2.2周期信号及其频谱

• 一般周期信号都满足这些条件.

t T
t
f t dt
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 1，傅里叶级数的三角展开式：
x(t )
直流 分量
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t )
n 1

(n 1,2, ,3,...)
变形为：
基波分量 n =1
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 大型空气压缩机传动装置故障诊断
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 预备知识：（一）信号分解
为了便于信号的分析处理,可从不同角度讲信号分解为简 单信号的叠加,即为信号的分解与合成。 1， 直流分量与交流分量 在某些情况下，也可以把 信号分解为一个稳态分量 和交流分量，如图 (b)(C) 所示。稳态分量是一种有 规律的变化量，有时称为 趋势项；交流分量可能包 含了所研究过程的频率、 相位等信息，也可能是随 机噪声。
2.2 周期信号及其频谱 2 傅里叶级数的复指数展开式：
欧拉公式
复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时，此点可表 示为 cos j sin j Im 欧拉公式 1 ej e j cos j sin sin ej 1 { 1 1 Re cos e j
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 时域分析与频域分析的关系
幅值
信号频谱X(f)代表了信号在 不同频率分量成分的大小， 能够提供比时域信号波形更 直观，丰富的信息。
时域分析
频域分析
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 根据欧拉公式，傅立叶级数也可写成复指数形式：
x(t )
n
C e
n n

jn0 t
, (n 0,1,2,...)
jn0 t
F n e
0
1 T /2 j n 0 t C n F n 0 x (t ) e dt T0 T / 2 周期信号可分解为 , 区间上的指数信号e j n t
在有限区间上，凡满足狄利赫利条件的周期 信号，都可以展开成傅立叶级数（正交函数线性 组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数） :
{cos n0t , sin n0t}
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱
狄利赫利条件：
• .在一个周期内只有有限个第一类间断点； • .在一个周期内有有限个极值点； • .在一个周期内函数绝对可积，即
2.2 周期信号及其频谱 信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号 x(t) 变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度 来了解信号的特征。
X(t)= sin(2πnft) 0
8563A
傅里叶 变换
t
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
0
f
华中科技大学机械学院
频率
1
的线性组合。 如给定F ( n1 )，则x t 惟一确一
2.2 周期信号及其频谱 两种系数之间的关系及频谱图
1 C n F ( n 0 ) T
1 T

T /2
T / 2
x (t ) e j n 0 t d t
利用欧拉公式
Cn
1 T /2 T / 2 x(t ) cosn0t d t j T T / 2 x(t ) sin n0t d t 1 a n jbn 2 1 T /2 1 T /2 F ( n 0 ) x (t ) cosn 0t d t j x (t ) sin n 0t d t T T / 2 T T / 2

1 e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以用计算方法 n 定义为
1 e lim 1 2.71828 n n
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展开
3 5 7 2 4 6 cos 1 sin 2 4 6 3 5 7 j 同样若 e 展开，可得到 2 3 4 j j j j j
t1
O

t
O
t1
t
信号分解为矩形窄脉冲之和
信号分解为阶跃信号之和
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 预备知识：（一）信号分解
4， 实部分量与虚部分量 瞬时值为复数的信号可分解为实部分量和虚部分量之和 ：
f t f R t jf I t
f * t f R t jf I t
5， 正交函数分量
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 预备知识：（二） 信号正交分解
1，正交函数集 gi t

t2
t1
0 gi t g j t dt ki
i j i j
2，完备正交函数集 gi t
f t Ci gi t
华中科技大学机械学院
第二章、信号分析基础
2.2 周期信号及其频谱
任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人不
懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为之献出了生命。
历史的经验告诉我们, 要想在科学的领域有所建树，必 须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析 法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论 时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一 分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
i 1
n 1 t2 2 t f t Ci gi t dt t 1 t2 t1 i 1 2
n
n
lim 2 t 0
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱
预备知识：常用的完备正交函数集 （1） cosn 1 t , sinn 1 t 是一个完备的正交函数集
傅里叶的两个最重要的贡献——
• “周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信 号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 • “非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来 表示”——傅里叶的第二个主要论点
1965年提出并实现的“快速傅里叶变换（FFT）” ，才真 正使傅里叶变换在工程等领域得到广泛应用。
华中科技大学机械学院
T 2 T 2
cosn 1 t sinm 1 dt 0
mn mn
Hale Waihona Puke mn mn（2）复指数函数集
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 预备知识：
3，正交分解
2 当 t 0
f t C1g1 t C2 g2 t Cn gn t
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱
傅里叶生平
• 1768年生于法国 • 1807年提出“任何周 期信号都可以用正弦 函数的级数来表示” • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表“热 的分析理论” • 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
1768—1830
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱

谐波分量 n>1
x(t )
a0 2
An sin(n0t n )
n 1
(n 1,2, ,3,...)
a0 x(t ) An cos(n0t n ) 2 n 1
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 式中: 1 直流分量
a0 T an
单位时间内完成振动的次数称谓频率（物理学上，则是物质 在1秒内完成周期性变化的次数），是描述振动物体往复运 动频繁程度的量。为了纪念德国物理学家赫兹的贡献，人们 把频率的单位命名为赫兹，简称“赫”。
常见的信号可通过三个参数描述：频率、幅值和相位。其 中频率和幅值是最重要的，直接影响信号的主要特性。 直接观测或记录的信号，一般是以时间为独立变量的，称为 信号的时域描述。把信号的时域描述通过适当的方法，可变 为以频率为独立变量来表示信号，称为信号的频域描述 信号的时域描述直观地反映出信号瞬时值随时间的变化情 况；频域描述则反映了信号的频率组成及其幅值、相角的 大小。
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 预备知识：（一）信号分解
2 ，奇分量与偶分量 偶分量关于纵轴对称 奇分量关于原点对称
f (t )
fe (t )
O
t
O
t
fo (t )
O
t
华中科技大学机械学院
2.2 周期信号及其频谱 预备知识：（一）信号分解
2 ，奇分量与偶分量 偶分量关于纵轴对称 奇分量关于原点对称
T /2
1 a n j bn 2
2.2 周期信号及其频谱 F ( n0 ), F ( n0 )是复数
C n F n0 F ( n0 ) e j n
C n F n0 F ( n0 ) e j n
Cn Cn
1 2 1 2 an bn An 2 2
引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； An 是实函数，Cn 一般是复函数， 当 Cn 是实函数时，可用An 的正负表示0和π相位， 幅度谱和相位谱合一；
2.2 周期信号及其频谱 幅频特性和相频特性 幅频特性 相频特性
1 2 1 2 C n F ( n0 ) an bn An 2 2
t在一个周期内，n=0,1,... 由积分可知