第五章数据分布特征的描述
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第5章 数据分布特征 的描述
集中趋势 离散程度 分布形态
统计数据的集中趋势是指一组数据向某 一中心值靠拢的倾向。 对集中趋势的描述归纳起来有两大类： 一类是数值平均数，它是根据全部数值 计算得到的代表值；另一类是位置平均 数，是根据数据所处位置直接观察或根 据与所处位置有关的部分数据计算确定 的代表值。
. . . . . . %
平均年利率=106.82%-1=6.82
加权几何平均数
f fn f1 f 2 x x1 x2 xn
二、位置平均数 1.众数(Mode)
众数是指总体中出现次数最多或频率最大 的变量值。众数是一种位置平均数，且也不受 极端值的影响。
实际完成产值 x 计划产值
xf 1 xf x
26175 105.12% 24900
只知道实际产值， 缺少计划产值的情况
平均计划完成为105.12%
3.几何平均数
当标志总量等于各个标志值的乘积，而不 是之和时，计算平均数就采用几何平均数。
集中趋势的测度值之一 N 个变量值乘积的 N 次方根 主要用于计算平均速度、平均比率
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
14 8 M0 5 123 ( 个 ) 120 (14 8 ) (14 10 )
按成绩分 组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计
xf x 1 x xf
700 1100 4560 1950 1400 700 1100 4560 1950 1400 10 11 12 13 14
9710 1 2 .1 3 7 5（件） 800
某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如 下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格
Mo
• 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布
某车间50名工人日加工零件数分组表 按零件数分组
【 根 二 的 ， 50 人 工 数 数 例 据 节 数 计 名 日 零 的 】 第 中 据 算 工 加 件 众
频数（人） 3 5 8 14 10 6 4 50
累积频数 3 8 16 30 40 46 50 —
x1 f1 x 2 f 2 x n f n xf x f1 f 2 f n f
fn f1 f x x1 xn x f f f
•
xw
比重权数更能够直接体现权数的实质：
组距数列如何计算平均数？
按成绩分组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计 学生人数（人） 2 15 19 15 3 54
70 100 380 150 100
加权平均数
x1 f 1 x 2 f 2 x n f n xf x f1 f 2 f n f 9710 1 2 .1 3 7 5 （件） 800
权数（权重）
——权衡轻重（影响）作用的数（变量）。 权数的两种形式——绝对数（次数）f； ——相对数（比重）
一、数值平均数
1.算术平均数
基本公式
总体标志总量 算术平均数 x 总体单位总量
例： 平均工资=工资总额/职工人数 平均成本=总成本/产量
（1）简单算术平均数——未分组时
5名学生的考试成绩分别为（分）： 70、80、80、85、85， 他们的平均成绩是多少？ （70+80+80+85+85）/5=80（分）
• • 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
n
i 1
x i m e Min
例 某企业生产某种产品要经过三道工 序，各工序的合格品率分别为95%、96% 和98%。该产品三道工序的平均合格品率 为多少？
x n x1 x2 xn
三道工序的平均合格品率为96.32%. 思考平均废品率为多少？
【 例 】 一 位 投 资 者 持 有 一 种 股 票 ， 1996 年、 1997 年、 1998 年和 1999 年收益率分别 为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资 者在这四年内的平均收益率。
平均计划完成程度的计算只能是所有企 业的实际完成数与其计划任务数之比，不能 把各个企业的计划完成百分数简单平均。
实际完成产值 x 计划产值
xf 0.858000.9525001.05172001.154400 f 8002500172004400
26175 105.12% 24900
x) 0
( x x) f
0
2.变量值与算术平均数的离差平方和最小
2 2 ( x x ) ( x c )
2 2 ( x x ) f ( x c ) f
说明以算术平均数以外的任何数为中心， 其离差都大于以平均数为中心的离差。
相对数的算术平均数 符合相对数本身公式
某日三种蔬菜的批发成交数据 蔬菜名称 甲 乙 丙 合计 批发价格(元) 1.20 0.50 0.80 — 成交额(元) 18000 12500 6400 36900 成交量(公斤) 15000 25000 8000 48000
成交额 x 成交量
xf 1 xf x 18000 12500 6400 18000 12500 6400 1 .2 0 .5 0 .8
x1 x 2 x n x x n n
（2）加权算术平均数
——当数据已分组，形成了变量数列：
工人日产量 （件） x 10 11 12 13 14 合 计 工人人数 （人）f 70 150 380 150 100 850
10 11 12 13 14 60 工人平均量 12 （件） 5 5
某公司下属18个企业，计划完成相对数如 下：
产值计划 完成程度 （%） 80-90 90-100 100-110 110-120 合计 组中值 （%） x 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 实际 产值
xf
计划 1 产值 xf x
680 2375 18060 5060 26175
某公司下属18个企业，计划完成相对数如下
产值计划完 成程度 （%） 80—90 90—100 100—110 110—120 合计 组中值 （%） 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 计划产值 (万元） 800 2500 17200 4400 24900 实际产值 （万元）xf 680 2375 18060 5060 26175
学生人数 （人） 2 15 19 15 3 54
f f 1 M0 d L ( f f 1 ) ( f f 1 ) 19 15 70 10 (19 15) (19 15) 75分
f f 1 M0 d U ( f f 1 ) ( f f 1 ) 19 15 80 10 (19 15) (19 15) 75分
只有在总体单位充分多，且又有明显的集中趋 势时才可能确定众数。在较小的总体范围内， 确定众数没有意义。 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值 型数据
无众数 原始数据: 8
一个众数 原始数据: 6
10
5
9 12
6
5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
定序数据的众数
【例】根据第二节中的数据计算众数
解：这里的数据为 定序数据。变量为“ 回答类别”。甲城市 中对住房表示不满 意的户数最多，为 108户，因此众数为 “ 不满意 ” 这一类别 ，即 Mo＝不满意
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 合计 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 300 百分比 (%) 8 36 31 15 10 100.0
定类数据的众数
【例】根据第二节数据，算众数
解：这里的变量为 “ 广 告类型 ” ，这是个定类 变量，不同类型的广告 就是变量值。我们看到 ，在所调查的 200 人当 中，关注商品广告的人 数最多，为 112 人，占 总被调查人数的56%， 因此众数为“商品广告” 这一类别，即 Mo＝商品广告
某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型 商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘广 告 其他广告 合计 人数(人) 112 51 9 16 10 2 200 比例 0.560 0.255 0.045 0.080 0.050 0.010 1 频率(%) 56.0 25.5 4.5 8.0 5.0 1.0 100
2、中位数（Median)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均 数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的 变量值（或数据）即中位数 M ,用 表示。由于中 e 位数是位置代表值，所以不会受极端值的影响， 具有较高的稳健性。
50%
Me
50%
2.中位数(Me)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均 数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的 变量值（或数据）即中位数，用Me表示。由于 中位数是位置代表值，所以不会受极端值的影 响，具有较高的稳健性。
2.调和平均数（倒数平均数）
计算算术平均数，有时只掌握了各组变量值之和 的资料，为了符合基本公式，应该首先经过除法 运算求得分母数据，再计算平均数。这样计算平 均数的方法称为“调和平均法”，得到的平均数称 为“调和平均数”。 工人日产量 工人日总产量
（件） x 10 11 12 13 14 合计 （件） xf 700 1100 4560 1950 1400 9710
组距式数列的众数
用于组距式数列 众数的值与相邻两组频数的分布有关
• 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值 即为众数。
Mo
• 相邻两组的频数不相等时，众数采用 下列近似公式计算：
f f 1 M0 d L ( f f 1 ) ( f f 1 )
Mo o
f f 1 M0 d U ( f f 1 ) ( f f 1 )
55 2 65 15 75 19 85 15 95 3 平均成绩＝ 54 4070 75.37 （分） 54
原来只是用 组中值作为 各组的代表 值
从组距数列看，特别是开口数列计算算术平 均 指标 ，以组中值为各组变量值带有假定 性，结果只是实际平均值的近似值。
不符合基本公式，不是5个工人，而是800个工人； 工人人总产量不是60件，而是9710件 所以，应该这样计算：
10 10 1011 11 1112 12 1213 13 1314 14 14
原来只是计算 时使用了不同 的数据！
36900 0.769 （元） 48000
算术平均数的特点和数学性质
特点：
算术平均数受变量值和变量值出 现次数的共同影响； 算术平均数靠近出现次数最多的 变量值； 算术平均数受极端变量值的影 响；
数学源自文库质：
1.各变量值与算术平均数的离差和为零
(x
x n x1 x2 xn 4 104.5% 102.0% 103.5% 105.4% 103.84%
某金融机构以复利方式计息。近12年来的年利率 有4年为3%、2年为5%、2年为8％、3年为10%、 1 年为15%。则12年的平均年利率？
x
集中趋势 离散程度 分布形态
统计数据的集中趋势是指一组数据向某 一中心值靠拢的倾向。 对集中趋势的描述归纳起来有两大类： 一类是数值平均数，它是根据全部数值 计算得到的代表值；另一类是位置平均 数，是根据数据所处位置直接观察或根 据与所处位置有关的部分数据计算确定 的代表值。
. . . . . . %
平均年利率=106.82%-1=6.82
加权几何平均数
f fn f1 f 2 x x1 x2 xn
二、位置平均数 1.众数(Mode)
众数是指总体中出现次数最多或频率最大 的变量值。众数是一种位置平均数，且也不受 极端值的影响。
实际完成产值 x 计划产值
xf 1 xf x
26175 105.12% 24900
只知道实际产值， 缺少计划产值的情况
平均计划完成为105.12%
3.几何平均数
当标志总量等于各个标志值的乘积，而不 是之和时，计算平均数就采用几何平均数。
集中趋势的测度值之一 N 个变量值乘积的 N 次方根 主要用于计算平均速度、平均比率
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
14 8 M0 5 123 ( 个 ) 120 (14 8 ) (14 10 )
按成绩分 组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计
xf x 1 x xf
700 1100 4560 1950 1400 700 1100 4560 1950 1400 10 11 12 13 14
9710 1 2 .1 3 7 5（件） 800
某蔬菜批发市场三种蔬菜的日成交数据如 下表，计算三种蔬菜该日的平均批发价格
Mo
• 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布
某车间50名工人日加工零件数分组表 按零件数分组
【 根 二 的 ， 50 人 工 数 数 例 据 节 数 计 名 日 零 的 】 第 中 据 算 工 加 件 众
频数（人） 3 5 8 14 10 6 4 50
累积频数 3 8 16 30 40 46 50 —
x1 f1 x 2 f 2 x n f n xf x f1 f 2 f n f
fn f1 f x x1 xn x f f f
•
xw
比重权数更能够直接体现权数的实质：
组距数列如何计算平均数？
按成绩分组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计 学生人数（人） 2 15 19 15 3 54
70 100 380 150 100
加权平均数
x1 f 1 x 2 f 2 x n f n xf x f1 f 2 f n f 9710 1 2 .1 3 7 5 （件） 800
权数（权重）
——权衡轻重（影响）作用的数（变量）。 权数的两种形式——绝对数（次数）f； ——相对数（比重）
一、数值平均数
1.算术平均数
基本公式
总体标志总量 算术平均数 x 总体单位总量
例： 平均工资=工资总额/职工人数 平均成本=总成本/产量
（1）简单算术平均数——未分组时
5名学生的考试成绩分别为（分）： 70、80、80、85、85， 他们的平均成绩是多少？ （70+80+80+85+85）/5=80（分）
• • 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
n
i 1
x i m e Min
例 某企业生产某种产品要经过三道工 序，各工序的合格品率分别为95%、96% 和98%。该产品三道工序的平均合格品率 为多少？
x n x1 x2 xn
三道工序的平均合格品率为96.32%. 思考平均废品率为多少？
【 例 】 一 位 投 资 者 持 有 一 种 股 票 ， 1996 年、 1997 年、 1998 年和 1999 年收益率分别 为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资 者在这四年内的平均收益率。
平均计划完成程度的计算只能是所有企 业的实际完成数与其计划任务数之比，不能 把各个企业的计划完成百分数简单平均。
实际完成产值 x 计划产值
xf 0.858000.9525001.05172001.154400 f 8002500172004400
26175 105.12% 24900
x) 0
( x x) f
0
2.变量值与算术平均数的离差平方和最小
2 2 ( x x ) ( x c )
2 2 ( x x ) f ( x c ) f
说明以算术平均数以外的任何数为中心， 其离差都大于以平均数为中心的离差。
相对数的算术平均数 符合相对数本身公式
某日三种蔬菜的批发成交数据 蔬菜名称 甲 乙 丙 合计 批发价格(元) 1.20 0.50 0.80 — 成交额(元) 18000 12500 6400 36900 成交量(公斤) 15000 25000 8000 48000
成交额 x 成交量
xf 1 xf x 18000 12500 6400 18000 12500 6400 1 .2 0 .5 0 .8
x1 x 2 x n x x n n
（2）加权算术平均数
——当数据已分组，形成了变量数列：
工人日产量 （件） x 10 11 12 13 14 合 计 工人人数 （人）f 70 150 380 150 100 850
10 11 12 13 14 60 工人平均量 12 （件） 5 5
某公司下属18个企业，计划完成相对数如 下：
产值计划 完成程度 （%） 80-90 90-100 100-110 110-120 合计 组中值 （%） x 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 实际 产值
xf
计划 1 产值 xf x
680 2375 18060 5060 26175
某公司下属18个企业，计划完成相对数如下
产值计划完 成程度 （%） 80—90 90—100 100—110 110—120 合计 组中值 （%） 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 计划产值 (万元） 800 2500 17200 4400 24900 实际产值 （万元）xf 680 2375 18060 5060 26175
学生人数 （人） 2 15 19 15 3 54
f f 1 M0 d L ( f f 1 ) ( f f 1 ) 19 15 70 10 (19 15) (19 15) 75分
f f 1 M0 d U ( f f 1 ) ( f f 1 ) 19 15 80 10 (19 15) (19 15) 75分
只有在总体单位充分多，且又有明显的集中趋 势时才可能确定众数。在较小的总体范围内， 确定众数没有意义。 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值 型数据
无众数 原始数据: 8
一个众数 原始数据: 6
10
5
9 12
6
5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
定序数据的众数
【例】根据第二节中的数据计算众数
解：这里的数据为 定序数据。变量为“ 回答类别”。甲城市 中对住房表示不满 意的户数最多，为 108户，因此众数为 “ 不满意 ” 这一类别 ，即 Mo＝不满意
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 合计 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 300 百分比 (%) 8 36 31 15 10 100.0
定类数据的众数
【例】根据第二节数据，算众数
解：这里的变量为 “ 广 告类型 ” ，这是个定类 变量，不同类型的广告 就是变量值。我们看到 ，在所调查的 200 人当 中，关注商品广告的人 数最多，为 112 人，占 总被调查人数的56%， 因此众数为“商品广告” 这一类别，即 Mo＝商品广告
某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型 商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘广 告 其他广告 合计 人数(人) 112 51 9 16 10 2 200 比例 0.560 0.255 0.045 0.080 0.050 0.010 1 频率(%) 56.0 25.5 4.5 8.0 5.0 1.0 100
2、中位数（Median)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均 数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的 变量值（或数据）即中位数 M ,用 表示。由于中 e 位数是位置代表值，所以不会受极端值的影响， 具有较高的稳健性。
50%
Me
50%
2.中位数(Me)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均 数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的 变量值（或数据）即中位数，用Me表示。由于 中位数是位置代表值，所以不会受极端值的影 响，具有较高的稳健性。
2.调和平均数（倒数平均数）
计算算术平均数，有时只掌握了各组变量值之和 的资料，为了符合基本公式，应该首先经过除法 运算求得分母数据，再计算平均数。这样计算平 均数的方法称为“调和平均法”，得到的平均数称 为“调和平均数”。 工人日产量 工人日总产量
（件） x 10 11 12 13 14 合计 （件） xf 700 1100 4560 1950 1400 9710
组距式数列的众数
用于组距式数列 众数的值与相邻两组频数的分布有关
• 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值 即为众数。
Mo
• 相邻两组的频数不相等时，众数采用 下列近似公式计算：
f f 1 M0 d L ( f f 1 ) ( f f 1 )
Mo o
f f 1 M0 d U ( f f 1 ) ( f f 1 )
55 2 65 15 75 19 85 15 95 3 平均成绩＝ 54 4070 75.37 （分） 54
原来只是用 组中值作为 各组的代表 值
从组距数列看，特别是开口数列计算算术平 均 指标 ，以组中值为各组变量值带有假定 性，结果只是实际平均值的近似值。
不符合基本公式，不是5个工人，而是800个工人； 工人人总产量不是60件，而是9710件 所以，应该这样计算：
10 10 1011 11 1112 12 1213 13 1314 14 14
原来只是计算 时使用了不同 的数据！
36900 0.769 （元） 48000
算术平均数的特点和数学性质
特点：
算术平均数受变量值和变量值出 现次数的共同影响； 算术平均数靠近出现次数最多的 变量值； 算术平均数受极端变量值的影 响；
数学源自文库质：
1.各变量值与算术平均数的离差和为零
(x
x n x1 x2 xn 4 104.5% 102.0% 103.5% 105.4% 103.84%
某金融机构以复利方式计息。近12年来的年利率 有4年为3%、2年为5%、2年为8％、3年为10%、 1 年为15%。则12年的平均年利率？
x