续函数f(x)，则在该闭区间上必然存在至少一个
点x使得f(x)是最大值或最小值。
如果该函数在\[a, b\]上可导，那么最大值或最小值点x必然是处于f’(x) = 0的点或者是首尾端点a和b。
证明
我们可以通过归谬法证明最大值最小值定理。
假设该连续函数f(x)在闭区间\[a, b\]上没有极值点，即f(x)不在这个区间上取得最大值或最小值。
那么f(x)就会一直增加或者一直减少，即在闭区间上不连续，与题设矛盾。
所以必然存在至少一个点使得f(x)是最大值或最小值。
应用
最大值最小值定理在数学建模、工程优化、物理学等领域有着广泛的应用。
通
过这个定理，我们可以更好地找到函数的最值，从而解决最优化问题。
结合导数的概念，我们可以利用极值点的性质来判断函数的凹凸性，进一步优化问题的求解。
总结
最大值最小值定理给出了闭区间上连续函数取得最大值和最小值的性质，为函
数极值的求解提供了重要的理论基础。
通过该定理的应用，我们可以更好地理解函数的性质，解决实际问题中的优化和极值求解。
在数学领域中，最大值最小值定理作为基础理论，扮演着至关重要的角色，对于深入理解和运用微积分具有重要意义。
高等数学3.5函数最大值和最小值-精品文档
河北工业职业技术学院
高等数学
主讲人 宋从芝
3.5 函数的最大值和最小值
本讲概要
闭区间上连续函数的最值
某区间内有唯一极值点 实际问题在开区间内有唯一驻点
一.闭区间上连续函数的最值 存在性
设函数 f(x) 在[a, b]上连续
在闭区间上一定有最大值和最小值。
可能的最值点
y y y
oa
bx
o a
容积最大？
图形：
48 x x 48 (a) 48-2x (b)
48-2x
解 设截去的小正方形的边长为xcm， 铁盒的容积为 据题意，则有 Vcm，
4 Vx 8 2 x 4 0x2 问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)
2
即，求最大值点。 取得最大值，
x 2 4 82 x 2 V 482x +
2
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0值最小,求最小值点。
y 5k x x 400
2
3k
5x3 x2 4 0 0 k x2 4 0 0
令y 0，得
2 5 x3 x 4 0 0
2 2 2 5 x 9 x 4 0 0
x 15 在[0,100]的驻点x=15。
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0x1
使用闭区间上求最值的方法， 比较函数值的大小：
y1 5 8 0 k 3
y0 0 0 k 4
最 小 值 为 f 2 8 。
3 2 练习 求函数 fx 在[-2,0]上的 2 x 6 x 1 8 x 7
最大值与最小值。
高等数学
主讲人 宋从芝
3.5 函数的最大值和最小值
本讲概要
闭区间上连续函数的最值
某区间内有唯一极值点 实际问题在开区间内有唯一驻点
一.闭区间上连续函数的最值 存在性
设函数 f(x) 在[a, b]上连续
在闭区间上一定有最大值和最小值。
可能的最值点
y y y
oa
bx
o a
容积最大？
图形：
48 x x 48 (a) 48-2x (b)
48-2x
解 设截去的小正方形的边长为xcm， 铁盒的容积为 据题意，则有 Vcm，
4 Vx 8 2 x 4 0x2 问题归结为：求x为何值时，函数V在区间内(0,24)
2
即，求最大值点。 取得最大值，
x 2 4 82 x 2 V 482x +
2
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0值最小,求最小值点。
y 5k x x 400
2
3k
5x3 x2 4 0 0 k x2 4 0 0
令y 0，得
2 5 x3 x 4 0 0
2 2 2 5 x 9 x 4 0 0
x 15 在[0,100]的驻点x=15。
2 0 0 y 5 kx 4 0 031 k 0 x 0 0x1
使用闭区间上求最值的方法， 比较函数值的大小：
y1 5 8 0 k 3
y0 0 0 k 4
最 小 值 为 f 2 8 。
3 2 练习 求函数 fx 在[-2,0]上的 2 x 6 x 1 8 x 7
最大值与最小值。
3.5 函数的极值与最大最小定理详解
y
如, y 3 x2 , x 0 是极小值点.
y 3 x2
但 y 3 x2 在x 0不可导.
O•
x
怎样从驻点与导数不存在的点中判断一点
是不是极值点
几何上, 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 单减的分界点, 则 x0必为极值点.
5
函数的极值与最大值最大值
3. 极值的充分条件
极值的一阶充分条件
y
•
y
•
O
x0
x
O
x0
x
6
函数的极值与最大值最大值
y
•
y • 不是极值点
O
x0
xO
x0
x
一般求极值的步骤
(1) 求导数; (2) 求驻点与不可导点; (3) 求相应区间的导数符号,判别增减性; (4) 求极值.
7
函数的极值与最大值最大值
2
例 求 f ( x) ( x 1)3( x 1)3 的极值及单调区间.
定理2(第一充分条件) 设f ( x)在x0点连续,且在 o
x0的某去心邻域U ( x0, )内可导.
(1)若当x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0( 0); 当x ( x0 , x0 )时, f ( x) 0 ( 0), 则
f ( x0 )为极大值 (极小值);
(2)若f ( x)在x0附近不变号,则 f ( x0 ) 不是极值.
解
令
y 1 1 0, 2 1 x
得
驻点x1
3 4
又可得点 x2 1 [5,1], 它也是区间的端点 .
由于
f (5) 5 6,fFra bibliotek3 ()
5 ,
f (1) 1,
经济数学34函数的最大值与最小值
LRC33q1q2．
L3q，
2
令 L0，得 q 3(百件).
L(3)10，所以当 q 3 时，函数取
得极大值，因为是唯一的极值点，所以就是最
大值点.
即产量为300件时取得最大利润.
ESC
二、最大值与最小值在经济中的应用
2.最小成本问题 例5 已知某个企业的成本函数为
最大值与最小值统称最值.
a x1 x2
x3 x4 b x
由最大值与最小值的定义知 ymaxf(x4),
ESC
yminf(a).
一 函数的最大值与最小值
极值
最值
ESC
1. 函数的极值是仅就函数
1. 而函数的最值是函数
y f (x)有定义的区间内某
y f(x)在所考察的区间
一点 x0的邻近,即在局部范
y 20，所以 q4.5时， y取得 q4.5
极小值，由于是唯一的极值，所以就是最小 值．
y (4 .5 )2 9 (4 .5 ) 3 0 9 .7(千5元). q 4 .5 即产量为4.5吨时，平均可变成本取得最
小值9 750元.
ESC
二、最大值与最小值在经济中的应用
3．最大收益问题 例6 一家工厂生产一种成套的电器维修工
上比较函数值的大小,故
围内比较函数值的大小,故
y极小 y极大.
区别
必有 yminymax.
2.一个函数在一个区间上
2.一个函数在一个区间上
只能有一个最大值和最小
可以有几个极大值和极小
值.
值.
3.最值可在区间内部取得,
3.极值只能在区间内部取
也可在区间端点处取得.
得.
联系
若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找. 特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况:
经济学专业数学函数的极值与最大值、最小值配套课件
2017年4月14日星期五 3
说明：
由定理 1 可知： 1、 可导函数的极值点必为驻点。 2、 函数的驻点（Stagnation Point）不一定为极值 点. 3、 驻点和导数不存在的点是函数可能的极值 点。
下面给出判断极值点的两种不同方法.
