2017年中考数学专题练习 探索研究类问题

探索研究类问题

1.

的矩形纸片称为标准纸，请思考解决下列问题：

（1）将一张标准纸()ABCD AB BC <对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF 是标准纸.请给予证明.

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片()ABCD AB BC <进行如下操作： 第一步：沿过A 点的直线折叠，使B 点落在AD 边上点F 处，折痕为AE （如图2甲）； 第二步：沿过D 点的直线折叠，使C 点落在AD 边上点N 处，折痕为DG （如图2乙），此时E 点恰好落在AE 边上的点M 处；

第三步：沿直线DM 折叠（如图2丙），此时点G 恰好与N 点重合.

请你探究：矩形纸片ABCD 是否是一张标准？请说明理由.

(3)不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸，现

有一张标准纸1ABCD AB BC ==，，，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探

索并直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长.

A

C

D B 图1 A E

F

B 图

3 A C D B …… 第一次对开 第二次对开 第三次对开

N D A E C B M G N D A E C B M G F D A E C B 丙

乙 甲 图2

答案：解：（1）是标准纸.理由如下：

矩形ABCD 是标准纸,

∴

BC AB = 由对开的含义知：12

AF BC =

. 212

AB AB AB AF BC BC ∴====·∴矩形纸片ABEF 也是标准纸.

（2）是标准纸.理由如下：设AB CD a ==

由图形折叠可知：DN CD DG a ===

DG EM ⊥

由图形折叠可知：ABE AFE △≌△

1452

DAE BAD ∴∠=∠=° ADG ∴∠是等腰直角三角形

∴在Rt ADG △

中，AD =

AD AB ∴==∴矩形纸片ABCD 是一张标准纸

∴第5∴第2012次对开后所得的标准纸的周长：

100512+

2. 如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．

（1）求证：APB BPH ∠=∠；

（2）当点P 在边AD 上移动时，PDH △的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

答案：解:（1）PE BE =，

EBP EPB ∠=∠．

又90EPH EBC ∠=∠=°，

EPH EPB EBC EBP ∴∠-∠=∠-∠．

即PBC BPH ∠=∠．

又AD BC ∥，

APB PBC ∴∠=∠．

APB BPH ∠=∠．

（2）PHD △的周长不变，为定值8．

A B C

D

E

F

G

H P A B C

D E F G H P （备用图） A B C D

E

F

G

H

P Q

A B C

D

E

F

G

H

P

证明：过B 作BQ PH ⊥，垂足为Q ．

由（1）知APB BPH ∠=∠，

又90A BQP ∠=∠=°，BP BP =，

ABP QBP ∴△≌△．

AP QP AB BQ ∴==，．

又AB BC =，

BC BQ ∴=．

又90C BQH ∠=∠=°，BH BH =，

BCH BQH ∴△≌△．

CH QH ∴=．

PHD ∴△的周长为：

8PD DH PH AP PD DH HC AD CD ++=+++=+=. ）

（3）过F 作FM AB ⊥，垂足为M ，则FM BC AB ==.

又EF 为折痕，

EF BP ∴⊥.

90EFM MEF ABP BEF ∴∠=∠=∠+∠=°，

EFM ABP ∴∠=∠．

又90A EMF ∠=∠=°，

EFM BPA ∴△≌△．

EM AP x ∴==．

∴在Rt APE △中，222

(4)BE x BE -+=． 解得，2

28

x BE =+． A B C

D E F G H P M

2

28

x CF BE EM x ∴=-=+-． 又四边形PEFG 与四边形BEFC 全等， ∴2

11()(4)4224

x S BE CF BC x =+=+-⨯． 即：21282

S x x =

-+． 配方得，21(2)62S x =-+，∴当2x =时，S 有最小值6．

3. (20如图1，在正方形ABCD 中，点M N 、分别在AD CD 、上，若45MBN ∠=°，易证MN AM CN =+．

（1）如图2，在梯形ABCD 中，BC AD ∥，AB BC CD ==，点M N 、分别在AD CD 、上，若12

MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN 、AM 、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

（2）如图3，在四边形ABCD 中，AB BC =，180ABC ADC ∠+∠=°，点M N 、分别在DA 、CD 的延长线上，若12

MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN 、AM 、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．