第一章直角三角形的边角关系
第一章直角三角形的边角关系期末提分+2023-2024学年北师大版数学九年级下册(山西专版)
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题串考点
如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，
BD是斜边AC上的高．请回答下列问题：
(1)在△ABC和△ABD中，tan A＝___BA_CB____＝ ___BA_DD____，在△ABD中，cos∠ABD＝____BA_DB___；
(2)若AC＝8，BC＝4，则∠A＝___3_0_°___，sin∠DBC＝
，∴∠BAH＝30°. m，AH＝8 3 m，
∴BG＝HE＝AH＋AE＝(8 3＋21)m.在Rt△BGC中，∠m.在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝21 m，
∴易得DE＝21 3 m.∴CD＝CG＋GE－DE＝(29－13 3)m，
即该广告牌CD的高度为(29－13 3 ) m.
∴BC＝BQ＋QC＝ 6＋ 2，
∴CD＝ 12BC＝
6＋ 2
2 .
∵∠DAC＝∠B＋∠ACB＝75°，
∴sin 75°＝ DACC＝
6＋ 4
2 .
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【方案二】小华构造了图②，边长为a的正方形ABCD的顶点 A在直线EF上，且∠DAF＝30°.
第一步：连接AC，过点C作CG⊥EF，垂足为G，用含a的代 数式表示AC和CG的长；
A＝
5 13
，则cos
A的值
为( D )
A.152 B.183 C.23 D.1123
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4．如图，某游乐场一山顶滑梯的坡角为α，高为h，则滑
梯的长l为( C )
A．hsin α
B．htan α C.sinh α D.tahn α
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5．[2022·长治期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，
，，12sicno34s54°5°＝＝
第一章直角三角形边角关系回顾与思考(教案)
在课程总结时，我发现部分学生对直角三角形边角关系在实际生活中的应用仍存在疑问。为了让学生更好地将所学知识应用于实际，我计划在今后的教学中，引入更多实际案例，让学生在解决实际问题的过程中，深化对知识点的理解。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了直角三角形边角关系这一章节的核心知识点。通过导入日常生活中的实际问题，我试图激发学生的兴趣，帮助他们理解数学知识在实际中的应用。在讲授过程中，我发现以下几点值得反思：
首先，学生对勾股定理的理解程度参差不齐。在讲解过程中，我注意到有些学生能够迅速掌握定理的推导和应用，而部分学生则对定理的理解较为吃力。针对这一现象，我考虑在今后的教学中，加强对定理推导过程的演示，并设计不同难度的练习题，以满足不同学生的学习需求。
-举例：使用平面几何图形或三维模型展示勾股定理的推导过程。
-难点2：三角函数值的计算与应用。学生可能在计算过程中混淆三角函数的定义，需要通过反复练习和实际应用案例来加深理解。
-举例：提供不同角度的三角函数值计算练习，并讲解在测量、导航等领域的应用。
-难点3：边角关系在实际问题中的综合应用。学生可能不知道如何将复杂的实际问题抽象为直角三角形的模型，需要教师引导和示范。
2.回顾与思考：
-通过对勾股定理的推导和应用实例，引导学生思考直角三角形边长之间的关系；
-结合锐角三角函数的定义与性质，探讨三角函数在直角三角形中的应用；
-引导学生运用互余两角的三角函数关系，解决实际问题；
-分析直角三角形的边角关系在生活中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
直角三角形边角关系
从梯子的倾斜程度谈起
第七组
第一章 直角三角形的边角关系 想一想
1
1、在下图中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎 样判断的？有几种判断方法？
第一章 直角三角形的边角关系 想一想
2
2、如图：梯子AB与梯 子EF哪个更陡？你 是怎样判断的？
∠ABC = 69°, ∠EFD = 70°
∠A的对边 tan A = ∠A的邻边
接着，我们研究了梯子的倾斜程度， 接着，我们研究了梯子的倾斜程度，工程中的问 题坡度与正切的关系， 题坡度与正切的关系，了解了正切在现实生活中是 一个具有实际意义的一个很重要的概念. 一个具有实际意义的一个很重要的概念
第一章 直角三角形的边角关系
五、课后作业
1.习题1.1第1、2题.