2017年4月14日星期五
4
3.第一充分条件
（The First Sufficient Condition）
2017年4月14日星期五 10
4.第二充分条件
（The Second Sufficient Condition
定理 3（第二充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ．则
（1）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
（2）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
注 2：当 f ( x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f ( x) x3 时，本定理失效！
2017年4月14日星期五 11
解题步骤：
（1）求出 f ( x), 并求出 f ( x) 全部驻点；
2017年4月14日星期五 15
3 2 例 4 求函数 y x x 6 x 2 在闭区间 [2, 1] 的最 2 大值与最小值.
3
函数的导数为 y 3x2 3x 6 3( x 2)( x 1) ， 令 y 0 ， 在 闭 区 间 [2, 1] 内 ， 函 数 的 驻 点 为 ： x1 1 ，函数无不可导点 . 3 3 当 x 2 时， y (2) (2) 2 6 (2) 2 4; 2 3 3 3 2 当 x 1 时， y (1) (1) 6 (1) 2 ; 2 2
说明：
由定理 1 可知： 1、 可导函数的极值点必为驻点。 2、 函数的驻点（Stagnation Point）不一定为极值 点. 3、 驻点和导数不存在的点是函数可能的极值 点。
下面给出判断极值点的两种不同方法.
2017年4月14日星期五
4
3.第一充分条件
（The First Sufficient Condition）
2017年4月14日星期五 10
4.第二充分条件
（The Second Sufficient Condition
定理 3（第二充分条件） 设函数 f ( x) 在点 x0 处具有 二阶导数，并且 f ( x0 ) 0 ， f ( x0 ) 0 ．则
（1）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极大值；
（2）若当 f ( x0 ) 0 时，函数 f ( x) 在点 x0 处取得极小值；
注 1：本定理可利用极限的保号性加以证明；
注 2：当 f ( x0 ) 0 时，本定理失效！
例如，函数 f ( x) x3 时，本定理失效！
2017年4月14日星期五 11
解题步骤：
（1）求出 f ( x), 并求出 f ( x) 全部驻点；
2017年4月14日星期五 15
3 2 例 4 求函数 y x x 6 x 2 在闭区间 [2, 1] 的最 2 大值与最小值.
3
函数的导数为 y 3x2 3x 6 3( x 2)( x 1) ， 令 y 0 ， 在 闭 区 间 [2, 1] 内 ， 函 数 的 驻 点 为 ： x1 1 ，函数无不可导点 . 3 3 当 x 2 时， y (2) (2) 2 6 (2) 2 4; 2 3 3 3 2 当 x 1 时， y (1) (1) 6 (1) 2 ; 2 2
高等数学3.5函数的极值与最大值最小值（PDF）
如果x U (x0 )有：f(x) f(x0 )， 或f(x) f(x0 )，则 f (x0 ) 0
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点.
定理1(必要条件) 设 f ( x) 在 x0 有导数，且在 x0 处
取得极值，则f (x0 ) 0
则 f ( x) 在 x0 取得极大值.
(2) 如果 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0 而 x ( x0 , x0 ) 有 f ( x) 0;
则 f ( x) 在 x0 取得 极小值.
y
o
x0
y
(是极值点情形)
xo
x0
x
一、函数极. 值的求法
定理2(第一充分条件)
设f
x
3
x 2, f ( x) 不存在. 但f ( x)在 x 2 连续
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1 是f ( x) 的极大值
一、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0 处取得极大值. (2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0, x0 )时, f '( x)
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值 为所求的最值
三、应用举例
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击，
最大最小值定理
最大最小值定理最大最小值定理是微积分中的一个基本定理，它通常被用来寻找函数在给定区间上的最大值和最小值。
这一定理在数学分析、优化问题和工程学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
定理描述最大最小值定理是一个基本的连续函数定理，它可以表述为：如果一个实数值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，那么在这个区间内必定存在某个点c，使得f(c)是函数f(x)在整个区间[a,b]上的最大值或最小值。
即最大最小值定理断言了连续函数在闭区间上必定达到最大和最小值。
证明思路要证明最大最小值定理，我们可以利用连续函数的性质和闭区间的紧致性。
由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据连续函数的性质，它在[a,b]上一定是有界的。
设M为f(x)在[a,b]上的上确界，m为f(x)在[a,b]上的下确界。
由于[a,b]是一个紧致区间，M和m必定是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值。
应用举例最大最小值定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，一辆汽车行驶在一段山路上，我们想要知道在这段山路的某一点上汽车所处的高度。
我们可以将汽车的高度函数建模为连续函数f(x)，其中x表示汽车在山路上的位置。
通过最大最小值定理，我们可以找到汽车在山路上的最高和最低点，从而帮助我们更好地了解汽车在这段山路的行驶状况。
总结最大最小值定理是微积分中一个非常重要的定理，它为我们寻找函数在闭区间上的最大值和最小值提供了重要的理论支持。
通过应用这一定理，我们可以更好地理解函数的行为，并解决许多实际问题。
在数学分析、优化问题和工程学等领域中，最大最小值定理都起着重要的作用，有着广泛的应用前景。
均值定理最大值最小值公式
均值定理最大值最小值公式
泰勒均值定理是一种重要的数学定理，用于解决最大值、最小值
等问题。
它是指一个变量满足特定条件时，最小值或最大值必定存在。
泰勒均值定理提供了一种量化的方法用来确定最小值和最大值的数值
表示，也就是最小值最大值的公式。
首先，用数学符号表示，泰勒均值定理的通用表达式如下：设f （x）是连续函数，那么，存在某个c使得f（c）的导数等于零。
其次，要求出最小值和最大值的数值表示，需要用解析求积法，
它是改进梯形求积法和牛顿梯形求积法之类求积方法的一种。
这种方
法通过极值函数的导数来应用泰勒均值定理，从而求出f（c）的最小
值和最大值。
最后，泰勒均值定理最大值最小值公式如下：最小值=f（c）-f （c）的导数，最大值=f（c）+f（c）的导数。
结论：泰勒均值定理非常重要，可以帮助我们通过数学解析方法
得出最小值和最大值的数值表示，从而解决科学实验中的难题，极大
的提高效率。
函数的极值,最大值与最小值
(1)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极大值点， (2)当f ( x0 ) 0时，x0为f ( x)的极小值点.
由 f ( x0 ) 0 知, 存在x0的某邻域, 使 f ( x) 0 ; 故当 x x0 时， 当 x x0时, f ( x) 0 , 由判别法1知 f ( x) 在 x0 取极大值 . 同理证(2).
0
0
使导数f (x)为零的点(方程f (x)0的 实根)称为函数f(x)的驻点. 思考: 极值点是否一定是驻点? 驻点是 否一定是极值点?
y
o a x1 x2 x3 x4
x5 b
x
3. 极值的判别法 定理2 (第一充分条件) 设函数y=f(x)在点x0 连续, 且在x0的某邻域内可导(点x0可除外). 如果在该邻域内
由于y|x0400k y|x15380k
其中以y|x15380k为最小
1 y |x 100 500k 1 2 5
因此当AD15km时 运费最省
例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上, 它的底边高 于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看 图才最清楚(视角 最大) ? 1.4 解: 设观察者与墙的距离为x(m), 1.4 1.8 1.8 1 . 8 则 arctan arctan ,
所以 M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
m min{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (1) 7.
例5. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km A 点到火车站B的距离为100km 欲修一条从工厂到 铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运费之比 为3:5 为使火车站B与工厂C间的运费最省 问D 点应选在何处？ 解: 设ADx(km) B与C间的运费为y 则 y5kCD3kDB (k是某个正数)
最大值和最小值定理
上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) ⋅ f ( b ) < 0 ), 那末在开区间 (a, b )内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 ξ (a < ξ < b ) ，使 f (ξ ) = 0 .
即方程 f ( x ) = 0在 (a , b )内至少存在一个实根 .
