3-1 动能和动能定理

A = ∫ Fx dx + ∫ Fy dy + ∫ Fz dz
xa ya za
xb
yb
zb
自然坐标系： 自然坐标系： A = ∫
b
a
b
r r b r F ⋅ dr = ∫ Ft dr
a
b a
= ∫ Ft ds = ∫ F cos θ ds
a
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
2. 合力的功等于各分 r b r b r r 力的功的代数和。 力的功的代数和。 A = ∫a (∑ Fi ) ⋅ dr = ∑ ∫a Fi ⋅ dr = ∑ Ai
[S] [S′] ′ u A o ′ (t1)
i
i i
r ∆r
o ′(t2)
B
r ∆r′
r r r ∆r = ∆r0 + ∆r ′
位移与参照系有关
3.
r r r r = r0 + r ′
r F 与参照系无关，位 与参照系无关，
o
移与参照系有关， 移与参照系有关，故 A与参照系有关。 与参照系有关。 与参照系有关
0 0
y =0
dx = ∫ 0dx = 0
0
1
ADB = ∫
B
D
r r 1 F ⋅ dr = ∫ Fy dy
0
1 = ∫ ( x + y ) x =1 dy = ∫ (1 + y )dy = 1 0 0 2
1 1
于是， 于是，有
AODB = AOD + ADB
1 1 = 0 +1 = 1 J 2 2
路径运动时， 解（1）物体沿 ）物体沿OAB路径运动时，力的功为 路径运动时
B
r r A r r Br r AOAB = ∫ F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr = AOA + AAB O O A A r 1 r 式中 AOA = ∫ F ⋅ dr = ∫ Fy dy
O 1 0
dv dv ds dv = ⋅v = ⋅ 又Q dt ds dt ds
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
πR
dv µ = − ds v R
v π ln = − µ v0 2
dv ∫v= v0
v
∫ − R ds
0
2
µ
v = v0 e
−
µπ
2
由动能定理可得到摩擦力作功： 由动能定理可得到摩擦力作功：
因此， 因此，第二次敲打能把钉子敲入的深度为
∆x2 = x2 − x1 = 2 − 1 = 0.41cm
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
例
柔软匀质物体以初速v 送上平台， 柔软匀质物体以初速 0 送上平台，物体前端在平
距离后停止。设滑道上无摩擦， 台上滑行 s 距离后停止。设滑道上无摩擦，物体与台 面间的摩擦系数为µ， 求初速度v 面间的摩擦系数为 ，且 s ＞Ｌ，求初速度 0 。
ur r Af = ∫ f ⋅ d r = ∆Ek
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
例一固定光滑圆柱体上的小球（m）从顶端下滑。 求 一固定光滑圆柱体上的小球（ ）从顶端下滑。 小球下滑到θ 时小球对圆柱体的压力。 小球下滑到 时小球对圆柱体的压力。 y o
r θ R v
x
第3章 机械能和功
解： l m
变力
恒力 曲线运动
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
二 质点的动能定理 设质点m在力的作用下沿曲线 设质点 在力的作用下沿曲线 点移动到b点 从a点移动到 点 点移动到 元功: 元功
α
a b
r r dA = F ⋅ ds = F cos α ds dv dv F cos α = mat = m dt
L
水平平台 传送机滑道 o x
L s x
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
解：
0< x < L:
m f = µ gx L
x ≥ L:
Af = ∫
f = µ mg
r r f ⋅ dx = − ∫ f dx
L 0 s m µ gxdx − ∫ µ mgdx L L
= −∫
L
水平平台 传送机滑道 o x
a
α
b
质点的动能定理： 质点的动能定理：合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。 动能的增量。
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
说明
1 2 1 2 A = mv2 − mv1 = Ekb − Eka 2 2
1. 功是过程量，动能是状态量；合外力的功是动能变 功是过程量，动能是状态量； 化的量度。 化的量度。
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
4. 功率
定义： 定义：单位时间内完成的功 平均功率 平均功率 瞬时功率 瞬时功率
∆W P＝ ∆t
另外形式 另外形式
