高等代数因式分解定理
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f(x) = cpr11 (x)pr22 (x) · · · prss (x),
其中 c 是 f(x) 的首项系数，p1(x), p2(x), · · · , ps(x) 是不同的首项 系数为 1 的不可约多项式，而 r1, r2, · · · , rs 是正整数. 这种分解 式称为标准分解式.
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证 对 s 用数学归纳法不难证明.
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因式分解及唯一性定理
定理 (因式分解及唯一性定理)
数域 P 上每一个次数 ≥ 1 的多项式 f(x) 都可以唯一地分解成数 域 P 上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，如果有两个
注 1 根据定义，一次多项式总是不可约多项式.
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不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解.
定义 数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项 式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个 次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.
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因式分解唯一性
再证唯一性. 设 f(x) 可以分解成不可约多项式的乘积
f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x). 如果 f(x) 还有另一个分解式
f(x) = q1(x)q2(x) · · · qt(x),
其中 qi(x) 都是不可约多项式, 于是
f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x)
(p(x), f(x)) = c−1p(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x).
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因式分解存在性
证 先证分解式的存在. 我们对 f(x) 的次数作数学归纳法. 因为一次多项式都是不可约的，所以 n = 1 结论成立. 设 ∂(f(x)) = n，并设结论对次数低于 n 的多项式已经成立. 如果 f(x) 是不可约多项式，结论是显然的，不妨设 f(x) 不是不 可约的，即有
(4)
pi(x) = ciqi(x)(i = 3, · · · , s).
(2), (3), (4) 合起来即为所要证的. 这就证明了分解的唯一性.
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标准因式分解
在多项式 f(x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系 数提出来，使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可 约因式合并. 于是 f(x) 的分解式成为
(x
+
√ 2)(x
−
√2)(x2
+
2).
而在复数域 C 上，还可以进一步分解成
√
√
√
√
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(x + 2)(x − 2)(x + 2i)(x − 2i).
由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切的涵义.
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证 如果 p(x) | f(x)，那么结论已经成立. 如果 p(x) ∤ f(x)，那么由上面的命题可知
(p(x), f(x)) = 1.
即得 p(x) | g(x).
推论 如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 f1(x), f2(x), · · · , fs(x) 的 乘积，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个.
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不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解. 定义 数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项 式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个 次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.
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因式分解与系数域
例如，在有理数域 Q 上，把 x4 − 4 分解为
(x2 − 2)(x2 + 2),
的形式就不能再分了. 但在数域 Q(√2)，或更大一些，在实数域 R 上，就可以进一步分解成
(p(x), f(x)) = 1.
即得 p(x) | g(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x). 证 如果 p(x) | f(x)，那么结论已经成立. 如果 p(x) ∤ f(x)，那么由上面的命题可知
证 如果 p(x) | f(x)，那么结论已经成立. 如果 p(x) ∤ f(x)，那么由上面的命题可知
(p(x), f(x)) = 1.
即得 p(x) | g(x).
推论 如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 f1(x), f2(x), · · · , fs(x) 的 乘积，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个.
f(x) = f1(x)f2(x),
其中 f1(x), f2(x) 的次数均低于 n. 由归纳法假定 f1(x) 和 f2(x) 都 可以分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积. 把 f1(x), f2(x) 的 分解式合起来就得到 f(x) 的一个分解式. 由归纳法原理，结论普遍成立.
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不可约多项式的性质
命题 p(x), f(x) ∈ P[x]，且 p(x) 不可约，则
(p(x), f(x)) = 1, 或 (p(x), f(x)) = c−1p(x)
（c 为 p(x) 的首项系数）. 后一情况成立当且仅当 p(x) | f(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x).
因式分解与系数域
在中学所学代数里我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为 不可再分的因式的乘积. 但那里并没有深入地讨论这个问题. 那 里所谓不能再分，常常只是我们自己看不出怎样再分下去的意 思，并没有严格地论证它们确实不可再分. 所谓不能再分的概念， 其实不是绝对的. 而是相对于系数所在的数域而言的.
证 令 d(x) = (p(x), f(x))，则 d(x) | p(x). 于是 p(x) = d(x)q(x). 由 p(x) 不可约，知 deg(d(x)) = 0 或 deg(q(x)) = 0.deg(d(x)) = 0， 即 d(x) = 1.deg(q(x)) = 0，即 p(x) = cd(x)，由 d(x) 是首一多项 式，故 c 为 p(x) 的首项系数. 此时，有 p(x) | f(x). 反之，p(x) | f(x). 即 p(x) 为 f(x), p(x) 的最大公因式. 因而
注 1 根据定义，一次多项式总是不可约多项式. 2 一个多项式是否可约是依赖于系数域的.
