利息理论——第一章-实例分析
利息理论第一章——利息度量
n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365， 利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)
利息理论第一章-1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
利息论第一章
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
27
m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1
利息理论课件
2.1.3 递延年金 定义2.6 若年金现金流的首次发生是递延了一段时 间后进行的，则称这种年金为递延年金。 计算公式
m
an i amn i am i
v m an i
（试结合上述公式给出直观解释）
2.1 基本年金
2.1.4 永久年金 定义2.6 若年金的支付永远进行下去，没有结 束的日期，则称这种年金为永久年金。 计算公式
解法二：比较实际收益。
a A (5) 1.4106 aB (5) 1.4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a(t ) 为 t (t 0) 的连续可微函 数，则称函数 a ' (t )
t
a(t ) , (t 0)
为累积函数a(t ) 对应的利息力函数，并称其在各个 时刻的值为利息力。
1.1 利率基本函数
定义1.6 计息期 [t1 , t2 ] 内的利息收入与期末货币 量的比值称为在时间 [t1, t2 ] 区间内的贴现率，记为 dt ,t ，即： A(t2 ) A(t1 ) I t ,t d t ,t A(t2 ) A(t2 ) 一般地，有：
1 2
1 2 1 2
a(t)单利 1.050 a(t)复利 1.0500
1.1 利率基本函数
例1.1续. 比较两种方式下的利率水平。复利方式下的实利率 均为5%，而单利率方式下各年的实利率水平为：
i 5% in , n 1,2,... 1 i(n 1) 1 5%(n 1)
n 1
5%
2
4.76%
1.1 利率基本函数
常见数量关系：
v (1 i) 1
利息理论第一章 1 优质课件
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
利息理论 第1章 利息的基础知识
第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。-元为期初利息， 元为期初利息 是期末值的减少额。 -贴现额。 贴现额。 贴现额
.
2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn =
An An1 An
=
an an1 an
年贴现额=A 年贴现额 ndn=An-An-1 为标准的减少额。 以An为标准的减少额。 年利息=A 年利息 n-1 in=An-An-1 为标准的增加额。 以An-1为标准的增加额。
3）贴现率与利率
d=
或：
an an1 an
=
(1+i )n (1+i ) n1 (1+i ) n
=
i 1+i
d = i v i=
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一 公式二
d = 1 v
及：
vt = v = (1 d )
t
t
及：
v = 1 d
at = (1 d )
t
日的积累值为1， 例：94年1月1日的积累值为 ，000元，d=10% 年 月 日的积累值为 元 日的现值为多少？ 求：1）90年1月1日的现值为多少？ ） 年 月 日的现值为多少 2）年利率为多少? ）年利率为多少 3）折现因子为多少？ ）折现因子为多少？ 解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d
m→∞
(m)
δ = lim m[(1 + i ) 1]
1 m
m →∞
= lim
= lim
m →∞
1 (1 + i ) m 1 m
1
m→∞
= lim
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
第一章 利息理论(利率问题)
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
一、利息（Interest）的定义
d1 A 1 A 1 1 A 1 a 1 a 0 a 1 1 a 1 1
a 1 1 1 d 1
（3）利率与贴现率之间的关系 1）单利场合 2）复利场合
1）单利场合利率与贴现率的关系
dn
I ( n) A(n) a (n) a(n 1) a ( n) i 1 in
一、某公司招聘广告中对精算助理的 要求
岗位职责： 1、 根据市场、销售部门提出的开发新险种的需求，设计 符合市场及公司发展需要的产品； 2、 责任准备金的评估及计提； 3、 公司未来的现金流分析及利润预测； 4、 分析公司发生的各项管理费用的合理性； 5、 核算公司代理人体系的成本，进行成本效益分析； 6、 公司的利源分析，资产负债匹配分析； 7、 根据保监会的规定编制各种精算月报、季报、年报； 8、 各种发生率的经验分析，保险条款的订立与修正。
0
t
a(0) 1 1 特别的有：a (1) v折现因子，记为v.