∆W dW P = lim = ∆t → 0 ∆ t dt v v dW F ⋅ dS v v P＝ = = F ⋅ v = F cos θv dt dt
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
第一次敲打时， 第一次敲打时，有 xi = 0, xf = x1 = 1.0cm
1 2 1 2 1 2 得 kxf − kxi = mv 2 2 2 2 mv 则阻力系数为 k = 2 x1 1 2 1 2 1 2 第二次敲入 xi = x1 , xf = x2 ，有 kx2 − kx1 = mv 2 2 2 解得 x2 = 2 x1
AF = ∫
b
a
r r xf 1 2 1 2 F ⋅ dr = ∫ −kxdx = −( kxf − kxi ) xi 2 2
分别为钉子在每一次锤子敲打前后的深度。 式中 xi , xf 分别为钉子在每一次锤子敲打前后的深度。
1 2 由动能定理 AF = 0 − mv 2 1 2 1 2 1 2 得 kxf − kxi = mv 2 2 2
物体在直线段运动时，与挡板间没有相互作用。 解：物体在直线段运动时，与挡板间没有相互作用。 物体在弧线段运动时受挡板间的作用力 如图所示： 如图所示：
v2 N =m R dv dv f =m dt
r f
f = −µ N
2
r v
r N
dv µ ∴ v = − R ds
∴
dv v m = −µ m dt R
路径运动时， （2）物体沿 ）物体沿ODB路径运动时，力的功为 路径运动时
AODB = ∫
B
O
r r D r r B r r F ⋅ dr = ∫ F ⋅ dr + ∫ F ⋅ dr = AOD + ADB
O D
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
式中 AOD =
∫
D
ຫໍສະໝຸດ Baidu
O
r r 1 1 F ⋅ dr = ∫ Fx dx = ∫ xy
3-1 动能和动能定理
一 力的功 1 恒力的功
r F
s
作用在物体上， 如果力 F 作用在物体上，使物体运动一定距离 s 力对质点作功： 力对质点作功：
r r 如图 有一定夹角时， 如果 F 与位移 ∆r 有一定夹角时，
只有位移方向上的分量作功 r 对质点作功为： 力 F 对质点作功为：
r F θ r ∆r
A = Fs
r r A = ( F cos θ ) ∆r = F ∆r cos θ r r = F ⋅ ∆r
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
2 变力的功 在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。 在实际问题中经常遇到的是变力作功问题。力的大小和 方向都随时间发生变化。如何处理变力作功问题？ 方向都随时间发生变化。如何处理变力作功问题？ 解决方法： 解决方法： 1.无限分割路径； 无限分割路径； 无限分割路径 2.以直线段代替曲线段； 以直线段代替曲线段； 以直线段代替曲线段 3.以恒力的功代替变力的功； 以恒力的功代替变力的功； 以恒力的功代替变力的功 4.将各段作功代数求和； 将各段作功代数求和； 将各段作功代数求和
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
r 作用下缓慢移动， 例2 小球在水平变力 F 作用下缓慢移动，即在所有 位置上均近似处于力平衡状态， 直到绳子与竖直方 位置上均近似处于力平衡状态 ，
向成θ 角。求： r (1) F 的功， 的功， (2) 重力的功。 重力的功。
l m
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
dv dA = F cos α ds = m ds = mvdv dt 总功： 总功： v2 1 2 A = ∫ dA = ∫ mvdv = m(v2 − v12 ) = Ekb − Eka v1 2
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
1 2 1 2 A = mv2 − mv1 = Ekb − Eka 2 2
解：
r r dA = F ⋅ ds = Ft ds
(1)
(2)
第3章 机械能和功
(3)
3-1 动能和动能定理
(1) (2) (3)
最大
(1)
(2)
第3章 机械能和功
(3)
3-1 动能和动能定理
例
的物体在无摩擦的桌面上滑动， 质量为 m 的物体在无摩擦的桌面上滑动，其运动被 约束于固定在桌面上的挡板内，挡板是由AB 约束于固定在桌面上的挡板内，挡板是由 、CD 平直板
试求摩擦作功大小。 系数为 µ 。试求摩擦作功大小。
A m
圆弧形板BC 组成，如图所示。若t=0时， 组成，如图所示。 和半径为 R 的1/4圆弧形板 圆弧形板 时 r 沿着AB 的内壁运动，物体与挡板间的摩擦 的内壁运动， 物体以速度 v0 沿着
B
r v0
R
O
C
顶视图
D
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
2.
