条件平差与间接平差探讨
测量平差的数学模型
本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。
本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。
教学内容：一、平差模型的定义与分类1 •从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2 •函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1 •函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。
2.函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。
对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。
函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4 ）式），总是要将其线性化。
（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。
1.条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
A图2-2在图2-1中，观测了三个内角，n=3, t=2，贝U r=n-1=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：L i L2 L3 -180 = 0令A13=[1 1 1]3 1 =[ L1 L2 L3 ] TA O=[-18O]则上式为AL A0 ~ 0（2-2-1 ）再如图2-2水准网，D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为〜〜[h i6 1 1〜〜〜〜〜h2 h3 h4 h5 h6 ]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是：F i（~） * -h2 -~4 =0F2（~）-~3 E = 0F3（~）=~ _忘 _~6 =0AL =0(2-2-2 )般而言，如果有 n 个观测值Ll ，必要观测个数为t ，则应列出r=n-t 个条件方程,(2-2-3)如果条件方程为线性形式，则可以直接写为A ~ A 0 = 0r :：n n 1 r 1 r 〉」1将［二L •厶代入（2-2-4 ）式，并令(2-2-4)则（2-2-4 ）式为W - -(AL A o )(2-2-5)(2-2-6)（2-2-4 ）或（2-2-6 ）式即为条件平差的函数模型。
条件平差与间接平差的相互关系
条件平差与间接平差的相互关系
一、条件平差与间接平差
1、条件平差与间接平差是指：条件平差是指基础数据是现有被观
测坐标信息，假定各点位置坐标值满足一定近似关系时（即解算中假
定有约束关系或条件，以达到所求结果的平差方法）；而间接平差是指，基础数据是待测点的被观测量，包括方位量、距离量等，无任何
关系的前提条件，是一种完全无条件的平差方法。
二、条件平差
2、条件平差一般会把条件设置为两个系统中坐标值的差值最小，
这样就能够更容易地实现平差。
条件平差的典型应用是重叠法平差，
它会利用各观测值之间的内在联系，并通过设定一定的几何条件，使
其之间被观测量满足某一关系，以解决无条件方程组的平差问题。
三、间接平差
3、间接平差是指以被观测量构成的方程组，可以以各种迭代方法
求解，但是必须有一定的条件限制才能使解出的坐标值符合实际要求。
加拿大匹兹堡大学的Bloch教授认为，从下面几个原因考虑起，最好
用间接平差来解决坐标转换的问题：
（1）传统的解算序号很容易引起原点偏移和比例错误；
（2）间接平差可以很好地表示待解系统中的不确定性；
（3）使用间接平差可以很好地降低待解系统中分量精度和消隐关
系统时发生的偏差。
四、条件平差与间接平差的关系
4、条件平差与间接平差是有联系的，相互之间的联系是：可以把
条件平差看做是一种特殊的间接平差，即在无条件间接平差的基础上，再加入解算中的限制条件，以达到所求结果。
可以说，条件平差是间
接平差的分支，而间接平差是条件平差的总集合。
第三章条件平差
独立三角网
自由三角网
自由测角网
附合三角网（测角）
• 例：
∆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α ∆
当n=35、n=22、n=35+22时，其条件式个数各为多 少？有哪些类型？
图形条件（内角和条件）:
B
b1
a2
c1 D c2 a1 b3 c3 a3 b2 C
