罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解(第章索洛增长模型
索洛增长模型

由于K / AL k , L/ L n, A/ A g , K sY (t ) K (t ),则, sY (t ) K (t ) Y (t ) k (t ) k (t )n k (t ) g s k (t ) nk(t ) gk(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) 应用Y / AL f (k ), 有 k (t ) sf (k (t )) (n g )k (t )
储蓄率增加与经济增长
y
s1y1
(n+g+δ)k
s1f(k) sf(k)
C1
sy0
C0
0
k0
k1
k
•上图显示,由于人们增加了储蓄,体现 为储蓄倾向的增大,经济从最初的稳定 状态转变为新的稳定状态,使得人均资 本和人均产量都增加了。
•但是需要说明的是,上图两个均衡点都 是稳态中的均衡点,而这个稳态的均衡 点,从长期来看,只不过是受人口增长 率(有效劳动增长率)水平的决定。因此 最终来看,储蓄率的提高有水平效应, 但是没有增长效应,它改变了经济的平 衡增长路径,因而改变了任一时点上每 工人的平均产量水平,但是并不影响处 于平衡增长路径时每工人平均产量的增 长率。
K (t ) K (t ) k (t ) ( A(t ) L(t ) L(t ) A(t )) 2 A(t ) L(t ) ( A(t ) L(t ))
K (t ) K (t ) L(t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t ) L(t ) A(t ) L(t ) A(t )
储蓄率变动对消费的影响 若将家庭引入模型,其福利将取决于消费而非产量, 因此在许多情况下,我们可能只关心消费变动而非产 量变动。 每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的平均产 量乘以该产量中用于消费的部分1-s,当s增加时,消 费会有猛烈下降,然后随着k的上升,在s的更高值不 变的情况下,消费会逐渐上升。
《宏观经济学》课后练习题参考答案6

第6章经济增长一、选择题二、名词解释1、索洛增长模型:索洛增长模型是表明储蓄、人口增长和技术进步如何影响一个经济的产出水平及其随着时间推移而实现增长的一种经济增长模型。
它的基本假定是:(1)社会储蓄函数为S=sY,式中,s是作为参数的储蓄率;(2)劳动力按照一个不变的比例增长;(3)生产的规模报酬不变。
其主要思想是:人均投资用于资本扩展化和资本深化,当人均投资大于资本扩展化时,人均产出就会增长;当人均投资等于资本扩展化时,经济达到稳定状态,人均产出不再增长,但总产出会继续增长,增长率等于人口增长率。
索洛增长模型以经济学家罗伯特·索洛(Robert Solow)的名字命名,是在20世纪50—60年代提出来的。
1987年,索洛由于在经济增长研究中的贡献而获得了诺贝尔经济学奖。
2、稳定状态:索洛模型的稳定状态指的是长期中经济增长达到的一种均衡状态,在这种状态下,投资等于资本扩展化水平,人均资本存量维持不变,即△k=sf(k)-δk=0。
这个维持不变的人均资存量k*,叫做稳定状态人均资本存量。
在稳定状态下,不论经济初始位于哪一点,随着时间的推移,经济总是会收敛于该资本水平k* 。
在稳定状态,由于人均资本存量保持不变,所以人均产出也保持不变,即人均产出增长率为零。
3、资本的黄金律水平:资本的黄金律水平是指稳定状态人均消费最大化所对应的人均资本水平,由经济学家费尔普斯于1961年提出的。
他认为如果一个经济的发展目标是使稳态人均消费最大化,稳态人均资本量的选择应使资本的边际产品等于劳动的增长率。
黄金分割率具有如下的性质:(1)在稳态时如果一个经济中人均资本量多于黄金分割率的水平,则可以通过消费掉一部分资本使每个人的平均资本下降到黄金分割率的水平,就能提高人均消费水平。
(2)如果一个经济拥有的人均资本少于黄金分割的数量,则该经济能够提高人均消费的途径是在目前缩减消费,增加储蓄,直到人均资本达到黄金分割率的水平。
罗默高宏第2章索洛增长模型15