动能定理只在惯性系中成立。 惯性系中成立 与参考系有关，动能定理只在惯性系中成立。
3. 应用： 4.
r r r r dEk 微分形式： 微分形式： F ⋅ dr = dEk , F ⋅ v =
dt
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
设用铁锤把钉子敲入木板时， 例3 设用铁锤把钉子敲入木板时，木板对钉子的阻力与 钉子进入木板的深度成正比。 钉子进入木板的深度成正比。若铁锤敲第一次时能把钉 子敲入木块1.0cm深，而第二次用锤敲打钉子的力度与 子敲入木块 深 第一次相同，问第二次敲击能把钉子钉进木板多深？ 第一次相同，问第二次敲击能把钉子钉进木板多深？ 解 每一次敲击都有
= ∫ ( x + y)
0
1
x =0
dy
1 = ∫ ydy = 0 2
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
AAB = ∫
B
A
r r 1 1 F ⋅ dr = ∫ Fx dx = ∫ xy
0 0
1 y =1 dx = ∫ xdx = 0 2
1
于是， 于是，有
AOAB = AOA + AAB
1 1 = + = 1J 2 2
第3章 机械能和功
L
s
x
3-1 动能和动能定理
L Af = − µ mg ( s − ) 2
由动能定理： 由动能定理：
1 2 L Af = ∆Ek = 0 − mv0 = − µ mg ( s − ) 2 2
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
例4 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。 有三个相同的物体分别沿斜面、凸面和凹面滑下。 三面的高度和水平距离都相同， 三面的高度和水平距离都相同，为 h 和 l ，与物体的 摩擦系数均为µ。 摩擦系数均为 。 试分析哪个面上的物体滑到地面时 速度最大? 速度最大
b( xb , yb , zb )
r r ∆ri α i F i
a ( xa , ya , za )
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
v ∆Ai = Fi cos α i ∆ri
v A = ∑ Fi cos α i ∆ri
i =1 N
b( xb , yb , zb )
r r ∆ri α i F i
3-1 动能和动能定理
处时， 解：在θ处时，质点受力如图 处时
自 然 坐 标 系
uu r u r r N + mg = ma dv mg sin θ = m dt
y o
r θ R v
x
v2 mg cos θ − N = m R 2 v N ' = N = mgcosθ − m R = mg cos θ − 2mg (1 − cos θ )
物理意义： 物理意义：表示作功的快慢 意义 单位：瓦特 单位：瓦特(W)
1 W = 1 J ⋅ s −1
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
r r r 例1 设作用于质点的力为 F = xyi + ( x + y ) j 。分别求
ur 质点自O点经 点经OAB和ODB到达 点时力 F 所做的功。 到达B点时力 所做的功。 质点自 点经 和 到达
a ( xa , ya , za )
r v = ∑ Fi ⋅ ∆ri
N i =1
当N→
∞时
第3章 机械能和功
3-1 动能和动能定理
说明
A=∫
b
a
v v b F ⋅ dr = ∫ F cos θ ds
a
1. 一般情况下，功与力和路径有关 一般情况下， v v v v 直角坐标系： F = Fx i + Fy j + Fz k 直角坐标系： v v v v dr = dxi + dyj + dzk r r dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz