随机变量与概率分布

三、连续型随机变量
指数密度函数
红色: θ= 1 绿色: θ= 0.5 蓝色: θ=2
1 x / e , x 0, f ( x ) 0, 其它,
二、离散型随机变量
(一) 概率分布
离散型X可取有限个, 或一串值.如: x , x , …… , x , …… 其概率分布: 记p = P(X = x )
1 2 n
k k
注:
二、离散型随机变量
(二) 常见离散型概率分布
1.两点分布(Bernoulli分布)：参数 p
例14.1 100件产品, 其中5件次品, 95件正品. 随机取 1件. 定义:
第四部分 概率
第14章 随机变量与概率分布
一、随机变量
随机变量：随机化实验结果的数值(或数值向量)表征
定义：在一定条件组下, 每个可能的结果ω对应一个 实数值X(ω), 则称实值变量X(ω) 为一随机变量, 简记为X.
例 掷硬币：正 1 ；反 0 P{ =1}=P{ =0}=1/2 例: 摸牌(52张牌)：引入两个变量（ ，）： ：1，2，3，4 对应于 ：1(A),2,3,...,10,11(J),12(Q),13(K), ( A) （ = 2， =1） P(任取一张为8)=P( =1，=8) P(任取一张为小于10的)=P{ =4，10}
k e / k!
泊松分布是二项分布B(n,p)当 np λ, n 时的极限分布
二、离散型随机变量
例14.3 设某台设备生产的产品有次品的概率的 是0.1. (1) 求10个样本中最多有一个次品的概率. (2) 用Poisson分布近似的求10个样本中最多有 一个次品的概率
二、离散型随机变量
一、随机变量
练习14.1 5个球,其中2白,3黑.取三个球, 随机变量X=三 个球中白球的个数,求: (1) X的值域; (2) P(X=0); P(X=1); P(X=3); (3) 将P(至少一个白球)写成随机变量的形式并求值.
解: (1) X的值域 : 0,1,2 (2) P(X=0)=C(3,3)/C(5,3)=1/10; P(X=1)=C(2,1)C(3,2)/C(5,3)=6/10; P(X=2)=C(2,2)C(3,1)/C(5,3)=3/10. (3) P(X1)=P(X=1)+P(X=2)=9/10
练习 14.1 假设在一个500名士兵的部队中每名士 兵患有某种疾病的概率是独立的且均为 1/1000, (1) 求至少一名士兵患此病的近似概率; (2) 已知至少一名士兵患此病,求患此病的士兵多于 一个的概率. 练习 14.2 某种程度上的洪水平均每50年一次, (1) 求某一年无此种程度洪水的概率; (2) 求40年内有3次的概率.
二、离散型随机变量
例14.2 100件产品, 其中5件次品, 95件正品. 有放回 地随机取5件.求: (1)5件均为正品的概率. (2)5件中没有正品的概率. (3)令X=5件中的正品数, 画随机变量X的直方图. 解: 令X=5件中的正品数, n=5,p=0.95 (1) P(X=5)=C(5,5)(0.95)5(0.05)0=0.773781 (2) P(X=0)= C(5,0)(0.95)0(0.05)5=3.125e-07 (3) P(X=1)=2.96875e-05; P(X=2)=0.001128125 P(X=3)=0.02143438; p(X=4)=0.2036266
X服从两点分布, p=P(X=1)=0.95.
二、离散型随机变量
2.二项分布: 参数 n, p ( 0<p<1 ) 记为 X B( n, p ).
注: (1) 设一次试验中,事件A发生的概率为p, 则n次试验中
(2) 如果X1, …, Xn 为独立的两点分布变量, 参数均为p, 则
二、离散型随机变量
Pn ( X k ) C(n, k ) p q
k n k n n
,
qn 1 pn .
二、离散型随机变量
令 λ =μV,则 将V无限细化,即 n , 则
P( X k ) lim Pn ( X k )
n
lim C (n, k ) p q
n k n
nk n
二、离散型随机变量
3. 泊松(Poisson)分布: 参数 λ>0
记为 X Poisson(λ).来自百度文库例14.2 放射粒子数 服从泊松分布 试验显示: 体积为V的物质每7.5秒放出的粒子数 X Poisson(λ=3.87).

二、离散型随机变量
二、离散型随机变量
将体积V分成n份, V=V/n. 假定: (1) 从每块V中,7.5秒内放射出两个以上粒 子的概率为0, 放出一个粒子的概率pn与V成正 比,即 pn=μV; (2) 各小块放出粒子是独立的. 所以,7.5秒内恰放出k个粒子的概率是