A C2 C1 B1 B2
第一章 直角三角形的边角关系
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? (1).Rt△ Rt△ 有什么关系? Rt∆AB1C1 ∽ Rt∆AB2C2 B1C1 B2C2 ( 2). 和 有什么关系 ? AC1 AC2
( 如 B 3C 3 ) 呢 ?
B1C1 B2C2 = 如果改变B2在梯子上的位置 如果改变 A1C1 AC2
B3
B1 B2
由你得出什么结论? 由此你得出什么结论?
由于直角三角形中的锐角A确定 A C3 以后，它的对边与邻边之比也随之确定
C2
C1
第一章 直角三角形的边角关系
由于直角三角形中的锐角A确定以后，它的对边 与邻边之比也随之确定，因此我们有如下定义： ： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么 ∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫 做∠A的正切(tangent)，记作tanA， ∠A的对边 即tanA=
直角三角形的边角关系课件
相等
(3)如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢?
类似三角形的对应2 C1
思考：由此你得出什么结论?
直角三角形中，锐角大小确定后，对应的对边和邻边的比 值也就确定了
在Rt△ABC中,如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的 比便随之确定，这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
BC 1 . AC 3
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)．
AB AC2 BC2 36 4 2 10.
典例精析
例4.如图，李佳怡和王慧珍将两根木棒分别斜靠在墙上，其中 AB=10 cm，CD=6 cm，BE=6 cm，DE=2 cm，你能判断出哪根木棒 更陡吗？说明理由.
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡 E A
6m 4m
B 2m C
F
3m D
问题4 你有几种方法比较梯子AB和EF哪个更陡？ 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. 倾斜角越大，梯子越陡.
A1
B2
生活中的梯子
梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角. 斜边
A 从梯子的顶端A到墙角 铅 C的距离，称为梯子的 直 高 铅直高度. 度
B 水平宽度 C 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.
1 正切的定义 —
问题1 梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断
九年级下册第一章直角三角形的边角关系(单元小结)同步课件
角度
sinα
cosα
tanα
2
30°
45°
60°
1
1
知识专题
当α越大时，sinα越大，tanα越大，cosα反而越小。
若∠A+∠B=90°时，
sinA=cosB
sinA与cosB的关系是_______________，
tanA·tanB=1
tanA与tanB的关系是_______________。
考点专练
【要点指点】 借助图形的性质, 把具体问题中
的相关边和角转化到 直角三角形中, 为在直角
三角形中运用三角函数的相关知识解决问题创
造条件.
作业布置
1、教材“复习题”中第5、6、9、12题.
2、完成练习册中本课时的练习.
上的广告屏幕, 测得屏幕下端D处的仰角为30° , 然后他正对大楼方向前
进5 m到达B处, 又测得该屏幕上端C处的 仰角为45° , 广告屏幕的上端
与楼房的顶端平齐. 若该楼高26.65 m, 小杨的眼睛距离
地面1.65 m, 求广告屏幕上端与下端
之间的距离. (结果精确到0.1 m,
考点专练
考点专练
知识专题
•
由锐角的三角函数值反求锐角
填表:已知一个角的三角函数值,求这个角的度数(逆向思维)
sin A
1
2
∠A= 30
cos A
1
2
∠A=
tan A
3
3
∠A= 30
3
sin A
2
2
60 cos A
2
tan A 3
∠A= 60 sin A 2 ∠A= 45
2
直角三角形边角关系：
练习
如图：甲乙两楼相距30m.甲楼高40m，从 甲楼顶看乙楼顶仰角为30度。问乙楼有多 高。
D
E
300 C
40m
A 30m B
甲
乙
四、小结：
（1）三角函数的有关概念。 （2）用三角函数解直角三角形的
边角问题。
tanA A A的 的邻 对边 边 ba tanB B B的 的邻 对边 边 ba
2、特殊角的三角函数值
300
450
sin
1 2
2
3
2
2
cos
3
2
tan 3 3
2
1
2
2
1
3
3、性质
• •
Sin
、 tan角值度越越大大，，角函度数越值大越；大。
• cos 值越大，角度越小，
•
角度越大，值越小。
• 例1、用大于或小于号或等于号把下式连接起来
• （1）tan10 0 • • (2) sin60 0
tan350 tan700 tan600 cos600
▪ 仰角、俯角：
： ▪ 例3 古塔究竟有多高
▪ 如图,小明想测量古塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进 50m至B处,测得仰角为60°,求：（1）∠ADC, ∠BDC的度数（2）分别用∠ADC, ∠BDC的正切值表示出AC,BC的长度（3）该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精 确到1m).
