12 正方形的存在性问题) 答案

二次函数专题训练（正方形的存在性问题）参考答案

1．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（l，0），B（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点P在直线BD上，当PE=PC时，求点P的坐标．

（3）在（2）的条件下，作PF⊥x轴于F，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（﹣3，0），

∴，∴，∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；

∴C（0，﹣3），抛物线的顶点D（﹣1，﹣4），

∴E（﹣1，0），

设直线BD的解析式为y=mx+n，

∴，∴，∴直线BD的解析式为y=﹣2x﹣6，

设点P（a，﹣2a﹣6），

∵C（0，﹣3），E（﹣1，0），

根据勾股定理得，PE2=（a+1）2+（﹣2a﹣6）2，

PC2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，

∵PC=PE，

∴（a+1）2+（﹣2a﹣6）2=a2+（﹣2a﹣6+3）2，

∴a=﹣2，∴y=﹣2×（﹣2）﹣6=﹣2，

∴P（﹣2，﹣2），

（3）如图，作PF⊥x轴于F，

∴F（﹣2，0），

设M（d，0），

∴G（d，d2+2d﹣3），N（﹣2，d2+2d﹣3），

∵以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形，必有FM=MG，

∴|d+2|=|d2+2d﹣3|，

∴d=或d=，

∴点M的坐标为（，0），（，0），（，0），（，0）．

2．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

【解答】解：（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，

∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，

∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，∴=，

当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点坐标为（﹣3，﹣）；

综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；

（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，

设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），

∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，

∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，

∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．

3．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3过点A（﹣1，0），B（3，0），点M、N为抛物线上的动点，过点M 作MD∥y轴，交直线BC于点D，交x轴于点E．过点N作NF⊥x轴，垂足为点F

（1）求二次函数y=ax2+bx﹣3的表达式；

（2）若M点是抛物线上对称轴右侧的点，且四边形MNFE为正方形，求该正方形的面积；

（3）若M点是抛物线上对称轴左侧的点，且∠DMN=90°，MD=MN，请直接写出点M的横坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx﹣3，

得：，解得，故该抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴该抛物线的对称轴是x=1，顶点坐标为（1，﹣4）．

如图，设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），其中m＞1，

∴ME=|﹣m2+2m+3|，

∵M、N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，

∴点N的横坐标为2﹣m，

∴MN=2m﹣2，

∵四边形MNFE为正方形，

∴ME=MN，

∴|﹣m2+2m+3|=2m﹣2，

分两种情况：

①当﹣m2+2m+3=2m﹣2时，解得：m1=、m2=﹣（不符合题意，舍去），

当m=时，正方形的面积为（2﹣2）2=24﹣8；

②当﹣m2+2m+3=2﹣2m时，解得：m3=2+，m4=2﹣（不符合题意，舍去），

当m=2+时，正方形的面积为[2（2+）﹣2]2=24+8；

综上所述，正方形的面积为24+8或24﹣8．

（3）设BC所在直线解析式为y=px+q，

把点B（3，0）、C（0，﹣3）代入表达式，

得：，解得：，

∴直线BC的函数表达式为y=x﹣3，

设点M的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），其中t＜1，

则点N（2﹣t，t2﹣2t﹣3），点D（t，t﹣3），

∴MN=2﹣t﹣t=2﹣2t，MD=|t2﹣2t﹣3﹣t+3|=|t2﹣3t|．

∵MD=MN，∴|t2﹣3t|=2﹣2t，

分两种情况：

①当t2﹣3t=2﹣2t时，解得t1=﹣1，t2=2（不符合题意，舍去）．

②当3t﹣t2=2﹣2t时，解得t3=，t2=（不符合题意，舍去）．

综上所述，点M的横坐标为﹣1或．

4.(2015 贵州省毕节地区) 如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，顶点M关于x轴的对称点是M′．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若直线AM′与此抛物线的另一个交点为C，求△CAB的面积；

（3）是否存在过A，B两点的抛物线，其顶点P关于x轴的对称点为Q，使得四边形APBQ为正方形？若存在，求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据轴对称，可得M′的坐标，根据待定系数法，可得AM′的解析式，根据解方程组，可得B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；

（3）根据正方形的性质，可得P、Q点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．

解答：解：（1）将A、B点坐标代入函数解析式，得，解得，

抛物线的解析式y=x2﹣2x﹣3；

（2）将抛物线的解析式化为顶点式，得y=（x﹣1）2﹣4，

M点的坐标为（1，﹣4），M′点的坐标为（1，4），