多目标最优化模型
多目标最优化数学模型
第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念 1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型 §2 经典最优化方法 2．1 无约束条件极值 2．2 等式约束条件极值 2．3 不等式约束条件极值 §3 线性规划 3．1 线性规划 3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法 4．1 直接搜索法 4．2 梯度法 4．3 罚函数法§5 多目标优化问题 5．1 多目标优化问题 5．2 单目标化解法 5．3 多重优化解法 5．4 目标关联函数解法 5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型 §1 最优化问题1．1 最优化问题概念 （1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
第六章 多目标最优化方法
影响，有影响为2，无影响为1。 v 13.外来物资的装卸次数：U13(x) v 方案xi运输外来物资至坝址的装和卸总次
数。
v 以上各指标及方案的值详见表3（运输系统决 策分析技术经济指标表）
v 6.4.4 决策意见
v
U9(x)=U1(x)/Q(x) 效益投资比
v 式中Q(x)为交通运输方案xi担负的总货运量(吨)
v 10．运输系统职工总人数：U10(x) (人) v 方案xi完成运输系统运行管理的职工总人数
（反映管理的难易、繁简）。
v 11.运输工具能源消耗费用：U11(x)(万元)
v 方案xi完成商品材料、砂石料和客运、总 运量消耗的能源费用。
员） v 2. 目标函数 v (1) 总的投资最省； v (2) 工期最短； v (3) 生产均衡，不均系数小，施工高峰强度小； v (4) 工程质量优，良率最高； v (5) 能源及原材料消耗最少；
v (6) 劳力及机械设备用量最少。 v 显然目标间存在矛盾，彼长此短，无一
方案全面最优，只能整体最优。 v 6.1.3 多目标决策的一般数学表达式 v 设有m个约束条件，k个目标函数，
表3 运输系统决策分析技术经济指标表
v 表42 火车轮渡直达两岸(杨家湾设码头) v 加权多指标决策对比优序数矩阵的计算
序数法，排出如表44，从该表44中的aij'排出 加权多目标优序数决策矩阵如表45中Ki'的大 小为序，其决策顺序应为
v
x3 → x4 → x2 → x1
v 铁路 公路 水运 火车轮渡
v 建议对三峡工程施工对外交通运输方案
做决策时，应采用铁路为主，水运与公路为 辅的方案，就铁路工程本身，应采用铁二院 推荐的姜家庙电力机车牵引方案见表46 。
多目标最优化模型
多目标最优化模型多目标最优化是一种将多个目标函数优化问题组合在一起的方法，旨在找到一个让所有目标函数达到最优的解。
这种方法广泛应用于工程、经济学和决策科学等领域，因为在现实世界中，很少有问题只涉及一个目标。
通过解决多目标最优化问题，我们可以在平衡各种需求和限制条件的基础上做出更好的决策。
在多目标最优化问题中，我们需要同时考虑多个冲突的目标函数。
这些目标函数可以是相互独立的，也可以存在相互依赖关系。
例如，对于一个制造公司来说，我们可能希望同时最小化生产成本和最大化产量，这两个目标是相互矛盾的。
当我们试图减少成本时，产量可能会受到影响，而当我们试图提高产量时，成本可能会增加。
在解决多目标最优化问题时，我们需要定义一个衡量目标函数的目标向量。
这个向量通常包含所有目标函数的值，通过改变决策变量的值，我们可以在目标向量中找到不同的点。
我们的目标是找到一个解，使得目标向量达到最优，即找到一个无法通过改变决策变量的值而得到更好结果的点。
多目标最优化问题的解可以有多个，这些解通过一种称为帕累托前沿的概念呈现。
帕累托前沿是指在不改变任何目标函数值的前提下，无法找到另一个解使得一些目标函数值变得更好的解。
换句话说，帕累托前沿是指在一个多目标最优化问题中，无法一次达到所有目标函数的最优值，因为它们往往是相互冲突的。
解决多目标最优化问题的方法有很多，包括传统的数学编程方法和启发式算法。
在数学编程方法中，我们可以使用多目标规划模型来定义和求解问题。
这种方法的优点是准确性和可解释性高，但在面对大规模和复杂问题时效率较低。
另一种方法是使用启发式算法，如遗传算法、模拟退火算法和粒子群优化算法等。
这些算法通过模拟生物进化和物理过程，逐步解空间并逐渐改进解的质量。
启发式算法的优点是能够在较短的时间内找到满足要求的解，但无法保证最优解。
除了解决问题的方法外，还有一些问题需要考虑。
首先，我们需要定义目标函数，这是一个非常关键和困难的任务。
多目标优化数学模型
多目标优化数学模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，通过数学建模来求解最优解。
多目标优化问题可以形式化为如下形式：
$$
\begin{align*}
\text{minimize} \quad f_1(x) \\
\text{subject to} \quad f_2(x) \leq 0 \\
\quad f_3(x) \leq 0 \\
\quad \vdots \\
\quad f_m(x) \leq 0 \\
\end{align*}
$$
其中，$x$是决策变量，$f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)$是目标函数，$m$是目标函数的个数。
在多目标优化中，通常存在多个不同的最优解，这些最优解构成了一个被称为Pareto前沿（Pareto front）的集合。
Pareto前沿是指在所有满足约束条件的解中，无法通过改变一个目标函数的值而使其他目标函数的值变得更好的解。
