数学文化之将军饮马问题
女将军饮马问题的九种变形与习题
女将军饮马问题的九种变形与习题女将军饮马问题是一道经典的数学问题，有许多不同的变形。
在本文中，我们将介绍九种常见的变形，并提供相应的题供读者练。
1. 基本问题问题描述女将军饮马问题的基本形式是：女将军骑着马从A地到B地，每次都喝完马槽里的水后，马会用4个钟头再到达下一个水源。
在A地到B地之间，有3个水源，每个水源的位置都相互独立，且离A地的距离依次递增。
女将军想知道她最短需要多长时间才能从A地骑到B地。
解答在基本问题中，女将军只需找到最短时间的方法来获得最优解。
我们可以使用迭代的方法来解决这个问题，不断更新最优解直到收敛。
2. 变形一：增加水源数量问题描述将基本问题中的3个水源增加到4个水源，求女将军从A地到B地的最短时间。
解答通过增加水源的数量，问题的复杂度增加了。
我们可以使用动态规划的方法来解决，将问题转化为一个多维数组的最优化搜索。
3. 变形二：不同时间到达水源问题描述将基本问题中的每个水源到达时间从4个钟头改变为不同的时间，求女将军从A地到B地的最短时间。
解答当每个水源到达时间不同的时候，我们需要考虑如何安排女将军的出发时间，以获得最短时间。
这个问题可以通过动态规划和贪心算法来解决。
4. 变形三：不同马的速度问题描述将基本问题中的马的速度从相同改为不同，求女将军从A地到B地的最短时间。
解答当马的速度不同的时候，问题变得更加复杂。
我们可以使用动态规划和二分查找等方法来解决这个问题。
5. 变形四：增加马的数量问题描述将基本问题中的女将军从一匹马增加到两匹马，求女将军从A 地到B地的最短时间。
解答通过增加马的数量，女将军可以选择不同的骑行策略来获得最短时间。
我们可以使用贪心算法和动态规划来解决这个问题。
6. 变形五：考虑马的疲劳问题问题描述将基本问题中的马的疲劳问题考虑进去，求女将军从A地到B 地的最短时间。
解答当马的疲劳问题考虑在内时，女将军需要合理安排马的休息时间，以获得最短时间。
我们可以使用动态规划和回溯算法等方法来解决这个问题。
初中数学58种模型之12、“将军饮马”三种模型详解
当两淀点A 、R 在克罐/何侧时，在亞线』上携一点几便|阳一户创最大°将军饮马”三种模型"将军饮马"问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
晋两定点A.U 在点线F 异創时-在肖践f 上找一点Pt 使PA+PB 锻小*述接也交h 纱/于点P.点卩閒为所求作的点.肖两远点上B 在直雜I 同测时,在直刻上拥一点P,使PA+PB 最小'作庖U 芸于宜线F 的对称点V ■连楼AB'交直线于点P.点P 即为用求作的点"―二I \PA-P^\荊卩址大值洵丽。
连接班并延长交直戦』十点几点卩即为所求作的点。
当两定点仏k 在直找门司侧时，在直线』上找一点人使PA-PB\^扎作点B 关于直统』的对称点B'h 谨接恋’井延快交宜鏡于点巴点F 即为所求作的点。
皓论PAPI1的颯小°PA-PB 的盘小值为AB'□冋-卿的最大值为上的动点，则户创的圮大值是多少？A ■B ■\A\PA-PB\的 1当两定点限廿在宜线/同删时，在直线丿上找--点片使f4-砂|最小“ 叫连接馭作■-朋的垂直平分钱交直线f 于点P ，点卩即沟所求作的点-最小值为叽模型实例例1一如图"止厅形的面积是1氛是等边三博形，点E 在止方刑ABCI ）内“在对角纯蚯上有一点卩*则PD+FE 的艮小值为°^12.如圜已S11AABC 为辱展宜角匸角形…怔-氏=4”ZBCD 15".P 拘匚D热搜掃练I.如虱^AABC 中「ZACB-fJO 3，乃是就边的中点，II 是屈边b -动直+则LCIED 的最小悄是°])2・如图.点C的坐标为（3,y）,当△ABC的周长最短时，求丿的值。
3.如图.正方形ABCD中,AB-7,M是DCI：的一点，且DM-3,N是AC上的一动点.求|DN-MN|的嚴小值与战大值.△PCD 周氏最小为点P 在ZAOB 的内部，在0B 上找点D,在0A 上找点C,使得△PCD 周长最小。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
数学将军饮马基础练习题
数学将军饮马基础练习题1. 题目一：将军饮马问题基础某将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过一条河流。
已知A点到河流最近点C的距离为3公里，河流宽为1公里，B点到河流最近点D的距离为4公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
2. 题目二：将军饮马问题进阶将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过两条河流。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为5公里，第一条河流宽为2公里，第二条河流宽为1.5公里，B点到第二条河流最近点D的距离为6公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
3. 题目三：将军饮马问题综合将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过三条河流。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为4公里，第一条河流宽为1公里，第二条河流宽为1.2公里，第三条河流宽为0.8公里，B点到第三条河流最近点D的距离为3公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
4. 题目四：将军饮马问题变体将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过一条河流和一座山。
已知A点到河流最近点C的距离为6公里，河流宽为1.5公里，山高为2公里，B点到山最近点D的距离为5公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
5. 题目五：将军饮马问题应用将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过一条河流和一个山谷。
已知A点到河流最近点C的距离为7公里，河流宽为2公里，山谷深为1.8公里，B点到山谷最近点D的距离为4公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
6. 题目六：将军饮马问题优化将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过两条河流和一个湖泊。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为8公里，第一条河流宽为2.5公里，第二条河流宽为1公里，湖泊周长为10公里，B点到湖泊最近点D的距离为6公里。
求将军从A点到B点的最短路径长度。
7. 题目七：将军饮马问题复杂地形将军从A点出发，要到B点饮马，途中需要经过三条河流、两座山和一个峡谷。
已知A点到第一条河流最近点C的距离为9公里，第一条河流宽为3公里，第二条河流宽为1.5公里，第三条河流宽为2公里，第一座山高为2.2公里，第二座山高为1.8公里，峡谷深为1.6公里，B点到峡谷最近点D的距离为7公里。
数学中将军饮马问题
嘿，朋友们，你们有没有想过，数学里居然有个问题叫做“将军饮马”？听起来是不是像古代战场上，一位威风凛凛的将军，在硝烟弥漫中还不忘优雅地找个小溪喝口水？哈哈，那你们可就大错特错啦！这“将军饮马”啊，其实跟马儿喝水没半毛钱关系，它可是数学界里一个既烧脑又好玩的几何问题。
想象一下，你是一位古代的将军，骑着你的战马，在广袤无垠的草原上巡逻。
突然，你发现前方不远处有一条清澈的小溪，你心想：“哎呀，这马儿跑了一路了，也该让它喝点水解解渴了。
”但是，你可不是个随便找个地儿就下马饮水的人，你得找个最短的路径到小溪边，再回到你的巡逻路线上，毕竟时间就是生命，效率就是战斗力嘛！
这时候，数学里的“将军饮马”问题就登场了。
它其实是在考我们怎么在平面上找到一条最短的路径，使得将军从起点出发，经过小溪边，再回到起点或者某个指定的终点。
这可不是简单的直线行走哦，因为中间得拐个弯去喝水嘛！
为了解决这个问题，数学家们可是费了不少心思。
他们发现，这个问题其实跟平面几何里的“对称”和“反射”有关。
简单来说，就是你得想象一下，把你的战马和将军都“复制”一份，然后让这份“复制体”沿着小溪做个“镜像反射”。
接着，你连接起点和“复制体”的某个点，这条线跟小溪的交点，就是你要找的最佳饮水点啦！
听起来是不是有点像变魔术？其实啊，这就是数学的魅力所
在。
它能把看似复杂的问题，通过巧妙的转换和推理，变得简单明了。
就像这个“将军饮马”问题，虽然一开始让人摸不着头脑，但一旦你理解了其中的奥秘，就会觉得：“哦，原来是这样啊，数学还真是有趣呢！”
所以，下次当你再听到“将军饮马”这个问题时，可别真的以为将军在喝水哦！它可是数学界里一个充满智慧和趣味的小挑战呢！。
初二数学将军饮马相关题目及解答
初二数学将军饮马相关题目及解答1. 概述数学是一门让人们大开脑洞的学科，而初二数学中的将军饮马问题就是一个让人们纠结的数学难题。
在这篇文章中，我们将深入探讨初二数学中的将军饮马相关题目，并提供解答和个人见解。
2. 将军饮马问题概述将军饮马问题是一道古代数学难题，描述了将军要带着马队过河的情境。
题目会给出一条河、若干个将军和马队，以及一定的过河规则，要求通过这些信息求解出最短的时间或者最少的过河步骤。
3. 将军饮马相关题目在初二数学中，将军饮马问题常常会涉及到以下几种类型的题目：（1）河岸有多个将军和马队，且只有一条船可供过河。
（2）河岸有多个将军和马队，且只有一艘船可供过河，但船的可承载量有限。
（3）河岸有多个将军和马队，但有多艘船可供过河。
4. 将军饮马问题的解答（1）对于第一种类型的题目，可以采用贪心算法来解决。
即每次都选择最优的将军和马队组合过河，直到所有的人和马都过河为止。
（2）对于第二种类型的题目，可以尝试使用递归或者动态规划的方法，找到最优的过河方案。
（3）对于第三种类型的题目，可以采用图论中的最短路径算法来解决，找到河的两岸之间最短的过河路径。
5. 关于将军饮马的个人见解将军饮马问题是一道很有趣的数学难题，它不仅考验着我们的数学思维和逻辑推理能力，还能锻炼我们的动手能力和解决问题的能力。
通过解决将军饮马问题，我们可以培养自己的耐心和毅力，同时也能提高我们的数学水平。
6. 总结与回顾将军饮马问题是初二数学中的一道重要难题，它涉及到贪心算法、递归、动态规划和最短路径算法等数学知识。
通过解答这一系列的问题，我们可以更加全面、深刻和灵活地理解数学知识。
解决将军饮马问题也能够锻炼我们的数学思维和解决问题的能力。
在这篇文章中，我们深入探讨了初二数学中的将军饮马相关题目，并提供了解答和个人见解。
通过对这一系列问题的研究，希望能够帮助人们更好地理解数学知识，并不断提高自己的数学水平。
将军饮马问题是一个古老而有趣的数学难题，它涉及到数学知识、逻辑推理、动手能力和问题解决能力。
将军饮马二次函数问题
将军饮马二次函数问题将军饮马是一道经典的二次函数问题，它涉及到求解一个关于时间和距离的函数关系。
这个问题在中国数学史上有着重要的地位，不仅因为它是求解一元二次方程的基础问题，还因为它体现了中国古代数学家高超的几何创造力和智慧。
将军饮马的问题可以概括为：一位将军从一座城市出发，骑着马奔向另一座城市。