罗默高宏第2章索洛增长模型15第2章索洛模型与收入决定理论相比,经济增长理论研究的主题、内容和分析方法与之显著不同。
收入决定理论研究均衡产出如何被决定,以总需求和总供给的分析为内容,属于短期分析、静态分析。
经济增长理论则研究均衡产出随时间的变化,以生产率的动态变化及其速度问题为内容,属于长期分析、动态分析。
索洛模型为研究经济增长提供了一个恰当的逻辑框架。
追寻索洛模型能够清楚地知道哪些事情才是经济增长研究需要考虑的,避免把属于收入决定的问题错误地当成经济增长问题。
本章先介绍索洛模型的框架体系,随后围绕该框架体系展开讨论。
§1 索洛模型的假设考虑一个国家的经济总量(总产出)变化,自然要从资本总量和劳动总量如何变化入手。
资本总量变化取决于投资、折旧,总投资与总储蓄相联系,总储蓄又来自于总产出,是收入中未被消费的部分。
从这里应该知道增长理论不可回避一些经济总量关系,具体包括:产出-储蓄,储蓄-投资,投资-资本,资本-产出,这些关系的总和代表了增长问题研究应当遵循的一个逻辑框架,这个框架以产出-资本-产出之间的关系为核心。
劳动总量由总人口决定,但是,人口-劳动-产出之间的关系要比产出-资本-产出之间的关系简单得多。
以下是索洛模型中对上述涉及到的经济总量关系的假设。
1.1 生产函数用()Y t 代表t 时期经济中的总产出, ()K t 代表资本总量,()L t 代表劳动总量,生产函数是:)](),([)(t L t K F t Y = (2.1)这个函数的古典假设是:1)规模报酬不变,生产函数是一次齐次函数。
即对任意非负常数λ,[][])(),()(),(t L t K F t L t K F λλλ= (2.2)2)边际报酬递减。
也就是:/0F K ??>,22/0F K ??< /0F L ??>,22/0F L ??<3)稻田条件成立。
即:lim lim KL K L F F →→''==∞,lim lim 0K L K L F F →∞→∞''== (2.3)1.2 资本()K t资本K 是存量。
罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解

罗默《高级宏观经济学》(第1和2版)笔记和课后习题详解本文深入讨论罗默《高级宏观经济学》(第1和2版),旨在为学习者提供出色的笔记、精彩的课后习题解析,并对概念、理论和应用进行认真的细致分析,从而增加理解深度,完成更深层的知识探索。
《高级宏观经济学》是由罗默编写的经济学经典,既有第一版,也有第二版。
该书深入探讨了有关宏观经济的一系列概念,从而帮助学习者更好地理解宏观经济学和实践中的问题。
本文主要记录了罗默《高级宏观经济学》的笔记和课后习题详解。
一、《高级宏观经济学(第一版)》笔记:1.什么是宏观经济学?宏观经济学是研究几个最基本的经济活动,如消费、、政府支出、出口和多国贸易等,以及它们如何影响整体经济活动的经济学分支。
它重点关注经济中的总体现象,这些总体现象包括:一般内需、总计计划、工业产出、通货膨胀和未来经济增长。
2.宏观经济学的重要概念宏观经济学的重要概念包括:货币与兴贸易政策。
货币政策包括由中央银行控制的货币和信贷供应,而贸易政策包括贸易壁垒、补贴和关税等。
此外,宏观经济学还关注大规模的经济转换,如通货膨胀、失业和衰退。
3. 宏观经济学中的重要理论宏观经济学中的重要理论包括:需求管理理论、金融结构理论、宏观经济政策理论以及经济增长理论。
它们都被广泛应用于实践中,有助于帮助政府改善国民经济的表现。
二、《高级宏观经济学(第二版)》笔记:1.经济增长的关键因素经济增长的关键因素包括资本形成、技术进步和劳动力。
资本形成是指为生产加倍而积极的活动;技术进步指科学技术的发展;劳动力是指劳动力技能和可用劳动力水平的增加。
这三个因素是推动经济增长的关键因素。
2.宏观经济政策宏观经济政策分为货币政策和财政政策。
货币政策是由中央银行控制的货币及信贷供应的政策,其目的是稳定经济和利率,达到最佳的经济增长;而财政政策则指政府通过征税、支出和债务管理来调节经济的政策。
3.货币策略货币策略主要通过操作利率和货币供应来实现宏观经济目标。
索洛增长模型高宏

含义 资本存量 劳动力 知识或技术 有效劳动 总产出
平衡增长速度 n+g n g n+g
备注证明 k=K/AL
F(cK,cAL)=cF(K,AL) n+g n+g 0 g 0 g 0 g 0 c=(1-s)f(k) y=f(k)=Y/AL C=(1-s)Y
总消费 有效劳动的平均资本 人均资本 有效劳动的人均产出 人均产出 有效劳动的人均消费 人均消费 资本产出比
k=k*时各变量比例的变动:
Y / K:不变; Y / L:以速率 g增长; K / L:以速率 g增长。
证明
K的增长率:
(t ) (t ) (t ) L (t ) A (t ) k K K (n g ) k (t ) K (t ) L(t ) A(t ) K (t )
lim FK lim FL
满足这三个条件的 生产函数被称为新 古典生产函数。 因此,索洛增长模 型又被称为新古典 增长模型。
K 0 L 0 K
lim FK lim FL 0
L
(一)模型的基本假定
通常使用CD生产函数(索洛):
Q AL K A0 0 1 0 1
(三)参数变化的影响
索洛模型中,主要参数有:
ห้องสมุดไป่ตู้
n, g , , s
政策最有可能影响的是储蓄率
(三)参数变化的影响
1.储蓄率增加的影响方向分析(定性); 2.最优储蓄率——资本的黄金规则水平; 3.储蓄率增加的影响程度分析(定量)。
1.储蓄率增加的影响方向分析
y
y
new
(n g )k
5-罗默高级宏观经济学