求解多目标优化问题的常用方法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退
火算法等。
这些算法通过在解空间中搜索，逐步逼近Pareto前沿，从而得到一组近似最优解。
多目标优化数学模型的应用非常广泛，例如在工程设计中，可以通过多目标优化来平衡不同的设计目标，如成本、性能、可靠性等；在金融投资中，可以通过多目标优化来平衡风险和收益等。
多目标优化方法及实例解析
图1 多目标规划的劣解与非劣解
而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无法确定优劣，而且又没有比它们更好的其他方案，所以它们就被称为多目标规划问题的非劣解或有效解， 其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣解集。
当目标函数处于冲突状态时，就不会存在使所有目标函数同时达到最大或最小值的最优解，于是我们只能寻求非劣解（又称非支配解或帕累托解）。
每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决 ？
3
每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？
多目标规划的非劣解
在图1中，max(f1, f2) .就方案①和②来说，①的 f2 目标值比②大，但其目标值 f1 比②小，因此无法确定这两个方案的优与劣。 在各个方案之间，显然：④比①好，⑤比④好, ⑥比②好, ⑦比③好……。
120
70
单件利润
3000
10
3
设备台时
2000
5
4
煤炭
3600
4
9
钢材
资源限制
乙
甲
单位 产品 资源 消耗
解:设生产甲产品: x1 ，乙产品: x2 ,
(1)
若在例3中提出下列要求： 1、完成或超额完成利润指标 50000元； 2、产品甲不超过 200件，产品乙不低于 250件； 3、现有钢材 3600吨必须用完。 试建立目标规划模型。
求解多目标规划的方法大体上有以下几种： 一种是化多为少的方法 ， 即把多目标化为比较容易求解的单目标或双目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等； 另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。 对多目标的线性规划除以上方法外还可以适当修正单纯形法来求解；还有一种称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。
多目标优化模型
多目标优化模型多目标优化模型是指在优化问题中存在多个目标函数的情况下，同时优化这些目标函数的模型。
多目标优化模型的出现是为了解决现实问题中存在的多因素、多目标的情况，通过将多个目标函数综合考虑，寻求最优的方案。
多目标优化模型的基本特点是：1. 多目标函数：多目标优化模型中存在多个目标函数，每个目标函数反映了不同的优化目标。
2. 目标函数之间的相互制约：目标函数之间往往存在相互制约的关系，即对某一个目标函数的优化可能会对其他目标函数产生不利影响。
3. 非单一最优解：多目标优化模型往往存在多个最优解，而不是唯一的最优解。
这是因为不同的最优解往往对应了不同的权衡方案，选择最终解需要根据决策者的偏好进行。
解决多目标优化模型的常用方法有：1. 加权法：将多个目标函数进行线性加权求和的方式，转化为单一目标函数的优化问题。
通过调整目标函数的权重系数，可以实现对不同目标函数的调节。
2. 约束优化法：将多目标优化问题转化为带有约束条件的优化问题。
通过引入约束条件来限制不同目标函数之间的关系，使得在满足约束条件的情况下，尽可能地优化各个目标函数。
3. Pareto最优解法：Pareto最优解是指在多目标优化问题中，不存在能够同时优化所有目标函数的方案。
Pareto最优解的特点是，在不牺牲任何一个目标函数的前提下，无法再进一步优化其他目标函数。
通过构建Pareto最优解集合，可以提供决策者在权衡不同目标函数时的参考。
多目标优化模型在现实生活中有着广泛的应用，比如在工程设计中，不仅需要考虑成本和效率，还需要考虑安全性和可持续性等因素。
通过引入多目标优化模型，可以使得决策者能够综合考虑多个因素，选择出最优的方案。
同时，多目标优化模型还能在制定政策和规划城市发展等方面提供决策支持。
多目标优化问题
多目标优化问题5.1多目标优化的基本概念大多数工程设计问题都具有多个目标，设计工作需要同时极大化（或极小化）这些目标，并且满足约束条件。
一般情况下，这些和被设计系统的性能相关的目标是内在冲突的。
这种多于一个的数值目标在给定区域上的最优化问题称为多目标优化（Multi-Objective Optimization,MO）问题。
解MO 问题通常的做法是根据某效用函数将多目标合成单一目标来进行优化。
但大多数情况下，在优化前这种效用函数是难以确知的。
另一方面单目标优化问题中的任意两个解都是可以比较其好坏的，因此说问题有一个最优解（如果存在最优解）是毫无争议的；而多目标优化问题中各目标之间通过决策变量相互制约，对其中一个目标优化必须以其它目标劣化作为代价，也就是说，要同时使这多个子目标都一起达到最优值是不可能的，而只能是在它们中间进行协调合折衷处理，使各个子目标函数都尽可能地达到最优。
而且各目标的单位又往往不一致，因此很难客观地评价多目标问题解的优劣性。
与单目标优化问题的本质区别在于，多目标优化问题的解不是唯一的，而是存在一个最优解集合，这是多目标优化问题与单目标优化问题最大的区别。
因此在多目标优化问题中往往有一些无法简单进行相互比较的解。
这种解称作非支配解或Pareto 最优解，5.1.1多目标优化问题的数学模型在工程实际中许多实际问题往往期望几项指标同时达到最优值，如在机型工程中，可能希望机器（或零部件）的强度、刚度、经济性、工艺性、使用性及动力性能都有最优。