3、金额函数（Amount function ）
A(t ) K a(t ) 显然有：A(0) K
K------------------------------ A(t ) 0
t
4、第N期利息
I ( n)
I (n) A(n) A(n 1)
利息理论第一章 利息的基本概念
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
利息理论——第一章1.1
1
这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。
我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
1
1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )
例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
利息
我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)
注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1
实际利率
定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。
《利息理论复习》PPT课件
na
=
n
i
(2-55B)
(Ds) = s + s s + s s +…+ s s + s s
n
n
n
1n
2
n
n2 n
n1
=n s -( s + s +…+ s + s )
n
12
n2 n1
n(1 i)n s
=
n
i
(2-56B)
永续变额年金
lim (P a
n
n
+Q
a n
nvn i
)=
P i
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
现金流出：O0
现金流入 I0
时间
0
O1
O2 …
On-1
On
I1
I2 …
I n-1
In
1
2…
n-1
n
图(3-1) 投资记录时间图
3-2 收益率的定义
• 使得净现值为0的利率i为相应投资
项目的收益率
n
P(i)= vt Rt =0 t0
(3-2)
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
j)mn j
1 1 vn = i(m)
(2-35B) (2-36B)
a(m n
)
=
1 v i(m)
n
1 vn =
i
i
× i
(
m
)
i
= i(m)
a n
s(m) n
=
i
i
(m
)
s n
(2-37A) (2-37B)
利息理论课件 (1)
(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)
例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为 10% 。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
d (m) d ( m ) m 1 (1 ) 贴现： m m
d ( m) d ( m) m2 (1 ) m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
d ( m) m ) 余额： 1 d (1 m
d ( m ) m 1 (1 ) m
…
d (m) 2 (1 ) m
d (m) 1 m
1
图(1-2B) 名义贴现率图
例1-9 （ 1 ）求与实质利率 8% 等价的每年计息 2 次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%， 求等价的实质利率； （3）已知i(3/2)=8%，求等价的d(12)。
利息理论第一章.ppt
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
利息理论第一章课后答案
1.已知A （t ）=2t+t +5,求（1）对应的a （t ）；A （0）=5 a （t ）=()(0)A t A =25t+5t+1（2）I 3；I 3=A(3)-A(2)=2*3+3+5-(2*2+2+5)=2+32-（3）i 4; i 4=4(4)(3)2*445(2*335)43(3)(3)113113I A A A A -++-++-===++2.证明：（1）()()(m 1)(2).....A n A m I I m In -=+++++ （2）()(1)(1).A n in A n =+-（1）()()()(1)(1)(2)....(1)()1...Im 1A n A m A n A n A n A n A m A m In In -=--+---++-=+-+++ （m<n ） (2)()()()()111---=-=n A n A n A n A In i n(1)()(1)inA n A n A n -=--()(1)(1A n i n A n =+-3.(a)若k i是时期k 的单利利率（k=1,2...,n ）证明a(n)-a(0)=12...n i i i +++(b)若k i是时期k 的复利利率（k=1,2....,n ）证明12()(0)....n A n A I I I -=+++（a ）a(n)-a(0)=a(n)-a(n-1)+a(n-1)-a(n-2)+...+a(1)-a(0)=11.....n n i i i -+++（b ）11()(0)()(1)(1)(2)...(1)(0)...n n A n A A n A n A n A n A A I I I --=--+---++-=+++4.已知投资500元，3年后得到120元的利息。
试分别确定以相同的单利利息，复利利息投资800元在5年后的积累值。
①单利 ()1a t it =+ 3(3)(0)500(13*1)120I A A i =-=+-=1200.08150*3i == (5)800(15*0.08)1120A =+=②复利 ()(1)t a t i =+ 33(3)(0)500(1)1120I A A i ⎡⎤=-=+-=⎣⎦31.241i =-55/3(5)800(1)800*1.241144.97A i =+==元5.已知某笔投资在三年后的积累值为1000元，第一年的利率为1i=10%，第二年的利率为2i =8%，第三年的利率为3i =6%，求该笔投资的原始金额 123(3)(0)(1)(1)(1)A A i i i =+++123(3)1000(0)794.10(1)(1)(1)1.1*1.08*1.06A A i i i ===+++ 6.证明：设当前所处时刻为0，则过去n 期的一元钱的现值与未来n 期后的一元钱的现值之和大于等于2过去n 期1元钱的现值为(1)n i +，未来n 期后一元钱的现值为1(1)ni + 1(1)2(1)n ni i ++≥+ （当n=0时，等号成立）7.（1）对于8%的复利，确定4d ； （2）对于8%的单利，确定4d ；（1）()(18%)t a t =+ 43444(18%)(18%)110.074(4) 1.08(18%)I d a +-+===-=+（2）4418%*418%*38%0.061(4)18%*4 1.32I d a +--====+8.已知(5)()(6)151()16m i i m i ++=+，确定m (5)()(6)151()16m i i m i ++=+ (5)5*5()5630(6)6*6(1)51(1)(1)(1)(1)6mm m m m m m i i i i i m i-++=+==+=++ 30m ∴=9.如果2()ttc t A t ka bd =，其中k,a,b,c,d 为常数，求&t 的表达式2()tt ct A t ka b d =2222ln 2ln ln ln '()&ln 2ln ln ln ()t t ttt c t c t c t t t t tt t c t ka b d a kta b d b kc a b d d c A t a t b c d c A t ka b d++===++10.确定下列导数：（a ）t d d d ； （b ） d d i d ； （c ）v d d σ（d ）d d d σ。
利息理论及其应用(pdf112)
累积函数 a(t) 是关于时间的函数 满足
1) a(0) = 1
2) 一般的 a(t)关于时间严格单调递增 即 当 t1 < t2 时 有 a(t1) < a(t2)
如果在 t = 0 1 2 … 等时刻观察累积函数 a(t)得 到一系列累积值 a(0)=1 a(1) a(2) … 那么在时刻 0 1 2 … 之间 累积函数 a(t)的取值是如何变化的
为了表示单位货币价值的相对变化幅度 度量利息
的常用方法是计算所谓的 利率
定义为
利率等于一定的货币量在一段时间 计息期 measurement period 内的变化量 利息 与期初货 币量的比值
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 10
v 利率的计算公式 利率 = 利息 / 期初本金
v 若利率已知 则可反求利息 利息 =利率 期初本金
单利的直观表述 不同的时期所获利息金额的大小只与所历经的时
期的长短有关系 而与该时期的具体位置无关
北京大学金融数学系
利息理论与应用
第1章 — 16
单利是由满足如下条件的连续函数 a(t)所相应的累积
函数所给出的 a(s + t) − a(s) = a(t) −1, t ≥ 0,s ≥ 0
或等价的 a(s + t) = a(s) + a(t) −1, t ≥ 0, s ≥ 0
问题的提出 单利情形下 在前面的各个时期所获得的利息并没
有在后面的时期用来再获取额外的利息 如果所获利 息可继续投资情形如何
如在上面的例子中 投资者每年都获得了$160 的利 息 但投资者在第一年末的时候实际上有$2160 可以 用来投资 如果按照$2160 来计算 投资者在第二年 末的时候则可以获得利息为 2160 8% = $172.8 比只 按照$2000 投资要多获得利息$12.8
(详细)刘占国《利息理论》习题解答
《利息理论》习题详解第一章 利息的基本概念1、解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-===（3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -=== 2、解：202()(0)(1)1(1-6)180=100(a 5+1)4a=125a t at ba b i =+∴==+=∴∴用公式(8)300(83)386.4A a ∴=-=12、解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得(0)794.1A =15、解：3400300(1)i =+ 0.1006i ∴= 又11110.9085911 1.1006i v d i i =-=-===++ 246500()1034.7v v v ∴++=19、解：（1）430.06(3)10000(1)119564A ⨯=+= （2）1()1441(1)4d i -+=-1()14334(3)10000(1)10000(1)122854d A i -⨯∴=+=-=20、解：（1）()1(1)m m i i m +=+， 1()(1)1m m i i m ∴+=+11(6)(5)651(1),1(1)65i i i i ∴+=++=+ (5)11()530(6)161(1)5(1)11(1)6m i i i i i m i ++∴==+=+++所以m=30 （2）1()()1(1),1(1)m m m m d d d d m m-=-∴-=-，所以和（1）有类似的解答m=30。