B
C
三、三角函数的实际应用
► 例6、一货轮以每小时36海里的速度航行，当行驶到A处时
发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行40分钟
后到达C处女现灯塔B在它北偏东60度方向，求此时货轮
直角三角形的边角关系三角函数的计算讲课课件
互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB,tanA*tanB=1.
同角之间的三角函数关系:
sin2A+cos2A=1.
sin A tan A . cos A
特殊角300,450,600角的三角函数值.
例1 小山顶上有一电视塔，在 山脚C处测得塔顶A、塔底B的 仰角分别为45°和30°. 若塔高AB = 40m，则山高BD ≈ m（精确到1m)；
第一章 直角三角形的边角关系
1.3.1 三角函数的有关计算
回顾与思考
直角三角的边角关系
直角三角形三边的关系: 勾股定理 a2+b2=c2. A+B=900. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余
a sin A cos B , c
直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数
b cos A sin B , c
a sin A , c b cos A , c a tan A , b
a c sin A. b c cos A.
a b tan A.
a c . sin A b c . cos A a b . tan A
A
作业布置
习题1.4 1,2题;
A
B
C 图1-13
D
1 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各 边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
4cm
450 300
B
C
2 如图,根据图中已知数据,求△ABC其余 各边的长,各角的度数和△ABC的面积.
A
0 300 45 ┌ B 4cm C D
小结拓展 直角三角形中的边角关系
已知两边求角 已知一边一角 已知一边一角 及其三角函数 求另一边 求另一边 B c ┌ b C a
2025版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1
第一章直角三角形的边角关系1 锐角三角函数第1课时【教学目标】学问技能目标:1.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度(坡比)等.2.能够依据直角三角形的边角关系,用正切进行简洁的计算.过程性目标:1.经验探究直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.情感看法目标:进一步熬炼学生用数学的观点来说明身边的事物,形成良好的数学思维习惯和思维品质.【重点难点】重点:理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,亲密数学与生活的联系.难点:理解正切的意义,并用它来表示两边的比.【教学过程】一、创设情境介绍世界文化遗产——意大利比萨斜塔,激发学习爱好我们都知道世界闻名的建筑——意大利比萨斜塔.但你知道比萨斜塔是如何倾斜的和倾斜角度是多少吗? 如图,小明说,只要测得垂直中心线、塔身中心线的长度及塔顶中心点偏离垂直中心线的距离这三个数据中的随意两个,他就可以计算出塔身倾斜角θ的大小.你想知道小明是如何做的吗?那么,我们一起来学习新学问吧.通过本章的学习,你就会明白小明这样做的道理.二、探究归纳在小明家的墙角处放有一架较长的梯子,墙很高,又没有足够长的尺来测量,你有什么奇妙的方法得到梯子的倾斜程度呢?如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?(2)和有什么关系?(3)假如变更B2在梯子上的位置呢?由此你得出什么结论?请同学们思索:既然直角三角形中,一个锐角一旦确定,它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢?数学上,我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切.如图,我们把∠A的对边与∠A的邻边的比,叫做∠A的正切(tangent),记作tan A.即tan A=.对于正切的定义,同学们必需明确以下几点:1.tan A中常省略角的符号“∠”.用希腊字母表示角时也可省略如:tan α,tan β等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时,不能省略角的符号“∠”,要写成tan∠BAC或tan∠1,tan∠2等;2.tan A没有单位,它表示一个比值;3.tan A是一个完整的数学符号,不行分割,不表示“tan ”乘以“A”;4.一个角的正切是在直角三角形中定义的,因此,tan A=只能在直角三角形中适用;请同学们思索,梯子的倾斜程度与tan A的值有关吗?tan A的值越大,梯子越陡例1:如图表示甲、乙两个自动扶梯,哪个自动扶梯比较陡?相识坡角、坡度(坡比)坡角:坡面与水平面的夹角;坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度的比,因此坡度(坡比)就是坡角的正切.如图,有一山坡在水平方向上每前进100 m就上升60 m,那么山坡的坡角是α,坡度(坡比)就是:tanα==.三、沟通反思师生相互沟通总结本堂课所学的学问点和体会;谈谈对本节学问的理解.四、检测反馈1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若tan A=,则BC=________.2.如图,在△ABC中,AC=AB=10,BC=16,则tan B=________.3.如图,某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55 m.求山的坡度(结果精确到0.001).五、布置作业课本P4 习题T1,T2六、板书设计1 锐角三角函数第1课时1.探究:2.性质:3.应用:定义推导练习七、教学反思本课时结合学生身边的数学现象,依据初中学生身心发展的特点,通过介绍求比萨斜塔的倾斜角入手引入新课,激发了学生的求知欲.为了突破教学难点,教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法,既直观地呈现了学问的内在联系,培育了学生的几何直观实力,又唤起和加深学生对教学内容的体会和理解.本课中,对比萨斜塔的倾斜角、梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的相识,让学生更进一步体验了数学的好用性,加深了数学和实际生活的联系.。
直角三角形的边角关系
教学过程一.创设情境，引入新课教师：我们前面学习了三角函数的定义，请同学们回顾一下正切、正弦、余弦的定义。