一般的多目标优化问题，就是在可行设计空间中寻找一组设计变量以同时优化几个不同的设计目标。
多目标优化问题一般可描述为下面的数学模型：T p x f x f x f x f V )](,),(),([)(min21"=−（读作x 属于集合X 。
满足约束条件的解x 称为可行解） X x t s ∈.. （读作X 是m R X ⊆m R 的子集。
最优化多目标规划动态规划
最优化多目标规划动态规划多目标规划是指在决策问题中同时考虑多个目标的优化问题，其目标可能相互矛盾或者相互关联。
动态规划是一种通过将问题划分为子问题并利用子问题的最优解来求解整体最优解的方法。
将多目标规划与动态规划结合起来，可以解决一些具有多个相互关联目标的决策问题。
下面将介绍最优化多目标规划动态规划的原理和应用举例。
1.定义决策变量：确定需要作出的决策，并定义决策变量。
2.建立状态转移方程：将问题划分为多个子问题，并建立它们之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了子问题之间的关系，通过子问题之间的转移可以得到整体问题的最优解。
3.确定初始状态和边界条件：确定初始状态和边界条件，即子问题的初始状态和边界条件，用于递归地求解子问题。
4.递推求解：使用动态规划的递推求解方法，从初始状态开始，逐步求解子问题，直到求解出整体的最优解。
5.分析最优解：根据求解结果分析得到的最优解，并根据需要进行调整和优化。
假设有一家公司要进行产品的生产安排，公司有多个产品需要安排生产，每个产品有不同的生产时间和利润，同时公司还要考虑生产能力的限制和产品订单的要求。
问题可以建立如下的数学模型：决策变量：对于每个产品，决定其生产数量。
目标函数：最大化总利润。
约束条件：生产时间不能超过生产能力限制，同时生产数量要满足订单要求。
利用动态规划方法可以将问题分解为多个子问题，以子问题的最优解作为动态规划的递推依据。
具体步骤如下：1.将产品的生产时间和利润作为状态，根据时间顺序划分为多个子问题。
2.定义状态转移方程，将子问题的最优解与前面子问题的最优解关联起来。
3.初始状态为生产时间为0的情况，边界条件为订单要求。
4.递推求解，根据状态转移方程求解每个子问题的最优解。
5.分析最优解，确定每个产品的生产数量，以及总利润。
通过最优化多目标规划动态规划的方法，可以在满足多个目标和约束条件的情况下，求解出最优的决策方案。
这种方法可以应用于生产调度、资源分配、物流配送等领域，帮助企业做出合理的决策，达到优化目标。
第五章多目标问题的最优化方法
c) 当fj 取的值越靠近预先确定的适当值时, dj ，否则dj ↓。
功效系数法的关键在于如何确定功效函数,即功效系数的值。 功效系数的确定方法有：直线法、折线法和指数法。
三. 方法评价：
•
可直接按所要求的性能指标来评价函数，非常直观，试算后调 整方便；
min . F x
w j f j x
j 1
s
w j f jx
j s 1
q
o w
j
1
上述问题所得的优化解，显然是使位于分子的各目标函数尽可 能小，使位于分母的各目标函数尽可能大的值的解。
五.
目标函数的规格化：
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格 化。以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标 函数值规范在 [0,1] 之间。
一.
功效系数法
基本思想：
多目标优化问题中，各个单目标的要求不全相同，有的要求极 小值，有的要求极大值，有的则要求有一个合适的数值。为了在评 价函数中反映这些不同的要求，可引入功效函数。
给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数dj (0≤dj ≤1)表示。 对于一个设计方案 xk , F(xk)，有q个分目标函数值f1(xk), f2(xk),…, fq(xk), ，对应q个功效系数 d1,d2,…,dq 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数 d ：
f2
最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。
● ●
4
●
6
5
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。 综合考虑，1，2，3为非劣解，4，5，6为劣解。
●
多目标最优化问题全面介绍
多目标最优化问题全面介绍§8.1多目标最优化问题的基本原理一、多目标最优化问题的实例例1 梁的设计问题设用直径为1的圆木加工成截面积为矩形的梁，为使强度最大而成本最低，问应如何设计梁的尺寸？解：设梁的截面积宽和高分别为1x 和2x 强度最大=惯性矩最大22161x x = 成本最低=截面积最小=21x x 故数学模型为： min 1x 2xmax22161x x.s t 22121x x +=10x ≥，20x ≥ 例2 买糖问题已知食品店有1A , 2A ,3A 三种糖果单价分别为4元∕公斤，2.8元∕公斤，2.4元∕公斤，今要筹办一次茶话会，要求用于买买糖的钱不超于20元，糖的总量不少于6公斤，1A ，2A 两种糖的总和不少于3公斤，问应如何确定买糖的最佳方案？解：设购买1A , 2A ,3A 三种糖公斤数为1x ，2x ，3x1A 2A 3A重量 1x 2x3x单价 4元∕公斤 2.8元∕公斤 2.4元∕公斤min 14x +22.8x +32.4x （用钱最省）max 1x +2x +3x （糖的总量最多）.st 14x +22.8x +32.4x 20≤ (用钱总数的限制)1x +2x +3x 6≥（用糖总量的要求）1x +2x3≥（糖品种的要求）1x ，2x ，3x 0≥是一个线性多目标规划。
二、多目标最优化的模型12min ()((),(),.....())T m V F x f x f x f x -=.st ()0g x ≥()0h x ≥多目标规划最优化问题实际上是一个向量函数的优化问题，当m=1,多目标优化就是前面讲的单目标优化问题三、解的概念1.序的概念12,.....()Tm a a a a = 12,.....()Tmb b b b =（1）b a =?a iib = 1,2....i m = （2）a b ≤?a i ib ≤ 1,2....i m = 称a 小于等于b（3）a b <=?a i ib ≤ 且?1≤j ≤m ，使a j j b ≠，则a 小于向量b（4）ab < 1,2....i m = 称a 严格小于b绝对最优解：设多目标最优化问题的可行域为D ，*x ∈D ,如果对x ?D ∈,都有*()()F F x x <,则称*x 为多目标最优化的绝对最优解，称绝对最优解的全体为绝对最优解集，记ab R ，absolute —绝对有效解：可行域为D ，*x ∈D ,如果不存在x D ∈,使*()()F F x x <=，则称*x 为有效解，也称pareto 最优解，称有效解的全体为有效解集，记pa R 是由1951年T.C.Koopmans 提出的。
多目标最优化模型
缺点
计算复杂度高
求解速度慢
难以找到全局最优 解
对初始解依赖性强
多目标最优化模 型的发展趋势
算法改进
进化算法：如遗传算法、粒子群算法等，在多目标优化问题中表现出色，能够找到多个非支配解。
机器学习算法：如深度学习、强化学习等，在处理大规模、高维度多目标优化问题时具有优势，能 够自动学习和优化目标函数。
金融投资
风险管理：多目标最 优化模型用于确定最 优投资组合，降低风 险并最大化收益。
资产配置：模型用于 分配资产，以实现多 个目标，例如最大化 收益和最小化风险。
投资决策：模型帮助 投资者在多个投资机 会中选择最优方案， 以实现多个目标。
绩效评估：模型用于评 估投资组合的绩效，以 便投资者了解其投资组 合是否达到预期目标。
混合算法：将多种算法进行融合，形成新的优化算法，以适应不同类型和规模的多目标优化问题。
代理模型：利用代理模型来近似替代真实的目标函数，从而加速多目标优化问题的求解过程。
应用拓展
人工智能领域的应用
金融领域的应用
物流领域的应用
医疗领域的应用
未来研究方向
算法改进：研究更高效的求解多目标最优化问题的算法 应用拓展：将多目标最优化模型应用于更多领域，如机器学习、数据挖掘等 理论深化：深入研究多目标最优化理论，提高模型的可解释性和可靠性 混合方法：结合多种优化方法，提高多目标最优化模型的性能和适用范围
资源分配
电力调度：多目标最优化模型用于协调不同区域的电力需求和供应，实现电力资源的 合理分配。
金融投资：多目标最优化模型用于确定投资组合，以最小风险实现最大收益，优化金 融资源分配。
多目标优化设计方法
多目标优化设计方法多目标优化（Multi-Objective Optimization，MOO）是指在考虑多个冲突目标的情况下，通过寻求一组最优解，并找到它们之间的权衡点来解决问题。
多目标优化设计方法是指为了解决多目标优化问题而采取的具体方法和策略。
本文将介绍几种常见的多目标优化设计方法。
1.加权和方法加权和方法是最简单直观的多目标优化设计方法之一、其基本思想是将多个目标函数进行加权求和，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
具体来说，给定目标函数集合f(x)={f1(x),f2(x),...,fn(x)}和权重向量w={w1,w2,...,wn}，多目标优化问题可以表示为：minimize Σ(wi * fi(x))其中，wi表示各个目标函数的权重，fi(x)表示第i个目标函数的值。
通过调整权重向量w的取值可以改变优化问题的偏好方向，从而得到不同的最优解。
2. Pareto最优解法Pareto最优解法是一种基于Pareto最优原理的多目标优化设计方法。
Pareto最优解指的是在多个目标函数下，不存在一种改进解使得所有目标函数都得到改进。
换句话说，一个解x是Pareto最优解，当且仅当它不被其他解严格支配。
基于Pareto最优原理，可以通过比较各个解之间的支配关系，找到Pareto最优解集合。
3.遗传算法遗传算法是一种模仿自然界中遗传机制的优化算法。
在多目标优化问题中，遗传算法能够通过遗传操作（如选择、交叉和变异）进行，寻找较优的解集合。
遗传算法的基本流程包括：初始化种群、评估种群、选择操作、交叉操作、变异操作和更新种群。
通过不断迭代，遗传算法可以逐渐收敛到Pareto最优解。
4.支持向量机支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种常用的机器学习方法。
在多目标优化问题中，SVM可以通过构建一个多目标分类模型，将多个目标函数转化为二进制分类问题。
具体来说，可以将目标函数的取值分为正例和负例，然后使用SVM算法进行分类训练，得到一个最优的分类器。
第七章多目标函数的优化设计方法7.1多目标最优化数学模型-Read
7.3 多目标优化问题的求解方法
7.3.1 评价函数法
评价函数法的主要思想是根据优化问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个目标 转化为一个总目标的评价函数。通过对m个目标的“评价”，把求解多目标极小化问题归 结为求解与之相关的单目标极小化问题。
1. 线性加权和法 这是一种最简单也是最基本的评价函数法。它根据各个目标在问题中的重要程度，分别赋 予一个系数，然后相加起来构造评价函数 t 对于一组目标函数F1,F2,…,Ft，分别赋予系数 W1,W2,…,Wt 例7-4 用例7-2来说明线性加权和法的求解过程。 解：由问题可知，钢梁设计问题归结为下面评价函数(约束条件略)