A
圆周条件（水平条件）:
b1
a2
c1 a1 a3 c3
c2 b2 b3
5.1.06、 5.1.07
上节内容回顾：
改正数条件式 观测值的协方差阵 法方程
AV W 0
D P Q
2 0 1 2 0
r n n n
Naa K W 0 N aa AQ AT
r r n r
改正数方程
V P A K QA K
T
1 T
wr
T
• 则条件方程可写成：
ˆA 0 AL 0
• 以及改正数条件式：
W AL A0
AV W 0
这样一来，对于一个平差问题，我们能够得到 其数学模型：
AV W 0 D P Q
2 0 1 2 0
下面要解决的问题是： 由上述的数学模型来求改正数V。
不难发现，不能求得V的唯一解！！！ 解决不唯一解的办法就是附加一个约束条件---“最小二乘估计” 即满足：
极条件（边长条件）:
b1 a2
c1
a1 b3 c3
c2 b2 a3
极条件（边长条件）就是指由不同路线推算得到 的同一边长的长度应相等。
三角网的基本图形 1） 单三角形 2）大地四边形
3）中点多边形。
第五章条件平差
二、法方程及改正数方程
将V T PV min的原则作用于条件方程 。
组成新函数:
V T PV－2k T AV W
式中
r 1
k k a , kb , k r 条件方程联系数
T
对新函数求导： T T 2V P 2A k ---改正数方程
dSCD ˆ f T dL SCD ˆ SCD T 2 T ˆ f D f f QL ˆL ˆ ˆL ˆ f 0 L S CD
得测边相对中误差为： 3、大地四边形测角网
2
ˆS
CD
SCD
＝
ˆ 0 f T QL ˆL ˆ f
设
F ( f1 , f 2 , f m )
T T
G ( g1 , g 2 , g m ) 有
均为m维向量函数，且 f i、g i 均为x的函数， d F G dG F T dG T dF F G dx dx dx dx
注意：当N为满秩方阵时，才有 N 1唯一存在,法方程才有唯
测方向网
测角网
测角网
三角网
测边网
测边长
测边＋测方向
边角网
（导线网） 测边＋测角
三、三角网的布设－－从高级到低级逐级布设 四、三角网平差的方法 1。严密平差 ----遵守VTPV=min原则 ； 2。近似平差
5.3 测角网条件平差
独立网（经典自由网）－-－只有必要起算数据d。
非独立网（附合网）－-－已知条件超过必要起算数据。
3 图形条件： n=12 t=2×2+4=8 r =4 1 极条件：
v2 v1 v6 v5 v11 v10 W1 0
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
条件平差与间接平差的内在关系研究
条件平差与间接平差的内在关系研究作者：曹白金王兵张健来源：《城市建设理论研究》2013年第23期摘要：条件平差和间接平差是测量平差的两大基础,本文从条件平差原理和间接平差原理入手，利用矩阵分析理论,导出了条件平差与间接平差法的计算公式，揭示了平差模型计算公式的内在规律，并给出了相应的实例，从根本上解决了这两大平差基础之间的关系问题，并以此为基础证明了这两种平差方法结果之间的一致性。
关键词：平差方法;一致性;条件平差;间接平差中图分类号： P207 文献标识码： A 文章编号：Abstract:Condition adjustment and indirect adjustment are the two basic methods of the measurement adjustment.To start with the methods of condition adjustment and indirect adjustment,the formula was deduced using matrix theory in this paper,and the internal rules have been revealed of the adjustment models.The corresponding example is also been given in the paper.The basic relationship between the two adjustment methods has been solved,and it is also the foundation to prove the consistency of two different adjustment methods.Key words:adjustment method,consistency,condition adjustment,indirect adjustment1 条件平差与间接平差原理1.1 条件平差的原理条件平差是以个观测量的平差值作为未知数，并通过它们之间存在的个条件方程来消除观测值之间的不符值，同时运用求条件极值的原理解出改正数，从而求得各观测量的平差值。
