导数公式运算习题课

B．－2cos3x
D．6cos3x
解析：∵y′＝(2sin3x)′＝2cos3x·(3x)′＝6cos3x.
第一章 导数及其应用
答案：D
第一章 导数及其应用
4．函数y＝ 2x2＋1的导数为________．
第一章 导数及其应用
5．求下列函数的导数． (1)y＝ 3x－x2； (2)y＝ln(x＋2)； (3)y＝e2x 1；
第一章 导数及其应用
例2
已知 f′(x) 是一次函数， x2·f′(x) － (2x － 1)·f(x)
＝1对一切x∈R恒成立，求f(x)的解析式． [分析] 根据f′(x)为一次函数，可设f(x)的解析式为f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ，然后利用对一切 x∈R 方程恒成立，
转化为关于a，b，c的方程组，即可求出f(x)的解析式．
＋
π (4)y＝sin( －3x)． 4
解：(1)设y＝ u，u＝3x－x2，则yx′＝yu′· ux′＝ 3－2x · (3－2x)＝ 2. 2 u 2 3x－x 1
第一章 导数及其应用
1 (2)设y＝ln u，u＝x＋2，则yx′＝yu′· ux′＝ · 1 u 1 ＝ . x＋2 (3)设y＝eu，u＝2x＋1，则yx′＝yu′· ux′＝eu· 2 ＝2e2x＋1. π (4)设y＝sinu，u＝4－3x， π 则yx′＝yu′· ux′＝cosu· (－3)＝－3cos( －3x)． 4
1 1 2 ①y＝ln2，则y′＝2 ②y＝x2，则y′|x＝3＝－27 1 ＝2 ，则y′＝2 ln2 ④y＝log2x，则y′＝xln2
x x
第一章 导数及其应用
A．0
B．1
C．2
D．3
解析： ① y ＝ ln2 为常数，所以 y′ ＝ 0 ，①错；②③④ 均正确，直接利用公式即可验证． 答案：D
第一章 导数及其应用
2．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于(
)
A．1
C．3 答案：C
B．2
D．4
解析：y′|x＝2＝n·2n－1＝12，解得n＝3.
第一章 导数及其应用
3．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x＋ y－1＝0，则 A．f′(x0)>0 C．f′(x0)＝0 答案：B B．f′(x0)<0 D．f′(x0)不存在 ( )
第一章 导数及其应用
自我校对：①0 ②nxn－1 ⑤a lna ⑥e
x x
③cos ⑧ 1 x
x ④－sin
x
⑦
1 xlna
⑨f′(x)± g′(x)
⑩f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
f′(x)g(x)－f(x)g′(x) ⑪ g2(x)
第一章 导数及其应用
1.下列结论正确的个数为
(
wk.baidu.com
) ③y
点．
第一章 导数及其应用
2．对导数的运算法则的理解：
(1)两个函数和(或差)的函数的求导法则
设 函 数 f(x) ， g(x) 是 可 导 的 ， 则 [f(x)±g(x)]′ ＝ f′(x)±g′(x) ，即两个函数的和 ( 或差 ) 的导数，等于这两个 函数的导数的和(或差)． (2)两个函数积的函数的求导法则
基本初等函数的导数公式及导数的运 算法则习题课
第一章 导数及其应用
1.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)＝c，则f′(x)＝①________. (2)若f(x)＝xn，则f′(x)＝②________. (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝③________.
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝④________.
第一章 导数及其应用
(3)y′＝(3x4＋2x3＋5)′＝12x3＋6x2.
(4)y′＝(sinx＋tanx)′
sinx ＝(sinx)′＋(cosx)′ (sinx)′cosx－sinx(cosx)′ ＝cosx＋ cos2x cosx· cosx＋sinx· sinx ＝cosx＋ cos2x 1 ＝cosx＋cos2x.
2
1 2 1 sinx)′＝(x－4 x＋4)′－2cosx＝1－ －2cosx. x
第一章 导数及其应用
[点拨] 理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进
行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应
先变形，然后求导，当函数解析式不能直接用公式时， 也要先变形，使其符合公式形式．
第一章 导数及其应用
1 又由④，得b＝－5.再由②，得d＝－2. 1 1 47 ∴g(x)＝x ＋2x－2.故g(4)＝16＋8－2＝ 2 .
2
第一章 导数及其应用
1.对基本初等函数的导数公式的理解： (1)基本初等函数的求导公式只要求记住公式的形式， 学会使用公式解题即可，对公式的推导不要求掌握．(2)
要注意幂函数与指数函数的求导公式的区别，这是易错
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
第一章 导数及其应用
[点拨] 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要
解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而
将问题解决．待定系数法常用来求函数解析式，特别是 已知具有某些特征的函数．
第一章 导数及其应用
练2
求满足下列条件的函数f(x)．
(1)f(x) 是二次函数，且 f(0) ＝ 4 ， f′(0) ＝－ 1 ， f′(1) ＝ 7 ；
(2)f′(x)是二次函数，(x2＋1)f′(x)－(3x＋1)f(x)＝5. [解] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b. 由f(0)＝4，得c＝4.由f′(0)＝－1，得b＝－1.由f′(1)＝7， 得2a＋b＝7，得a＝4，所以f(x)＝4x2－x＋4.
第一章 导数及其应用
f(x) 设函数f(x)，g(x)是可导的，且g(x)≠0，则[ g(x) ]′＝ f′(x)g(x)－f(x)g′(x) 1 ，特别地，当f(x)＝1时，有[ g(x) ]′ [g(x)]2 g′(x) ＝－ . [g(x)]2
第一章 导数及其应用
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝tanx； (2)y＝3x2＋x·cosx； x x 2 (3)y＝( x－2) －sin2· cos2.
(2) 由 f′(x) 为二次函数可知 f(x) 为三次函数，设 f(x) ＝
ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
把f(x)、f′(x)代入方程得(x2＋1)(3ax2＋2bx＋c)－(3x＋ 1)(ax3＋bx2＋cx＋d)＝5，即(－a－b)x3＋(3a－b－2c)x2＋ (2b－c－3d)x＋c－d－5＝0.
第一章 导数及其应用
sinx 4．函数y＝ 的导数为________． x
(sinx)′x－sinx· (x)′ xcosx－sinx 解析：y′＝ ＝ . x2 x2
xcosx－sinx 答案： x2
第一章 导数及其应用
5．已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋
1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
练 1 6
求下列函数的导数：
(1)y＝ x； (2)y＝log3x； (3)y＝3x4＋2x3＋5； (4)y＝sinx＋tanx. 1 6 [解] (1)∵y＝ x＝x6，
1 1 1 1 5 ∴y′＝(x )′＝ x －1＝ x－ . 6 6 6 6 6 1 (2)y′＝(log3x)′＝xln3.
整理得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0. x3(3x－2)－(3x－2)2＝0，(3x－2)(x3－3x＋2)＝0， 即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0.
第一章 导数及其应用
2 所以x＝－2，x＝3，x＝1. 2 即除切点外还有交点(－2,32)和(3，0)．
[点拨] (2)是存在性问题，先假设存在，通过推理、 计算，看能否得出正确的结果，然后下结论，本题的难
解：由f(2x＋1)＝4g(x)，得 4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d，
a＋2＝2c， ① 于是有 a＋b＋1＝4d. ②
由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，
∴a＝c.③ 由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④ ∴由①③可得a＝c＝2.
第一章 导数及其应用
例3 已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4. (1)求曲线C在点(1，－4)的切线方程； (2) 对于(1) 中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点？ 若有，求出公共点；若没有，说明理由．
[ 分析 ]
(1) 利用导数的几何意义和导数的运算法则，
求出切线的斜率，由点斜式写出切线的方程．(2)将切线 方程与曲线C的方程联立，看是否还有其他解即可．
第一章 导数及其应用
[分析] 求函数的导数主要有直接求导和先变形然后 再求导两种方法，要注意正确区分．
[解]
(1)y′＝(tanx)′＝(
sinx cosx
)′＝
(sinx)′cosx－sinx(cosx)′ cos2x＋sin2x 1 ＝ (cosx)2 ＝cos2x. (cosx)2 (2)y′＝(3x2＋x· cosx)′＝(3x2)′＋(x· cosx)′＝6x＋ x′· cosx＋x· (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. x x 1 2 (3)y′＝[( x －2) －sin 2 · cos 2 ]′＝[( x －2) ]′－( 2
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝⑤________. (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝⑥________. (7)若f(x)＝logax则f′(x)＝⑦________. (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝⑧________.
第一章 导数及其应用
2．导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝⑨________. (2)[f(x)· g(x)]′＝⑩________. f(x) (3)[g(x)]′＝⑪________.
设函数 f(x) ， g(x) 是可导的，则 [f(x)· g(x)]′ ＝ f′(x)g(x)
＋f(x)g′(x)．即两个函数积的导数，等于第一个函数的导 数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的 导数．
第一章 导数及其应用
推论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的
导数．
即[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)两个函数商的函数的求导法则
第一章 导数及其应用
[解] 由f′(x)为一次函数可知f(x)为二次函数，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f′(x)＝2ax＋b，
把f(x)，f′(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)·(ax2＋bx ＋c)＝1，即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0，
a－b＝0， 又对一切x∈R方程恒成立，所以b－2c＝0， c－1＝0， a＝2， 解得b＝2， c＝1，
－a－b＝0， 3a－b－2c＝0， 要使对任意x方程都成立，则需 2b－c－3d＝0， c－d－5＝0.
第一章 导数及其应用
3 a＝ ， 2 3 解得b＝－2， c＝3， d＝－2. 3 3 3 2 所以f(x)＝2x －2x ＋3x－2.
第一章 导数及其应用
点在于对式子的恒等变形．
第一章 导数及其应用
练 3 [解]
在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，求斜率 y′ ＝3x2 ＋6x ＋6 ＝ 3(x ＋1)2＋ 3 ， ∴ 当 x ＝－ 1 时，
最小的切线方程．
切 线 的 斜 率 最 小，最 小 斜 率 为 3 ，此 时 ， y ＝ ( － 1)3 ＋ 3×( － 1)2 ＋ 6×( － 1) － 10 ＝ － 14 ， 切 点 为 ( － 1 ， － 14)．∴切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
第一章 导数及其应用
[解] (1)y′＝12x3－6x2－18x，y′|x＝1＝－12，
所以曲线过点(1，－4)的切线斜率为－12，
所以所求切线方程为y＋4＝－12(x－1)，即y＝－12x ＋8.
(2)设与曲线C还有其他公共点，于是由
4 3 2 y＝3x －2x －9x ＋4， y＝－12x＋8.
第一章 导数及其应用
1.函数y＝(3x－4)2的导数是 A．4(3x－2) C．6x(3x－4) B．6x D．6(3x－4)
(
)
解析：∵y′＝[(3x－4)2]′＝2(3x－4)·3＝6(3x－4)．
答案：D
第一章 导数及其应用
2．函数y＝2sin3x的导数是
(
)
A．2cos3x
C．6sin3x 答案：D