这就是在给定的权系数下问题的最优解。若权系数改变，结果也就随之而变化。 2. 理想点法 理想点法也有很多种，这里介绍其中的极大模理想点法。 基本思想是，首先求出分目标函数 F1,F2,…,Ft各自的极小值 F1* , F2* , Ft* ，然后确定表示各目 标函数逼近其极小值重要程度的权系数 Wi 0 i 1, 2, , t ，将原来的多目标最优化问题转化 min 成下列单目标最优化问题 求解得到的最优解 X x1 , x 2 , x t , 即为原问题的最优解
V ( / 4)(D d ) 2 H 0 0.785( x1 x2 ) 2 (0.35x3 x2 1.5x1 ) 105
2
约束条件 2 [ ]
2d 65 d D 88
4C 8
(C D / d )
强度约束 筒体内径约束 旋绕比约束 变形约束
约束条件
r 2 [( 1 ) 2 (
x 2 x2 2 ) ] min 2 x1 H 0
2 1
多目标优化设计方法
7.1 概述（续）
对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多 目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：
求： X [x1, x2,..., xn )T
n维欧氏空间的一个向量
min F( X ) [ f1( X ), f2 ( X ),..., fL ( X )]T s.t. gi ( X ) 0, (i 1, 2,..., m)
即：
minF (X ) minF ( f1(X ), f2(X ),..., fl (X ))
X D
X D
D为可行域，f1(X)，f2(X)，…，fl(X)为各个子目 标函数。
7.2 统一目标函数法（续）
二、统一目标函数的构造方法 1、线性加权和法（线性加权组合法）
根据各子目标的重要程度给予相应的权数，然后 用各子目标分别乘以他们各自的权数，再相加即构成 统一目标函数。
L
min f ( X ) i fi ( X ) i 1
s.t. gi ( X ) 0 (i 1, 2,..., m) hj ( X ) 0 ( j 1, 2,..., k)
注意：
1、建立这样的评价函数时，各子目标的单位已经脱 离了通常的概念。
2、权数（加权因子）的大小代表相应目标函数在优 化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。
7.4 功效系数法（续）
二、评价函数 用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数
f ( X ) L d1d2 dL
f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差； 0 f (X ) 1
f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案 f(X)=0时，表示此设计方案不能接受
该评价函数不会使某一个目标最不满意——功效 系数法的特点
多目标优化模型的解决方案
多目标优化模型是一种复杂的问题类型，它涉及到多个相互冲突的目标，需要找到一个在所有目标上达到均衡的解决方案。
解决多目标优化模型通常需要使用特定的算法和技术，以避免传统单目标优化算法的局部最优解问题。
以下是几种常见的解决方案：1. 混合整数规划：混合整数规划是一种常用的多目标优化方法，它通过将问题转化为整数规划问题，使用整数变量来捕捉冲突和不确定性。
这种方法通常使用高级优化算法，如粒子群优化或遗传算法，来找到全局最优解。
2. 妥协函数法：妥协函数法是一种简单而有效的方法，它通过定义一组妥协函数来平衡不同目标之间的关系。
这种方法通常使用简单的数学函数来描述不同目标之间的妥协关系，并使用优化算法来找到最优解。
3. 遗传算法和进化计算：遗传算法和进化计算是多目标优化中的一种常用方法，它们通过模拟自然选择和遗传的过程来搜索解决方案空间。
这种方法通常通过迭代地生成和评估解决方案，并在每一步中保留最佳解决方案，来找到全局最优解。
4. 精英策略和双重优化：精英策略是一种特殊的方法，它保留了一部分最佳解决方案，并使用它们来引导搜索过程。
双重优化方法则同时优化两个或多个目标，并使用一种特定的权重函数来平衡不同目标之间的关系。
5. 模拟退火和粒子群优化：模拟退火和粒子群优化是多目标优化中的高级方法，它们使用概率搜索技术来找到全局最优解。
这些方法通常具有强大的搜索能力和适应性，能够处理大规模和复杂的多目标优化问题。
需要注意的是，每种解决方案都有其优点和局限性，具体选择哪种方法取决于问题的性质和约束条件。
在实践中，可能需要结合使用多种方法，以获得更好的结果。
同时，随着人工智能技术的发展，新的方法和算法也在不断涌现，为多目标优化问题的解决提供了更多的可能性。
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0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
评价函数: Ufm 1iax q fiX
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
m X iD n U fX m X iD n m 1 a i x l fiX
.
12
f
max {f1(X), f2(X)}
f1(X)
f2(X)
x
.
13
3）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
.
28
宽容分层序列法：
1）
m
in X
f1( X D
)
2）XminXf2(fX1()X)f1*1
3）Xm Xinfi(fX 3()X)fi*ii1,2 4） X m X infif(l(X X )) fi* ii 1 ,2 ,l1
.
