哈尔滨市第三中学

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2006—2007学年度高三年级上学期月考
数学试题（理）
考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。

考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷试题答案均涂在机读卡上，第Ⅱ卷试题答案写在试卷上； （3）交机读卡和第Ⅱ卷.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．设集合B A x x x B x x A 则集合},
11
21|
{},2|{<+-=≤=为 （ ）
A ．}12
1|{<<-
x x
B ．}22
1|{≤<-
x x
C ．}2
1
2|{-<<-x x
D ．}2
1
,21|{-≠<<-x x x 且
2．设p ：x <－1或x > 1，q ：x <－2或x > 1，则﹁q 是﹁p 的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．曲线122
+=x y 在点P （－1，3）处的切线方程为
（ ）
A ．y = －4x －1
B ．y =－4x －7
C ．y = 4x －1
D ．y =－4x + 7 4．复数i
i i i z 212)
1()
31(6
3
++--++
-=等于
（ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．i
5．若不等式x x ax ax 42422
2
+<-+对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)+∞--∞,2)2,( B ．（－2，2）
C ．(]2,2-
D ．(]2,∞-
6．求极限3
21lim 3
--+→x x x
（ ）
A ．
4
1
B ．－
4
1
C ．
3
1
D ．不存在
7．已知函数x x f ln )(=，则函数x x f x g -+=)1()(的最大值为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．2
8．已知函数2)2(28)2()(2
=⎪
⎩
⎪⎨⎧>--+≤+=x x x ax x x m x x f 在处连续，则x
x x
x x a m a m -++∞→3lim
的值为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9．已知函数=∆-∆+=→∆-x
f x f e x f x x
2)
2()2(lim
,)(0
1则
（ ）
A ．
e
21 B ．
e
81 C ．e
D ．e
1
10．设函数2)(3-+=ax x x f 在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[)+∞,3
B ．[)+∞-,3
C ．),3(+∞-
D ．)3,(--∞
11．已知实数0≠a ，函数)()2()(2R x x ax x f ∈-=，有极大值32，则a 等于 （ ）
A ．2
B ．
3
2
C ．27
D ．28
12．设函数c bx ax x x f +++
=
22
13
1)(2
3
，当)1,0(∈x 时取极大值，当)2,1(∈x 时取极小
值，则1
2--a b 的取值范围是
（ ）
A ．（1，4）
B ．)1,21
(
C ．)21
,41(
D ．)1,41
(
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上）
13．函数='≠>⋅=)(),1,0()(x f a a x a x f a
x 则 .
14．若不等式b ax <+|2|的解集为（－1，2），则实数a 的值为 .
15．设复数i Z i Z 31,221-=-=，则复数
5
21
Z Z i +的虚部为 .
16．设函数)1,()1()(22>∈-=n N n x x n x f n n ，则)(x f n 在[0，1]上的最大值为 . 三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解关于x 的不等式).(11
R a a x x ∈-<-
18．（本小题满分12分）已知}0|{},13
|
{2
≤++=≤+=q px x x B x a x A ，且R B A = ，
}40|{≤≤=x x B A ，求实数a ，p ，q 的值.
19．（本小题满分12分）已知函数54)(2
3
+++=bx ax x x f 的图象在x = 1处的切线方程
为y =－12x ，
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）求函数f (x )在[－3，1]上的最大、最小值.
20．（本小题满分12分）已知数列{a n }是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项和，并且
a 3 = 5，a 4S 2 = 28.
（1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：不等式3
321
21)
11()11)(11(2
1
≥
++
+
+n a a a n
对一切*N n ∈均成立.
21．（本小题满分12分）从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为x 的正方形，然
后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常
数t ，
（1）把铁盒的体积V 表示为x 的函数，并指出其定义域； （2）x 为何值时，容积V 有最大值.
22．（本小题满分14分）设x = 3是函数)()()(32
R x e
b ax x x f x
∈⋅++=-的一个极值点，
（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求出f (x )的单调区间； （2）设x
e a x g a ⋅+
=>)4
25()(,02
，若存在]4,0[,21∈m m 使得：
1|)()(|21<-m g m f 成立，求a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：
1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．B 10．B 11．C 12．D 二、填空题：
13．)ln (1a a x x a a x +- 14．－4 15．1 16．2
)
1
(4++n n n
三、解答题：
17．当}11|{0a
a x x x a -><<或时；当}1|{0<=x x a 时；当a > 0时}.11|
{<<-x a
a x
18．a = 3，p =－1，q = 12
19．（1）51834)(23+--=x x x x f ； （2）16)(,76)(max min =-=x f x f 20．a n = 2n －1； （2）略
21．（1）x a ax x V 223484+-=； }.1
220|{a t t
x x +≤
<
（2）当122,410+=≤<t at x t 时有最大值；当3
,41a
x t =>时有最大值
22．（1）当a <－4时，单调递减区间为(][)+∞--∞-,13,a 和，单调递增区间为[3，－a －1]；
当a >－4时，单调递减区间为(][)+∞--∞-,31,和a ，单调递增区间为[－a －1，3]；
（2）.230<<a。