我们在求导的时候注意 是一个常数, 表示的是家庭在两个时期转换消费的消费意愿, 越小,随着消费的上升边际效用下降的越慢,家庭越愿意跨期消费。
2.2企业行为和家庭行为
资本要素完全竞争---利率=资本的边际产出
工资=劳动的边际产出
宏观经济学的起点——凯恩斯1936年的通论
高级宏观经济学的起点——将我们的动态最优的分析方法,1928年开始提出,196几年的时候才开始运用,现在宏观经济学运用最多的就是这个模型
这样的争论是,资本的所有者是否应该
资本存量的增长率先是增加,然后增加的逐渐下降,
资本存量的变化率
资本存量本身是一定是往上走的,是递减的增加
和资本存量的增长率相对应
劳均资本的增长率和资本存量的增长率是同步的
变动,因为技术进步率是不变的
劳军产出的对数值
每单位劳动的平均消费是怎么变化
取决于产出怎么变
也取决于劳动怎么变
投资先快速下滑,然后回归到新的均衡
我们经济学是先提出假定,然后在这个基础上发展框架
政治经济学中资本对劳动的剥削,只要你进行劳动,就有剩余
资本对劳动存在剥削,
因为只有劳动创造价值,其他因素不占有价值,其他要素获取剩余价值,所以就有对劳动的剥削
劳动者得到工资L——w
资本所有者得到利息K——r(一定是来自于劳动者的贡献)—所以这就应该是剥削
考虑一个变量对另一个变量的影响,
最基本的方式就是求导;
还有一个是弹性的概念总产出增加2%,储蓄增加X%。
有一个基本的方程,如果卡住了,把那个公式写到一遍,就一定能得到启发
如果储蓄率一定的话,经济会收敛到唯一的一个均衡点
考察经济收敛的速度,核心的变量就是资本存量
罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义(第1~3章)【圣才出品】

罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第1章索洛增长模型第一部分重难点解读“一旦人们开始思考(经济增长)问题,他将很难再顾及其他问题。
”——罗伯特·卢卡斯(Robert Lucas,1988)1.1模型假设投入与产出生产函数采取如下形式:()()()()(),Y t F K t A t L t =其中,t :时间,A :有效劳动....——劳动增加型.....的或哈罗德中性.....。
生产函数生产函数是规模报酬不变的:()(),,F cK cAL cF K AL =,对于所有0c ≥规模不变结合两个不同的假设:第一是经济规模足够大,以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数:()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL定义/=k K AL ,/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ,得:()=y f k 关于()f k 的假设:(1)()00=f ,()0'>f k ,()0''<f k (如何推导?比较重要!)(2)稻田条件(Inada condition):()0lim →'=∞k f k ,()lim 0→∞'=k f k 柯布一道格拉斯函数:()()1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。
根据规模报酬不变假设,整理可得:()α=f k k ,图示如图1.1所示。
图1.1柯布-道格拉斯生产函数生产投入的演化给定资本、劳动与知识的初始水平,劳动与知识以不变的增长率增长:()()∙=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中,n 与g 是外生参数。
求解以上两微分方程,可得:()()0=ntL t L e()()0=gtA t A e 假设:用于投资的产出份额s 是外生且不变的,则有资本动态积累方程:()()()δ∙=-K t sY t K t 其中,δ为资本折旧率。
高级宏观经济学之索罗增长模型(1).ppt