29
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取
值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。
第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F (X k ) 0 .8 1 5 0 .2 1 8 0 0 3 7 2
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值
多目标动态优化
小结
目标规划的基本思想是，给定若干目标以及实现 这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使 总的偏离目标值的偏差最小 1）约束条件 硬约束(绝对约束) 软约束 (目标约束)，引入d -, d + 2）目标优先级与权因子 P1 P2 … PL 同一级中可以有若干个目标：P21 , P22 ,P23 … 其重要程度用权重系数W21 ,W22 ,W23 …表示
望
权因子的数值一般需要分析者与决策者商讨 确定
例2的多目标规划模型
minZ=P1d1++P2(2d2-+d2+)+P3(d3-)
2X1+X2 11
X1 -X2 +d1- -d1+=0
X1 +2X2 +d2- -d2+=10 8X1 +10X2 +d3- -d3+=56 X1 , X2 , di- , di+ 0
优化规则
只有完成了高级别的优化后，再考虑低级别的优 化 再进行低级别的优化时，不能破坏高级别以达到 的优化值
（4）权因子
在同一优先级中有几个不同的偏差变量要求 极小，而这几个偏差变量之间重要性又有区 别——可用“权因子”来区分同一优先级中 不同偏差变量重要性不同，如 p2 （2d 2- + d 2+） 表示d2- 的重要程度为d2+ 的两倍，表明 “充分利用设备”的愿望> “不希望加班”的愿
目标函数的实质：求一组决策变量的满意值， 使决策结果与给定目标总偏差最小。 目标函数的特点： 目标函数中只有偏差变量 目标函数总是求偏差变量最小 目标函数值的含义： Z=0：各级目标均已达到 Z>0：部分目标未达到
多目标优化
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§5.2 协调函数法
② 多目标函 1,2,, q
s.t. gu x 0 u 1,2,, m
hv x
fv x
f0 v
0
v 1,2,, q 1
v j
其中
f0 v
fv x * f j
为理想的合理值，是 fv x *的让步。
f1 x max y h min y y h
0.1m
y
min
0.3m 0.5m
0.5m
d1 1 d1 0.7 d1 0.3 d1 0
2. E点水平分速度的变化率越小越好
f2
x
max
vx
min
3. 货物对支点A所引起的倾覆力矩差越小越好
f3x max M min
这三个要求都属于第二类功效函数。
标函数表达式如下：
min .
s
wj
f
j
x
F
x
j 1 q
wj f jx
j s 1
o wj 1
四. 线性加权组合法：
min.
F
x
S
wj
j 1
f j (x)
q j s 1
wj f j (x)
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§5.3 统一目标函数法
五. 目标函数的规格化：
当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。 以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数 值规范在 [0,1] 之间。
二. 功效系数和功效函数：
1、功效系数dj ：表示对于分目标函数值 fj (x) 的满意程度。 若dj =1，表示效果最好，非常满意； dj =0，表示效果极差，方案不可取。
建立多目标优化模型的方法
建立多目标优化模型的方法摘要：多目标优化是一种常见的决策问题，其目标是在多个冲突的目标之间找到最优解。
本文介绍了建立多目标优化模型的方法，包括问题定义、目标设定、约束条件、决策变量选择等方面的内容。
一、问题定义多目标优化模型的第一步是明确问题定义。
在这一步骤中，需要明确问题的背景和目标，了解各个目标之间的关系，以及可能的约束条件。
二、目标设定在建立多目标优化模型时，需要确定多个目标，并且这些目标可能是相互冲突的。
因此，目标设定是一个关键的步骤。
在这一步骤中，需要明确每个目标的优先级和权重，以及目标之间的相对重要性。
三、约束条件约束条件是指在优化过程中需要满足的条件。
这些条件可以是硬约束，即必须满足的条件，也可以是软约束，即可以适当放宽的条件。
在建立多目标优化模型时，需要明确约束条件，并将其纳入到模型中。
四、决策变量选择决策变量是指在优化过程中需要选择的变量。
在建立多目标优化模型时，需要明确决策变量，并将其纳入到模型中。
决策变量的选择应该考虑到目标的优先级和约束条件，以及问题的实际情况。
五、建立数学模型建立数学模型是建立多目标优化模型的核心步骤。
在这一步骤中，需要将问题定义、目标设定、约束条件和决策变量等内容转化为数学表达式，并将其组合成一个数学模型。
数学模型可以是线性模型、非线性模型、整数规划模型等。
六、求解模型求解模型是指利用数学方法或计算机算法求解多目标优化模型。
常见的求解方法包括线性规划、非线性规划、遗传算法、粒子群算法等。
根据实际情况选择合适的求解方法，并对模型进行求解。
七、模型评估在求解模型之后，需要对模型进行评估。
评估模型的方法包括灵敏度分析、稳健性分析、效果比较等。
通过模型评估，可以了解模型的优劣，并对模型进行改进。
八、模型应用在模型评估之后，可以将模型应用于实际问题中。
通过模型应用，可以为决策提供参考，优化决策结果，并提高决策的效果。
结论：建立多目标优化模型是一种有效的决策方法，可以在多个冲突的目标之间找到最优解。
多目标优化问题
多目标优化方法基本概述几个概念优化方法一、多目标优化基本概述现今，多目标优化问题应用越来越广，涉及诸多领域。
在日常生活和工程中，经常要求不只一项指标达到最优，往往要求多项指标同时达到最优，大量的问题都可以归结为一类在某种约束条件下使多个目标同时达到最优的多目标优化问题。
例如：在机械加工时，在进给切削中，为选择合适的切削速度和进给量，提出目标：1）机械加工成本最低2）生产率低3）刀具寿命最长；同时还要满足进给量小于加工余量、刀具强度等约束条件。