第17讲间接平差的原理-四川建筑职业技术学院
移项得误差方程：
令
则平差值方程的矩阵形式为：
则误差方程的矩阵形式为：
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数取近似值，取X0为参数的近似值。
令 则
可得误差方程式为：
按最小二乘原理，误差方程式中的V的必须满足VTPV=min的要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得：
间接平差是通过选定t个未知参数，将观测值的平差值表示为t个未知参数的函数，并通过求自由极值的方法引入最小二乘条件，通过法方程首先解出参数的最或然值，从而求得各观测量的平差值。
1间接平差的基本思想
例如在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3，试确定三角形形状。
确定两内角即可确定三角形形状。若能选取两个内角的最或然值作为未知参数 ，则可以建立未知参数与观测值之间的函数关系式。
一个平差问题，不论采用条件平差还是间接平差方法，只是依据的函数模型不同，其最小二乘解是唯一一致的，即其平差结果与采用的具体平差方法无关。
取转置得：
（1）、（2）联立，共n+t个方程，n个v，t个 ，待求量总数为n+t，有唯一解，称（1）、（2）式为间接平差的基础方程。
（1）代入（2）得间接平差的法方程：
其中 解得：
将求出的 代入误差方程（1）式，即可求得改正数V，从而求得平差值
特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4）式的纯量形式为
（3）由误差方程系数B和自由项l组成法方程，法方程个数等于未知参数的个数t；
（4）解算法方程，求出未知参数，计算未知参数的平差值。
（5）将出未知参数代入误差方程，，求解改正数；
（6）求出观测量平差值。
【例4-1】右图三角形中，同精度观测三个内角L1=39。23’40”, L2=88。33’06”, L3=52。03’17”,按间接平差法，求观测值的平差值。
间接平差
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L（4-1-1）可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv （4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv （4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式，得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
用MATLAB解决 条件平差和间接平差
C h6 E h3 h5 h7 B h4
disp(‘C是单位权观测高差的线路公里数，S是线路长度’) 是单位权观测高差的线路公里数， 是线路长度 是线路长度’ 是单位权观测高差的线路公里数 C = l*ones(1,6)
S = [1.1, 1.7, 2.3, 2.7, 2.4, 4.0] P = C./S % 定义观测值的权， 定义观测值的权， P = diag(P) % 定义权阵 disp(‘参数的解’) 参数的解’ 参数的解 x = inv(B’*P*B)*B’*P*l disp(‘误差 误差V(mm), 各待定点的高程平差值 （m）’) 各待定点的高程平差值L1（ ） 误差 V = B*x - l % 误差方程 误差方程(mm) L1 = L + V/1000 % 观测值的平差值， 观测值的平差值， disp(‘精度评定’) 精度评定’ 精度评定 n = 6; % 观测值的个数 t = 2; % 必要观测数 delta = sqrt(V’*P*V/(n – t))
H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HAH(2,1)if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确 检核正确') disp( 检核正确') else disp(‘检核错误 检核错误') disp( 检核错误') end disp(‘平差后的高程值 平差后的高程值') disp( 平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
