理论力学第三版(周衍柏)习题答案

理论力学第三版(周衍柏)习题答案

第一章 质点力学

第一章习题解答

1.1 由题可知示意图如题1.1.1图:

{

{

S

S

t t 题1.1.1图

设开始计时的时刻速度为0v ,由题可知枪弹作匀减速运动设减速度大小为a . 则有:

()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+-+=-=2

21210211021221t t a t t v s at t v s 由以上两式得

1102

1

at t s v +=

再由此式得

()()

2121122t t t t t t s a +-=

证明完毕.

1.2 解 由题可知,以灯塔为坐标原点建立直角坐标如题1.

2.1图.

题1.2.1图

设A 船经过0t 小时向东经过灯塔,则向北行驶的B 船经过⎪⎭⎫ ⎝

⎛+2110t 小时经过灯塔任意时刻A 船的坐标

()t t x A 15150--=，0=A y

B 船坐标0=B x ，

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫

⎝⎛+-=t t y B 15211150

则AB 船间距离的平方

()()2

22B A B A y y x x d -+-=

即

()

2

02

1515t t d -=2

01521115⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫

⎝⎛++t t

()2

02

002211225225675900450⎪⎭⎫ ⎝

⎛++++-=t t t t t

2d 对时间t 求导

()

()67590090002

+-=t t dt

d d AB 船相距最近，即()

02=dt

d d ，所以 h t t 4

30=

- 即午后45分钟时两船相距最近最近距离

2

2

min

231543154315⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫ ⎝

⎛

⨯=s km

1.3 解 ()1如题1.3.2图

x

y

C

a

B

A ψ

ϕ

r

O

a

第1.3题图

•

•A B C r a

ϕ

ψ

ωx

y

O

题1.3.2图

由题分析可知，点C 的坐标为

⎩⎨

⎧=+=ψ

ψϕsin cos cos a y a r x 又由于在∆AOB 中，有

ϕ

ψsin 2sin a

r =

（正弦定理）所以

r

y r a 2sin 2sin ==

ψϕ

联立以上各式运用

1cos sin 22=+ϕϕ

由此可得

r

y

a x r a x 2

2cos cos --=

-=ψϕ

得

1242

2

222222=---++r y a x y a x r y 得

22222223y a x r a x y -=-++

化简整理可得

()()

2222222234r a y x y a x -++=-

此即为C 点的轨道方程.

（2）要求C 点的速度，分别求导

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=--=2cos sin cos 2cos sin ϕωψψϕωϕωr y r r x &&

其中

ϕ

ω&= 又因为

ψϕsin 2sin a r =

对两边分别求导 故有

ψ

ϕωψ

cos 2cos a r =& 所以

2

2

y x V &&+=4cos sin cos 2cos sin 2222

ϕωψψϕωϕωr r r +⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=

()ψϕψϕϕψ

ω

++=

sin cos sin 4cos cos 22r

1.4 解 如题1.4.1图所示，

A B

O

C

L

x

θd 第1.4题图

OL 绕O 点以匀角速度转动，C 在AB 上滑动，因此C 点有一个垂直杆的速度分量

22x d OC v +=⨯=⊥ωω

C 点速度

d

x d d v v v 222

sec sec cos +====⊥⊥ω

θωθθ 又因为ωθ=&所以C

点加速度 θθθω&⋅⋅⋅⋅==tan sec sec 2d dt dv a ()

2

222222tan sec 2d x d x d +=

=ωθθω

1.5 解 由题可知，变加速度表示为

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛

-=T t c a 2sin

1π 由加速度的微分形式我们可知

dt

dv a =

代入得

dt

T t c dv ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=2sin 1π 对等式两边同时积分

dt T t c dv t v

⎰⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=00

2sin 1π

可得 ：

D T

t

c T

ct v ++

=2cos

2ππ

（D 为常数）

代入初始条件：0=t 时，0=v ，故

c

T D π

2-

=

即

⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12cos

2T t T t c v ππ 又因为

dt

ds v =

所以

=ds dt T t T t c ⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+

12cos 2ππ 对等式两边同时积分，可得：

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛-+=t T t T T t c s 2sin 222

12πππ

1.6 解 由题可知质点的位矢速度