sf (k) / k
k
Kk
Kkng
结论(索洛模型的收敛性):每个经济都收敛于其自身的稳态,而 且这一收敛的速度与其离稳态的距离成反比,或者说,经济离其自 身的稳态值越远,其增长率就越快。
2024/11/25
31
五、绝对收敛与条件收敛
条件收敛的图示: spoofr(k)/k sricfh(k)/k
2024/11/25
6
模型的集约形式
• 根据规模报酬不变假设可以得到
F ( K ,A ) A L F ( K L /A , 1 ) A L f( K L /A ) L
• 于是生产函数可以写出以下集约形式(intensive form): y=f(k) 其中y=Y/AL单位有效劳动的产出,k=K/AL 单位有 效劳动的资本
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13
2、稳态
单位有效劳动资
本存量的变化:
k ( t) s( k f( t) ) ( n g ) k ( t)
f(k)
k0
(n+g+δ)k f(k) sf(k)
A
在A点,实际投资与有 效折旧相等,资本存量 不变,经济达到稳态: 单位有效劳动的k*, y*, c*固定不变。消费为:
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9
图形表示
f(k) f(k)
c sf(k)
f(k) sf(k)
0
k
新古典生产函数
曲线的斜率即为资本的边际产出。递减的斜率反映了递减的 资本边际报酬。(假定外生不变的储蓄率s,c表示消费)
2024/11/25
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3、生产投入的演化
• 资本、劳动和知识的存量随时间的变化而变化。
• 瞬时增长率的定义:
罗默《高级宏观经济学》(第4版)课后习题详解

目录分析
第2章无限期模型 与世代交叠模型
第1章索洛增长模 型
第3章内生增长
第4章跨国收入差距
第5章实际经济周期 理论
第6章名义刚性
第7章动态随机一般 均衡周期模型
1
第8章消费
2
第9章投资
3
第10章失业
4
第11章通货膨 胀与货币政策
5
第12章预算赤 字与财政政策
作者介绍
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罗默《高级宏观经济学》(第 4版)课后习题详解
读书笔记模板
01 思维导图
03 目录分析 05 读书笔记
目录
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思维导图
本书关键字分析思维导图
解答
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第版 模型
收入
罗默
差距
消费
经济周期
内生
周期
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内容摘要
本书是罗默《高级宏观经济学》教材的配套电子书,参考大量相关资料对罗默《高级宏观经济学》(第4版) 教材每章的课后习题进行了详细的解答,并对个别知识点进行了扩展,特别适合应试作答和临考冲刺。
读书笔记
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精彩摘录
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罗默高级宏观经济学讲义 第一章

K (t)
K (t)
A(t) k(t) L(t) k(t)
K (t) A(t)L(t) A(t)
L(t)
7
二、索洛模型的动态学
代入,有:
•
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
上式是索洛模型的基本微分方程。 含义说明:人均实际投资 sf (k用(t于)) 两 方面:一是“资本的深化”,即 , 二是k• (t)“资本的广化”,即
s (n g ) sf '(k*)
20
四、定量含义
两边同乘s/y*,并用 sf (k*) (代n 换g s, )k得* 到:
s y * s
f '(k*) f (k)
y * s f (k*) (n g ) sf '(k*)
k * f '(k*) / f (k*) 1 [k * f '(k*) / f (k*)]
12
1.什么是传统机械按键设计?
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动PCBA上的 开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构层图:
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点: 1.合理的选择按键的类型, 尽量选择平头类的按键,以 防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键设计 间隙建议留0.05~0.1mm, 以防按键死键。 3.要考虑成型工艺,合理计 算累积公差,以防按键手感
3
一、模型假定
4) 稻田条件
limko f ' (k) limk f ' (k) 0 4.应用 柯布-道格拉斯生产函数
F (K , AL) K ( AL)1 0 1
f (k) F ( K ,1) ( K ) k
罗默《高级宏观经济学》第版课后习题详解第章索洛增长模型

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增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明:(a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t t =,则(c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式: 再简化为下面的结果:则得到(a )的结果。
(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(b )的结果。
(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。
假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。
(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
(b )画出作为时间函数的ln X 的图形。
答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。
索洛增长模型

先做变换,两边取自然对数: ln k(t) ln K (t) ln A(t) ln L(t)
对t求导数,得:
•
•
•
•
k (t) K (t) A(t) L(t)
k (t) • K (t) A(t)• L(t) •
•
k (t )
K (t)
K (t)
A(t) k(t) L(t) k(t)
K (t) A(t)L(t) A(t)
1.1 模型的基本假定
• 对密集生产函数进行进一步假设:
f k 0 f k 0
满足稻田(Inada)条件:
lim f k
k 0
lim f k 0
k
边际报酬递减 保证经济增长路径不发散
高级经济学Ⅰ(宏观部分) 2011年秋季学期
1.1 模型的基本假定
• 一个满足上述条件假设的新古典生产函数 是什么样子的呢?
1.2 索洛模型的动态学
1.2.2 稳态均衡 索洛模型的核心公式:
•
k(t) sf (k(t)) (n g )k(t)
每单位有效劳 动的实际投资
持平投资:为 保持k在现有水 平所必须进行 的投资。
•
k(t) 0
•
k(t) 0
•
k(t) 0
k增加 k下降 k不变
高级经济学Ⅰ(宏观部分) 2011年秋季学期
c *
>0
s
当
k*
k
*gold
,
f
'(k
*
(s,
n,
g,
))
<(n
g
),
c * s
<0
高级经济学Ⅰ(宏观部分) 2011年秋季学期
高宏第一章 索洛增长