24、解：0()t t dt a t e δ⎰=，1212000.01(12)100001000020544.332t dt tdt A e e δ⎰⎰∴===25、解：设常数实际利率为i 有41420.060.05(1)(10.1)(10.08)(1)(1)42i --+=+-+-解得 0.0749i = 33、解：27.722e δ= ln 227.72δ∴==0.025 又2(12)7.04n δ+=21.057.0449.5616n ∴== 49.56161.05log 80n ∴== 36、解：设第十年末未付金额为x ，有40.12(1)10.125514i =+-= 11(1) 1.12551v i --∴=+= 又51015101000400800400 1.12551800 1.12551 1.12551v v xv x ---=++=⨯+⨯+⨯解得x=657.8375 42、解：338104001100(3)0.8166865t dt ae e -⎰=== 44、解：0.510.3(10.25)v -=-，解得v=0.87111110.14796i v ∴=-= 51、解：46400(1)6404j ⨯+=，解得j=0.079106第二章 年金 4解：实际月利率为0.087/120.00725i ==，16000010001200.0072580037.04A a =-=7解：X 取得的存款为：11251000180.08(10.08)39169.84s -⨯⨯+= 8解：50001010s Ra =，500015.93742 6.14457R ∴⨯=⨯，解得R=12968.719解：5000100.1100.15s Ra =，解得R=15187.4814解：10.5an an i =-，111.5 1.5n v an i i -∴==，解得13n v = 17解：月利率为0.096/12=0.008，15000.008100000an ∴=，0.00866.66667an ∴=，解得n=95.6取整数n=95，又951500950.008(10.008)100000a f -++=，解得f=965.7528解：设3年的实际利率为j ，有31(1)j i +=+，又112991j =，3912301(1)129129i ∴+=+=，解得i=0.195。
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5
s ds
a (21 5 1 2
5
1
ln(1 s ) 2
a (2) e
又已知 a(5)=a(0)(1+1.6)=2.6a(0)=2.6 ，即
2.6 a (0) a(1 d / 4)
8
• 例2 两年定期存款的年利率为10%，在提前支取时， 储户可以有以下两种选择：A)年利率降为 8%；B)年 利率不变，但扣除三个月的利息，试对以下两种情况， 给出对储户较为有利的选择：1) 存入6个月时，提前支 取；2) 存入1年半时提前支取。 解： 用 I A、 I B 分别表示两种选择的利息收入： 1) I A (1 0.08) 0.5 1 0.0392
1 5 a (2) 2 a (2) 1 2
d 12.9% d / 4 0.0323
从而面额为100元的债券可接受折价价格为96.77元。
Chapter One 实例分析
• 例1 面额为100元的三月期国库券发行的价格为 96元，求：1) 每季度结算的年名义贴现率； 2) 年实际利率。 (4) 100 96 解： 1) 由 d (4) 4% d 16% 4 100 (4) 2) 由 i 100 96 1 4 96 24
(1 i ) (1 0.07) (1 0.02) i 7.71% 3) 若第四年底取款，有 4 4 (1 i ) (1 0.07) (1 0.02) i 7.53%
3 3
3
• 例4 某人需5万元的一年期贷款，市场中现有两 种可能的融资机会：A) 一年期贷款，年利率为 5%；B) 利率小于5%，但最低贷款额度为10万元。 若一年期可能的投资利率为3%，问：要是两种方法 等价，方式B的最大可接受利率为多少？ 解： 设i 为方式B的最大可接受利率，则有
50 000(1 5% ) 100 000(1 i ) 50 000(1 3% ) i4 结论：若B的利率小于4%，则选择B； 若B的利率大于4%，则选择A；
• 例5 现有如下的投资经历，原始投资10万元，基金 在前两年全部投资于面额为100元的13周(三个月)的 T-bills，假定均以贴现方式报价，从第三年开始进行组 合投资，利息强度函数为 t 1 (1 t ) ，若希望5年后的收 益较原投资多出1.6倍，试分析13周T-bills的可接受折价价格？ 解： 设国债以贴现率d 折价出售，则有该基金在第二年底的积 8 累值为： (2) 1 d 4 a 又后三年的积累可以表示为
I B (1 0.1)
2)
0.25
1 0.0241 1 0.1224 1 0.1265
选A
I A (1 0.08) I B (1 0.1)
1.5
1.25
选B
• 例3 储蓄方式如下：年利率为7%，在每三年底 (若存款未提前支取)将奖励余额的2%。试对以下 三个取款时刻计算实际的年利率：1) 第二年底； 2) 第三年底；3) 第四年底。 解：1) 若第二年底取款，有年利率仍为7% ； 2) 若第三年底取款，有
i i 1 1 4
(4)
4
25 1 17.74% 24
1 17.74%
4
•
也可用公式
d i 1 4
(4)
4
• 2. 提前支取的惩罚 在许多定期存款业务中，都考虑了提前支 取的处罚。例如，两年定期存款的年利率为 10%。若储户在第一年底要提前支取这笔存款， 则利率肯定要低于10%，这就是一种处罚办法。
利息理论第一章
实例分析
统计学专业专业限选课程 长春工业大学
• 在现实的金融市场中，人们经常将各种收益率 简称为利息率，但含义却有不同。 • 1. 利率和贴现率 以美国市场为例，在短期债券中以美国财政 部发行的短期国库券“T-bills”为主，期限通常为 3个月(13周)、六个月(26周)和十二个月(52周)。 三月期和六月期的每星期一发行，十二月期的每 月第四个星期发行。它们的利率通常是用贴现率 表示的。 长期的国库券在发行时则是依年利率表示它们 利息收入。因此这两者的表面的利率是不 能直接比较的。