定积分及其计算方法

一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限
2. 用定积分性质估值
3. 与变限积分有关的问题
例1. 求 lim n
1 xnex 01 ex
dx
.
解: 因为
时,
0

x ne 1 e
x x
x n, 所以
0
1 xnex 01 ex
dx

1 xn dx 1
绕极轴
旋转形而成的体积为 Vox

2
3


r 3 (
) sin
d.
证: 先求
上微曲边扇形
r r( )
绕极轴旋转而成的体积
d d r
体积微元
r

x
故
Vox

2
3


r 3 (
) sin
d
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y 2x 与 y 4x x2 所围区域绕 y 2x 旋转例所4得. 求旋由转体体积.
(2) 设
F
(x)

x2
,
g
(x)

x
a
f
(x)
d
x
(a x b)
则 g(x) f (x) 0, 故 F (x), g(x)满足柯西中值定理条件,
于是存在 (a,b), 使
F (b) g (b)

F (a) g(a)

b
a
f
b2 (t) d t

a2
a
a
f
(t)
求可微函数 f (x) 使满足
例7.
解: 等式两边对 x 求导, 得
2 f (x) f (x) f (x) sin x 2 cos x
不妨设 f (x)≠0, 则

f (x)
f (x) dx

1 2

2
sin x cos
x
dx
1 ln(2 cos x) C
2
①
可见 f (x) 应为二次多项式 , 设
代入① 式比较同次幂系数 , 得 故
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二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法 思考: 下列作法是否正确?
2. 注意特殊形式定积分的计算 3. 利用各种积分技巧计算定积分 4. 有关定积分命题的证明方法
x
g(x)d x
a
故作辅助函数
x
a f (x)d x
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证明: 令x
b
x
b
F(x) a g(x) d xa f (x) d x a f (x)dxa g(x) d x
在 上连续,
在
故由罗尔定理知 , 至少
存在一点
使
即
b
b
g( )a f (x)dx f ( )a g(x)dx 0
0
n 1
利用夹逼准则得
lim
n
1 xnex 01 ex
dx

0
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说明:
1) 思考例1下列做法对吗 ?
利用积分中值定理
原式
不对 ! 因为 依赖于 n,且 0 1.
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
如, P265 题4
1 xp

6
ln ( 2 3) 3 2
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例10. 求
y cos x

解: I 2 (sin x cos x)2 dx 0
sin x

2 sin x cos x dx 0
o

4
x
2



4 (cos x sin x) dx
0
∴ 11 dx 02
即
1
2
1, 4 x2
1

1
dx
0 4 x2

6
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例4. 证
明
证: 令
则
令
得
故
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设 在 上是单调递减的连续函数，试证
明对例于5.任何 q 0,1都有不等式
证明：显然 q 0, q 1 时结论成立. 当0 q 1 时,
n
n 1
n

1 2
n

1 n
提示： lim 1
n n 1
ni
2n
i1

原式

lim 1 n n
ni
2n
i1
左边 lim n
ni
2n
n n 1 i1
1 2x d x 0
= 右边
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估计下列积分值
例3.
解: 因为 1 4
x dt
a f (t)
x
a f (t) d t 2(x a)

x
a

f
(t)
f
(t)

2

d
t

x [ f (x) f (t)]2 d t a f (x) f (t)
故 F(x) 单调不减 ,
即② 成立.
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在(0,1) 内的一条切线, 使它与
两坐例标1轴. 求和抛抛物物线线所围图形的面积最小.
解: 设抛物线上切点为
则该点处的切线方程为
B
M
它与 x , y 轴的交点分别为
A
所指面积
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得[ 0 , 1] 上的唯一驻点 且为最小点 . 故所求切线为
B M
A
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例2. 设曲非线负函数 与直线

2 2 f (sin x) dx 0


f (sin x) dx
20
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例14. 证明恒等 式
证: 令
则
因此 f (x) C
(0

x


2
)
,
又
故所证等式成立 .

4
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至少例存1在5.一点
使
试证
分析: 要证
即
xa x a
(1) 在(a, b) 内 f (x) > 0 ;
(2) 在(a, b) 内存在点 , 使
b2 a2 b f (x)d x

2 f ( )
a
(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使
f
()(b2

a2
)

2 a
b
a
f
(x)
d
x
(03考研)
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n
sin k
1
1
sin x dx
2,
lim n 1
n k 1
nn
0
n n 1
利用夹逼准则可知 I 2 .