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 ∈ I , 使得对于任一 x ∈ I 都有 f ( x ) ≤ f ( x0 ) ( f ( x ) ≥ f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
例如, y = 1 + sin x , 在[0,2π ]上, ymax = 2, ymin = 0;
证明方程 x 3 − 4 x 2 + 1 = 0在区间 (0,1)内 例1 至少有一根 .
令 f ( x ) = x 3 − 4 x 2 + 1, 则f ( x )在[0,1]上连续 , 证
又 f ( 0 ) = 1 > 0,
f (1) = −2 < 0,
由零点定理,
∃ ξ ∈ (0,1), 使 f (ξ ) = 0,
有 m ≤ f ( x) ≤ M ,
取 K = max{ m , M },
∴ 函数 f ( x )在[a , b]上有界 .
则有 f ( x ) ≤ K .
2009-10-21
函数与极限(13)
4
二、介值定理
定义: 使 f ( x0 ) = 0 的 x0 称为 f ( x )的零点.
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 [a, b]
最大值和最小值定理最大值和最小值
20
例3 解
x3 求 lim 2 x 3 x 9 x3 y 由y 2 x 9 x3 1 lim 2 , x 3 x 9 6 x3 u与u 2 复合而成 , x 9
1 而函数 y u在 点u 连 续, 6 x3 1 6 x3 lim 2 lim 2 . x 3 x 3 6 6 x 9 x 9 ( x 2 1) 例4 求 ： l i mcos x x2 1
.
O
x
7
例3 函数
x 1, x 0, y f ( x ) 0, x 0, x 1, x 0.
x 0
y
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 1) 1
x 0
18
反函数、复合函数的连续性 定理4
减少且连续. 则它的反函数 x y 在对应区间上单调增加
例2 y sinx在闭区间 , 2 , 2 上单调增加且连续
减少且连续, 如果y f x 在某区间上单调增加
1,1上单调增加且连续 反函数 y arcsinx在对应区间 .
5
函数间断点的几种常见类型：
x2 1 在点 x 1 例1 函数 y x 1
没有定义，所以 x 1 为函数的间断点。
y
x2 1 lim lim ( x 1) 2 x 1 x 1 x 1
若补充定义： 令 x 1 时 y 2,
２
． 。
１
O
x
则该函数在 x 1 处连续。 所以，x 1 称为该函数的可去间断点。
1
注： 1. 由 lim x a , lim f u f a , 1式又可写成：
函数的极值与最大值最小值
f (n) (x0 ) 0,
是极大点 .
2) 当 n为奇数时, 不是极值点 .
证 利用 在 点的泰勒公式 , 可得
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0)
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)n
当 充分接近 o((时x ,x上0 )式n ) 左端正负号由右端第一项确定 ,
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节
第五节 函数的极值与最大值最小值
第三章
函数的极值与
最大值最小值
一、函数的极值及其求法 二、最大值与最小值 三、最优化问题及其应用
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、函数的极值及其求法
第五节 函数的极值与最大值最小值
定义
在其中当
时,
(1)
则称 为 的 极大值点,
说明： 这里没有直接以 为自
变量，是为了使计算简便. 如果以
1 2
O r
hR O
为自变量建立目标函数，可能会更方便些.
最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数
V (R2 h2 )h, 0 h R.
5x 400
x2
(k
3) ,
为某常数 )
y 5k
400 (400 x2 )32
令
得
又
所以 x 15为唯一的
极小值点 , 从而为最小值点 , 故 AD =15 km 时运费最省 .
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第五节 函数的极值与最大值最小值
最大值和最小值定理最大值和最小值
至少有一个零点（. 记录）
a0 0
证 不妨设a0 0,
lim p x x
lim
x
x
2n1
a0
a1 x
a2n1 x 2n1
lim p x
x
lim
x
x
2n1
a0
a1 x
a2n1 x 2n1
X 0,使得 pX 0, p X 0,
px在 X , X 上连续,
由零点定理知： 至少存在一点 X，X ,使得p 0,
解 y x 3 由y u与u x 3 复合而成,
x2 9
x2 9
lim x 3 1 , x3 x 2 9 6
而 函 数y u在 点u 1 连 续, 6
lim
x3
x3 x2 9
x3
lim
x3 x2 9
1 6. 66
例4 求：lim cos ( x2 1)
x
x2 1
解
：lim x
。
.