学生：sinA=c a cosA=c b tinA=ba 教师：如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗?二.讲授新课探索30°、45°、60°角的三角函数值.教师：观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?学生：一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. 教师：sin 30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. 学生：sin 30°＝21. sin 30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin 30°＝212=a a . 教师：cos 30°等于多少?tan 30°呢? 学生：cos 30°＝2323=a a . tan 30°=33313==a a教师：我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?学生：求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin 60°=2323=a a , cos 60°=212=a a , tan 60°＝33=aa. 学生：也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin 60°＝cos (90°-60°)＝cos 30°=23cos 60°=sin(90°- 60°)=sin 30°=21. 师生共析:我们一同来求45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰直角三角形.(如图)设其中 一条直角边为a ，则另一条直角边也为a ，斜边2a.由 此可求得 sin 45°=22212==a a , cos 45°＝22212==a a , tan 45°=1=a a 教师：下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30°、45°、60°角的三角函数值这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?学生：30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.教师：再来看第二列函数值，有何特点呢?学生：第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.教师：第三列呢?学生：第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以t a n 45°=1比较特殊.教师：很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.三.典型例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：(1)sin 30°+cos 45°；(2)sin 260°+cos 260°-tan 45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin 60°)2，cos 260°表示(cos 60°)2.解：(1)sin 30°+cos 45°=2212221+=+, (2)sin 260°+cos 260°-tan 45° =(23)2+(21)2-1=43 +41-1 ＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，构造直角三角形，指出秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差就是线段AC 的长。
《第一章直角三角形的边角关系》word教案 (公开课获奖)2022北师版
222111B AC C B AC C 和主备人 备课组长签字_________ 教研组长签字__________ 授课教师_______ 第____周星期_________ 日期：2012年___月___日学科章节 第一章 直角三角形的边角关系 适用年级 九年级 课时数 2课时教学课题§1.1 从梯子的倾斜程度谈起教学目标1.能够用表示直角三角形中两边的比，1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正 切、正弦和余弦的意义与现实生活的联系.2.能够运用tanA 、sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡 度等，外能够用进行简单的计算.教学重点1.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用tanA 、sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 教学难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比.2.用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 教学方法引导—探索法教学用具教学主要环节和内容设计授课教师修改的主要内容 第一课时一、生活中的数学问题:1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？2、生活问题数学化：⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？怎样判断？二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?（2） 有什么关系？ABC∠A 的对边∠A 的邻边斜边⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?⑷由此你得出什么结论 三、正切概念 1、想一想通过对前面的问题的讨论，学生已经知道可以用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度。
当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定。
这一比值只与倾斜角的大小有关，而与直角三角形的大小无关。
北师大版九年级数学下册知识点归纳：第一章直角三角形的边角关系
第一章 直角三角形的边角关系1 锐角三角函数2 30°，45°，60°角的三角函数值3 三角函数的计算4 解直角三角形5 三角函数的应用6 利用三角函数测高※一. 正切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan ”乘以“A ”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
※二. 正弦．．： 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;※三. 余弦：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;※余切：定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即的对边的邻边A A A ∠∠=cot ;※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
0º 30 º45 º 60 º 90 º sin α 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3— cot α—3133 0（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A 为锐角，则 ①)90cos(sin A A ∠-︒=； )90sin(cos A A ∠-︒= ②)90cot(tan A A ∠-︒=； )90tan(cot A A ∠-︒=※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． ※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．． ※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
北师版九下数学第一章直角三角形的边角关系章末复习
则DG=DC－GC=DC－AB=18.72－5=13.72m
∴AD2=AG2+DG2=BC2+DG2
∴AD= 302 (13.72)2 ≈32.99m 答:大门顶部与主楼顶部的距离约为32.99m.
A E
30°
B
C
D
A E
30°
F
B
C
解:(1)如图,由题意可知,EB=FC=1.4m,EF=BC=30m.
∴DF=EF·tan30°=30tan30°= 10 3 ≈17.32m
∴DC=DF+FC=17.32+1.4=18.72m 答:学校主楼高约18.72m.
D
A E
30°
G F
B
C
解:(2)如图,AB=5m,作AG∥BC.
6
2.用计算器求下列各式的值:
(1)sin23°5′+cos66°55′; (2)cos14°28′－tan42°57′;
≈0.7841 ≈0.0374
(3)sin27.8°－cos65°37′+tan49°56″. ≈0.8739
3.如图,甲、乙两楼相距30m,甲楼高40m,自甲楼楼顶, 仰角为30°,乙楼有多高?(结果精确到1m)
在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素, 如果再知道一条边和第三个元素,那么就可以求得 这个三角形的所有元素.
随堂练习
1.计算: (1)sin45°－cos60°+tan60°; (2)cos230°+sin230°－tan45°;
2 3 2 1 2
0
(3)sin30°－tan30°+cos45°. 3 2 2 3 3
30° 40m 甲 30m 乙
九年级数学(下)第一章直角三角形的边角关系
目录
• 直角三角形基本概念及性质 • 直角三角形边角关系探究 • 直角三角形在实际问题中应用 • 直角三角形证明和计算技巧 • 章节复习与总结
01 直角三角形基本概念及性 质
直角三角形定义与分类
定义
有一个角是90度的三角形叫做直 角三角形。
分类
按角分，可分为两类，一类是普 通直角三角形，即三个角中有一 个是90度；另一类是等腰直角三 角形，即两个锐角都是45度。
通过图像可以直观了 解三角函数的性质， 如振幅、周期、相位 等。
正切函数图像呈间断 性变化，在特定区间 内单调递增或递减。
解直角三角形方法总结
已知两边求角
利用正弦、余弦定理求解对应的角度大小。
已知两角求边
利用正切定理及已知条件构建方程求解未知边。
03 直角三角形在实际问题中 应用
测量问题中构建和应用直角三角形模型
应用
勾股定理在几何、三角、代数、数论 等领域都有着广泛的应用，如求解三 角形边长、判断三角形形状、计算面 积等。
直角三角形中的特殊角
30°-60°-90°直角三角形
在这个特殊的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，而60°角所对的 直角边等于30°角所对直角边的根号3倍。
45°-45°-90°直角三角形
性质
相似直角三角形的对应边长成比例，对应角相等。这些性质 是进行直角三角形证明和计算的基础。
利用相似性质进行边长和角度计算
边长计算
在相似直角三角形中，可以利用对应 边长成比例的性质，通过已知边长求 解未知边长。
角度计算
由于相似直角三角形的对应角相等， 因此可以通过已知角度求解未知角度， 或者通过角度关系求解其他相关角度。
第一章 直角三角形的边角关系
第一章直角三角形的边角关系§1.1 从梯子的倾斜程度谈起课时安排： 2课时教材分析：直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之—.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边与角的关系问题.本节首光从梯子的倾斜程度谈起。
引入了第—个锐角三角函数——正切.因为相比之下，正切是生活当中用的最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是类比正切的概念得到的.所以本节从现实情境出发，让学生在经历探索直角三角形边角关系的过程中，理解锐角三角函数的意义，并能够举例说明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比，并能够根据直角三角形的边角关系进行计算. 本节的重点就是理解tanA、sinA、cosA的数学含义.并能够根据它们的数学意义进行直角三角形边角关系的计算，难点是从现实情境中理解tanA、sim4、cosA的数学含义.所以在教学中要注重创设符合学生实际的问题情境，引出锐角三角函数的概念，使学生感受到数学与现实世界的联系，鼓励他们有条理地进行表达和思考，特别关注他们对概念的理解.第一课时课题：§ 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)教学目标：(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.(二)能力训练要求1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点.2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.教学重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系.教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比.教学方法：引导—探索法.教具准备： FLASH演示教学过程：（一）创设问题情境，引入新课1、用FLASH课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右分层次出现：[问题1]：在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?[问题2]：随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发展，幢幢大楼拔地而起.70年代位于南京西路的国际饭店还一直是上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗?你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗?通过本章的学习，相信大家一定能够解决.这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起.(板书课题§1.1.1从梯子的倾斜程度谈起).（二）新课讲授1、用多媒体演示如下内容：[师]：梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”，那个梯子放的“平缓”，人们是如何判断的?“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?请同学们看下图，并回答问题(用多媒体演示)(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?(2)在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?[师]：我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度，即哪一个更陡，就比较困难了.能不能从第(1)问中得到什么启示呢?（引导学生从梯子AB 和EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判断，并让同学们计算梯子AB 和EF 哪一个更陡。