在一个控制网中，设有t个独立参数， 在一个控制网中，设有t个独立参数，将每一个观测值都表达 成所选参数的函数，以此为基础进行平差， 成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估 计值。 计值。 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独 选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数） 参数间不存在函数关系）。 ）。利用参数将观测值表示为 立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为
浅议同一水准网条件平差与间接平差处理之异同
浅议同一水准网条件平差与间接平差处理之异同马自军【摘要】测量平差是据最小二秉法原理,正确地消除各观测值之间的矛盾,合理分配误差,以求出观测值的最或是值并评定测量成果的精度.据不同条件下的测量问题,测量平差的方法也不尽相同.本论述试图以某水准网为例,分别采用条件平差、间接平差对各观测值最或是值进行计算,揭示两种平差方法对同一问题处理过程及结果之异同,以便引导学生在以后的测量工作中针对具体观测条件对平差方法有准确、灵活的选定.【期刊名称】《甘肃科技纵横》【年(卷),期】2011(040)003【总页数】3页(P161-162,181)【关键词】条件平差;间接平差;最或是值【作者】马自军【作者单位】兰州铁路技师学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文如图1所示某闭合环水准网，A点是已知高程点：HA=153.768m（假设无误差），各点间的高差观测值分别为：h1=11.105m，h2=－5.728m，h3=－2.090m，h4=－13.215m，h5=16.857m，h6=－3.622m各水准路线长度分别为s1=3.4km，s2=4.0km，s3=3.8km，s4=5.0km，s5=5.3km,s6=5.5km现分别采用条件平差和间接平差计算B、C、D点高程最或是值。
图1 闭合环水准网1 条件平差条件平差是据各观测值改正数应满足的几何条件方程，采用最小二乘法原理消除因多余观测而产生的不符值从而求得各观测值的最或是值的平差方法。
（1）已知:n=6,t=3则r=n-t=3,选定1km观测高差为单位权观测值。
（2）设有:n个观测值为:L1、L 2……L n平差值为：L 1/、L2/ ……L n／相应的权为：P1、P2……Pn条件方程的常数项为：a0、b0……r0观测值的改正数为：v1、v2......vn条件方程的闭合差为：wa、wb……wr则:各条件方程系数＝各观测值:条件方程改正数:条件方程闭合差:条件方程常数项:据得条件方程为:（3）依上述各条件方程据：得法方程:据:令则法方程为:NK+W=0由:K=N-1W解得：ka=0.433 kb=-2.336 kc=-1.783（4）通过改正数方程计算各测段高差改正数:由或:vi=1′pi(aika+bikb+cikc)得：v1=10mm v2=-2mm v3=-8mmv4=2mm v5=-12mm v6=-10mm（5）计算各测段高差最或是值：由：hi′=hi+vih1′=h1+v1=+11.115m h2′=h2+v2=-5.730mh3′=h3+v3=-2.098m h4′=h4+v4=-13.213mh5′=h5+v5=+16.845m h6′=h6+v6=-3.632m （6）把各测段高差最或是值hi/分别代人闭合环检核: H1′-h3′+h4′=0H1′-h2′-h5′=0H2′-h3′-h6′=0结论:各测段高差最或是值计算无误。
间接平差与条件平差的关系
v1 v3 v4 2 0
误差理论与测量平差
试将其改写成误差方程。 解：转化结果为
v1 v2 v3 5 0 v3 v4 v5 2 0 v5 v6 v7 3 0 v1 v4 v7 4 0
v1 xˆ1 v2 xˆ2 v3 xˆ1 xˆ2 5 v4 xˆ4 v5 xˆ1 xˆ2 xˆ4 7 v6 xˆ2 v7 xˆ1 xˆ4 4
6.误差方程转化为条件方程
误差方程转化为条件方程的步骤如下。
（1）确定改正数 的个数，则 为改正数的个数。
（2）确定参数的个数，则 为参数的个数。
（3）则条件方程的个数为 。
（4）消除参数，得到独立的 个条件方程。
例7-10某平差问题，按间接平差法进行平差，其误差
方程为 试将改写成条件方程。
v1 xˆ1 1 v2 xˆ1 2 v3 xˆ2 1 v4 xˆ1 xˆ2 2
误差理论与测量平差
间接平差与条件平差的关系
1.法矩阵之间的关系
QA T
N
1 aa
A
BN
1 BB
B
T
P
I
2.系数矩阵 之间的关系
AB=0
3.误差方程的常数项 l与条件方程的闭合差W之间 的关系