。
.
6
例3 函数
所以
不存在。
该函数的跳跃间断点。
称为
１。 。
－１
7
例4 正切函数 所以
在 是函数
处没有定义， 的间断点。
所以，称 的无穷间断点。
为函数
8
例5 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那 一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
9
解
是可去间断点，属于第一类间断点。
其中1 , 2是当x x0时的无穷小.
16
f (x) g(x) f (x0 ) 1 g(x0 ) 2
f ( x0 )g( x0 ) 1 g( x0 ) 2 f ( x0 ) 1 2
a0 0
证 不妨设a0 0,
lim p x x
lim
x
x
2n1
a0
a1 x
a2n1 x 2n1
lim p x
x
lim
x
x
2n1
a0
a1 x
a2n1 x 2n1
X 0,使得 pX 0, p X 0,
px在 X , X 上连续,
由零点定理知： 至少存在一点 X，X ,使得p 0,
解 y x 3 由y u与u x 3 复合而成,
x2 9
x2 9
lim x 3 1 , x3 x 2 9 6
而 函 数y u在 点u 1 连 续, 6
lim
x3
x3 x2 9
x3
lim
x3 x2 9
1 6. 66
例4 求：lim cos ( x2 1)
x
x2 1
解
：lim x
。
.
。
.
6
例3 函数
所以
不存在。
该函数的跳跃间断点。
称为
１。 。
－１
7
例4 正切函数 所以
在 是函数
处没有定义， 的间断点。
所以，称 的无穷间断点。
为函数
8
例5 下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于那 一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续。
9
解
是可去间断点，属于第一类间断点。
其中1 , 2是当x x0时的无穷小.
16
f (x) g(x) f (x0 ) 1 g(x0 ) 2
f ( x0 )g( x0 ) 1 g( x0 ) 2 f ( x0 ) 1 2
高等数学：第十二讲 最大值与最小值
x
m
，宽为
y
m
，则高为
2 xy
m，水箱所用材料的面积为
S 2(xy x 2 y 2 ) 2(xy 2 2)(x 0, y 0)
xy xy
yx
令
S x S y
2( y 2( x
2 x22 y2
) )
0 0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
由问题的实际意义，水箱所用材料面积的最小值一定存在，又只有一个
驻点，因此，当长、 宽均为
3
2、高为
3
2 23
2
3
2最大值和最小值的一般方法
最值可疑点
驻点
边界上的点
2.在实际问题中如何求解函数的最值
谢谢
dz
对此函数求导，得：
d
x
x(8
3x)
可知函数在区间 (0,4) 内的驻点为 x
在区间的两端点 x 0、x 4处 z
8，函数值为
0，3
z
256 27
.
所以 z 256为函数 z 在区域 D 的边界上的最大值.
27
由于
625 64
22576，所以二元函数
z
在区域
D上的最大值为
z
625 64
,
x2 (5 x 2 y) 0
求得在区域 D 内的驻点为 (5 , 5)，在驻点处的函数值为 z 625 .