高级宏观经济学第一章索洛增长第一节经济增长的事实与研究的主要问题一、典型事实(Stylized facts)经济学的研究是“实事求是”的。
卡尔多(Kaldor,1963)列出了经济增长的程式化事实:1、人均产出持续增长,且增长率未出现下降趋势;2、人均物质资本持续增长;3、资本回报率近乎稳定;4、物质资本一产出比近乎稳定;5、劳动和物质资本在产出中所占的份额近乎稳定;6、人均产出增长率在各国间差距很大。
相对于人类历史而言,持续的、快速增长(现代增长)只是最近一两百年才有的事。
事实6与跨国数据基本吻合。
事实1、2、4、5与发达国家的数据基本一致,但并不适合于更广大的发展中国家,事实3描述的似乎主要是英国的经历。
其它大部分国家真实收益率是下降的。
值得注意的是,在不同的时代,人们关注的主要事实是不同的。
卡尔多事实主要是为稳态增长(或平衡增长)提供事实依据。
当前,跨国与跨地区收入差异这一事实受到经济学家们的重视。
二、经济增长研究的主要问题增长理论要’解释世界各国的贫富差距;各国差距是否有缩小的趋势;经济增长速度的差异;决定一个国家经济增长速度的主要因素;穷国如何才能追上富国。
Romer(2006,p1)指出,现代经济增长理论主要解决如下两个问题:1、什么解释了经济的增长,或经济长期增长的驱动因素是什么?2、为什么一些国家如此之富裕,而另一些则如此之贫穷?经济增长理论研究的是长期中的经济问题。
长期与短期的主要差别在于:价格是否可以灵活变动;资源是否充分利用。
研究长期问题,很多在短期中有重要影响的因素可以忽略:需求波动、货币。
第二节 Solow 模型的基本假定Solow 模型与Ramsey 模型主要探讨储蓄在经济增长中的作用,即:仅仅s 的提高能不能推动长期的增长?s 的跨国差异能不能解释人均产出的差异?然而,我们的基本结论是:s 只能解释部分事实,而不能解释全部(甚至是大部分)事实。
理论的不成功促进了其它模型,特别是内生增长模型的发展(实际上,新古典增长理论的不成功使得经济增长研究几乎停滞了20年,而后才有了新的或内生增长理论的发展)。
索罗-高级宏观经济学

高级宏观经济学习题课(第一章)助教:刘超宏观经济模型的分析方法(1)静态分析(2)比较静态分析(3)动态分析(1)静态分析[t0时点]设定模型,对模型的均衡解进行分析。
Á分为三个方面:模型均衡解的存在性模型均衡解的稳定性模型均衡解的唯一性Á通过这样的分析建立起一个模型。
(2)比较静态分析:[t0时点和t1时点]Á分析模型的参数变化时:——即模型的外生变量发生变化模型最终的均衡解如何变化。
通过这样的分析给出一定的政策建议。
(3)动态分析:[t0时点到t1时点]Á分析模型在参数变化时,从原来均衡解趋向新的均衡解的过程。
Á离散时期分析,就是把变化过程分成很多的时期Δt来分析,和比较静态分析比较相似。
Á连续时期分析,就是将Δt无穷小化,利用微积分数学工具来分析。
Á动态分析主要是应用于经济增长理论中,因为增长本身就涉及到变化的过程。
本章内容回顾Á生产函数的假定Á关键方程的推导Á平衡增长路径分析Á卡尔多特征事实检验Á收敛速度的讨论Á储蓄率的变化1、生产函数的假设Y(t)=F[K(t),A(t)L(t)]Á三种投入要素: K(t) A(t) L(t)Á劳动增进型Á规模报酬不变Y(t)=F[K(t),A(t)L(t)]Y(t)/ [A(t)L(t)] =F[K(t)/ [A(t)L(t)],1]y(t)=f(k(t))生产函数的密集形式以单位有效劳动的资本存量为讨论对象密集形式的生产函数满足以下条件:Á从原点出发: f(0)=0Á凹函数:f′(k)>0 f″(k)<0ÁInada condition:limk→0 f′(k)= ∞limk→∞f′(k)= 0yy=f(k)k2、关键方程的推导总储蓄=总投资S=I总储蓄=储蓄率*总收入S=sY总投资=净投资+重置投资I=K˙+σKsY= K˙+σKK˙=sY-σKk˙=sf(k)-(n+g+σ)k=0——索罗模型的关键方程3、平衡增长路径分析Á平衡增长点存在性Á平衡增长点稳定性Á平衡增长点唯一性Á平衡增长的路径索罗模型:k ˙=sf(k)-(n+g+σ)k=0(n+g+σ)k k yOsf(k)f(k)y*k*相位图k&max k&kk*平衡均衡路径特性:ÁA˙/A =g L˙/L=nk˙/k=0 y˙/y=0ÁK˙/K=A˙/A +L˙/L=n+gY˙/Y=A˙/A +L˙/L=n+gÁ(Y/L)˙/(Y/L)=g(K/L)˙/(K/L)=g4、卡尔多特征事实检验Á对于大多数工业化国家而言,在过去一个世纪中,劳动、资本、产量的增长率大体上都是常数,这一说法是一个合理的初步近似。
罗默《高级宏观经济学》章节题库(索洛增长模型)【圣才出品】

