二双曲线中线段之和的最值问题

本内研究双曲线中线段之和的最值.根据双曲线的第一定义，利用三角形中

两边之和大于第三边，三角形中两边之差小于第三边，处理线段之和的最值问题时，画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.

先看例题：

例：已知F 是双曲线221412

x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________.

思考：P 是双曲线右支上的动点，答案如何？

例如：已知F 是双曲线221412

x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________.

整理：根据双曲线的第一定义，利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三

边画出图形，利用几何图形的性质三点共线线段之和取得最值.

设P 为平面内一动点，A 、B 为两定点，则||||||PA PB AB +≥当且仅当点P 在线段AB 上时取得最小值；

图1||||||||AB PA PB AB -≤-≤ 当且仅当点P 在线段AB （或BA ）的延长线时取等号．

图2

再看一个例题，加深印象：

例：已知F 是双曲线22

: 2C x y -=的右焦点，P 是C 的左支上一点，()0,2A .

当APF ∆周长最小时，求P 的坐标.

总结：

1.在遇到双曲线中线段和的最值问题时，常利用双曲线上点的性质（12||2MF MF a -=）及三角形三边关系.

2. 注意双曲线上点的位置，在哪一支上，影响所求最值.

练习：

1. 已知F 是双曲线C:22

18y x -=的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,当△APF 周长最小时,该三角形的面积为________.

2. 已知F 是双曲线221412

x y -=的左焦点,A (1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF |+|P A |的最小值为________.

3. 已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x =，离心率

e =（Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(，B 是圆22(1x y +-=上的点， 点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标；

答案： 1.

2.

3.

（Ⅱ）设点D 的坐标

为，则点A 、D 为双曲线的焦点，||||22MA MD a -==所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥ ，

B

是圆22(1x y +=

上的点，其圆心为C ，半径为1，

故||||11BD CD -=≥ 从

而||||2||1MA MB BD ++≥

由方程组2244x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩

得,33x y == ∴

M .