九年级 第一章 直角三角形的边角关系
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一 知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生 活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（ ）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为 米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（ ） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于 （ ） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（ ）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长； （2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系 二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2： 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。
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第一章直角三角形的边角关系
4. 船有触礁的危险吗
一、学生知识状况分析
学生的知识技能基础：学生已经知道直角三角形三角关系（两锐角互余）, 三边关系（勾股定理）既边角关系（锐角三角函数）.
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了大量的解直角三角形的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了用直角三角形的有关知识解决现实问题的必要性和作用，获得了用直角三角形的有关知识解决现实问题所必须的一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析
教科书基于学生对直角三角形的认识，提出了本课的具体学习任务：利用锐角三角函数知识解决船有触礁的危险吗等实际问题。
但这仅仅是这堂课外显的具体教学目标，或者说是一个近期目标。
数学教学由一系列相互联系而又渐次梯进的课堂组成，因而具体的课堂教学也应满足于整个数学教学的远期目标，或者说，数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课内容从属于“三角学”这一数学学习领域，因而务必服务于三角学教学的远期目标：“三角函数的性质及其应用” ，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：知识与技能
能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能进一步对结果的意义进行说明, 发展数学应用意识和解决问题的能力.
过程与方法
1．经历探索船是否有触礁的危险的过程, 进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2．通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意
识，初步培养学生用数学知识分析问题、解决问题的良好习惯。
情感态度与价值观让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
教学重点：能够把实际问题转化为数学问题, 能够借助计算器进行有关三角函数的计算
教学难点：能够把实际问题转化为数学问题
三、教学过程分析
本节课设计了四个教学环节：第一环节：知识准备第二环节：实际应用（船有触礁的危险吗、古塔有多高、楼梯加长了多少、钢缆有多长、大坝中的数学计算、利用三角函数值求锐角）
第三环节：课堂小结
第四环节：布置作业
第一环节知识准备
复习回顾：
1．直角三角形中，三边的关系？两个锐角的关系？边与角的关系？2．30°、45°、60°角的三角函数值是多少？
第二环节实际应用
1．船有触礁的危险吗
海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁•今有货轮四由西向东航行，开始在A岛南偏西55。
的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25。
的C处.之后, 货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
xtan55° -xtan25° =20. 2。
古塔有多咼 小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶,测得仰角为30。
,再往塔的方向
前进50m 至B 处，测得仰角为600,那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果 精确到1m):
解：如图，由题意可知，/ A=300, / DBC=600,AB=50m 设 CD=x ，则/
ADC=600,
/ BDC=300,
AC
BC
ta nADC ,tan BDC , x x
AC = xta n60°,BC =xta n30°. xtan60° -xtan30° =50.