第1章索洛增长模型1.在Solow模型中,假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。
现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命,但资本总量却在灾害中没有损失。
请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。
答:(1)索洛增长模型的总量生产函数是Y=F(K,L),或者以人均形式来表示为y =f(k)。
在短期,如果自然灾害夺取了部分人的生命,L下降,使k=K/L上升了。
由总量形式的生产函数可知,劳动力减少,则总产出下降。
但是,由于人均资本存量水平上升了,工人人均产出将会增加。
(2)劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前,而灾害前的经济处于稳定状态,所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。
如图1-1所示,灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。
但是k1不是稳定状态,这时人均储蓄小于资本扩展化水平,所以资本深化为负,人均资本存量会降低,经济逐渐向稳定状态过渡。
因此,在长期中,人均资本存量下降到k*,经济重新达到稳定状态。
在这个过程中,由于人均资本存量一直在下降,所以人均产出也一直在下降。
在稳定状态,技术进步决定人均产出增长率,一旦经济恢复到稳定状态,人均产量仅由技术进步决定。
因此这和灾害发生前是一样的。
图1-1 资本存量恢复稳态水平2.某经济体的生产函数为:Y t=(A t L t)αK t1-α,其中A t L t为效率劳动单位,如参数A t上升,则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。
在每一期,消费者将s比例的产出投资于新资本,即I t=sY t,资本运动方程为:K t+1=(1-δ)K t+I t,其中δ为折旧率。
设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长:L t+1=(1+l)L t,A t+1=(1+μ)A t。
试回答以下问题:(其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实)(1)设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本,写出企业的最优化问题,证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。
罗默《高级宏观经济学》第4版课后习题详解(索洛增长模型)【圣才出品】

证明:(a)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:
Z&(t) d ln Z (t) d ln[X (t)Y (t)]
Z (t) dt
dt
因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式:
Z&(t) d[ln X (t) ln Y (t)] d ln X (t) d ln Y (t)
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因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:
Z&(t) d[ln X (t) lnY (t)] d ln X (t) d lnY (t)
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果: 则得到(b)的结果。
Z (t)
dt
dt
dt
再简化为下面的结果:
Z&(t) X&(t) Y&(t) Z (t) X (t) Y (t)
则得到(a)的结果。
(b)因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:
Z&(t) d ln Z(t) d ln[X (t) Y (t)]
Z(t) dt
dt
1 / 38
k
存量水平从 k*上升到 NEW 。
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图 1-3 折旧率下降的影响
(b)技术进步率上升的影响
由于持平投资线的斜率为(n+g+δ),当技术进步率 g 上升后,会使持平投资线的斜
率变大,持平投资线向左旋转,而实际投资线则不受影响。从图 1-4 可以看出,平衡增长
sk 投资线为 sf(k),而 f(k)=kα,因此
罗默《高级宏观经济学》(第3版)课后习题详解(第1章 索洛增长模型)

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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t Y t =,则(c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(a )的结果。
(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(b )的结果。
(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦,其中α是常数,有下面的结果:则得到(c )的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。
(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
(b )画出作为时间函数的ln X 的图形。
答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。
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1.1 增长率的基本性质。
利用一个变量的增长率等于其对数的时间导数的事实证明: (a )两个变量乘积的增长率等于其增长率的和,即若()()()Z t X t Y t =,则(b )两变量的比率的增长率等于其增长率的差,即若()()()Z t X t t =,则(c )如果()()Z t X t α=,则()()()()//Z t Z t X t X t α=g g证明:(a )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(a )的结果。
(b )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差,所以有下式:再简化为下面的结果:则得到(b )的结果。
(c )因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导,那么可得下式:又由于()()ln ln X t X t αα⎡⎤=⎣⎦,其中α是常数,有下面的结果: 则得到(c )的结果。
1.2 假设某变量X 的增长率为常数且在10~t 时刻等于0a >,在1t 时刻下降为0,在12~t t 时刻逐渐由0上升到a ,在2t 时刻之后不变且等于a 。
(a )画出作为时间函数的X 的增长率的图形。
(b )画出作为时间函数的ln X 的图形。
答:(a )根据题目的规定,X 的增长率的图形如图1-1所示。
从0时刻到1t 时刻X 的增长率为常数且等于a (0a >),为图形中的第一段。
X 的增长率从0上升到a ,对应于图中的第二段。
从2t 时刻之后,X 的增长率再次变为a 。
图1-1 时间函数X 的增长率(b )注意到ln X 关于时间t 的导数(即ln X 的斜率)等于X 的增长率,即:因此,ln X 关于时间的图形如图1-2所示:从0时刻到1t 时刻,ln X 的斜率为a (0a >),在1t 时刻,()X t 的增长率出现不连续的变化,因此ln X 的斜率出现扭曲,在1t 时刻至2t 时刻,a>)。
ln X的斜率由0逐渐变为a;从2t时刻之后,ln X的斜率再次变为a(0图1-2 ln X关于时间的图形1.3 描述下面的每一种变化(如果存在的话)怎样影响索洛模型的基本图中的持平投资与实际投资线。
(a)折旧率下降。
(b)技术进步率上升。
(c)生产函数是柯布—道格拉斯型,()=,并且资本份额α上升。
f k kα(d)工人们发挥更大的努力,使得对于单位有效劳动的资本的既定值,单位有效劳动的产出比以前更高。
答:(a)折旧率下降的影响由于持平投资线的斜率为()++,当折旧率δ下降后,持平投资线的斜率下降,持n gδ平投资线向右转,而实际投资线则不受影响。
从图1-3可以看出,平衡增长路径的资本存量水平从k*上升到k*。
NEW图1-3 折旧率下降的影响(b)技术进步率上升的影响由于持平投资线的斜率为()n gδ++,当技术进步率g上升后,会使持平投资线的斜率变大,持平投资线向左转,而实际投资线则不受影响。
从图1-4可以看出,平衡增长路径的资本存量水平从k *下降到NEW k *。
图1-4 技术进步率上升对稳态人均资本存量的影响(c )生产函数是柯布—道格拉斯型的()f k k α=,并且资本份额α上升的影响由于持平投资线的斜率为()n g δ++,因此α上升对持平投资线没有影响。
由于实际投资线为()sf k ,而()f k k α=,因此ln sk sk k ααα∂=∂。
当资本份额α上升时,实际投资线的变化需要分情况讨论:对于01α<<,如果ln 0k >,或者1k >,则/0sk αα∂∂>,即实际投资线sk α随α增加而上升,则新的实际投资线位于旧的实际投资线之上;反之,如果ln 0k <,或者01k <<,/0sk αα∂∂<,则新的实际投资线位于旧的实际投资线之下;对于1k =,则新的实际投资线与旧的实际投资线重合。
除此之外,α上升对于k *的影响还受到s 和()n g δ++的大小的影响。
如果()s n g δ>++,α的上升会使k *上升,如图1-5所示。
图1-5 资本份额α上升的影响(d )工人们发挥更大的努力,使得对于单位有效劳动的资本的既定值,单位有效劳动的产出比以前有更高的影响:如果修改密集形式的生产函数形式为:()sBf k ,0B >,则实际投资线为()sBf k 。
