函数图像及其变换

函数图象是研究 函数的重要工具,它能 为所研究函数的数量 关系及其图象特征提 供一种”形”的直观 体现,是利用”数形结 合”解题的重要基础.
1．几种函数的图像
函数
图像
一次函数 y＝kx＋b
函数
图像
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
2. 指数函数
解析式: y = ax (a>0, 且a≠1). 图象特点:
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|· (x＋1)；
绘图
(3)y＝|log2(x＋1)|.
解：(2)此函数为偶函数， 1x 利用 y＝(2) (x≥0)的图象进行变换．(如下图(2))．
变式迁移 1 1 |x| (2)y＝( ) ； 2
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|· (x＋1)；
绘图
如图所示，当a=4时满足条件.
小
结
1. 画函数图象的简图时，往往要先找出该函数的基本初等函数， 再分析其通过怎样的变换(平移、对称等)而得到。有时要先对 解析式进行适当的变形。（分段函数） 2.当不能直接利用图象变换法画函数图象的简图时(即找不到该 函数的基本初等函数),可先分别确定函数的定义域、讨论函数的 性质（如单调性、奇偶性、特殊点、特征线等),再用描点法或图 象变换法得出图象。
y y=x3 y
几种幂函数的图象特点:
y y=x2 1 o 1 x
1 o 1 x
1 o 1
y= x
1 2
y y=x-1
x
1 o 1
x
描绘函数图象的两种基本方法: ①描点法;(通过列表﹑描点﹑连线三个步骤完成) ②图象变换;(即一个图象经过变换得到另一个与 之相关的函数图象的方法) 函数图象的三大变换方法
-1 0
2 1 1
y = ( x - 1)
x
2
y=f(x)+k
三﹑对称变换 1 2﹑设f(x)= _(x>0),说出函数y=-f(x)、 y=f(-x)、 x y=-f(-x) 与y=f(x)的图象关系。
y y y
y=f(x) y=f(-x) y=f(x) y=f(x)
o
1
x
o
1
x
o
y=-f(-x)
识图
1 4.函数y= 的图象大致是( B ) x 1
1 x 1
移一个单位长度可得.
1 由函数y= x 的图象向左平
识图
5．函数f(x)＝a x－b的图象如右图所示，其中 a、b为常数，则下列结论正确的是( D ) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 【解析】 因图象是递减的，故0<a<1.又图 象是将y＝ a x的图象向左平移了，故b<0
识图
【例1】回答下述关于图象的问题： (1)向形状如右图，高为H的水瓶注水，注满为 止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V＝f(h) 的图象是下图中的( A )
识图
练习1：如图所示，液体从一圆锥形
漏斗漏入
一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛
满液体，经3分钟漏完.已知圆柱中液面上升 的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面 下落 的距离，则H与下落时间t(分)的函数 图象只可能是( B )
解： (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如下图(2)．
绘图
【例1】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
2 x －2x－1 解：(3)y＝ 2 x ＋2x－1
(x≥0) .图象如下图(3)． (x<0)
3.函数图象变换的应用:
①作图﹑② 识图﹑ ③用图
若将函数y=|log2(x+1)|该为函数y=log2(|x| +1),会 有何变化?
函数图象的翻折变换规律：
翻 折 变 换 上下翻折: y=f(x) 只保留y=f(x) x轴上方图象 y=|f(x)|
并将x轴下方图象沿x轴进行翻折 只保留y=f(x) y轴右侧图象
左右翻折: y=f(x)
并将y轴右侧图象沿y轴进行翻折
用图
f(x)＝－x2＋2x，作出 f(x)的大致图象 如图中实线所示，结合图象可知 f(x) 是 R 上的增函数， 由 f(2－a2)>f(a)，得 2－a2>a，即－2<a<1.
练习
用图
f(x)=|4x-x2|-a与x轴恰有三个交点，
则a= 4 . 解析 y1=|4x-x2|,y2=a，则两函数图象恰有三个 不同的交点.
关系表示的
绘图
【例2】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
lgx (x≥1) 解：(1)y＝ －lgx (0<x<1)
.图象如下图(1)．
绘图
【例1】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
y=f(|x|)
识图
1． f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 ( B )
识图
来自百度文库xa 2.函数y= (0<a<1)的图象大致是( D ) |x|
x
识图
3.下列函数图象中，正确的是( C )
对A、B,由y=x+a,知a>1,可知A、B图 象不正确;对D,由y=x+a知0<a<1,所以y=logax 应为减函数，D错，故选C.
1
x
y=-f(x)
横坐标不变 纵坐标取相反数 y=f(x)与y=-f(x)图象 关于x轴对称
横坐标取相反数 纵坐标不变
y=f(x)与y=f(-x)图象关
横坐标、纵坐标 同时取相反数
y=f(x)与y=-f(-x)图象
对 称 变 换
于y轴对称
关于原点对称
四﹑翻折变换
4﹑试画出函数y=|log2(x+1)|的图象,并指出它与函 数y=log2(x+1)的图象之间有怎样的变换关系?
(3)y＝|log2(x＋1)|.
解：(3)利用 y＝log2x 的图象进行平移和翻折变换． 如下图(3)．
[例三] 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时， f(x)＝x2＋2x，若 f(2－a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围 (－2,1) ． 是__________
解析 ∵f(x)是奇函数，∴当 x<0 时，
平移
对称
翻折
2 y = ( x 1 ) 1.讨论函数 y = x 与 y = x 2 , y 的图象之间的关系. y = x2 2 2 归纳：
一﹑平移变换
2
2
y=x
左右平移: y=f(x)
平 平移|h|个单位 移 变 换 上下平移:
y=f(x)
上正下负 平移|k|个单位
左正右负
y=f(x+h)
变式迁移 1 1 |x| (2)y＝( ) ； 2
作出下列函数的图象：
(1)y＝|x－2|· (x＋1)；
绘图
(3)y＝|log2(x＋1)|.
解：(1)先化简，再作图．
2 x －x－2 (x≥2) y＝ 2 －x ＋x＋2 (x<2)
.(如下图(1))．
变式迁移 1 1 |x| (2)y＝( ) ； 2
y=ax y (0<a<1) 1 O
y y = ax (a>1)
x
1 O
x
对数函数 解析式: y = logax (a>0, 且a≠1). 图象特点:
y 0<a<1 y=logax x y
a>1
o 1
o 1
y=logax x
幂函数 解析式:
y 1 o 1 y= x x
y = xa (a为常数).