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思考: 提示:由上题

sin
(n1)
n
n

1 n1
故
J

I

lim
sin

n

lim
sin
(n1)
n
n n 1
证: (1) lim f (2x a) 存在, lim f (2x a) 0,
xa x a
xa
由 f (x)在[a, b]上连续, 知 f (a) = 0. 又 f (x) 0，所以f (x)
在(a, b)内单调增, 因此
f (x) f (a) 0, x (a,b)
0
( t) f (sin t) d t


0
f (sin t) dt t f (sin t) d t 0


f (sin x) dx
20
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因为
综上所述

2 f (sin x) dx 0
对右端第二个积分令 t x
q f (1)
(用积分中值定理)
(1 q) f (2)
故所给不等式成立 .
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例6.
确定 y 是 x 的函数 , 求 解：方程两端对 x 求导, 得
且由方程
令 x = 1, 得 再对 y 求导, 得
令 y 1, 得C 3, 故
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解: 令 u xt , 则
1 0
f
(x
t)
d
t

1 x
x
f (u) d u
0
代入原方程得
x
f (u) d u x
x f (t 1) d t x4 2x2
0
0
两边求导:
f (x)
x f (t 1) d t x f (x 1) 4x3 4x
0
再求导:
(令u (x 1)2 )
1
1
(
x

1)
2
e
(
x
1)
2
1
d(
x

1)
2
60
e 6
1
u
eu
d
u
0
e (u 1) eu 6
1 0
1 (e 2) 6
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例13. 若
试证 :


f (sin x) dx
20
解: 令 t x, 则
2
(sin
x

cos
x)
dx
4

[sin x cos x] 4 0
[cos x sin x] 2

4
2( 2 1)
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例11. 选择一个常数 c , 使
解: 令 t x c, 则
bc t cos99 t d t ac
因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使
a c (b c)
即
c ab
2
可使原式为 0 .
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例12.
解:
设1 (x
1) 2
f
( x) dx
0
1 (x 1)3 f (x)
1 1
1
(x
1)3
f
( x)
dx
3
0 30
1
1
(
x

1)3
ex2
2
x
dx
30
及坐标轴所围图形
面积为 2 , (1) 求函数
(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体
体积最小 ?
解: (1)
由方程得
即
故得
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又
(2) 旋转体体积
又 为唯一极小点, 因此
y
o
1x
时 V 取最小值 .
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例3. 证明曲边扇
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例9. 求 解: 令 ex sin t , 则
原式

6cos
2
t

cos t sin t
d t
2
6
1 sin2 sin t
t
dt


2
(csc
t

sin
t)
d
t
6

[ln csc t cot t cos t] 2
n
n

1 n1
2

00
2

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练习:
求极限 lim (
1.
n
n
n 2
1

n2
Leabharlann Baidu
n
22

n2
n
n2
).
解：原式

lim
n
1 n
n1 i11 (ni )2

1 0
1
1 x2
d
x


4
1
2
n
2. 求极限
lim ( 2n 2n 2n ).
o dx 2
故所求旋转体体积为
V
2 0
15( x 2

2x)2
5d x 16 75
5
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例5. 半径为 R , 密度为
d
t


x
a
(x2 ) f (t) d
t

x
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即
b2 a2
b
a
f
(t
)
d
t

2 f ( )
(3) 因 f ( ) f ( ) 0 f ( ) f (a)
在[a, ] 上用拉格朗日中值定理
f ()( a), (a, )
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f (x) 1 ln(2 cos x) C 2
注意 f (0) = 0, 得C 1 ln 3 2
f (x) 1 ln(2 cos x) 1 ln3
2
2
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例8. 求多项式 f (x) 使它满足方 程
解: 曲线与直线的交点坐标为 A(2, 4),曲线上任一点
P (x , 4x x2 ) 到直线 y 2x的距离为
u
A y 2x
以y 2x为数轴 u (如图), 则
dV 2 d u (d u 5 d x)
P y 4x x2 du



1 5
(x2

2x)2

5d x

1 1 xp

1

1
x
p
x
p
1
(0 x 1)
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例2. 求
(考研98 )
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：
n n sin k
n 1k1 n
1 n

n
sin
k
n
k 1
n

1 k

n
sin
k 1
k
n
1 n
已知
lim
代入(2)中结论得
因此得
b2 a2
b
a
f
(t
)
d
t

2 f ()(
a)
f
()(b2

a2
)

2 a
b
a
f
(x)
d
x
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例17. 设
且
试证 :
②
证: 设
F(x)
x
f (t) d t
x dt
(x a)2
a
a f (t)
则 F(x)
因在 上 连续且不为0 , 从而不变号, 因此
故所证等式成立 .
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思考: 本题能否用柯西中值定理证 明 ? 如果能, 怎样设辅助函数?
要证:
提示:
设辅助函数
x
F(x) a f (t)dt
G(
x)

x
a
g
(t
)dt
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例16. 设函数 f (x) 在[a, b] 上连续,在(a, b) 内可导, 且 f (x) 0. 若 lim f (2x a) 存在, 证明: