线性代数总复习1讲

求X的分布函数F(x)和 P{1 X 1}. 解： 0, x 2, P{1 X 1}
P{ X 1} P{ X 0} P{ X 1} 1/ 6 1/ 3 3 /10 4 / 5.
P{1 X 1} P{ X 1} P{ X 1} P{ X 1} F (1) F (1) P{ X 1} 1 11/ 30 1/ 6 4 / 5.
P( B1 A) P( A | B1 ) P( B1 ) P( B1 | A) P( A) P( A)
0.35 0.03 0.5 . 0.35 0.03 0.40 0.02 0.25 0.01
8 5 P( B2 | A) ， P( B3 | A) . 21 42
X x
X
2 1 0
x
1
例2：设随机变量X的概率密度为
1 2(1 x 2 ), f ( x) 0, 1 x 2, 其他。
概率论与数理统计 总复习1讲
主讲教师：杨勇 佛山科学技术学院数学系
第一章 1. 学会使用简单事件表示复杂事件 例如：设A，B，C 为三个事件，用它们表示下 列事件：
（1） A，B，C 中至少有一个发生；
（2） A，B，C 同时发生；
A ∪B
ABC
∪
C
（3） A不发生；
A
2. 常用公式
(1) A B AB ，AB A B ；
fY ( y) FY ( y).
定理1: 设 X是一个取值于区间[a, b], 具有概 率密度 fX(x)的连续型随机变量, 又设y= g(x) 处处可导的严格单调函数, 记(α, β)为g(x)的 值域，则随机变量Y=g(X)是连续型随机变量 ，概率密度为
dh( y ) , y , f [h( y )] fY ( y ) dy 0, 其他 .
若P(A)>0，则
P( AB) P( B | A) . P( A)
（7）独立性
A, B 相互独立 P( AB) P( A) P( B)
P( A | B) P( A) 或 P( B | A) P( B)
例1 设A, B为两事件，且设P( B) 0.3, P( A B) 0.6, 求P( AB ).
解：
P( A B) P( A) P( B) P( AB) P( A) P( B) P( B A) P( A) P( B) P( B) P( AB) P( A) P( AB) 0.9
例3： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一 张，记 A={ 抽到K }, B={抽到黑色的牌}。
E ( X ) 0;
D( X ) 1.
2. 常见概念 定义1: 设X是一个随机变量，称函数 F (x) = P{X≤x}, -∞< x <＋∞ 为随机变量X的分布函数。 因此随机变量X的分布函数F (x) 实际表示事 件{X≤x}的概率 例如 F (1) 实际表示事件{X≤1}的概率. F (-1) 实际表示事件{X≤-1}的概率.
P( A)
P( B1 A) P( A | B1 ) P( B1 ) P( AB1 ) P( AB2 ) P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P( B2 )
0.8 (5 / 8) 40 0.8 (5 / 8) 0.3 (3 / 8) 49
解： P( AB ) P( A B) P( A) P( AB)
因为P( A B) P( A) P( B) P( AB) 所以P( A) P( AB) P( A B) P( B) 0.3
例2 设P( A) 0.2, P( AB) 0.1, P( A B) 0.9, 求P( A B).
(3) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A3 ) P ( A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
（4）加法公式
F ( x) P{ X x}
因此
x
f (t ) d t.
F ( x) f ( x).
3 连续型随机变量函数的分布 求随机变量函数Y=g(X)的分布函数 F(y)=P(Y≤y) 如何求解P(Y≤y)? 在求P(Y≤y)过程中, 关键的一步是设法从 { g(X)≤y }中解出X,从而得到与 {g(X)≤y }等价 的X的不等式 。再利用已知的X的分布，求出 相应的Y的分布函数FY (y)。 通过分布函数FY (y)可以求出概率密度函数
E( X )
1
e x , x 0 , f ( x) 0, x 0.
; D( X ) 1
( 0)


2
.
X ~ N ( , 2 ) (6) 正态分布, 记作 即随机变量X具有概率密度函数
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
P( A B) 1 P( A B) 1 P( AB) P( A B C ) 1 P( A B C ) 1 P( ABC )
(2) AB A B, A AB AB.
P( AB)= P(A-B)=P(A)－P(AB)
P( A) P( AB AB) P( AB) P( AB)
k P( X k)Cn p k (1 p)nk , k 0, 1, , n . E(X)= np , D(X) = np(1-p) .
(3)泊松分布,记作X ( ).
即随机变量X具有概率分布
P{ X k} e

k
k!
,
k 0, 1, 2, .
E ( X ) ;
P( A B) P( A) P( B), 其中A B互斥. ，
（5）乘法公式
若P(B)>0, 则 P(AB)=P(B)P(A|B)；
若 P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A) ；
（6）条件概率 设A、B是两个事件。 若P(B)>0，则
P( AB) P( A | B) . P( B)
例5：8支步枪中有5支已校准过,3支未校准。 一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为 0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。 现从8支枪中任取一支用于射击，结果中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。 解：设 A={射击时中靶}，B1={枪校准过}, B2={枪未校准}， P( B1 A) 则 B1,B2 是Ω 一个划分，得 P( B1 | A)
例6：一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的 三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占 这批螺钉的比例分别为35%,40%, 25%。各台 机器生产的螺钉的次品率分别为3%, 2%和1%。 现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉 由I, II, III号机器生产的概率各为多少?
解：设 A={螺钉是次品}, B1={螺钉由I号机器生产}, B2={螺钉由II号机器生产}, B3={螺钉由III号机器生产}。
例7： 将两信息分别编码为X和Y后传送出去， 接收站接收时， X被误收作Y的概率为0.02，而Y 被误收作X的概率为0.01。信息X与信息Y传送的 频率程度之比为2：1。若接收站收到的信息是X, 问原发信息也X是的概率是多少？ 解：记A={将信息X传送出去}， B={接收到信 息X}。则
A {将信息Y 传送出去}, B {接收到信息Y }.
其中 x = h(y) 是 y = g(x) 的反函数， min g ( x), max g ( x) .
a xb a xb
例1：设随机变量的分布律为
X 概率 －2 1/5 －1 1/6 0 1/3 1 3/10
1/ 5, 2 x 1, F ( x ) 11/ 30, 1 x 0, 0 x 1, 7 /10, P{ X x} x 1. 1,
D( X ) .
(4) 均匀分布，记作： X ～ U（a, b） 即随机变量X具有概率密度函数
1 , a x b, f ( x) b a 0, 其他 .
ab E( X ) ; 2
(b a)2 D( X ) . 12
(5) 指数分布，记成 X ~E(λ)。 即随机变量X具有概率密度函数
设离散型随机变量X 的概率分布为 pk = P{ X=xk } , k=1,2,…, 则X 的分布函数为 F ( x) P{ X x} P X xk x x k

xk x
PX pk .
xk
xk x
设连续型随机变量X 的概率密度函数为 f(x) 则X 的分布函数为
则
ຫໍສະໝຸດ Baidu
P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。 则 B1,B2,B3是Ω 一个划分，得
P( A) P( AB1 AB2 AB3 ) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
第二章 1. 常见概率分布 (1)（0－1）分布（两点分布）,记成 X～b(1, p)。 即随机变量X具有概率分布 P(X=1 ) = p , P(X=0) = 1-p . E(X)= p , D(X) = p(1-p) . (2)二项分布, 记成 X ~ b(n, p)。 即随机变量X具有概率分布
并且
2 1 P( A) ，P( A) ，P( B | A) 0.02， 3 3 P( B | A) 0.01 ，
由贝叶斯公式有
P( B | A) 0.02
P( AB) P( AB) P( A | B) P( B) P( AB AB ) P( B | A) P( A) P( B | A) P( A) P( B | A) P ( A) 2 （ －0.02) 1 3 2 1 （ －0.02) 0.01 1 3 3 196 . 197
, x
E ( X ) ;
D( X ) 2 .
(7) 标准正态分布，记为X~N(0, 1)
即随机变量X具有概率密度函数
1 x2 / 2 ( x) e ， x ， 2
或随机变量X具有分布函数
( x)
x
1 t 2 / 2 e dt . 2
已知 P(A1)=1/5, P(A2)=1/3, P(A3)=1/4，且 A1，A2，A3相互独立， P(A1∪A2∪A3) 1 P( A1 A2 An )
1 P ( A1 A2 A3 ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
1 (4 / 5) (2 / 3) (3 / 4) 0.6 .
问事件A, B是否独立？ 解：由于 P(A) = 4/52 = 1/13, P(B) = 26/52 = 1/2， P(AB) = 2/52 = 1/26。 故, P(AB) = P(A)P(B). 这说明事件A, B独立。
例4: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？ 解：将三人分别编号为1, 2, 3， 记 Ai = {第i个人破译出密码} ， i=1, 2, 3。 故，所求为 P(A1∪A2∪A3)。