24
64
例题1：
z x2 y(5 x y)
在边界 x 0, y 0上函数 z 的值恒为零； 在边界 x y 4 上，将 y 4 x 代入函数中，使函数 z 成为变
量 x 的一元函数：z x2 (4 x),0 x 4
概率论最大值与最小值公式
概率论最大值与最小值公式
在概率论中，最大值和最小值的公式涉及到联合概率分布和条件概率。
以下是一些基本公式：
1. 最大值公式：P(max(A, B)) = 1 - P(A' and B')
这个公式表示，事件A和事件B中发生较大事件的概率为1减去事件A和
事件B都不发生的概率。
2. 最小值公式：P(min(A, B)) = P(A and B) + P(A' and B) + P(A and B')
这个公式表示，事件A和事件B中发生较小事件的概率为事件A和事件B
同时发生的概率加上事件A发生且事件B不发生的概率加上事件A不发生
且事件B发生的概率。
以上公式适用于两个独立事件A和B。
如果事件A和事件B是相互独立的，则可以使用独立事件的概率乘法公式来计算P(A and B)，即P(A and B) =
P(A) P(B)。
对于更复杂的情况，如多个事件的联合概率和条件概率，可能需要使用其他公式和技巧来计算最大值和最小值。
最大值和最小值定理定义
xx0
x0
xx0
(3) 在点 x0处有定义，且 lim f ( x)存在，
但 lim f ( x) f ( x0 )；
xx0
间断点分类
但 f ( x ) 和 f ( x , (1) 若 f ( x) 在点 x0间断， 0 0 ) 都存在 则称x0为 f ( x)的第一类间断点；
若x0为 f ( x )的第一类间断点，
并称 x0 为 f ( x ) 的连续点
反之,称函数在x0 处间断,
且将x0 叫作函数的间断点
因为
y f ( x0 x) f ( x0 ) 故由
x 0
x 0
lim y 0
可推得 lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 或
x 0
lim f ( x ) f ( x0 )
a
b
0
a
b
注意：
1）若 y f ( x) 在开区间 ( a, b)上连续， 则在区间
(a , b ) 上不一定达到最大值。
例如
y x 在 (a, b) 上连续但无最大最小值
2）若 y f ( x)在 [a, b] 上有定义，但有间断点， 则 y f ( x) 在区间 [ a, b] 上不一定达到最大最小值。
如果y f ( x)在其区间上单调增加 (减少)且连续，
也单调增加 (减少)且连续
复合函数的连续性 设 u ( x) 在 x0连续，且 u0 ( x0 ), 又
y f (u) 在点u0连续， .则复合函数 y f [ ( x)] 在点x0也连续.
即 若 lim f (u) f (u0 )
1 y , 则 x 1 为第二类间断点； x 1
x0
xx0
(3) 在点 x0处有定义，且 lim f ( x)存在，
但 lim f ( x) f ( x0 )；
xx0
间断点分类
但 f ( x ) 和 f ( x , (1) 若 f ( x) 在点 x0间断， 0 0 ) 都存在 则称x0为 f ( x)的第一类间断点；
若x0为 f ( x )的第一类间断点，
并称 x0 为 f ( x ) 的连续点
反之,称函数在x0 处间断,
且将x0 叫作函数的间断点
因为
y f ( x0 x) f ( x0 ) 故由
x 0
x 0
lim y 0
可推得 lim f ( x0 x ) f ( x0 ) 或
x 0
lim f ( x ) f ( x0 )
a
b
0
a
b
注意：
1）若 y f ( x) 在开区间 ( a, b)上连续， 则在区间
(a , b ) 上不一定达到最大值。
例如
y x 在 (a, b) 上连续但无最大最小值
2）若 y f ( x)在 [a, b] 上有定义，但有间断点， 则 y f ( x) 在区间 [ a, b] 上不一定达到最大最小值。
如果y f ( x)在其区间上单调增加 (减少)且连续，
也单调增加 (减少)且连续
复合函数的连续性 设 u ( x) 在 x0连续，且 u0 ( x0 ), 又
y f (u) 在点u0连续， .则复合函数 y f [ ( x)] 在点x0也连续.
即 若 lim f (u) f (u0 )
1 y , 则 x 1 为第二类间断点； x 1
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0 ; 2 , y 1 sin x ,在 [ 0 , 2 ] 上 ,y 例如, y min max
y sgn x , 1 ; 1 , y 在 ( , ) 上 ,y min max
y 1 . 在 ( 0 , ) 上 , y max min
1
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
即方程 f( x ) 0 在 ( a ,b ) 内至少存在一个 .
5
几何解释:
y
连续曲线弧 y f (x)的两个 端点位于 x轴的不同侧 ,则曲
y f( x )
1 2
3
b x
ao
线弧与 x轴至少有一个交点 . 定理 3(介值定理) 设函数 f ( x )在闭区间[a,b]
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
证 设 ( x ) f ( x ) C ,
y
2 3 x2 b
x
( a ) ( b ) 0 , 由零点定理,
( ) 0 , 即 ( ) f ( ) C 0 , f ( ) C .
y f( x ) 与水平 几何解释: 连续曲线弧 直线 y C 至少有一个交点 .
f (a ) A 及 f (b) B ,
那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区 间 a , b 内至少有一点 ，使得 f ( ) C
(a b).
6
B C ,m ( b ) f ( b ) C
M 则 ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , B yf(x ) C 且 ( a ) f ( a ) C a o x1 1 A C , A
2
y
y f( x )
y
y f( x )
1
o
2
x
o
1
2
x
推论 (有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数 x [ a , b ], f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
有 m f ( ) f ( x ) f ( ) M ,
§1.10 闭区间上连续函数的性质
一 最大值和最小值定理
f(x ) 在区间 I 上有定义 , 定义: 设函数 如果有 x I ,且对于 x I都有 0 f(x )f(x ) ( 或 f(x )f(x )) 0 0 则称 f(x ) 是函数 f(x ) 在 I 上的最大值 ( 最小值 ). 0
4
二 介值定理
定义: 如果 x 使 f ( x ) 0 ,则 x 称为函数 0 0 0
f ( x ) 的零点 .
定理 2(零点定理) 设函数f ( x) 在闭区间 a, b 上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
(a b) ，使 f () 0 . 那末至少有一点
若 f ( x ) C [ a , b ], 则 , [ a , b ], 使得 x [ a , b ], 有 f ( ) f ( x ), f ( ) f ( x ).
y
y f( x )
o a
b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
0, 而 F ( a ) f ( a ) a
0, F ( b ) பைடு நூலகம் ( b ) b
由零点定理,
F ( ) f ( ) 0 , ( a , b ),使
即 f ( ) .
9
xa sin xb ， a0, b0 ， 例 3证 明 方 程 其 中 至 少 ab . 有 一 个 正 根 ， 并 且 它 不 超 过
3 2 (0 ,1 ), 使 f( ) 0 , 即 4 1 0 ,
3 2 f( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上连续 , f ( x ) x 4 x 1 ,则 证 令
3 2 方程 x 4 x 1 0 在 ( 0 , 1 ) 内至少有一 .
证：设 f ( x ) x a si x n b ,f( x ) 在 0 ， a b 上连续
f ( a b ) a b a sin( a b ) b a 1 si a b ) 0 ,
8
例2 设函数 f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 ,且 f ( a ) a ,
f ( b ) b .证明 ( a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x ,则 F ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 ,
f ( x ) K . 取 K max{ m , M },则有
函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界 .
3
例1 设 f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且
证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界.
x
lim f ( x ) , 存在
证： lim f(x )A
x
( a ,b ), 使
7
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 M与最小值 m 之间的任何值. 例1 证明方程 x 4 x 1 0 在区间 ( 0 , 1 ) 内
3 2
至少有一根 .
又 f ( 0 ) 1 0 , f ( 1 ) 2 0 , 由零点定理,
1 , X 0 ,当|x|>X时, | f (x)-A|<1 ∴取 0
又||f (x)|-|A||<| f (x)-A|<1, 即: | f (x)|<|A|+1
∵ f(x) 在(-∞，+∞)上连续，∴ f(x)在[-X，X]上连续。 由有界性定理, M0>0, x [-X，X], 都有| f (x)|≤M0 取M=max{|A|+1, M0}, x ( , ), | f ( x ) | M .