第五章数据分布特征的描述

平均计划完成程度的计算只能是所有企 业的实际完成数与其计划任务数之比，不能 把各个企业的计划完成百分数简单平均。
实际完成产值 x 计划产值
xf 0.858000.9525001.05172001.154400 f 8002500172004400
26175 105.12% 24900
105~110 110~115 115~120 120~125 125~130 130~135 135~140 合计
14 8 M0 5 123 ( 个 ) 120 (14 8 ) (14 10 )
按成绩分 组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计
某公司下属18个企业，计划完成相对数如下
产值计划完 成程度 （%） 80—90 90—100 100—110 110—120 合计 组中值 （%） 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 计划产值 (万元） 800 2500 17200 4400 24900 实际产值 （万元）xf 680 2375 18060 5060 26175
Mo
• 该公式假定众数组的频数在众数组内均匀分布
某车间50名工人日加工零件数分组表 按零件数分组
【 根 二 的 ， 50 人 工 数 数 例 据 节 数 计 名 日 零 的 】 第 中 据 算 工 加 件 众
频数（人） 3 5 8 14 10 6 4 50
累积频数 3 8 16 30 40 46 50 —
定序数据的众数
【例】根据第二节中的数据计算众数
解：这里的数据为 定序数据。变量为“ 回答类别”。甲城市 中对住房表示不满 意的户数最多，为 108户，因此众数为 “ 不满意 ” 这一类别 ，即 Mo＝不满意
甲城市家庭对住房状况评价的频数分布 回答类别 非常不满意 不满意 一般 满意 非常满意 合计 甲城市 户数 (户) 24 108 93 45 30 300 百分比 (%) 8 36 31 15 10 100.0
定类数据的众数
【例】根据第二节数据，算众数
解：这里的变量为 “ 广 告类型 ” ，这是个定类 变量，不同类型的广告 就是变量值。我们看到 ，在所调查的 200 人当 中，关注商品广告的人 数最多，为 112 人，占 总被调查人数的56%， 因此众数为“商品广告” 这一类别，即 Mo＝商品广告
某城市居民关注广告类型的频数分布 广告类型 商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘广 告 其他广告 合计 人数(人) 112 51 9 16 10 2 200 比例 0.560 0.255 0.045 0.080 0.050 0.010 1 频率(%) 56.0 25.5 4.5 8.0 5.0 1.0 100
学生人数 （人） 2 15 19 15 3 54
f f 1 M0 d L ( f f 1 ) ( f f 1 ) 19 15 70 10 (19 15) (19 15) 75分
f f 1 M0 d U ( f f 1 ) ( f f 1 ) 19 15 80 10 (19 15) (19 15) 75分
x1 x 2 x n x x n n
（2）加权算术平均数
——当数据已分组，形成了变量数列：
工人日产量 （件） x 10 11 12 13 14 合 计 工人人数 （人）f 70 150 380 150 100 850
10 11 12 13 14 60 工人平均量 12 （件） 5 5
第5章 数据分布特征 的描述
集中趋势 离散程度 分布形态

统计数据的集中趋势是指一组数据向某 一中心值靠拢的倾向。 对集中趋势的描述归纳起来有两大类： 一类是数值平均数，它是根据全部数值 计算得到的代表值；另一类是位置平均 数，是根据数据所处位置直接观察或根 据与所处位置有关的部分数据计算确定 的代表值。
• • 主要用于定序数据，也可用数值型数据，但不能用于定 类数据 各变量值与中位数的离差绝对值之和最小，即
n

i 1
x i m e Min

一、数值平均数
1.算术平均数
基本公式
总体标志总量 算术平均数 x 总体单位总量
例： 平均工资=工资总额/职工人数 平均成本=总成本/产量
（1）简单算术平均数——未分组时
5名学生的考试成绩分别为（分）： 70、80、80、85、85， 他们的平均成绩是多少？ （70+80+80+85+85）/5=80（分）
例 某企业生产某种产品要经过三道工 序，各工序的合格品率分别为95%、96% 和98%。该产品三道工序的平均合格品率 为多少？
x n x1 x2 xn
三道工序的平均合格品率为96.32%. 思考平均废品率为多少？
【 例 】 一 位 投 资 者 持 有 一 种 股 票 ， 1996 年、 1997 年、 1998 年和 1999 年收益率分别 为4.5%、2.0%、3.5%、5.4%。计算该投资 者在这四年内的平均收益率。
2、中位数（Median)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均 数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的 变量值（或数据）即中位数 M ,用 表示。由于中 e 位数是位置代表值，所以不会受极端值的影响， 具有较高的稳健性。
50%
Me
50%
2.中位数(Me)
中位数是根据变量值的位置来确定的平均 数。将变量值按大小顺序排序，处于中间位置的 变量值（或数据）即中位数，用Me表示。由于 中位数是位置代表值，所以不会受极端值的影 响，具有较高的稳健性。
. . . . . . %
平均年利率=106.82%-1=6.82
加权几何平均数
f fn f1 f 2 x x1 x2 xn
二、位置平均数 1.众数(Mode)
众数是指总体中出现次数最多或频率最大 的变量值。众数是一种位置平均数，且也不受 极端值的影响。
某公司下属18个企业，计划完成相对数如 下：
产值计划 完成程度 （%） 80-90 90-100 100-110 110-120 合计 组中值 （%） x 85 95 105 115 —— 企业数 （个） 2 3 10 3 18 实际 产值
xf
计划 1 产值 xf x
680 2375 18060 5060 26175
实际完成产值 x 计划产值
xf 1 xf x
26175 105.12% 24900
只知道实际产值， 缺少计划产值的情况
平均计划完成为105.12%
3.几何平均数
当标志总量等于各个标志值的乘积，而不 是之和时，计算平均数就采用几何平均数。

集中趋势的测度值之一 N 个变量值乘积的 N 次方根 主要用于计算平均速度、平均比率
某日三种蔬菜的批发成交数据 蔬菜名称 甲 乙 丙 合计 批发价格(元) 1.20 0.50 0.80 — 成交额(元) 18000 12500 6400 36900 成交量(公斤) 15000 25000 8000 48000
成交额 x 成交量
xf 1 xf x 18000 12500 6400 18000 12500 6400 1 .2 0 .5 0 .8
2.调和平均数（倒数平均数）
计算算术平均数，有时只掌握了各组变量值之和 的资料，为了符合基本公式，应该首先经过除法 运算求得分母数据，再计算平均数。这样计算平 均数的方法称为“调和平均法”，得到的平均数称 为“调和平均数”。 工人日产量 工人日总产量
（件） x 10 11 12 13 14 合计 （件） xf 700 1100 4560 1950 1400 9710
70 100 380 150 100
加权平均数
x1 f 1 x 2 f 2 x n f n xf x f1 f 2 f n f 9710 1 2 .1 3 7 5 （件） 800
权数（权重）
——权衡轻重（影响）作用的数（变量）。 权数的两种形式——绝对数（次数）f； ——相对数（比重）
x1 f1 x 2 f 2 x n f n xf x f1 f 2 f n f
fn f1 f x x1 xn x f f f
•
xw
比重权数更能够直接体现权数的实质：
组距数列如何计算平均数？
按成绩分组（分） 60以下 60—70 70—80 80—90 90—100 合计 学生人数（人） 2 15 19 15 3 54
组距式数列的众数

用于组距式数列 众数的值与相邻两组频数的分布有关
• 相邻两组的频数相等时，众数组的组中值 即为众数。
Mo
• 相邻两组的频数不相等时，众数采用 下列近似公式计算：
f f 1 M0 d L ( f f 1 ) ( f f 1 )
Mo o
f f 1 M0 d U ( f f 1 ) ( f f 1 )


只有在总体单位充分多，且又有明显的集中趋 势时才可能确定众数。在较小的总体范围内， 确定众数没有意义。 可能没有众数或有几个众数 主要用于定类数据，也可用于定序数据和数值 型数据
无众数 原始数据: 8
一个众数 原始数据: 6
10
5
9 12
6
5
9
8
5
5
多于一个众数 原始数据: 25 28 28 36 42 42
不符合基本公产量不是60件，而是9710件 所以，应该这样计算：
10 10 1011 11 1112 12 1213 13 1314 14 14