角平分线性质定理的应用

例析角平分线性质定理的应用
.可联想角平分线的性质，数学问题中，若出现角平分线这一条件时，往往可以化难为易.下面举例予以说明．MAN，AC平分∠MAN例1 （临沂）已知∠；＋AD＝AC，求证：＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°AB（1）在图1中，若∠MAN，则⑴中的结论是否仍然成180°ABC＋∠ADC＝（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
MMMCCC
E
DDD G BAAB F NNBAN图3
2
图图1
分析：（1）中可利用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”的性质解题；（2）中猜想结论仍成立，可通过添加辅助线，构造全等三角形进行等线段的转化．
解：（1）∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°．
1AC．＝AB∴＝AD2∴AB＋AD＝AC．
（2）成立．
如图3，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F．
∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．
∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°．
∴∠CDE＝∠ABC．
∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB．
∴AB＋AD＝（AF＋BF）＋（AE－ED）＝AF＋AE，
由（1）知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC．
例2 如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.
分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB- 1 -
的平分线解决问题.
图4
解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.
因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°－20°=80°，∠PBA=180°－100°=80°，所以∠PBA=∠ABD.
因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM.
又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，所以EN=EM.
11∠ADB=×40°平分∠ADB，所以∠ADE==20°. ED所以22例3 如图5，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠PDO＋∠PEO ＝180°．
分析：要证∠PDO＋∠PEO＝180°，∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决．由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可．
证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、
N．
因OC是角平分线，故PM=PN．
由PD=PE，PM=PN，得Rt△PMD≌RtPNE，所以∠MDP＝∠NEP．
图5
则∠PEO＝∠MDP，而∠MDP＋∠PDO＝180°，∠PDO＋∠PEO＝180°．
?A?90ABPD?BCADC//AD P．求4例如图6是，，平分的中点，，已知：
CP?DCB．证：平分?ADC?DCB PP的角平分线上，
可转化为证的平分线上，而欲证点在在点分析：DC PP引垂线，这是本题证明的关键．点到这个角两边的距离相等，从而考虑过点一点向- 2 -
以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理．EDCPE?证明：作，垂足为，D A
90?4??A??3?2 ，所以1 E 4 3
P PE???ADC?1?2PAPD，所以．因为平分，所以C
B
PBPE??ABPAPB P因为是，所以的中点，所以，6 图DCB?CPDCB?P平分的平分线上，所以．所以点在
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