多目标优化的数学模型可以表示为：X=[x1,x2,…,x n ]T----------n维向量min F(X)=[f1(X),f2(X),…,f n(X)]T----------向量形式的目标函数s.t. g i(X)≤0,(i=1,2,…,m)h j(X)=0,(j=1,2,…,k)--------设计变量应满足的约束条件多目标优化问题是一个比较复杂的问题，相比于单目标优化问题，在多目标优化问题中，约束要求是各自独立的，所以无法直接比较任意两个解的优劣。
二、多目标优化中几个概念：最优解，劣解，非劣解。
最优解X*：就是在X*所在的区间D中其函数值比其他任何点的函数值要小即f(X*)≤f(X)，则X*为优化问题的最优解。
劣解X*：在D中存在X使其函数值小于解的函数值，即f(x)≤f(X*), 即存在比解更优的点。
非劣解X*：在区间D中不存在X使f(X)全部小于解的函数值f(X*).如图：在[0,1]中X*=1为最优解在[0,2]中X*=a为劣解在[1,2]中X*=b为非劣解多目标优化问题中绝对最优解存在可能性一般很小，而劣解没有意义，所以通常去求其非劣解来解决问题。
三、多目标优化方法多目标优化方法主要有两大类：1)直接法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解将多目标优化问题转化为单目标优化问题。
2)间接法如：主要目标法、统一目标法、功效系数法等。
将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题。
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第六章 最优化数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念1．2 最优化问题分类1．3 最优化问题数学模型§2 经典最优化方法2．1 无约束条件极值2．2 等式约束条件极值2．3 不等式约束条件极值§3 线性规划3．1 线性规划3．2 整数规划§4 最优化问题数值算法4．1 直接搜索法4．2 梯度法4．3 罚函数法§5 多目标优化问题5．1 多目标优化问题5．2 单目标化解法5．3 多重优化解法5．4 目标关联函数解法5．5 投资收益风险问题第六章 最优化问题数学模型§1 最优化问题1．1 最优化问题概念（1）最优化问题在工业、农业、交通运输、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各部门各领域的实际工作中，我们经常会遇到求函数的极值或最大值最小值问题，这一类问题我们称之为最优化问题。
而求解最优化问题的数学方法被称为最优化方法。
它主要解决最优生产计划、最优分配、最佳设计、最优决策、最优管理等求函数最大值最小值问题。
最优化问题的目的有两个：①求出满足一定条件下，函数的极值或最大值最小值；②求出取得极值时变量的取值。
最优化问题所涉及的内容种类繁多，有的十分复杂，但是它们都有共同的关键因素：变量，约束条件和目标函数。
（2）变量变量是指最优化问题中所涉及的与约束条件和目标函数有关的待确定的量。
一般来说，它们都有一些限制条件（约束条件），与目标函数紧密关联。
设问题中涉及的变量为n x x x ,,,21 ；我们常常也用),,,(21n x x x X 表示。
（3）约束条件在最优化问题中，求目标函数的极值时，变量必须满足的限制称为约束条件。
例如，许多实际问题变量要求必须非负，这是一种限制；在研究电路优化设计问题时，变量必须服从电路基本定律，这也是一种限制等等。
在研究问题时，这些限制我们必须用数学表达式准确地描述它们。
用数学语言描述约束条件一般来说有两种：等式约束条件 m i X g i ,,2,1,0)( == 不等式约束条件 r i X h i ,,2,1,0)( =≥ 或 r i X h i ,,2,1,0)( =≤注：在最优化问题研究中，由于解的存在性十分复杂，一般来说，我们不考虑不等式约束条件0)(>X h 或0)(<X h 。
这两种约束条件最优化问题最优解的存在性较复杂。
（4）目标函数在最优化问题中，与变量有关的待求其极值（或最大值最小值）的函数称为目标函数。
目标函数常用),,,()(21n x x x f X f =表示。
当目标函数为某问题的效益函数时，问题即为求极大值；当目标函数为某问题的费用函数时，问题即为求极小值等等。
求极大值和极小值问题实际上没有原则上的区别，因为求)(X f 的极小值，也就是要求)(X f -的极大值，两者的最优值在同一点取到。
1．2 最优化问题分类最优化问题种类繁多，因而分类的方法也有许多。
可以按变量的性质分类，按有无约束条件分类，按目标函数的个数分类等等。
一般来说，变量可以分为确定性变量，随机变量和系统变量等等，相对应的最优化问题分别称为：普通最优化问题，统计最优化问题和系统最优化问题。
按有无约束条件分类：无约束最优化问题，有约束最优化问题。
按目标函数的个数分类：单目标最优化问题，多目标最优化问题。
按约束条件和目标函数是否是线性函数分类：线性最优化问题（线性规划），非线性最优化问题（非线性规划）。
按约束条件和目标函数是否是时间的函数分类：静态最优化问题和动态最优化问题（动态规划）。
按最优化问题求解方法分类：①解析法（间接法）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧-⎩⎨⎧图克定理库恩极大值原理有约束古典变分法古典微分法无约束②数值算法（直接法）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧随机搜索法单纯形法方向加速法步长加速法坐标轮换法多维搜索法插值法黄金分割法斐波那西法一维搜索法 ③数值算法（梯度法）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧复形法法法化有约束为无约束梯度投影法可行方向法有约束梯度法变尺度法共轭梯度法拟牛顿法最速下降法无约束梯度法SWIFT SUMT ④多目标优化方法⎪⎩⎪⎨⎧目标关联函数法多重目标化方法单目标化方法⑤网络优化方法1．3 最优化问题的求解步骤和数学模型（1）最优化问题的求解步骤最优化问题的求解涉及到应用数学，计算机科学以及各专业领域等等，是一个十分复杂的问题，然而它却是需要我们重点关心的问题之一。
怎样研究分析求解这类问题呢？其中最关键的是建立数学模型和求解数学模型。
一般来说，应用最优化方法解决实际问题可分为四个步骤进行：步骤1：建立模型提出最优化问题，变量是什么？约束条件有那些？目标函数是什么？建立最优化问题数学模型：确定变量，建立目标函数，列出约束条件——建立模型。
步骤2：确定求解方法分析模型，根据数学模型的性质，选择优化求解方法——确定求解方法。
步骤3：计算机求解编程序（或使用数学计算软件），应用计算机求最优解——计算机求解。
步骤4：结果分析对算法的可行性、收敛性、通用性、时效性、稳定性、灵敏性和误差等等作出评价——结果分析。
（2）最优化问题数学模型最优化问题的求解与其数学模型的类型密切相关，因而我们有必要对最优化问题的数学模型有所掌握。
一般来说，最优化问题的常见数学模型有以下几种： ①无约束最优化问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数且无约束条件，这样的求函数极值或最大值最小值问题，我们称为无约束最优化问题。
其数学模型为： ),,,(min 21n x x x f ——目标函数例如：求一元函数)(x f y =和二元函数),(y x f z =的极值。
又例如：求函数323121232221321242643),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=的极值和取得极值的点。
②有约束最优化问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件（等式或不等式），这样的求函数极值或最大值最小值问题，我们称为有约束最优化问题。
其数学模型为：),,,(min 21n x x x f ——目标函数m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件有约束最优化问题的例子：求函数n x x x x x x f 31321),,(=在约束条件条件 n i x x x x i n ,,2,1,0,200831 =≥=+++下的最大值和取得最大值的点。
③线性规划问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件，目标函数 和约束条件都是变量的线性函数，而且变量是非负的，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为线性最优化问题，简称为线性规划问题。
其标准数学模型为： n n n x c x c x c x x x f +++= 221121),,,(m in ——目标函数 0,,2,12211≥==+++i in im i i x m i b x a x a x a ——约束条件矩阵形式： X C X f T =)(m in ——目标函数 0≥=X B AX ——约束条件 其中 T n x x x X ),,,(21 =，T n c c c C ),,,(21 =，T m b b b B ),,,(21 =在线性规划问题中，关于约束条件我们必须注意以下几个问题。
注1：非负约束条件),,2,1(0n i x i =≥，一般来说这是实际问题要求的需要。
如果约束条件为i i d x ≥，我们作变量替换0≥-=i i i d x z ；如果约束条件为i i d x ≤，我们作变量替换0≥-=i i i x d z 。
注2：在线性规划的标准数学模型中，约束条件为等式。
如果约束条件不是等式，我们引入松驰变量，化不等式约束条件为等式约束条件。
情况1：若约束条件为i n im i i b x a x a x a ≥+++ 2211，引入松驰变量原约束条件变为 i i n im i i b z x a x a x a =-+++ 2211。
情况2：若约束条件为i n im i i b x a x a x a ≤+++ 2211，引入松驰变量原约束条件变为 i i n im i i b z x a x a x a =++++ 2211在其它最优化问题中，我们也常常采取上述方法化不等式约束条件为等式约束条件。
实际问题中，我们经常遇到两类特殊的线性规划问题。
一类是：所求变量要求是非负整数，称为整数规划问题；另一类是所求变量要求只取0或1，称为0-1规划问题。
例如：整数规划问题⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+≥且为整数0,028*******.3..21212x x x x x t s 。
又例如：0-1规划问题 321523m ax x x x z +-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≤+≤+≤++≤-+10,,6434422..3213221321321或x x x x x x x x x x x x x t s 。
④非线性规划问题数学模型由某实际问题设立变量，建立一个目标函数和若干个约束条件，如果目标函数或约束条件表达式中有变量的非线性函数，那么，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为非线性规划最优化问题，简称为非线性规划问题。
其数学模型为： ),,,(min 21n x x x f ——目标函数m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件其中目标函数或约束条件中有变量的非线性函数。
例如：非线性规划问题 y x y x f +-=2)1(),(m in⎩⎨⎧≤-=≤-+=0),(02),(21y y x g y x y x g 。
上述最优化问题中，目标函数是非线性函数，故称为非线性规划问题。
前面介绍的四种最优化数学模型都只有一个目标函数，称为单目标最优化问题，简称为最优化问题。
⑤多目标最优化问题数学模型由某实际问题设立变量，建立两个或多个目标函数和若干个约束条件，且目标函数或约束条件是变量的函数，这样的求函数最大值最小值问题，我们称为多目标最优化问题。
其数学模型为：s i x x x f n i ,,2,1),,,(m in 21 = ——目标函数 m i x x x g n i ,,2,10),,,(21 == ——约束条件上述模型中有s 个目标函数，m 个等式约束条件。
例如：“生产商如何使得产值最大而且消耗资源最少问题”“投资商如何使得投资收益最大而且风险最小问题”等都是多目标最优化问题。
§2 经典最优化方法经典最优化方法包括无约束条件极值问题和等式约束条件极值问题两种，不等式约束条件极值问题可以化为等式约束条件极值问题。