W=Al
4.间接平差中的d 与条件平差中的 A0之间的关系 A0=-Ad
5.条件方程向误差方程的转换 条件方程向误差方程转换的步骤如下。
（1）确定出观测值的个数n ，观测值个数就是残 差的个数。
（2）根据条件方程的个数判断其必要观测个数 t， 条件方程的个数就是多余观测数个数r ，则 t=n-r。
（3）设立 t个独立的参数，一般独立参数的近似值 设为相应的观测值。
间接平差的基本原理
5.组成法方程，求参数改正数
2.9
1 0 0
1 NBB BT PB 0
0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
100
3.7 2.5 3.3
1 1
0
0 1 0
0
1 1
4.0 0 0 1
6.6 3.7 0 3.7 9.5 3.3
0 3.3 7.3
2.9
0
1 W BT Pl 0
14
l5 h5
X
0 3
H
A
0
4.列误差方程，确定观测值的权：
v1 xˆ1 v2 xˆ1 xˆ2
v3
xˆ2
v4
xˆ2 xˆ3
v5
xˆ3
0
203
14
或
v1 1 0
v2
1 1
vv43
0 0
1 1
0
0
0
0
1
xˆ1 xˆ2 xˆ3
23
0
14
0
23
0
14
9
2mm
9
v5 0 0 1
0 7
hhˆˆ12
h1 v1
h2
v2
5.847 3.791
hhˆˆ43
hh43
v3 v4
9.638m 7.375
hˆ5 h5 v5 2.263
Hˆ
Hˆ Hˆ
B C
Xˆ Xˆ
1 2
X X
h1 5.835m, s1 3.5km; h2 3.782m, s2 2.7km; h3 9.640m, s3 4.0km; h4 7.384m, s4 3.0km, h5 2.270m, s4 2.5km
间接平差估值的统计性质
2 0
ˆ
2 0
V T PV r
V T PV nus
E(ˆ
2 0
)
2 0
即可。根据二次型定理，可得：
E(V
T
PV)
tr(PDVV
)
2 0
tr(
PQVV
)
02tr(P(Q
B(
N
1 BB
N BB1 C T
N
1 CC
CN
1 BB
)BT
)
02tr(nIn
P
B(
N
1 BB
N B1BC T
N
1 CC
CN
1 BB
因为 V Bxˆ l
等号两边取数学期望，则: E(V ) BE(xˆ) E(l) B~x B~x 0
所以改正数 V的数学期望 E(V) 0。 可知 Lˆ L V ，两边取数学期望有: E(Lˆ) E(L) E(V ) L~
所以 Lˆ 具有无偏性。
2 . Xˆ 的方差最小
由于Xˆ X 0 xˆ，要证明 Xˆ 的方差最小，也就是要证
G1
2G1QWW
2
KN
T BB
G1N BB
2KN BB
0
KC T 0 G2
可得： K
(B
BN BB1 C T
N
1 CC
C
)
N
1 BB
G1
(B
BN BB1 C T
N
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浅谈条件平差和间接平差的一致性
Ａ Ｃ
Ｖｌ Ｖ３ Ｖ４ ｌ ３ １ ＋ 一 ＝ Ｉ —４ ＋ｌ
≤
即 ： ＋ 一 ４（＋３１＝ ，将 一１ ｌ ｌ 化 为 ：｛ ％ ＨＡｈ＋ 。 Ｈ Ｖ１ Ｖ一１ ｌ ０ ０ Ｖ３ １ — （＋３ ｌ一 一Ｈ － — ｌＨ ” 一
一
ｈ－ＨＦＨ — ４ ３（ Ｏ ｃｈ） ｝ 整 理 得 ：（＋３１＝ Ｈ ＋ １ｈ一 ４ｗ 即得 到 条 件 式 ： ｖ ４ 一１ ｌ ４ Ｈ 一 ｈ＋ ３ｈ＝ ， —） ｖ＋ ｒ ｖ＋
２１ ０ １年
第３ ５期
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｎ ＯＧ Ｆ Ｒ Ｔ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｅ Ｈ ＯＬ ＹＩ Ｏ ＭＡ Ｉ Ｎ Ｎ
０高校讲￣ ２ ０
科技信 息
浅谈条件平差和问接平差的一致性
三角高程测量平差计算公式
三角高程测量平差计算公式三角高程测量是一种通过测量两点间的垂直角度和水平距离来计算高差的方法。
在实际测量工作中，由于存在各种误差，为了得到更准确的结果，就需要进行平差计算。
下面咱就来好好聊聊三角高程测量平差计算公式。
先来说说为啥要进行平差计算。
咱就拿我之前参与的一个工程项目来说吧。
那是要给一座新建的大桥做测量，地形复杂得很，山高坡陡。
我们用三角高程测量法测量了很多个点的高程。
可测量完发现，这数据之间总是有那么点儿偏差，要是就这么直接用，那后面的工程设计可就得出大问题。
这就好比你做蛋糕，材料的量没称准，做出来的蛋糕能好吃吗？所以就得通过平差计算来把这些偏差给修正了，让测量结果更可靠。