B C D
20 tan 55° -tan25°
20 1.4281-0.4663
:20.79 海里. 50
tan600 - tan300 解：要知道货轮继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A 作ADI BC 的
50 .3- 3 3
A 50m
B C
3 •楼梯加长了多少
某商场准备改善原有
楼梯的安全性能，把倾角
由原来的40°减至35°,已
知原楼梯的长度为4m,调 整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
解：如图,根据题意可知,/ A=350, Z BDC=400,DB=4r 求⑴AB-BD 的 长,(2)AD 的长.
4.钢缆有多长
灯柱AB 被一钢缆CD 固定.CD 与地面成40。
夹角,且DB=5m 现再在CD 上方
2m 处加固另一根钢缆ED,那么，钢缆ED 的长度为多少?(结果精确到0.01m).解: 如图，根据题意可知，Z CDB=400,EC=2m,DB=5i<DE 的长.
5.大坝中的数学计算
水库大坝的截面是梯形 ABCD,坝顶AD=6m,坡长CD=8m.坡底BC=30m,Z
ADC=1350.
(1)求坡角Z ABC 的大小;
(2)如果坝长100m,那么修建这个大坝共需多少土石方
解：(1)如图，求坡角Z ABC 的大小，过点D 作DE
30m
A D C
ta n400 =匹
BD
BC 二 BDtan400. .BE =BC 2 =BDtan400
2 ： 6.1955(m). BE 5ta n400 +2 tan BDE = BD ：1.24.
•••Z BDE 2 51.12
COS51.120 DE
DE=^^ cos51.120 0.6277 :7.96 m .
(结果精确到0.01m 3 ).
丄BC 于点E,过点A 作AF 丄BC 于点F.
则EC =DE =DC tan 45° =4 2,
.AF =DE =4 2,BF =30 _4 2.
AF 4耳 tan. ABC 0.2323. BF 30-4^2
•••/ ABC " 17 ° 8 ' 21〃 .
⑵ 如果坝长100m 那么修建这个大坝共需多少土石方（结果精确到0.01m3 ）. 由梯形面积公式S 二
AD BC AF 得,
S 72.2. 2 .V =100^100 72、2 : 10182.34 m 3 .
第三环节课堂小结30m
在Rt?中除直角外有5个元素（三边和两锐角），利用三个关系研究这个问 题.
（1） 三边的关系c 2= a 2+b 2关系式中有a,b,c 三个量,已知两个可求出第三个.
（2） 锐角的关系/ A+Z B=90°关系式中有 A,B 两个量,已知一个可求出另一 个. ⑶ 边角的关系（其中A 可以换成B ）
每一个关系式中都有两边一角三个量，已知两个可求出第三个.
利用三个关系,在Rt?除直角外的5个元素中,知道
其中的2个元素（至少有一个是边）,就可以求出其余的三个未知元素
第四环节 布置作业
四、教学反思
1．要创造性的使用教材
36 4.2 6 •利用
100m
活动目的：对本节知识进行巩固练习。
动内谷
：B
I _____________ I
教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。
学生在小学已经学过统计图的特点，而且普遍掌握较好，因此没有必要再以问题的形式逐步总结认识，教学中将重点放在怎样根据“研究问题的需要、数据本身的特点及统计图本身的特点” 科学合理的选择统计图。
而且能让学生通过社会调查亲自去感受统计图在实际生活中的应用，体会数学的实际价值。
并且让学生利用小组调查搜集来的自己感兴趣的数据制作统计图。
从而培养学生善于观察生活、搜集数据、选择决策的能力。
2．相信学生并为学生提供充分展示自己的机会通过课前小组合作社会调查、课堂展示讲解统计图的过程，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。
课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。
教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。
P24 习题1.6 1,2,3 题;。