工人们更加努力的劳动,则单位有效劳动的产出比以前提高,即表现为B 上升,B 的上升会使实际投资线()sBf k 上升;持平投资线()n g k δ++并不受影响,此时,k 也从k *上升到NEW k *,如图1-6所示。
图1-6 单位有效产出比以前更高的影响1.4 考虑一个具有技术进步但无人口增长的经济,其正处在平衡增长路径上。
现在假设工人数发生了一次跳跃。
(a )在跳跃时刻每单位有效劳动的产出是上升、下降还是保持不变?为什么?(b )在新工人出现时,每单位有效劳动的产出发生初始变化(如果存在的话)之后,单位有效劳动的产出是否存在任何进一步的变化?如果发生变化,其将上升还是下降?为什么?(c )一旦经济再次达到平衡增长路径,此时的每单位有效劳动的产出是高于、低于还是等于新工人出现之前的每单位有效劳动的产出?为什么?答:(a )假定在0t 时刻,工人数量发生了一次离散的上升,这使得每单位有效劳动的投资数量从k *下降到NEW k 。
从/k K AL =这一式子中可以看出,由于L 上升,而K 和A 则没有变化,因此,k 会下降。
因为()0f k '>,所以每单位有效劳动的投资数量的下降会降低每单位有效劳动的产出。
在图1-7中,y 从y *下降到NEW y 。
图1-7 单位有效劳动数量降低的影响(b )在NEW k 处,每单位有效劳动的投资超过了每单位有效劳动的持平投资,即:()()NEW NEW sf k g k δ+>。
在NEW k 处,经济中储蓄和投资超过了折旧和技术进步所需要的投资数量,因此k 开始上升。
随着每单位有效劳动的资本上升,每单位有效劳动的产出也会上升。
因此,y 从NEW y 返回到y *。
(c )每单位有效劳动的资本会持续不断的上升,直到返回到原先的资本水平k *。
在k *处,每单位有效劳动的投资恰好与持平投资相等,即:每单位有效劳动的投资抵消了折旧和技术进步所需要的投资数量。
一旦经济返回到平衡增长路径,k 便会返回到k *处,从而每单位有效劳动的产出也会返回到原先的水平。
所以,一旦经济再次达到平衡增长路径,每单位有效劳动的产出等于新工人出现之前的产出。
1.5 设生产函数是柯布—道格拉斯型的。
(a )找出作为模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数的k *、y *与c *的表达式。
(b )k 的黄金律值是什么?(c )获得黄金律资本存量所需的储蓄是什么?解:(a )下式描述了每单位有效劳动的资本的动态方程式:定义柯布—道格拉斯生产函数为:()f k k α=,将其代入上式,有下式:在平衡增长路径处,每单位有效劳动的投资恰好与每单位有效劳动持平投资相等,从而k 保持不变,则有下面结果:从上式可以解出:()()1/1k =s /n+g +αδ-*⎡⎤⎣⎦ (1)下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *:将方程(1)代入()f k k α=,则可以解出平衡增长路径处的每单位有效劳动的产出水平y *:()()/1*/g y s n ααδ-=++⎡⎤⎣⎦ (2)下面求解平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平c *。
将方程(2)代入()1c s y **=-,则可以求得平衡增长路径处的每单位有效劳动的消费水平为:()()()/11/*c =s s n g ααδ--++⎡⎤⎣⎦ (3)综合上述方程(1)、(2)和(3)可以解出k *、y *与c *关于模型参数s 、n 、δ、g 和α的函数表达式。
(b )黄金率的资本存量水平是指每单位有效劳动的消费水平达到最大化时的资本存量水平。
考察这一指标的意义在于考察社会的福利水平,这也是经济学一切分析的核心所在,比考察资本、产出等经济变量更有意义。
由方程(1)可以解出s ,即:()1s =n+g +k αδ*- (4)将上式代入方程(3),有下式:上式可以简化为:()***c =k n+g +d k α- (5)即每单位有效劳动的消费等于每单位有效劳动的产出减去每单位有效劳动的实际投资,而均衡状态时,每单位有效劳动的实际投资等于每单位有效劳动的持平投资。
下面求*c 关于*k 的最优化,可以由(5)得出:再简化为:()*1=a ak n+g +δ- (6) 方程(6)的定义暗含了黄金规则的资本水平。
其中,方程(6)左边,因为()*1*a k f k α-'=,则,()()*f k n g δ'=++表明生产函数的斜率等于持平投资的斜率。
可以由方程(6)解出黄金规则要求的最佳资本水平,即k 的黄金律值:()()1/1*GR k /n+g +ααδ-=⎡⎤⎣⎦ (7) (c )将方程(7)代入方程(4)即可以得到黄金规则所要求的资本水平: 进一步简化为:GR s α= (8) 由方程(8)可以得出:对于柯布—道格拉斯生产函数,黄金规则所要求的储蓄率等于产出的资本弹性,也即资本的产出份额。
1.6 考虑一个正处在平衡增长路径上的索洛经济。
为了简化分析,假设不存在技术进步并且现在人口增长率下降。
(a )每个工人平均资本、每个工人平均产出与每个工人平均消费等的均衡增长路径的值发生了什么变化?描述这些经济变量移向其新平衡增长路径的路径。
(b )描述人口增长的下降对产出(即总产出而非每个工人平均产出的)路径的影响。
答:(a )由于不存在技术进步,这里可以不考虑技术因素,将每单位有效劳动简化为平均劳动,定义:/y Y L =,/k K L =。
由于持平投资线的斜率为()n δ+,因此,人口增长率n 的下降会使持平投资线的斜率变小,持平投资线更加平坦。
每个工人平均资本的动态方程为:由于n 下降,这会导致k g 变为正数(在平衡增长路径上,k g为0,即资本存量处于最佳水平)。