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不可约多项式的性质
命题 p(x), f(x) ∈ P[x]，且 p(x) 不可约，则
(p(x), f(x)) = 1, 或 (p(x), f(x)) = c−1p(x) （c 为 p(x) 的首项系数）. 后一情况成立当且仅当 p(x) | f(x).
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因式分解唯一性
在 (1) 式两边消去 q1(x)，就有 p2(x) · · · ps(x) = c−1 1q2(x) · · · qt(x).
由归纳法假定，有
s − 1 = t − 1, 即 s = t,
(3)
并且适当排列次序之后有
p2(x) = c′2c−1 1q2(x), 即 p2(x) = c2q2(x),
分解式
f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x)
= q1(x)q2(x) · · · qt(x),
那么必有 s = t，并且适当排列因式的次序后有
pi(x) = ciqi(x), i = 1, 2, · · · , s. 其中 ci(i = 1, 2, · · · , s) 是一些非零常数.
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标准分解与最大公因式
定理 设 f(x), g(x) ∈ P[x]，且不为 0, 又
f(x) = apr11 (x)pr22 (x) · · · prss (x), ri ≥ 0 g(x) = bpt11 (x)pt22 (x) · · · ptss (x), ti ≥ 0
分别为 f(x), g(x) 的标准分解，则
现在设不可约因式的个数为 s − 1 时唯一性已证. 由 (1)，p1(x) | q1(x)q2(x) · · · qt(x)，因此，p1(x) 必能整除其中的 一个，不妨设
p1(x) | q1(x).
因为 q1(x) 也是不可约多项式，所以有
p1(x) = c1q1(x),
(2)
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(1)
= q1(x)q2(x) · · · qt(x).
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因式分解唯一性
我们对 s 作归纳法. 当 s = 1 时，f(x) 是不可约多项式，由定义 必有
s = t = 1,
且 f(x) = p1(x) = q1(x).
不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解.
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不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解. 定义 数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项 式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个 次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.
其中 c 是 f(x) 的首项系数，p1(x), p2(x), · · · , ps(x) 是不同的首项 系数为 1 的不可约多项式，而 r1, r2, · · · , rs 是正整数. 这种分解 式称为标准分解式.
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证 对 s 用数学归纳法不难证明.
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因式分解及唯一性定理
定理 (因式分解及唯一性定理)
数域 P 上每一个次数 ≥ 1 的多项式 f(x) 都可以唯一地分解成数 域 P 上一些不可约多项式的乘积. 所谓唯一性是说，如果有两个
注 1 根据定义，一次多项式总是不可约多项式.
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不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解.
定义 数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项 式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个 次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.
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因式分解唯一性
再证唯一性. 设 f(x) 可以分解成不可约多项式的乘积
f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x). 如果 f(x) 还有另一个分解式
f(x) = q1(x)q2(x) · · · qt(x),
其中 qi(x) 都是不可约多项式, 于是
f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x)
(p(x), f(x)) = c−1p(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x).
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因式分解存在性
证 先证分解式的存在. 我们对 f(x) 的次数作数学归纳法. 因为一次多项式都是不可约的，所以 n = 1 结论成立. 设 ∂(f(x)) = n，并设结论对次数低于 n 的多项式已经成立. 如果 f(x) 是不可约多项式，结论是显然的，不妨设 f(x) 不是不 可约的，即有
(4)
pi(x) = ciqi(x)(i = 3, · · · , s).
(2), (3), (4) 合起来即为所要证的. 这就证明了分解的唯一性.
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标准因式分解
在多项式 f(x) 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系 数提出来，使它们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可 约因式合并. 于是 f(x) 的分解式成为
(x
+
√ 2)(x
−
√2)(x2
+
2).
而在复数域 C 上，还可以进一步分解成
√
√
√
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(x + 2)(x − 2)(x + 2i)(x − 2i).
由此可见，必须明确系数域后，所谓不能再分才有确切的涵义.
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证 如果 p(x) | f(x)，那么结论已经成立. 如果 p(x) ∤ f(x)，那么由上面的命题可知
(p(x), f(x)) = 1.
即得 p(x) | g(x).
推论 如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 f1(x), f2(x), · · · , fs(x) 的 乘积，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个.
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不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解. 定义 数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项 式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个 次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.
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因式分解与系数域
例如，在有理数域 Q 上，把 x4 − 4 分解为
(x2 − 2)(x2 + 2),
的形式就不能再分了. 但在数域 Q(√2)，或更大一些，在实数域 R 上，就可以进一步分解成
(p(x), f(x)) = 1.
即得 p(x) | g(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x). 证 如果 p(x) | f(x)，那么结论已经成立. 如果 p(x) ∤ f(x)，那么由上面的命题可知
证 如果 p(x) | f(x)，那么结论已经成立. 如果 p(x) ∤ f(x)，那么由上面的命题可知
(p(x), f(x)) = 1.
即得 p(x) | g(x).
推论 如果不可约多项式 p(x) 整除一些多项式 f1(x), f2(x), · · · , fs(x) 的 乘积，那么 p(x) 一定整除这些多项式之中的一个.
f(x) = f1(x)f2(x),
其中 f1(x), f2(x) 的次数均低于 n. 由归纳法假定 f1(x) 和 f2(x) 都 可以分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积. 把 f1(x), f2(x) 的 分解式合起来就得到 f(x) 的一个分解式. 由归纳法原理，结论普遍成立.
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不可约多项式的性质
命题 p(x), f(x) ∈ P[x]，且 p(x) 不可约，则
(p(x), f(x)) = 1, 或 (p(x), f(x)) = c−1p(x)
（c 为 p(x) 的首项系数）. 后一情况成立当且仅当 p(x) | f(x).
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不可约多项式的性质
定理 如果 p(x) 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式 f(x), g(x)，由 p(x) | f(x)g(x) 一定推出 p(x) | f(x) 或者 p(x) | g(x).
因式分解与系数域
在中学所学代数里我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为 不可再分的因式的乘积. 但那里并没有深入地讨论这个问题. 那 里所谓不能再分，常常只是我们自己看不出怎样再分下去的意 思，并没有严格地论证它们确实不可再分. 所谓不能再分的概念， 其实不是绝对的. 而是相对于系数所在的数域而言的.
证 令 d(x) = (p(x), f(x))，则 d(x) | p(x). 于是 p(x) = d(x)q(x). 由 p(x) 不可约，知 deg(d(x)) = 0 或 deg(q(x)) = 0.deg(d(x)) = 0， 即 d(x) = 1.deg(q(x)) = 0，即 p(x) = cd(x)，由 d(x) 是首一多项 式，故 c 为 p(x) 的首项系数. 此时，有 p(x) | f(x). 反之，p(x) | f(x). 即 p(x) 为 f(x), p(x) 的最大公因式. 因而
注 1 根据定义，一次多项式总是不可约多项式. 2 一个多项式是否可约是依赖于系数域的.
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不可约多项式的性质
命题 p(x), f(x) ∈ P[x]，且 p(x) 不可约，则
(p(x), f(x)) = 1, 或 (p(x), f(x)) = c−1p(x) （c 为 p(x) 的首项系数）. 后一情况成立当且仅当 p(x) | f(x).
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因式分解唯一性
在 (1) 式两边消去 q1(x)，就有 p2(x) · · · ps(x) = c−1 1q2(x) · · · qt(x).
由归纳法假定，有
s − 1 = t − 1, 即 s = t,
(3)
并且适当排列次序之后有
p2(x) = c′2c−1 1q2(x), 即 p2(x) = c2q2(x),
分解式
f(x) = p1(x)p2(x) · · · ps(x)
= q1(x)q2(x) · · · qt(x),
那么必有 s = t，并且适当排列因式的次序后有
pi(x) = ciqi(x), i = 1, 2, · · · , s. 其中 ci(i = 1, 2, · · · , s) 是一些非零常数.
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标准分解与最大公因式
定理 设 f(x), g(x) ∈ P[x]，且不为 0, 又
f(x) = apr11 (x)pr22 (x) · · · prss (x), ri ≥ 0 g(x) = bpt11 (x)pt22 (x) · · · ptss (x), ti ≥ 0
分别为 f(x), g(x) 的标准分解，则
现在设不可约因式的个数为 s − 1 时唯一性已证. 由 (1)，p1(x) | q1(x)q2(x) · · · qt(x)，因此，p1(x) 必能整除其中的 一个，不妨设
p1(x) | q1(x).
因为 q1(x) 也是不可约多项式，所以有
p1(x) = c1q1(x),
(2)
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(1)
= q1(x)q2(x) · · · qt(x).
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因式分解唯一性
我们对 s 作归纳法. 当 s = 1 时，f(x) 是不可约多项式，由定义 必有
s = t = 1,
且 f(x) = p1(x) = q1(x).
不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解.
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不可约多项式的定义
在下面的讨论中，仍然选定一个数域 P 作为系数域，我们考察 数域 P 上的一元多项式环 P[x] 中的因式分解. 定义 数域 P 上次数 ≥ 1 的多项式 p(x) 称为数域 P 上的不可约多项 式（irreducible polynomial），如果它不能表成数域 P 上的两个 次数比 p(x) 的次数低的多项式的乘积.