专题20 圆锥曲线 教师版

a x 1 2 20.圆锥曲线 2 1．（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系 xOy 中，曲线C : y = 与直线l : y = kx + a (a > 0) 交于 M ， 4

N 两点． （Ⅰ）当k = 0 时，分別求C 在点 M 和 N 处的切线方程．

（Ⅱ） y 轴上是否存在点 P ，使得当k 变动时，总有∠OPM = ∠OPN ？（说明理由）

⎧ y = a ⎪ 【解答】解： (I ) 联立⎨ ⎪⎩ y = x 2 x 2 ，不妨取 M (2 4 x

a , a ) ， N (-2 a , a ) ，

由曲线C : y = 可得： y '= ，

4 2

∴曲线 C 在 M 点处的切线斜率为

a x - y - a = 0 ．

= ，其切线方程为： y - a = a (x - 2 a ) ，化为 同理可得曲线C 在点 N 处的切线方程为： a x + y + a = 0 ．

(II ) 存在符合条件的点(0, -a ) ，下面给出证明：

设 P (0,b ) 满足∠OPM = ∠OPN ． M (x 1 ， y 1 ) ， N (x 2 ， y 2 ) ，直线 PM ， PN 的斜率分别为：

k 1 ， k 2 ．

⎧ y = kx + a ⎪ ⎨ y = x

，化为 x 2 - 4kx - 4a = 0 ， ⎩

⎪ 4

∴ x 1 + x 2 = 4k ， x 1 x 2 = -4a ．

∴ k + k = y 1 - b + y 2 - b = 2kx 1 x 2 + (a - b )(x 1 + x 2 ) = k (a + b ) ． x 1 x 2 x 1 x 2 a

当b = -a 时， k 1 + k 2 = 0 ，直线 PM ， PN 的倾斜角互补，

∴∠OPM = ∠OPN ．

∴点 P (0, -a ) 符合条件．

2．（2015•新课标Ⅰ）已知过点 A (0,1) 且斜率为k 的直线l 与圆C : (x - 2)2 + ( y - 3)2 = 1 交于点

M 、 N 两点．

（1）求k 的取值范围； 2 a 2

联立 2