导数及其应用测试题(有详细答案)

兴国三中高二数学（文）期末复习题《导数及其应用》
命题：高二数学备课组
一、选择题
1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线2
1y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为
A. B. C. D.
3．在曲线y ＝x 2
上切线的倾斜角为π4
的点是( )
A ．(0,0)
B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14 4.若曲线y ＝x 2
＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝－1
D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2
－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值
范围是( )
A ．m <2或m >4
B ．－4<m <－2
C ．2<m <4
D ．以上皆不正确 7. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为
A ．1-
B ．e
C ．ln 2
D ．1
8. 若函数)1,1(12)(3
+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或
C ．22<<-k
D ．不存在这样的实数k
9. 10．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10.已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则
O
x x
x x
y
y
y
y
O
O O
(1)
'(0)
f f 的最小值为 A ．3 B ．
52 C ．2 D ．32
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数sin x
y x
=
的导数为_________________ 12、已知函数2
2
3
)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f (2)等于____________. 13．函数2cos y x x =+在区间[0,
]2
π
上的最大值是
14．已知函数3
()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 15. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ，
)
()(2
>-'x x f x f x ）（0>x ，则不等式
0)(2>x f x 的解集是
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．
17. 已知函数3
()3f x x x =-.
（Ⅰ）求)2(f '的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.
18. 设函数R x x x x f ∈+-=,56)(3
. （1）求)(x f 的单调区间和极值；
（2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围.
19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈< （1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间；
（3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。

20. 已知函数2
()ln .f x x ax bx =--
（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；
（II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证：
0'()0.f x <
21. 已知函数2
(),()2ln (x f x g x a x e e
==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若()F x 有最值，请求出最值；
（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线？
若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。

兴国三中高二数学（文）期末复习《导数及其应用》参考答案
二、填空题： 11. 2
cos sin 'x x x y x -=
；12. 18 13.36
+π
； 14.}0|{<a a ； 15.),1()0,1(+∞- 三、解答题
16. [解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π
4
)＋1 (0<x <2π)
令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－2
2，
解之得x ＝π或x ＝3
2
π.
x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：
∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)单调减区间为(π，3
2π)．
f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π
2
.
17. 解：（Ⅰ）33(2
-='x x f ）
，所以9)2(='f . （Ⅱ）2
()33f x x '=-，
解()0f x '>，得1x >或1x <-.
解()0f x '<，得11x -<<.
所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间.
18. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212
=
-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分
∴当()0;,()0x x f x x f x ''<>>-<<<,当，…………………2分
∴)(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=
有极小值x f x .…………4分
（2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略）
∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点，……6分
（3）)1()5)(1()1()(2
-≥-+--≥x k x x x x k x f 即
∵),1(5,12
+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. …………………………………………9分 令5)(2
-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数，
∴,3)1()(-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分
19. 解：（1）2'()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f =
即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+
（2）由（1）知，22
'()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m
=-+++=--+
当0m <时，有2
11m
>+，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表：
x 2(,1)m
-∞+ 21m + 2
(1,1)m +
1 (1,)+∞ '()f x - 0 +
0 - ()f x
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m
+单调递增，在(1,)+∞上单调 递减.
（3）由已知得'()3f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222
(1)0x m x m m
-
++<，即222
(1)0,[1,1]x m x x m m
-
++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以
22(1)0120(1)010
g m m g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨
⎨<⎩⎪-<⎩ 解之得403m m -<<又所以4
03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3-
20.（1）由题意：bx x x x f -+=2
ln )(， )(x f 在),0(+∞上递增，∴021
)(≥-+=
'b x x
x f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤
对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21
(x x
b +≤， 0>x ，∴
2221
≥+x x
，当且仅当22=x 时取“=”，∴22≤b ，∴b 的取值范围为)22,(-∞ （2）由已知得，⎩⎨⎧=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ⇒⎩⎨⎧-=-=22
22
1
211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得： )())((ln
21212121x x b x x x x a x x -+-+=⇒])()[(ln 21212
1b x x a x x x x
++-=， 由b ax x
x f -+=
'21
)(及2102x x x +=，得：
])([2
21)(22
11000b x x a x x b ax x x f ++-+=--=
'2111ln 1222x x x x x x +-+=
]ln )(2[121111222x x x x x x x x -+--=]ln )1()
1(
2[1
212
121
12x x x x x x x x -+--=，令)1,0(21∈=x x t ，
且t t t t ln 122)(-+-=ϕ)10(<<t ， 0)1()1()(2
2
<+--='t t t t ϕ，∴)(t ϕ在)1,0(上为减函数， ∴0)1()(=>ϕϕt ，又21x x <，∴0)(0<'x f
21. 解：（1）3222()
()()()(0)x a x ea F x f x g x x e x ex
-'''=-=-=> ①当0,()0a F x '≤>时恒成立
()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分
②当0a >时，2(()
()(0)x ea x ea F x x ex
--=>，
若0x ea <<，则()0,()(0,)F x F x ea '<在上单调递减；
若x ea >
，则()0,()(,)F x F x ea '>+∞在上单调递增，
x ea ∴=当时，()F x 有极小值，也是最小值，
即min ()()2ln ln F x F ea a a ea a a ==-=-…………6分 所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为(0,)ea
单调递增区间为(,)ea +∞，最小值为ln a a -，无最大值…………7分
（2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点…………8分[来源:学_科_
网]
由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得…………10分
此时，2
()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ min ()()0F x F e ==
))1,()()f e g e f x g x ∴==∴与的图象的唯一公共点坐标为(,1)e
又
2()()f e g e e
''==
()()f x g x ∴与的图象在点(,1)e 处有共同的切线，
其方程为21()y x e e
-=-，即21y x e
=-…………13分
综上所述，存在a 1=，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点(,1)e ，且在该点处的公切线方
程为2 1.y x e
=
-…………14分
方法二：设()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，
根据题意得⎩⎨⎧==)()()()(0'
0'00x f x f x g x f 即20
002ln 22x a x e
x a e
x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
由②得2
0x a e =，代入①得021
ln ,2x x e =∴=
从而1a =…………10分
此时由（1）可知min ()()0F x F e ==
0x x e ∴>≠
当且时，()0,()()F x f x g x >>即
因此除0x e =外，再没有其它0x ，使00()()f x g x =…………13分
故存在1a =，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线，易求得
公共点坐标为(,1)e ，公切线方程为1y x e
=-…………14分。