在途中，将军发现一个河流横亘在他的路径上，他必须走一个弯曲的道路来绕过河流。
在整个过程中，将军骑马的速度是恒定的。
问题要求我们用数学方法来求解将军饮马的最短时间。
为了更好地理解问题，我们可以把这个问题绘制成图形。
假设河流是一条笔直的线段，将军出发点到河流的距离为a，河流的宽度为b，将军需要绕过河流走一段曲线，曲线的起点和终点都是河流的两端。
设曲线的长度为L，曲线与河流垂直相交。
将军的速度为v，问题要求我们求解将军饮马的最短时间。
为了解决这个问题，我们可以先考虑将军直接穿过河流的情况。
如果将军选择穿过河流，他需要经过一段距离为b的直行道路。
由于将军的速度是恒定的，所以他穿过河流的时间为t1=b/v。
接下来，我们可以考虑将军绕过河流走曲线的情况。
由于曲线是垂直相交于河流的，所以曲线与每个平行于河流的切线都有一个交点。
假设将军从某个切点出发，经过曲线走到另一个切点，然后再重新回到河流的对岸。
将军沿曲线行进的时间与他直行到达对岸的时间是相等的，因为他的速度是恒定的。
现在，我们需要找到一个与直行距离b相对应的最小曲线长度L。
假设将军在上游走曲线，然后沿着河流下游走直线到达对岸。
我们可以计算出将军顺时针绕过河流的距离，设为L1，将军逆时针绕过河流的距离，设为L2。
由于将军的速度是恒定的，所以他绕过河流的时间为t2=(L1+L2)/v。
接下来的问题是，如何确定使得t2最小的曲线长度L。
我们可以使用勾股定理来解决这个问题。
根据勾股定理，河流的宽度b和曲线长度L之间存在如下关系：L^2 = b^2 + a^2。
将这个关系带入到t2的公式中，我们可以得到t2 = (2L/v)v^2 / (v^2 + g)。
将军饮马18道典型习题
将军饮马18道典型习题将军饮马"是一个古希腊数学问题，源于2000多年前。
当时，一位将军向城里的著名数学家海伦请教：他每天早上都要骑马到河边让马喝水，然后到河岸同一侧的一块草地上让马吃草。
将军想知道，在河岸的哪个具体位置让马喝水，可以让他和马儿走的路程最短。
经过思考，海伦给出了答案，这就是"将军饮马"问题。
以下是"将军饮马"问题的五种常见模型：1.一动两定（和最小）模型：假设点A是将军和马儿居住的营帐，点B是指定的草地，小河L在两点之间流过。
问题是，将军和马儿在哪个具体位置喝水，可以让他们走的路程最短？解决方法是，做A点关于L的对称点A'，连接A'B，与L的交点即为P点。
这时，PA+PB最小。
为什么呢？因为在L 上任意取一点M（不与P重合），根据几何原理，PA+PB=A'P+PB=A'B，AM+MB>A'B，所以动点P在A'B与L 交点处时，PA+PB最小。
2.一定两动模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，草地不是指定的点，而是由L2代表的一片草地。
问题是，在哪个具体位置喝水和吃草，可以让将军和马儿走的路程最短？解决方法是，做A点关于L1的对称点A'，做A点关于L2的对称点A''，连接A'A''，与L1和L2的交点即为P、Q。
这时，AP+PQ+QA的和最小。
为什么呢？因为在L1上取点M（不与P重合），在L2上取点N（不与Q重合），根据几何原理，AP+PQ+AQ=A'P+PQ+A''Q=A'A''，AM+MN+AN>A'A''，所以动点P和Q在A'A''与L1、L2的交点处时，AP+PQ+QA的和最小。
3.两动一定模型：假设点A和小河L1与第一种模型一样，但是这次，将军要骑马到L2代表的一片草地吃草，然后再回到营帐。
最短路径问题 将军饮马问题
B
作法：
（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B' （2）连结B'A，交MN于点 P；
所以 点P就是所求的点．
B
A
M
N
P
B'
证明：
A B
在MN 上任取另一点P'， M
N
P
P'
连结BP、BP'、AP' 、B'P' ．
B'
∵ 直线MN是点B、B'的对称轴，点P、P'在对称轴上， ∴BP=B'P，BP'=B'P'．
A
M
D
N
C B
谢谢，再见！
两点在两相交直线内部
如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马 厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮 马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短 路线。
答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩 牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回 到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.
M 草地
O
.驻地A
N 河边
如图:已知 MON内一点A
求作:OM上一点B,ON上 .A '
M
一点C,使AB+BC+AC最
小
B.
.A
作法: (1)作点A关于OM、
O
ON的对称点A'、A''
.N
C
.A ''
(2)连结A'和A''，交OM于B,交ON于C,则点B、 C为所求。
变式1：
已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上 分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？
数学将军饮马知识点总结
数学将军饮马知识点总结一、问题描述数学将军饮马问题的描述如下：一个将军率领一支骑兵队，要经过一片沙漠。
沙漠上有一口水井，水井的深度可以满足整支骑兵队的饮水需求。
将军骑着一匹马，可以携带一定数量的水。
现在问题来了，将军每小时可以骑马走一定的距离，而每匹马每小时可以喝一定的水。
现在需要确定将军携带多少水，才能保证整支骑兵队能够成功地跨越沙漠，而又不至于浪费水资源。
二、问题分析1. 数学模型建立数学将军饮马问题首先需要进行问题分析和建模，以确定针对这一问题的数学模型。
通过观察和分析可以得出，这是一个关于时间、距离和水量的问题，需要建立数学关系，建模求解。
2. 走距离与喝水在沙漠中骑马跋涉，对于骑马走的距离和喝水之间的关系需要进行合理的分析和计算。
根据数学将军饮马问题的描述，我们可以得知：将军每小时可以骑马走一定的距离，每匹马每小时可以喝一定的水。
3. 求解根据将军队伍的规模、马的喝水速度和水源的容量，我们需要求解将军携带多少水能够足够整支骑兵队顺利跨越沙漠的问题。
三、相关知识点总结1. 时间、距离与速度的关系在数学将军饮马问题中，时间、距离和速度是密不可分的。
根据题目描述，我们需要确定将军每小时可以骑马走的距离。
这就涉及到了时间、距离和速度的关系。
在实际生活和工作中，我们也经常会遇到时间、距离和速度的计算和关系问题，而这一问题正是数学知识在实际应用中的体现。
2. 水量的计算在数学将军饮马问题中，将军骑马携带的水量是一个重要的问题。
将军需要在保证整支骑兵队能够成功跨越沙漠的前提下，尽量减少携带的水量，避免浪费水资源。
因此，对于将军饮马问题，我们需要进行水量的计算和分析，以确定最合适的携带水量。
3. 最优化问题数学将军饮马问题可以理解为一个最优化问题，在保证整支骑兵队能够成功地跨越沙漠的前提下，需要尽量减少携带的水量，以达到最优化的效果。
这就涉及到了数学中的最优化问题的求解方法，需要通过建立数学模型、分析求解，找到最优的携带水量。
专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC Ð=°，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，mAB m m A B mQ 菱形ABCD 的边长为2，45ABC Ð=°，Rt BEC \V 中，EC =\PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，B C =，则PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B ¢，交AC 于点F ，连接B E ¢交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E ¢的长度；然后求出B B ¢和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B ¢，交AC 于点F ，连接B E ¢交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E ¢的长度；∵AC 是矩形的对角线，∴AB =CD =4，∠ABC =90°，在直角△ABC 中，4AB =，B C =∴tan AB ACB BC Ð===∴30ACB Ð=°，由对称的性质，得2B B BF ¢=，B B AC ¢^，∴12BF BC ==∴2B B BF ¢==∵BE EF ==60CBF Ð=°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE BF B F ¢==，∴BEB ¢D 是直角三角形，∴6B E ¢===，∴PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是∠DCM 的平分线，∴点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，∵MN +NP =MN +NP ′≤MF ，∴MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，∵AD =CD =2，DE =1，∴CE∵12CE ×DO =12CD ×DE ， ∴DO ∴EO ∵MF ⊥CD ，∠EDC =90°，∴DE ∥MF ，∴∠EDO =∠GMO ，∵CE 为线段DM 的垂直平分线，∴DO =OM ，∠DOE =∠MOG =90°，∴△DOE ≌△MOG ，∴DE =GM ，∴四边形DEMG 为平行四边形，∵∠MOG =90°，∴四边形DEMG 为菱形，∴EG =2OE GM = DE =1，∴CG ∵DE ∥MF ，即DE ∥GF ∽△CDE ，∴FG CG DE CE =，即1FG ， ∴FG =35，∴MF =1+35=85，∴MN +NP 的最小值为85．故答案为：85．【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B ¢，连结AB ¢与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P ¢，连结¢AP ，BP ¢，B P ¢¢，∵直线l 是点B ，B ¢的对称轴，点P ，P ¢在l 上，（1）∴PB =__________，P B ¢=_________，∴AP PB AP PB ¢+=+=____________．在AP B ¢¢D 中，∵AB AP P B ¢¢¢¢<+，∴AP PB AP P B ¢¢¢+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB ¢与l 的交点，即A ，P ，B ¢三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，将ABD D 沿射线BD 的方向平移，得到A B D ¢¢¢D ，分别连接A C ¢，A D ¢，B C ¢，则A C B C ¢¢+的最小值为____________．（4）∵在边长为2的菱形ABCD 中，Ð模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