三角高程测量平差计算的公式主要有间接平差和条件平差两种。
间接平差公式呢，就像是个“温柔的修正者”。
假设我们测量了 n 个高差观测值，每个观测值的改正数是 v，那么观测值和真值之间的关系可以表示为：L + v = Δh 。
这里的 L 是观测值，Δh 是真值。
然后通过最小二乘法原理，列出误差方程，再求解改正数 v 和未知参数。
条件平差公式则像是个“严格的把关者”。
比如有 r 个多余观测，就可以列出 r 个条件方程。
通过这些方程来求解改正数，让观测值满足这些条件，从而达到平差的目的。
在实际应用中，选择哪种平差方法得看具体情况。
比如说，如果已知的条件比较多，那就适合用条件平差；要是未知数比较多，间接平差可能更合适。
再举个例子，有一次我们在山区测量一个电力塔的高度。
那地方信号不好，测量仪器也受到了一些干扰。
测出来的数据怎么看都觉得不太对劲。
后来用三角高程测量平差计算公式进行处理，一点点分析误差来源，调整参数，终于得到了比较准确的数据，保证了电力塔建设的顺利进行。
总之，三角高程测量平差计算公式就像是测量工作中的“定海神针”，有了它，我们才能在复杂的测量环境中得到可靠的结果，为各种工程建设提供坚实的基础。
不管是架桥铺路，还是建高楼大厦，都离不开它的帮忙。
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观测数 必要观测数 多余观测数 所设参数数 方程数 待求量数 t
n
n t r=n-t 0<u<t 且独立 c= r+u n+u
n t r=n-t u=t 且独立 r+u=n n+u
n t r=n-t u>t 且包含 t 个独立 r+u=n+s n+u
r=n-t 0 r n
方程形式
ΑΔ+W=0
ΑΔ+Β X +W=0
β3
1 2 180。 0
β1 A P（ X P , YP ） β2 B
~
~
~
sab s1 ~ ~ 0 sin sin s1 s2 ~ ~ 0 sin 1 sin 2
~
~
S1
S2
已知点：A、B、C 观测值：S1-S3 S3 参数;P 点坐标 X P、YP C 求平差方程？（间接平差）
~
~
A B
~ S1 （~ xp ~ xA )2 ( ~ yp ~ y A )2 ~ S 2 （~ xp ~ xB ) 2 ( ~ yp ~ yB )2 ~ S3 （~ xp ~ xC ) 2 ( ~ yp ~ yC ) 2
如何区别附有参数的条件平差、间接平差、附有限制条件的间接平差？ 解： （1）看参数的个数（u）与必要观测值的个数（t）的关系。u>t,附有限制条件的间 接平差。u=t，间接平差。 u<t,附有参数的条件平差。 例三：在右图水准网中，A 为已知点，B、C、D、E 为待定点，观测 9 条线路的高差 h1-h9 （1）试问该模型可列出多少个条件方程？ A 1 （2）选取 B、C、D 三点高程平差值为参数 5 （3）选取 h1-h5 的高差平差值为参数 B （4）选取 h5-h8 的平差值为参数 6 （5）选取 B、E 两点间的高差为参数 E 7 8 解： （1）n=9，t=4，r=n-t=5 （2）附有参数的条件平差； n=8，t=4，r=5，u=3，c=u+r=8 （3）附有限条件的间接平差； c=r+u=10 （4）间接平差（c=9） （5）附有参数的条件平差； c=r+u=5+1=6（两点的高差为参数 u） 9 4 D 3 C 2
已知量：xA,y16
L8
未知量;β1-β6，S1-S5 求方程的个数？
L7
L11
L12
L15
B
L1
L10
L17
L18
L14
L13
N=19，t=8（已知量给的是坐标所以未知量求得是坐标 8=4*2） ，r=11（下题类似）
C 已知：A、B 观测值：β1-β3，S1-S3 求条件方程？（r=3）
条件平差与间接平差探讨（李晓天）
条件平差问题：就是利用观测值之间存在的数学关系列出条件方程，再加入最小二乘 原理进行约束，求出各观测值的平差值及观测值函数的估值，并评定出这些估值的精度。 间接平差问题：在一个多余观测值的平差问题中，通过选定 t 个参数的函数，建立函 数模型，再利用最小二乘原理，求出参数的最佳估值及消除观测间的不符值。并进行精度 评定。 测量平差中常用的函数模型包括：条件平差模型、附有参数的条件平差模型、间接平 差模型、附有限制条件的间接平差模型。对于不同的平差模型有： 条件平差 附有参数的条件平差 间接平差 附有限制条件的间接平差
~
Δ=B X -l
~
Δ=B X -l CX+WX = 0
~
已知量：一般题目已知或者题目中没有误差的值。 未知量：根据已知量和某种函数关系所求的结果。它决定了必要观测值 t 的个数。 n：观测值的个数（不论观测值是什么） 。t:必要观测数 r:多余观测数 u：参数个数 c：条件方程的个数。 A
L2 L5 L6