将军饮马是数学趣题
将军饮马是数学趣题将军饮马，数学趣题起源于中国古代汉朝的《孙子算经》一书。
这道数学题目被誉为是一道经典的智力题，以其巧妙的逻辑推理和数学思辨而闻名于世。
本文将从历史背景、题目描述、解题思路以及拓展应用等方面进行论述。
一、历史背景将军饮马这道数学题目最早出现在中国古代汉朝的《孙子算经》一书中。
这本书是我国古代《九章算术》的前身，是我国最早的一本数学专著。
《孙子算经》不仅介绍了一些数学问题的解法，还包括了丰富的应用题，将军饮马就是其中之一。
二、题目描述将军饮马题目的原始描述如下：将军有一匹马，马行斗数百里当水洼方休息，此时马出绕场一周正好与将军走过的距离相同。
假设将军骑马的速度是马走的速度的倍数，试问将军骑马绕场一周的距离与马走的距离之比是多少？三、解题思路1. 假设马的速度为V，将军骑马的速度为KV。
2. 马行斗数百里当水洼方休息，这句话提示我们马在行进的过程中要绕过水洼。
我们假设马走的距离为D，那么将军骑马绕场一周的距离就是2πr，其中r为水洼的半径。
3. 马行驶的时间为D/V，将军骑马行驶的时间为2πr/(KV)。
4. 题目中提到马出绕场一周正好与将军走过的距离相同，即D =2πr。
带入上述时间的公式，可以得到D/V = 2πr/(KV)。
5. 简化方程，消去D和r，可以得到K = 2π。
四、拓展应用将军饮马这道数学题目虽然在形式上看似简单，但在解题的过程中需要灵活运用逻辑推理和数学思维。
这道题目还可以引申出一些有趣的数学应用，例如：1. 运用此题中的思路，可以计算其他不同形状的路径与距离的关系，从而解决一些实际生活中的问题，如驾车行驶、飞行航迹规划等。
2. 结合此题可以进行有关速度和时间的计算，如在不同速度和时间限制下，计算出马和将军的行进距离。
3. 将这道题的数学逻辑与几何知识相结合，可引申出更多有趣的数学趣题。
总结：将军饮马作为一道数学趣题，不仅仅体现了古代智者的智慧和深厚的数学造诣，更是一道展示逻辑推理和数学思辨的经典题目。
专题07 将军饮马模型(解析版)
专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
初中数学将军饮马五大模型七类题型及答案
将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
【方法原理】1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.【基本模型】【模型一：两定交点型】如图1，直线l和l的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小；图1【模型二：两定一动型】如图2，直线l和l的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使P A+PB最小(同侧转化为异侧)；图2【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。
使△P AB 的周长最小。
图3【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。
使四边形P AQB的周长最小。
图4【模型五：一定两动(垂线段最短)型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使P A 与点P到射线OM的距离之和最小。
图5【模型六：一定两动，找(作)对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使P A与点P到射线OM的距离之和最小。
图6【题型目录】【题型1】两定一动型.......................................................3;【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型...................................6;【题型3】一定两动(垂线段最短)型.........................................9；【题型4】两定两动型.......................................................12;【题型5】一定两动(等线段)转化型.........................................14;【题型6】直通中考.........................................................18;【题型7】拓展延伸.........................................................21;第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】两定一动型；1.(23-24八年级上·河北廊坊·期中)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=12，AC=16，BC=20，将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合．(1)线段CD的长是；(2)若点E是射线BM上一动点，则△CDE周长的最小值是．2.(22-23八年级上·广西南宁·期末)如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=5，则AB 的长为．3.(23-24八年级下·河南郑州·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC．在AB、AC上分别截取AP、PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点AQ，使AP=AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于12R，作射线AR，交BC于点D．已知BC=5，AD=6．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为．【题型2】一定两动(两点之间线段最短)型；4.(23-24七年级下·陕西西安·期末)如图，在锐角△ABC中，∠ABC=30°，AC=4，△ABC的面积为5，P为△ABC内部一点，分别作点P关于AB，BC，AC的对称点P1，P2，P3，连接P1P2，PP3，则2P1P2+ PP3的最小值为．5.(23-24八年级上·北京海淀·期中)如图，已知∠MON=30°，在∠MON的内部有一点P，A为OM上一动点，B为ON上一动点，OP=a，当△P AB的周长最小时，∠APB=度，△P AB的周长的最小值是．6.(22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP=5，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于5，则α=()A.30°B.45°C.60°D.90°【题型3】一定两动型(垂线段最短)；7.(2024八年级上·全国·专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AD是∠BAC的平分线，若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是()A.2.4B.3C.4D.58.(23-24七年级下·广东深圳·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，E、F分别是AD、AB上的动点．若AB=6，△ABC的面积为12，则BE+EF的最小值是()A.2B.4C.6D.89.(23-24八年级·江苏·假期作业)如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,AD=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．【题型4】两定两动型；10.(22-23八年级上·湖北武汉·期末)如图，∠AOB=20°，M，N分别是边OA，OB上的定点，P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠OPM=α，∠OQN=β，当MP+PQ+QN最小时，则关于α，β的数量关系正确的是()A.β-α=30°B.β+α=210°C.β-2α=30°D.β+α=200°【题型5】一定两动(等线段)转化型；11.(23-24九年级下·广西南宁·开学考试)如图，△ABC是等边三角形，AB=4．过点A作AD⊥BC于点D，点P是直线AD上一点，以CP为边，在CP的下方作等边△CPQ，连接DQ，则DQ的最小值为．12.(23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=6，BC=10，D、E分别是AB、BC上的动点，且CE=BD，连接AE、CD，则AE+CD的最小值为．13.(2024·安徽合肥·二模)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，AB=8，O是AC的中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，OE的最小值为()A.42B.433 C.32D.2第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型6】直通中考14.(2023·辽宁锦州·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是．15.(2020·新疆·中考真题)如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．【题型7】拓展延伸16.(2024·辽宁葫芦岛·二模)在△ABC中，∠ABC=60°，BC=4，AC=5，点D，E在AB，AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值是．17.(23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，等腰△ABC中，∠BAC=100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为BC上一点，且BN=MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是．将军饮马五大模型七类题型(模型梳理与题型分类讲解)第一部分【知识点归纳】【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题【原创版】目录1.将军饮马问题的背景和基本概念2.将军饮马问题的数学模型3.将军饮马问题的解决方法4.将军饮马问题的实际应用正文一、将军饮马问题的背景和基本概念将军饮马问题是一个古老的数学问题，最早出现在中国古代数学家刘徽的《九章算术》中。
问题的大致情景是这样的：一位将军要率领他的军队去一个水源地饮水，但水源地距离军队有一定距离，且水源地有两个方向可以到达。
为了保证军队能够尽快饮水，将军需要选择一条最短的路径。
这就是将军饮马问题的基本概念。
二、将军饮马问题的数学模型为了解决将军饮马问题，我们可以将其建立为一个数学模型。
假设将军所在的位置为 A，水源地为 B，两个方向分别由点 C 和 D 连接。
那么，将军可以通过 AC 和 AD 两条路径到达水源地。
为了使路径最短，我们需要求出 AC 和 AD 两条路径的长度，并选择较短的那一条。
三、将军饮马问题的解决方法解决将军饮马问题的方法主要有两种：一种是使用几何法，另一种是使用代数法。
这里我们主要介绍使用代数法的解决方法。
首先，我们可以设点 A 的坐标为 (a, b)，点 C 的坐标为 (c, 0)，点 D 的坐标为 (0, d)。
那么，路径 AC 的长度可以表示为√((a-c)+b)，路径 AD 的长度可以表示为√(a+d)。
为了求出最短路径，我们需要比较这两条路径的长度，并选择较短的那一条。
通过比较，我们可以得到一个不等式：(a-c)+b ≤ a+d。
将不等式进行化简，可以得到一个关于 a、b、c、d 的代数方程。
通过求解这个代数方程，我们就可以找到使路径最短的将军饮马问题的解。
四、将军饮马问题的实际应用将军饮马问题在实际生活中有很多应用，比如最短路径问题、物流配送问题、通信网络设计等。
这些问题都可以通过将军饮马问题的数学模型来解决，从而为实际问题提供有效的解决方案。
总之，将军饮马问题是一个古老而富有挑战性的数学问题，它的解决方法可以帮助我们在实际生活中解决许多实际问题。
将军饮马的解题思路和方法
将军饮马的解题思路和方法
“将军饮马”是一道古代数学名题，主要是通过几何分析求解。
以下是解题思路和方法的详细解释：
题目内容：
一名将军骑马过河，马行过一半时，将军下马喝水，等马吃完水，再骑上马行过河，问将军骑马的速度是马的几倍
解题思路：
这道题目需要先了解一些几何知识：对于一个等角三角形，它的内心是三角形三边的交点，内心到三边的距离相等，这个距离被称为三角形的内心半径；同时，对于一个直角三角形，它的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三边的距离相等，这个距离被称为三角形的外心半径。
基于上述几何知识，我们可以将题目中的情景转换为一个等角三角形和一个直角三角形，进而求解出将军骑马的速度是马的几倍。
解题方法：
假设将军骑马的速度是马的v倍，那么在将军下马喝水的这段时间内，马应该跑过的距离为将军行马距离的v倍，因此，这段时间内马行进
的距离可以表示为L1 = v * L2，其中L2表示将军骑马行驶的总距离。
假设等角三角形的内心半径为r，外心半径为R，那么根据几何知识，我们可以得到以下关系式：
L2 = 2r + 2R
L1 = R
将上述关系式代入L1 = v * L2中，可以得到以下式子：
R = v(2r + 2R)
化简可得：
v = R / r - 2
因此，将军骑马的速度是马的(R / r - 2)倍。
结论：
通过以上方法，我们可以求解出将军骑马的速度是马的几倍，具体的数值需要根据题目中给定的具体数值进行计算。
将军饮马问题(解析版)
将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。
问如何行走才能使总的路程最短。
模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。
模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。
方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。
模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。
方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。
模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。
数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。
方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。
数学文化之将军饮马问题
将军饮马问题
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题。
这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发,先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短？
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.
“将军饮马"问题实际是平面几何里的线段问题，平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：①线段公理：两点之间,线段最短。
并由此得到三角形三边关系；②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短.
【模型1】一定直线、异侧两定点
直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
【模型2】一定直线、同侧两定点
直线l和l的同侧两点A、B,在直线l上求作一点P,使PA+PB最小.
【模型3】一定直线、一定点一动点
已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧)，在直线l
上找点P，使得AP+PB最小.
【模型4】一定点、两定直线
点P是∠MON内的一点，分别在OM,ON上作点A，B，使△PAB的周长最小。
【模型5】两定点、两定直线
点P,Q为∠MON内的两点，分别在OM,ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小。
将军饮马问题16大模型
将军饮马问题16大模型将军饮马问题源于中国古代的一个寓言故事，讲述的是三位将军跟随他们的军队来到一座河边准备渡河，但只有一条小船，这条小船一次只能搭载两人。
如果将军A和将军B在船上，将军C在岸边，将军C将会受到辱骂，如果将军A和将军C在船上，将军B在岸边，将军B也会受到辱骂，问题是如何让这三位将军都安全地渡河而不受辱骂。
这个问题启发了许多数学家和逻辑学家，有各种不同的解法。
下面将介绍将军饮马问题的16种不同模型。
模型1：最直接的解法最直接的解法是将将军A和将军B一同乘坐小船去对岸，然后将将军A带船返回，将将军C载到对岸。
模型2：穷举法穷举法是一种比较笨拙但可以解决问题的方法，即穷尽所有可能的情况。
这种方法虽然有效，但耗时较长。
模型3：递归法递归法是将问题分解成较小规模的子问题，并逐步解决。
这种方法可以节省时间和精力，但需要较高的逻辑思维能力。
模型4：数学推导法通过数学推导，可以将将军饮马问题转化为数学模型，从而得出解答。
这种方法需要较强的数学功底。
模型5：逻辑推理法逻辑推理法是通过逻辑推理和思维分析，得出解决将军饮马问题的方法。
这种方法强调思维的逻辑性和推理能力。
模型6：图论模型图论是数学的一个分支，可以用来描述将军饮马问题中的交叉关系和路径规划。
通过构建相应的图模型，可以更清晰地解决问题。
模型7：概率模型概率模型是通过概率计算和推测，找出解决将军饮马问题的可能性和概率分布。
这种方法适用于对问题进行全面分析和评估。
模型8：动态规划法动态规划法是针对多阶段决策问题的一种解决方法，可以在问题空间中寻找最优解。
这种方法适用于将军饮马问题的场景。
模型9：模拟法模拟法是通过模拟将军饮马问题的场景，以实验测算的方式找出最佳解决方案。
这种方法可以直观地展示问题的复杂性和解决路径。
模型10：启发式算法启发式算法是通过启发性的思考和优化方法，寻找将军饮马问题的最佳解决方案。
这种方法可以在复杂问题中找到较好的解决途径。
将军饮马18道典型习题
“将军饮马”常见模型及18道典型习题何为将军饮马？2000多年以前。
古希腊的亚历山大城里住着一位睿智的数学家海伦。
一天，城里来了一位将军，听闻海伦盛名，特来向他请教一个问题。
将军说，每天早上，他都骑着马儿从营帐出发，到河边让马儿饮水，然后，再去河岸同一侧的一块草地上带着马儿去吃草，问题时，在河岸的哪个具体位置喝水，行程最短？海伦略做沉思，给出了将军最佳方案。
此之谓“将军饮马”。
最佳方案为何？且阅下文：一、将军饮马常见的5种模型：1、一动两定（和最小）：如图，点A是将军和马居住的营帐，点B是一块指定的草地，一条小河L潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，P点在何处时，将军和马儿走过的路PA+PB的值最小？解析：做A点关于L的对称点A’，连接A’B，与L的交点即为P点。
为什么这时PA+PB最小？假设L上有一点M（与P点不重合）。
∵A点与A’关于L对称∴AP=A’P；AM=A’M；∴AP + BP =A’P +BP =A’B而AM + BM = A’M +MB在△A’MB中，两边之和大于第三边∴A’B < A’M +MB；而M为L上任一点（与P点不重合）。
∴动点P在A’B与L交点处时AP+BP最小。
2、一定两动：如图，点A是将军和马居住的营帐，小河L1依然像上题中一样潺潺流过，P是将军带着马儿喝水的地方，不同的是，这次吃草的地方不在是一个指定的点，而是L2所代表的一片草地，Q则是将军骑马吃草的地方，水足草饱以后，将军和马儿会再回到营帐。
那么，P点、Q点在何处时，将军走过的路AP+PQ+QA的值最小？解析：做A点关于L1的对称点A’；做A点关于L2的对称点A‘’；连接A’A‘’，与L1和L2的交点即为P、Q。
为什么此时，AP+PQ+AQ的和最小？假设L1上有点M（不与P重合）、L2上有点N（不与Q重合）。
∵A点与A’关于L1对称；A点与A‘’关于L2对称。
∴AP=A’P；AQ=A”Q；AM=A’M；AN=A”N；∴AP+PQ+AQ = A’P+PQ+A”Q =A’A”；AM+MN+AN = A’M+MN+A”N在四边形A’MNA”中：A’M+MN+A”N >A’A”∴P、Q位于A’A”与L1和L2的交点处时，AP+PQ+AQ的和最小。
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将军饮马问题
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传.
“将军饮马”问题实际是平面几何里的线段问题，平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有：①线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；
②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短.
【模型1】一定直线、异侧两定点
直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.
【模型2】一定直线、同侧两定点
直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.
【模型3】一定直线、一定点一动点
已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧），在直线l上找点P，使得AP+PB最小.
【模型4】一定点、两定直线
点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小.
【模型5】两定点、两定直线
点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小.。